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\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
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\title{Séries e Equações Diferenciais Ordinárias}
\author{Prof. Milton de L Oliveira}
%\ifplastex\else\email{a\_jtim@bellsouth.net}\fi
%\abstract{.}

\begin{document}

\maketitle
\chapter{Sequências}
\section{Sequências Numéricas}
Uma sequência numérica é uma função $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ que a cada número natural $n$ associa um número real $a_n$, isto é, $f(n)=a_n$. O termo $a_n$ diz-se o n-ésimo termo da sequência ou termo geral da sequência.
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item $1,1/2,1/3,\cdots$, $a_n=1/n$
\item $-1,1,-1,1,\cdots,$ $b_n=(-1)^n$
\item $x_n=\dfrac{-n}{n+1}$ é o termo geral da sequência $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad f(n)=-\dfrac{n}{n+1}.$
\item $f(n)=
\begin{cases}
1/n, \quad n \quad \mbox{par}\\
-1/n^2, \quad n \quad \mbox{ímpar}, \quad -1,1/2,-1/9,1/4,\cdots
\end{cases}$
\end{enumerate}
\end{example}
Se considerarmos $\mathbb{N}'=\{n_1<n_2<\cdots\}\subset \mathbb{N}$ a restrição de $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ a $f:\mathbb{N}'\to \mathbb{R}$ é chamada de subsequência ou subsucessão da sequência original $f(n)$. 
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item A sequência $a_n=(-1)^n$ tem como subsequências $a_{2n}=1$ e $a_{2n-1}=-1.$
\item A sequência $\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{7}, \cdots$ é uma subsequência da sequência $a_n=\dfrac{1}{n}.$ Observe que poderíamos denotá-la por $b_n=\dfrac{1}{n+4}, \quad n\in \mathbb{N}$ ou ainda $b_n=\dfrac{1}{n}, \quad n \in \mathbb{N}'$ onde $\mathbb{N}'=\{5,6,7,\dots\}.$
\end{enumerate}

\end{example}
De forma geral, fixado $p\in mathbb{N}$, então a sequência com termo geral $b_n=a_{n+p}$ é uma subsequência de $\{a_n\},$ onde consideramos para domínio o subconjunto $\mathbb{N}'=\{1+p, 2+p, 3+p, \cdots\}.$
\begin{definition}
Uma sequência $\{a_n\}$ é dita \textbf{limitada superiormente} quando existir um número real $M$, denominado cota superior da sequência que satisfaz
\[
a_n\leq M, \quad \forall n\in \mathbb{N}
\]
\end{definition}

\begin{definition}
Uma sequência $\{a_n\}$ é dita \textbf{limitada inferiormente} quando existir um número real $m$, denominado cota inferior da sequência que satisfaz
\[
a_n\geq m, \quad \forall n\in \mathbb{N}
\]
\end{definition}

\begin{definition}
Uma sequência $\{a_n\}$ é dita \textbf{limitada} quando ela for limitada superiormente e inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva $C$, tal que
\[
|a_n|\leq C, \quad \forall n\in \mathbb{N}
\]
\end{definition}
É claro que se $M$ for uma cota superior de uma dada sequência $\{a_n\}$, então qualquer número real maior do que $M$ também será cota superior da sequência $\{a_n\}$.  A menor dessas cotas superiores será chamada de \textbf{supremo} da sequência $\{a_n\}$ e a denotamos por \textbf{sup}$\{a_n\}$. Analogamente, definimos o ínfimo da sequência $\{a_n\}$ e denotamos por \textbf{inf}$\{a_n\}$, que é a maior das cotas inferiores da sequência. Note que para cada $\epsilon>0$ o número real $\alpha=\\sup\{a_n\}-\epsilon$ é menor que o supremo da sequência $\{a_n\}$ e, portanto, não pode ser cota superior dessa sequência, por esse motivo, deve existir um $n_0$ tal que $\alpha < a_{n_0}$. Para o ínfimo ocorre fato análogo, ou seja, sendo $\beta= \inf \{a_n\}+ \epsilon$ existe algum termo da sequência tal que $\beta>a_{n_0}$.

