2.4 Plano tangente e reta normal

Seja $f$ uma função diferenciável, isto é,

$f(x_0+h, y_0+k)=f(x_0,y_0)+\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k+R(h,k)$

onde $\displaystyle \lim _{(h,k)\to (0,0)} \dfrac {R(h,k)}{\| (h,k)\| }=0.$ Fazendo $x=x_0+h$ e $y=y_0+k$ e chamando $R(x,y)$ o erro que se comete ao aproximarmos $f(x,y)$ por

$T(x,y)=f(x_0,y_0)+\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$

então

$f(x,y)=T(x,y)+R(x,y)$

onde $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (x_0,y_0)} \dfrac {R(x,y)}{\| (x-x_0,y-y_0)\| }=0.$

Definição 11. Sejam $f$ diferenciável no ponto $(x_0,y_0).$ O Plano

$z-f(x_0,y_0)=\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$

é o plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0,y_0, f(x_0,y_0).$

$\includegraphics[scale=1]{superfi.eps}$

Figure 2.2: Plano tangente $\pi$

O vetor normal ao plano tangente é o vetor:

$\vec{\eta }=(\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1)$

então a reta normal ao plano tangente ou à superfície determinada por $z=f(x,y)$ é

$(x,y,z)=(x_0,y_0, f(x_0,y_0))+\lambda (\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1), \, \lambda \in \mathbb {R}$