15 Teorema de Stokes

Considere a figura abaixo, onde $S$ é o gráfico de $Z=f(x,y),$ e $f$ tem derivadas parciais primeiras cont $\'{\i }$ nuas e a projeção $C_{1}$ de $C$ sobre o plano-xy é uma curva que delimita uma região $R$ da forma considerada no teorema de Green. Nessa figura, $\mathbf{n}$ é uma normal unitária exterior de $S.$ Vamos considerar a direção positiva ao longo de $C$ como a direção correspondente à direção positiva ao longo de $C_{1}.$ O vetor $\mathbf{T}$ na figura é um vetor unitário tangente a $C$ que aponta na direção positiva. Se $\mathbf{F}$ denota um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais cont $\'{\i }$ nuas numa região contendo $S,$ então temos o seguinte resultado, que denominamos o teorema de Stokes.

Seja $\mathbf{F}$ um campo vetorial, cujas componentes têm derivadas parciais cont $\'{\i }$ nuas numa região que contém uma superf $\'{\i }$ cie $S,$ orientável, parametrizada por $z=f(x,y),$ onde $\mathbf{n}$ representa o vetor normal unitário exterior de $S,$ cuja fronteira é dada por uma curva $C$ no espaço, que tem $\mathbf{T}$ como vetor tangente unitário $,$ então a integral curvil $\'{\i }$ nea da componente tangencial de $\mathbf{F}$ tomada uma vez ao longo da curva $C$ na direção positiva é igual à integral de superf $\'{\i }$ cie da componente normal de $rot$ $\mathbf{F}$ sobre $S.$ Isto é

$\begin{equation} {\displaystyle \oint \limits _{C}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\ ds={\displaystyle \iint \limits _{S}} \left( rot\ \mathbf{F}\right) \cdot \mathbf{n}\ dS.\label{stokes}\end{equation}$

(16)

Seja $S$ a parte do parabolóide $z=9-x^{2}-y^{2}$ com $z\geq 0$ e seja $C$ o traço de $S$ no plano-xy.Verifique o teorema de Stokes $\left( \ref{stokes}\right)$ para o campo vetorial $\mathbf{F}=3z\mathbf{i}+4x\mathbf{j}+2y\mathbf{k.}$

Solução: Devemos mostrar que as duas integrais no teorema $\left( \ref{stokes}\right)$ são iguais. Temos que o vetor normal unitário exterior de $S$ é:

$\mathbf{n}=\frac{2x\mathbf{i}+2y\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}$

temos o rotacional de $\mathbf{F}$ é dado por

$rot\ \mathbf{F}\text { }=\left\vert \begin{array}[c]{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{z}\\ 3z & 4x & 2y \end{array} \right\vert =2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}$

Consequentemente,

${\displaystyle \iint \limits _{S}} \left( rot\ \mathbf{F}\right) \cdot \mathbf{n}\ dS={\displaystyle \iint \limits _{S}} \frac{4x+6y+4}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}dS$

assim

	$\displaystyle {\displaystyle \iint \limits _{S}} \left( rot\ \mathbf{F}\right) \cdot \mathbf{n}\ dS$	$\displaystyle ={\displaystyle \iint \limits _{R}} \frac{4x+6y+4}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}\ dA$
	$\displaystyle$	$\displaystyle ={\displaystyle \iint \limits _{R}} \left( 4x+6y+4\right) dA$

onde $R$ é a região do plano-xy delimitada pelo c $\'{\i }$ rculo de raio $3$ e centro na origem. Passando para coordenadas polares, temos

	$\displaystyle {\displaystyle \iint \limits _{S}} \left( rot\ \mathbf{F}\right) \cdot \mathbf{n}\ dS$	$\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{3}\left( 4r\cos \theta +6r\operatorname {sen}\theta +4\right) rdrd\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{3}\left[ \left( 4\cos \theta +6\operatorname {sen}\theta \right) r^{2}+4r\right] drd\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\left[ \left( 4\cos \theta +6\operatorname {sen}\theta \right) \frac{r^{3}}{3}+2r^{2}\right] _{0}^{3}d\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\left( 36\cos \theta +54\operatorname {sen}\theta +18\right) d\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\left[ 36\operatorname {sen}\theta -54\cos \theta +18\theta \right] _{0}^{2\pi }=36\pi .$

A integral curvil $\'{\i }$ nea do teorema de Stokes pode ser escrita como

${\displaystyle \oint \limits _{C}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\ ds={\displaystyle \oint \limits _{C}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r=}{\displaystyle \oint \limits _{C}} 3zdx+4xdy+2ydz$

onde $C$ é o c $\'{\i }$ rculo $x^{2}+y^{2}=9$ no plano-xy. Como $z=0$ em $C,$ esta integral curvil $\'{\i }$ nea se reduz a

${\displaystyle \oint \limits _{C}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r=}{\displaystyle \oint \limits _{C}} 4xdy=4{\displaystyle \oint \limits _{C}} xdy$

pelo teorema de Green, ${\displaystyle \oint \limits _{C}} xdy$ é a área da região (que representa um c $\'{\i }$ rculo de raio $3$ ) delimitada por $C,$ desse modo,

${\displaystyle \oint \limits _{C}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r=}4\left( 9\pi \right) =36\pi .$

Usando o teorema de Stokes podemos obter uma interpretação f $\'{\i }$ sica do rot $F.$ Se $P$ é um ponto arbitrário, seja $S_{k}$ um disco circular de raio $k$ e centro em $P$ e denotemos por $C_{k}$ a fronteira de $S_{k},$ aplicando o teorema de Stokes e um teorema de valor médio para integrais duplas, temos

$\oint \limits _{C_{k}}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\ ds={\displaystyle \iint \limits _{S_{k}}} \left( rot\ \mathbf{F}\right) \cdot \mathbf{n}\ dS=\left[ rot\ \mathbf{F.n}\right] _{P_{k}}\pi k^{2$

onde $P_{k}$ é um ponto interior de $S_{k}$ e $\pi k^{2}$ é a área de $S_{k}.\$ Desse modo,

$\left[ rot\ \mathbf{F.n}\right] _{P_{k}}=\frac{1}{\pi k^{2}}{\displaystyle \oint \limits _{C_{k}}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\ ds$

fazendo $k\rightarrow 0,$ então $P_{k}\rightarrow P$ e assim, obtemos o seguinte resultado.

$\left[ rot\ \mathbf{F.n}\right] _{P}=\lim _{k\rightarrow 0}\frac{1}{\pi k^{2}}{\displaystyle \oint \limits _{C_{k}}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\ ds$

Se $F$ é um campo de velocidade de um fluido, a integral curvilinea ${\displaystyle \oint \limits _{C_{k}}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\ ds$ é a circulação em torno de $C.$ Ela mede a tendência média de fluido se mover, ou circular, ao longo da curva. Vê-se portanto, que $\left[ rot\ \mathbf{F.n}\right]$ nos dá informação sobre o movimento de um flu $\'{\i }$ do ao longo da circunferência de um disco circular que é perpendicular a $\mathbf{n}$ , quando o disco tende a reduzir-se a um ponto. Essa circulação é máxima quando o vetor $rot\ \mathbf{F}$ for paralelo ao vetor $\mathbf{n}$ .