\begin{example}
\begin{enumerate}
\item A sequência $\{a_n\}=n$  é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente, $\inf a_n=1$.
\item A sequência $a_n=1-n^2$ é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente e $\sup a_n=0$.
\item A sequência $a_n=(-1)^n$ é limitada, sendo $\sup a_n=1$ e $\inf a_n=-1$.
\item A sequência $a_n=1/n$ é limitada, $\sup a_n=1$ e $\inf a_n=0.$
\item A sequência $a_n=(-1)^n n$ não é limitada superiormente nem inferiormente. 
\end{enumerate}
\end{example}

\subsection{Indução Matemática}
 
 Se uma propriedade qualquer P vale para $n=1$ e supomos ela válida para $n$ e provamos que P vale para $n+1$, então P vale para todo $n\in \mathbb{N}.$ Esse é o princípio de Indução Matemática.
 
\begin{example} Seja $n!=1.2.3\cdots n$. Provemos que $n!\geq 2^{n-1}, \quad \forall n\in \mathbb{N}.$
\end{example}
De fato, sabemos que 
$1!\geq 2^{1-1}$, assim essa propriedade vale para $n=1$, suponha que ela vale para $n$, isto é, $n!\geq 2^{n-1}$. 
Considere agora, $(n+1)!=(n+1)n!$, desse modo, \[
(n+1)!=(n+1)n!\geq (n+1)2^{n-1}\geq (1+1)2^{n-1}=2^n\] Logo, a propriedade vale para $n+1$, e, portanto, vale para todo $n\in \mathbb{N}.$

\begin{example} Provemos que $A_n=3(n^2 +n)$ é divisível por $6$, para todo $n\in \mathbb{N}.$
\end{example}
De fato, temos que para $n=1$
$A_1=3(1^2+1)=6$ que divide $6$. Suponha que $A_n=3(n^2+n)$ seja divisível por $6$, isto é, existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $A_n=6k$. Agora considere, 
\[
A_{n+1}=3[(n+1)^2+(n+1)]=3(n^2+n)+3[(2n+1)+1]=6k+6(n+1)
\]
Logo, $A_{n+1}$  é divisível por $6$. Por indução, essa propriedade vale para todo $n\in \mathbb{N}.$

\section{Sequências Monótonas}
\begin{definition}
Uma sequência $\{a_n\}$ é dita \textbf{ crescente } ou \textbf{não decrescente} quando $a_n\leq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}.$ Se $ a_n <a_{n+1}$ ela é dita estritamente crescente.
\end{definition}
\begin{definition}
Uma sequência $\{a_n\}$ é dita \textbf{ decrescente } ou \textbf{não crescente} quando $a_n\geq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}.$ Se $a_n>a_{n+1}$ ela é dita estritamente decrescente.
\end{definition}
\begin{definition}
Uma sequência é dita \textbf{monótona} se ela é crescente ou decrescente.
\end{definition}

\begin{example}
\begin{enumerate}
\item As sequências $a_n=n$ e $b_n=\ln n$ são crescentes, enquanto que, $c_n=-n^3$ e $d_n=1/n$ são decrescentes.
\item A sequência $a_n=(-1)^n$ não é monótona, isto é, ela não é crescente nem decrescente. É uma sequência alternada.
\item A sequência $a_n=\dfrac{n}{n+1}$ é crescente. De fato, note que
\[
\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{n+2}\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\geq 1, \forall n.
\]
\end{enumerate}
\end{example}
A \textbf{monotonicidade} de alguma sequências pode ser deduzida por investigação do sinal da derivada da função extensão. Isto é, se $f(x)$ satisfaz $f(n)=a_n$. Por exemplo, para a sequência, $f(n)=\dfrac{n}{n+1}$, podemos analisar a função $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ e como, $f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$ que é positiva, logo, $f(x)$ é crescente e, por sua vez, $f(n)$ também é crescente.

\begin{example} Para a sequência $a_n=\dfrac{n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}$ não é possível definir a função extensão. Mas note que,
\[
\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1.3.5\cdots(2n-1)}{1.3.5\cdots (2n-1)(2n+1)}\dfrac{(n+1)!}{n!}=\dfrac{n+1}{2n+1}<1
\]
logo, $a_n>a_{n+1}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$ o que implica que $a_n$ é decrescente.
\end{example}

