Análisis Funcional es una rama del Análisis Matemático que investiga los espacios vectoriales de dimensión infinita dotados de una topología, así como los operadores lineales continuos definidos en estos espacios. Las raíces del Análisis Funcional se encuentran en la investigación de espacios funcionales relacionados con las soluciones de ecuaciones diferenciales. Hoy en día, las técnicas del Análisis Funcional se aplican al Análisis Matemático y diversos otros campos como la Teoría de la Información Cuántica, Probabilidad y Combinatoria, dentre otros.

En esta línea de investigación, utilizando métodos analítico-funcionales, tales como, métodos variacionales y métodos topológicos se estudia la existencia, no existencia y multiplicidad de soluciones de algunas clases de Ecuaciones Diferenciales Parciales Elípticas, definidas en dominios euclidianos. También se abordan propiedades cualitativas de las soluciones de estas ecuaciones, tales como, regularidad, simetría y propiedades de energía mínima, comportamiento asintótico, blow-up(explosión), entre otras. Para ello, es necesario estudiar determinados espacios de funciones (espacios de Lebesgue, Sobolev, Orlicz y Besov), así como sus propiedades y el desarrollo de nuevos espacios de funciones. Ciertas clases de ecuaciones se pueden estudiar utilizando el método variacional, que se realiza investigando puntos críticos de ciertos funcionales que se definen en espacios de dimensión infinita junto con la ayuda de la teoría mini-max y la teoría Morse. Muchas otras ecuaciones no tienen una estructura variacional y, por lo tanto, se han utilizado otras técnicas, como la Teoría del grado de Brouwer y Leray-Schauder, los Teoremas del punto fijo y la Teoría de bifurcación. Las propiedades cualitativas se han estudiado a través de los principios de máximos, el llamado método Alexandrov-Serrin (método de planos moviles) y sus variantes. También se utilizan desigualdades de tipo Harnack y la teoría de De Giorgi-Nash-Moser. La mayoría de los problemas investigados están motivados por aplicaciones en otras áreas científicas, tales como Física, Astronomía, Climatología, Biología, Química, Economía, entre otras.

Los sistemas dinámicos son modelos matemáticos para muchos problemas de Física, Biología, Economía, Ingeniería, etc. Estos sistemas dinámicos se asocian normalmente con ecuaciones diferenciales que pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones diferenciales funcionales, ecuaciones diferenciales funcionales parciales y sistemas discretos. Los modelos matemáticos se obtienen mediante leyes empíricas, medidas, observaciones, etc. Aquí, nuestras principales preocupaciones están asociadas con la comprensión del pasado y la predicción del futuro con información del presente disponible; en este sentido, prestamos atención a los ‘‘conjuntos asintóticos de estados’’: las variedades estables e inestables, y los atractores locales, globales, pullback y forwards, los resultados de la existencia, caracterización y regularidad de estos conjuntos son estudios. Además, se sabe que a menudo algunas de las influencias que sufre el sistema se descuidan durante el modelado (para facilitar el análisis) y los parámetros del modelo aproximado se pueden determinar con algún error. Por lo tanto, los modelos prácticos son solo aproximaciones de un modelo ideal y los errores son inevitables. Teniendo esto en cuenta, es de fundamental importancia que los modelos gocen de una cierta estabilidad con respecto a todas las posibles perturbaciones. Por lo tanto, también prestamos atención a los resultados de la continuidad de ‘‘conjuntos asintóticos de estados’’ en el sentido de la métrica de Hausdorff.

