1.6 Incorporando Vacinação

Vamos estender esse modelo para incluir também a vacinação. Para este fim, pode ser útil rastrear os que se vacinaram e os que não. Portanto, vamos introduzir uma quarta categoria, $V$ , para aquelas que tiveram sucesso na vacinação.

Além disso, vamos assumir que num certo intervalo de tempo $\Delta t$ , a fração $p\Delta t$ da categoria $S$ está sujeita ao sucesso da vacinação. Isto significa que no tempo $\Delta t$ , $p\Delta S$ pessoas saem de $S$ para a categoria $V$ . Desde que as pessoas vacinadas não podem ter a doença, então não há impacto nas categorias $I$ e $R$ .

A nova equação diferencial estendida com a $V$ será:

$\displaystyle S’(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\beta S I+\nu R-pS$	(32)
$\displaystyle V’(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle p S$	(33)
$\displaystyle I’(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \beta S I-\gamma I$	(34)
$\displaystyle R’(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \gamma I-\nu R.$	(35)

Vamos nos referir a esse modelo como o modelo SIRV. A nova equação para $V’$ não oferece nenhuma dificuldade quando usamos o método numérico. Em um esquema de Euler avançado simplesmente acrescentamos a fórmula:

$V_{n+1}=V_ n + p \Delta t S_ n$

O programa precisa guardar $V(t)$ numa matriz adicional $V$ , e comando plot pode ser estendido com mais um argumento para $V$ verso $t$ . Usando $p=0.0005$ e $p=0.0001$ como valores para a eficiência da vacinação, o efeito da vacinação é visto pela figura 5.

$\includegraphics[scale=0.38]{vacinp5.png}$ $\includegraphics[scale=0.38]{vacinp1.png}$

Figure 5: O efeito da vacinação $p=0.0005$ (esquerda) e $p=0.0001$ (direita)

$\includegraphics[scale=0.5]{campanha.png}$

Figure 6: O efeito da Campanha de Vacinação

Coeficientes descontínuos: Campanha de Vacinação

Como modelar uma campanha de vacinação? Imagine que depois de 6 dias do surto da doença, uma Estação de Saúde local inicialize uma campanha de vacinação. Eles alcançam muitas pessoas, digamos 10 vezes mais que o período de vacinação comum. Se a campanha dura 10 dias devemos então ter

$p(t)= \begin{cases} 0.005, \quad 6.24\leq t \leq 15.24 \\ 0, \quad \mbox{para outros valores} \end{cases}$

Note que devemos multiplicar o valor de $t$ por 24 porque $t$ é medido em horas e não em dias. No sistema de equações diferencias, $pS(t)$ deve ser trocado por $p(t)S(t)$ e neste caso, obtemos um sistema de equações diferenciais com um termo que é descontínuo.

Isto é um grande desafio matemático, mas no tratamento numérico, ele fica fácil de tratar. Existem dois modos de implementar o coeficiente descontínuo $p(t)$ : através de uma função, ou através de uma matriz. a função de aproximação é mais fácil:

def p(t):
return 0.005 if (6.24<t<15.24) else 0
Na alteração do código nas array $S$ e $V$ obtemos o termo $p[t_ n] S[n]$ . Podemos também fazer $p(t)$ ser uma matriz, alocamos uma matriz $p$ de comprimento $Nt+1$ e achar os índices correspondentes aos 6 e 15 dias. Esses índices são achados do ponto do tempo dividido por $\Delta t$ .

Isto é, p =zeros(Nt+1)
start-index=6.24/dt
stop-index=15.24/dt
p[star-index:stop-index]=0.005

O termo $P(t)S(t)$ no mudança da equação em $S$ e $V$ simplesmente torna-se $p[n]S[n]$ .