\section{Sequências Convergentes}
\begin{definition} 
Dizemos que $\{a_n\}$ converge para um número real $l$ se dado $\epsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que 
$|a_n-l|<\epsilon$, para todo $n\in \mathbb{N}.$ Neste caso, denotamos $\lim_{n\to \infty} a_n=l.$ E dizemos que $a_n$ é \textbf{convergente}. Caso contrário, se tal limite não existe, dizemos que a sequência $\{a_n\}$ é \textbf{divergente}.
\end{definition}
Note que;
\[
|a_n-l|<\epsilon 
\]
se, e somente se,
\[
-\epsilon<a_n-l<\epsilon
\]
ou,
\[
l-\epsilon<a_n<l+\epsilon
\]
isto é,
\[
a_n \in (l-\epsilon,l+\epsilon).
\]
Um número finito de termos não altera a convergência 
nem a divergência de uma sequência.
\begin{theorem}
Uma sequência convergente $\{a_n\}$ não pode ter dois limites.
\end{theorem}
\begin{proof}De fato, se supomos que $a_n$ converge e $l_1=\lim a_n$ e $l_2=\lim a_n$ com $l_1 \neq l_2$ então (suponha $l_1>l_2$)
\[
l_1-l_2=|l1-l2|=|l_1-a_n+a_n+l_2|\leq |l_1-a_n|+|a_n-l_2|<2\epsilon
\]
agora tome $\epsilon=(l_1-l2)/2>0$, desse modo, obtemos,
$l_1-l_2<l_1-l_2$ o que é absurdo.
\end{proof}


\begin{example}
\begin{enumerate}
\item Vamos mostrar que $\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n}=0$.
Dado $\epsilon>0$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n_0>\frac{1}{\epsilon}.$ Logo, se $n>n_0$ então
$\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}<\epsilon, \quad \forall n>n_0$ e assim $\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n}=0.$

\item Consideremos a sequência $a_n=\frac{n}{n+1}.$ Neste caso, $\lim_{n\to \infty} a_n=1.$
Dado $\epsilon>0$, note que 
\[
|\frac{n}{n+1}-1|<\epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}<\epsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\epsilon}-1
\]
Escolhendo o primeiro $n_0$ tal que $n_0>\frac{1}{\epsilon}-1$ então para todo $n>n_0$ temos
\[
n>\frac{1}{\epsilon}-1 \Rightarrow  \frac{1}{n+1}<\epsilon \Rightarrow |\frac{n}{n+1}-1|<\epsilon.
\]

\item A sequência $b_n=r^n$, onde $r\in \mathbb{R}$, fixo, tal que $-1<r<1$, converge para zero.
Escolha $r\neq 0$, dado $\epsilon>0$, como $0<|r|<1,$ temos que $\ln |r|$ está definido, é diferente de zero, e 
$\ln |r|<0$. Assim 
\[
|r^n-0|=|r|^n <\epsilon \Leftrightarrow n \ln|r|< \ln \epsilon \Leftrightarrow n>\dfrac{\ln \epsilon}{\ln |r|}
\]
Escolha $n_0$ maior ou igual a $\dfrac{\ln \epsilon}{\ln |r|}$ assim $|r^n|<\epsilon$ o que implica em $\lim_{n\to \infty} r^n=0.$
\item Existem sequências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que $n$ aumenta, por exemplo, a sequência $a_n=n$. Nesse caso, dizemos que a sequência tem limite infinito e denotamos $\lim_{n\to \infty} a_n=\infty$, isso significa que dado $K>0$ qualquer, existe $n_0$ tal que $a_n>K$ para todo $n>n_0.$
Para a sequência $b_n=-n$ , $\lim_{n\to \infty} b_n =-\infty.$
\item Se $|r|>1$ então $\lim_{n\to \infty} |r|^n = + \infty$ e $\lim_{n\to \infty} r^n$ não existe.
\item Se $a_n=(-1)^n$ e como, $\lim_{n\to \infty}a_{2n}=1$ e $\lim_{n\to \infty}a_{2n-1}=-1$, logo, o limite de $a_n$ não existe.
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{theorem}
Toda sequência convergente é limitada.
\end{theorem}
\begin{proof} Seja $(a_n)$ uma sequência convergente com limite $l$. Isto é, $\lim_{n\to \infty} a_n=l$ ou dado $\epsilon>0$, $\exists n_0$ tal que $|a_n-l|<\epsilon, \,\, \forall n>n_0$
ou seja, 
\[
-\epsilon <a_n-l<\epsilon, \,\, \forall n>n_0
\]
ou 
\[
|a_n|<|l|+\epsilon, \,\,\, \forall n>n_0
\]
considere $M=\max \{|a_1|, |a_2|, \cdots, |a_{n_0}|,|l|+\epsilon\}$ então
\[
|a_n|\leq M, \,\,\, \forall n\in \mathbb{N}
\]
segue que $(a_n)$ é limitada.
\end{proof}
 A recíproca não é verdadeira pois, por exemplo, a sequência $b_n=\sen n$ é limitada mas $\lim_{n\to \infty} \sen n$ não existe.
\begin{theorem}\label{limzero}
Sejam $(a_n)$ uma sequência limitada e $(b_n)$ uma sequência que converge a zero então $\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$
\end{theorem}
\begin{proof}
 Como $(a_n)$ é limitada então existe $M>0$ tal que $|a_n|\leq M, \,\,\ \forall n\in \mathbb{N}.$ Por outro lado, como $\lim_{n\to \infty} b_n=0$ então dado $\epsilon>0$, existe $n_0$ tal que $|b_n|<\dfrac{\epsilon}{M}, \,\,\, \forall n>n_0.$ Desse modo, 
\[
|a_n b_n|=|a_n||b_n|\leq M \frac{\epsilon}{M}<\epsilon, \,\, \forall n>n_0
\]
logo, $\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$
\end{proof}
\begin{example}
A sequência $\frac{1}{n} \sen n$ converge a zero. Pois, $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0$ e $|\sen n|\leq 1.$ E pelo teorema \ref{limzero} temos que $\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$
\end{example}