Varios fenómenos naturales y modelos en ciencia y tecnología pueden modificar su comportamiento mediante la aplicación de comandos externos. Por ejemplo, un ingeniero puede controlar un sistema mecánico usando fuerzas externas, un economista puede actuar sobre un equilibrio financiero a través de tarifas, un químico puede modificar un proceso regulando la temperatura, un médico puede controlar o curar una enfermedad a través de medicamentos, etc. La teoría matemática que tiene como objetivo comprender cómo se pueden aplicar los actuadores externos a los sistemas físicos para cambiar su comportamiento se llama Teoría del Control. Dentro de esta línea de investigación, abordamos problemas de control que se pueden formular de la siguiente manera: En un sistema evolutivo regido por una ecuación (diferencial o en derivadas parciales), supongamos que podemos actuar sobre el sistema mediante un control (el lado derecho de la ecuación, alguna condición de contorno, ...). Queremos saber si es posible construir un control de tal manera que la solución correspondiente a un estado inicial dado y en un tiempo determinado (tiempo de control) la solución se encuentre en un estado final deseado (de forma exacta o aproximada). También nos interesa la estabilización de sistemas mediante mecanismos de retroalimentación en los que el control se regula de acuerdo a las respuestas obtenidas y es uno de los temas de gran importancia en la Teoría del Control, principalmente por sus aplicacione en problemas como la atenuación del ruido y el desarrollo de estructuras flexibles. En general, el estudio de la controlabilidad de un sistema físico es bastante delicado, especialmente en espacios de dimensión infinita (modelos en EDP), e incluso para el caso lineal. De hecho, la ecuación diferencial que gobierna la evolución puede ser, por ejemplo, de tipo parabólico (ecuación de calor, sistema de Stokes), de tipo hiperbólico (ecuación de onda, ecuaciones de Maxwell), de tipo dispersivo (ecuación de Schrödinger, ecuación de Korteweg-de Vries) , que induce propiedades intrínsecas a las soluciones, por lo que no existe un método de resolución único que no dependa del tipo de ecuación. Dentro de esta línea de investigación nuestro principal objetivo es la construcción de mecanismos de control eficientes y económicos para problemas de distinta naturaleza que se presentan en diferentes campos de la ciencia y la tecnología.

El Análisis Geométrico es un área matemática en la interfaz entre Geometría Diferencial, Análisis, Ecuaciones Diferenciales Parciales y Física Matemática. Incluye tanto el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales como la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría. Desde su aparición en el siglo XX, ha tenido una prolífica capacidad para resolver problemas no solo en sus líneas generadoras, sino en varias otras áreas de las que podemos mencionar Geometría Algebraica, Topología y Relatividad General. Entre los temas más relevantes en esta línea, podemos mencionar los estudios sobre Flujo de Ricci, Problemas Isoperimétricos, Estabilidad, Ecuaciones de Allen-Cahn, Mín-máx y problemas de curvatura prescrita.

En Geometría Diferencial hay dos hebras principales que a veces interactúan entre sí, a saber: geometría intrínseca y extrínseca. En el primero, investigamos cómo una variedad equipada con una métrica se caracteriza por restricciones en la curvatura y sus características, como los teoremas de Bonnet-Myers y Gauss-Bonnet. La geometría extrínseca, por otro lado, se ocupa de las propiedades geométricas de las subvariedades en una variedad ambiental que puede ser riemanniana, lorentziana, similar o más general. Estas subvariedades pueden resultar como puntos críticos de algunas funcionalidades asociadas como la longitud (geodésicas) y el área (problema de Plateau). Podemos investigar los resultados de la existencia o caracterización de subvariedades en ciertas geometrías como los teoremas de Hilbert y Bernstein.

La Teoría de Singularidades es una área muy amplia, con fronteras indefinidas. Se trata del estudio de la geometría y topología de espacios y aplicaciones definidas por polinomios o ecuaciones analíticas que no son regulares. La teoría usa técnicas de las más diversas áreas de las matemáticas, y contribuye con el desarrollo de áreas de dentro y de fuera de las matemáticas, tales como la geometría algebraica, teoría de nudos, óptica, robótica y visión computacional. Son las amplias aplicaciones de esta teoría que la hicieron tan exitosa durante las tres décadas pasadas. Uno de los principales objetivos es estudiar la topología y clasificación de variedades singulares y aplicaciones analíticas, determinando invariantes numéricos asociados a eses objetos.