Cálculo Diferencial e Integral 2
Cálculo Diferencial e Integral 2 : Funções de Várias Variáveis : Composição de funções

1.4 Composição de funções

Sejam $f$ uma função de duas variáveis $x$ e $y$ e $g$ uma função de uma variável $t.$ Pode-se obter uma função $h$ de duas variáveis definida por $h(x,y)=g(f(x,y),$ desde que a imagem de $f$ esteja no domínio de $g$. Isto é, $f:D_ f \to \mathbb {R}$, $g:D_ g \to \mathbb {R}$ e $Im_ f\subseteq D_ g.$

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Figure 1.5: Composição de funções

Exemplo 16. Expresse $g(f(x,y))$ em termos de $x$ e $y$ e ache o domínio da função resultante.

  1. $f(x,y)=xe^ y, \quad g(t)=3t^2+t+1$.

  2. $f(x,y)=y-4x^2, \quad g(t)=\operatorname{sen}\sqrt{t}.$

Solução:

  1. $g(f(x,y))=g(xe^ y)=3x^2e^{2y}+xe^ y+1.$

  2. $g(f(x,y))=g(y-4x^2)=\operatorname{sen}\sqrt{y-4x^2}.$

O domínio para a primeira composição é o $\mathbb {R} ^2$ e o domínio para a segunda composição é o conjunto $Y$ definido por $Y=\{ (x,y):y\geq x^2\} .$

Temos o seguinte teorema em relação a continuidade da composição de funções.

Teorema 5. Se uma função $f$ de duas variáveis é contínua em $(a,b)$ e uma função $g$ de uma variável é contínua em $f(a,b)$ então a função $h$ definida por $h(x,y)=(g\circ f)(x,y)$ é contínua em $(a,b).$

Prova: Como $f$ é contínua, dado $\epsilon _1>0$, existe $\delta >0$ tal que se $\| (x,y)-(a.b)\| <\delta $ então $|f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon _1$. E dado $\epsilon >0$, $\exists \delta _1$ tal que se $|t-f(a,b)|<\delta _1$ então $|g(t)-g(f(a,b))|<\epsilon $. Para $\epsilon _1=\delta _1$ existe $\delta >0$ tal que se $\| (x,y)-(a,b)\| <\delta $ então $|f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon _1=\delta _1.$ Segue que

  \[ |h(x,y)-h(a,b)|=|g(f(x,y))-g(f(a,b))|<\epsilon . \]    

Logo, $h$ é contínua em $(a,b).$

Exemplo 17. Se $h(x,y)=e^{x^2+5xy+y^3}$ então $h$ é contínua em $\mathbb {R}^2$, pois é a composição da função exponencial $g(t)=e^ t$ e a função polinomial $p(x,y)=x^2+5xy+y^3,$ ambas contínuas, ou seja, $h(x,y)=g(p(x,y)).$

Podemos também considerar o seguinte tipo de composição: seja $w=f(u,v)$, onde $u=g(x,y)$ e $v=h(x,y)$ com $(u,v)\in D_ f$ então $w=f(g(x,y),h(x,y))$. Por exemplo, seja, $w=u^2+u\operatorname{sen}v$, onde $u=xe^{2y}$ e $v=xy$, temos então que $w=x^2e^{4y}+xe^{2y}\operatorname{sen}(xy).$

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