OBJETIVOS GERAIS
O objetivo principal deste projeto é a consolidação do
Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFPB (PPGMat - UFPB), com a
melhoria quantitativa e qualitativa da produção cientifica do nosso corpo
docente, e o conseqüente beneficiamento do nosso corpo discente, através do
intercâmbio científico com pesquisadores de renome internacional vinculados
aos centros de excelência com os quais estamos associados. Do ponto de
vista material, visamos a ampliação dos recursos bibliográficos e de
informática do PPGMat - UFPB.
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Os problemas específicos propostos possuem as seguintes
características:
Análise - Geometria: o objetivo geral dos problemas a serem
estudados por este grupo de pesquisa está relacionado com a existência e
multiplicidade de soluções para algumas classes de problemas elípticos
advindos da Geometria Diferencial e da Matemática Aplicada, especificamente,
o estudo de problemas quaselineares e semilineares com hipóteses de
superlinearidade global, como também superlinearidade local; abordamos
também problemas elípticos variacionais dos tipos subcrítico, crítico e
super crítico em relação à imersão de Sobolev em sub-domínios suaves,
limitados de espaços Euclidianos. Estes problemas têm em comum a falta de
compacidade dos funcionais energia associados e o seu estudo tem motivado o
desenvolvimento da análise não-linear. Para obter alguns resultados de
existência de soluções usaremos Métodos variacionais, tais como, Teoremas de
pontos críticos do tipo Mini-Max, Estimativas Apriori, e Métodos de blow Up.
Para determinar resultados de multiplicidade e de soluções radiais para uma
classe de operadores quaselineares, usaremos o Schooting-Method e Método de
Ponto Fixo, Teoria de Morse e Teoria de Lusternik -Schnirelman.
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Álgebra:
Um dos problemas centrais na Teoria de Singularidades é a determinação de
invariantes diferenciáveis, analíticos ou topológicos associados a famílias
de germes de aplicações cuja constância determine a trivialidade topológica
ou a equisingularidade de Whitney desta família. Os trabalhos de B. Teissier,
D. T. Lê, G. M. Greuel, D. Mond e T. Gaffney tem sido de grande utilidade na
determinação de tais invariantes. As multiplicidades polares associadas às
singularidades desta família de aplicações têm sido muito úteis na
determinação da equisingularidade de Whitney e conseqüentemente da
trivialidade topológica da família. É por esta razão que pretendemos estudar
a relação existente entre as multiplicidades polares da fonte e da meta de
uma aplicação finita entre variedades analíticas. Para obter este resultado,
utilizaremos a fórmula de Lë-Teissier para as multiplicidades polares.
Pretendemos também abordar o problema de D. Mond: se ft é uma família de
germes de funções de C2,0 em C3,0 finitamente determinados tais que o número
de guarda-chuvas de Whitney, o número de pontos triplos e o número de pontos
duplos de ft permanece constante ao longo da família então a família ft é
topologicamente trivial. Para obter os resultados esperados provaremos que a
constância dos invariantes 0-estáveis introduzidos por D. Mond asseguram que
a família ft é um desdobramento excelente de f0. Por outro lado, um dos
problemas centrais da Geometria Enumerativa, é a determinação dos números
característicos associados a famílias de esquemas. Os fundamentos teóricos
mais utilizados para abordar este ilimitado número de problemas enumerativos
vem da Teoria de Interseção, como a descrita por W. Fulton e R. MacPherson.
Pretendemos obter alguns números característicos para algumas famílias de
esquemas tais como; as quínticas de gênero 2 em P3; as séxticas de gênero 3
em P3, as scroll racional normal de co-dimensão 2 em Pn e outras. Obteremos
tais resultados através de uma compactificação destas famílias via um número
finito de explosões em centros explícitos e, em seguida, usaremos a fórmula
de R. Bott para o cálculo dos números característicos.
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