\begin{theorem}
Temos que o $\lim_{n\to \infty} a_n=0 $ se, e somente se, 
$\lim_{n\to \infty} |a_n|=0. $ 
\end{theorem}
Note que se $\lim_{n\to \infty} a_n=L$ então necessariamente, o $\lim_{n\to \infty} |a_n|=|L|$. (Isso porque $||a_n|-|L||\leq |a_n-L|$). Mas, se $\lim_{n\to \infty} |a_n|$ existe isso não implica que $\lim_{n\to \infty} a_n$ exista. Pois, $\lim_{n\to \infty} (-1)^n$ não existe, mas $\lim_{n\to \infty} |(-1)^n|=1$.



\begin{theorem}
Se $\lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty}c_n=l$ e $(b_n)$ é tal que $a_n\leq b_n \leq c_n$ então $\lim_{n\to \infty} b_n=l.$
\end{theorem}
\begin{proof}
 De fato, $|a_n-l|<\epsilon$ e $|c_n-l|<\epsilon$ então 
\[
l-\epsilon<a_n<l+\epsilon, \,\, \forall n>n_1
\]
\[
l-\epsilon<c_n<l+\epsilon \,\, \forall n>n_2
\]
tome $n_0=\max{n_1,n_2}$ então
\[
l-\epsilon<a_n\leq b_n\leq c_n<l+\epsilon, \,\, \forall n>n_0
\]
logo,
\[
l-\epsilon<b_n<l+\epsilon, \,\, \forall n>n_0
\]
ou $|b_n-l|<\epsilon, \,\, \forall n>n_0.$
\end{proof}
\begin{theorem}
Se $f:[a,\infty) \to \mathbb{R}$ é uma função tal que $\lim_{x\to \infty}f(x)=l$, então a sequência $a_n=f(n)$, $n>a$ é convergente e $lim_{n\to \infty} f(n)=l$. Se $\lim_{x\to \infty}f(x)=\pm\infty$ então $lim_{n\to \infty} f(n)=\pm\infty.$
\end{theorem}

