1.1 Sequências Numéricas

Uma sequência numérica é uma função $f:\mathbb {N}\to \mathbb {R}$ que a cada número natural $n$ associa um número real $a_ n$ , isto é, $f(n)=a_ n$ . O termo $a_ n$ diz-se o n-ésimo termo da sequência ou termo geral da sequência.

Example 1.

$1,1/2,1/3,\cdots$ , $a_ n=1/n$
$-1,1,-1,1,\cdots ,$ $b_ n=(-1)^ n$
$x_ n=\dfrac {-n}{n+1}$ é o termo geral da sequência $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R}, \quad f(n)=-\dfrac {n}{n+1}.$
$f(n)= \begin{cases} 1/n, \quad n \quad \mbox{par}\\ -1/n^2, \quad n \quad \mbox{ímpar}, \quad -1,1/2,-1/9,1/4,\cdots \end{cases}$

Se considerarmos $\mathbb {N}’=\{ n_1<n_2<\cdots \} \subset \mathbb {N}$ a restrição de $f:\mathbb {N}\to \mathbb {R}$ a $f:\mathbb {N}’\to \mathbb {R}$ é chamada de subsequência ou subsucessão da sequência original $f(n)$ .

Example 2.

A sequência $a_ n=(-1)^ n$ tem como subsequências $a_{2n}=1$ e $a_{2n-1}=-1.$
A sequência $\dfrac {1}{5}, \dfrac {1}{6}, \dfrac {1}{7}, \cdots$ é uma subsequência da sequência $a_ n=\dfrac {1}{n}.$ Observe que poderíamos denotá-la por $b_ n=\dfrac {1}{n+4}, \quad n\in \mathbb {N}$ ou ainda $b_ n=\dfrac {1}{n}, \quad n \in \mathbb {N}’$ onde $\mathbb {N}’=\{ 5,6,7,\dots \} .$

De forma geral, fixado $p\in mathbb{N}$ , então a sequência com termo geral $b_ n=a_{n+p}$ é uma subsequência de $\{ a_ n\} ,$ onde consideramos para domínio o subconjunto $\mathbb {N}’=\{ 1+p, 2+p, 3+p, \cdots \} .$

Definition 3. Uma sequência $\{ a_ n\}$ é dita limitada superiormente quando existir um número real $M$ , denominado cota superior da sequência que satisfaz

$a_ n\leq M, \quad \forall n\in \mathbb {N}$

Definition 4. Uma sequência $\{ a_ n\}$ é dita limitada inferiormente quando existir um número real $m$ , denominado cota inferior da sequência que satisfaz

$a_ n\geq m, \quad \forall n\in \mathbb {N}$

Definition 5. Uma sequência $\{ a_ n\}$ é dita limitada quando ela for limitada superiormente e inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva $C$ , tal que

$|a_ n|\leq C, \quad \forall n\in \mathbb {N}$

É claro que se $M$ for uma cota superior de uma dada sequência $\{ a_ n\}$ , então qualquer número real maior do que $M$ também será cota superior da sequência $\{ a_ n\}$ . A menor dessas cotas superiores será chamada de supremo da sequência $\{ a_ n\}$ e a denotamos por sup $\{ a_ n\}$ . Analogamente, definimos o ínfimo da sequência $\{ a_ n\}$ e denotamos por inf $\{ a_ n\}$ , que é a maior das cotas inferiores da sequência. Note que para cada $\epsilon >0$ o número real $\alpha =\\ sup\{ a_ n\} -\epsilon$ é menor que o supremo da sequência $\{ a_ n\}$ e, portanto, não pode ser cota superior dessa sequência, por esse motivo, deve existir um $n_0$ tal que $\alpha < a_{n_0}$ . Para o ínfimo ocorre fato análogo, ou seja, sendo $\beta = \inf \{ a_ n\} + \epsilon$ existe algum termo da sequência tal que $\beta >a_{n_0}$ .

Example 6.

A sequência $\{ a_ n\} =n$ é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente, $\inf a_ n=1$ .
A sequência $a_ n=1-n^2$ é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente e $\sup a_ n=0$ .
A sequência $a_ n=(-1)^ n$ é limitada, sendo $\sup a_ n=1$ e $\inf a_ n=-1$ .
A sequência $a_ n=1/n$ é limitada, $\sup a_ n=1$ e $\inf a_ n=0.$
A sequência $a_ n=(-1)^ n n$ não é limitada superiormente nem inferiormente.