\begin{example}
Considere a sequência $a_n=\frac{n+1}{n+2}$ e calcule o $\lim_{n\to \infty} a_n$. 
\end{example}
Note que a função $f(x)=\frac{x+1}{x+2}$ é tal que $\lim_{x\to \infty} \frac{x+1}{x+2}=1$ então $\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{n+2}=1.$
\begin{example} 
Para calcular o $\lim_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n}.$ Tomamos a função $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ e como
\[
\lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}=0
\]
segue que $\lim_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n}=0.$
\end{example}
\subsection{Propriedades do Limite}
Sejam $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ sequências convergentes limites $l$ e $r$, respectivamente. Então:
\begin{enumerate}
\item $a_n \pm b_n$ converge para $l \pm r$;
\item $c a_n$ converge para $cl$;
\item $|a_n|$ converge para $|l|$;
\item $a_n b_n$ converge para $l r$;\label{quart}
\item se $r\neq 0$ então $\frac{a_n}{b_n}$ converge para $\frac{l}{r}.$
\end{enumerate}
Vamos provar uma das propriedades acima, por exemplo, pode ser a propriedade \ref{quart}. Suponha que $a_n \to l$ e $b_n \to r$ então dado $\epsilon>0$, existe $n_0$ tal que $|a_n-l|<\epsilon$ e $|b_n-r|<\epsilon$ para todo $n>n_1$ e $n>n_2$, assim, se $n_0=\max\{n_1,n_2\},$ temos que para $n>n_0$ 
\[
|a_n b_n-lr|<|a_n b_n -a_nr+a_nr-lr|\leq |a_n||b_n-r|+|r||a_n-l|<M\epsilon+|r|\epsilon=(M+|r|)\epsilon.
\]

\begin{example} Analise sobre a convergência das sequências a seguir:
\[
(a) \,\,a_n=\frac{3n+1}{5n}+\frac{(-1)}{n} \quad (b)\,\, b_n=\cos \frac{1}{n}(1+\frac{1}{n})\quad (c)\,\, c_n=\frac{n^2+3}{4n^2-2n+1}.
\]
\end{example}

\begin{theorem}\label{monlim}
Toda sequência monótona limitada é convergente.
\end{theorem}
\begin{proof} Suponha $(a_n)$ uma sequência crescente e limitada. Segue que existe $M>0$ tal que 
\[
|a_n|\leq M, \,\,\, \forall n
\]
isto é, $a_n\leq M.$ Logo, $M$ é uma cota superior para $(a_n)$, seja $l=\sup a_n$ então $l$ é a menor das cotas superiores de $(a_n)$, assim $l-\epsilon$ não é cota superior de $(a_n)$ então existe $n_1$ tal que 
\[
l-\epsilon<a_{n_1}\leq l.
\]
Como $(a_n)$ é crescente então $a_n>a_{n_1}$ para todo $n>n_1$, segue que, 
\[
l-\epsilon<a_n<l+\epsilon, \,\,\, \forall n>n_1
\]
isto é, 
\[
|a_n-l|<\epsilon, \,\,\, \forall n>n_1
\]
o que implica em $\lim_{n\to \infty} a_n=l.$
\end{proof}
\begin{example}
Vimos que a sequência cujo termo geral é $a_n=\dfrac{n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}$ é decrescente. Veriquemos que ela também é limitada.
\end{example}
De fato, temos que
\[
0<a_n=\dfrac{1}{1}\dfrac{2}{3}\dfrac{3}{5}\cdots \dfrac{n}{2n-1}\leq 1.1.1\cdots 1=1,\,\,\, \forall n
\]
Logo, pelo teorema \ref{monlim} $a_n$ é convergente. Além disso, $\inf a_n=0$. Logo, $\lim_{n\to \infty} \dfrac{n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}=0.$

\begin{theorem}
Se uma sequência $(a_n)$ converge para um $l$ então todas as subsequências dela convergem para $l.$
\end{theorem}
\begin{proof} Se pelo menos uma das subsequências de $(a_n)$ digamos $(a_{n_k})$ tivesse um outro limite $r\neq l$ então $a_{n_k} \to r$ e $a_n \to l$ com $l\neq r$, mas isto contradiz o fato de limite ser único.
\end{proof}
\begin{example}
A sequência $(-1)^n$ possui subsequências tais que $(-1)^{2k} \to 1$ e $(-1)^{2k-1} \to -1$. Logo, $(-1)^n$ não converge. Por outro lado, a sequência $\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge para zero, pois $|(-1)^n|\leq 1$ e $\dfrac{1}{n}\to 0.$ Assim, $\dfrac{(-1)^n}{n}\to 0.$
\end{example}

\begin{theorem}{Teste da Razão para sequências} Se uma sequência $(a_n)$ de termos positivos satisfaz à condição 
$\lim_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=l<1$ então ela converge para zero.
\end{theorem}
\begin{proof} Seja $l<r<1$ tal que $0<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<r, \,\,\forall n>n_0.$ Como $r<1$ então $0<a_{n+1}<a_n r<a_n$ o que implica em $a_n$ ser decrescente para $n\geq n_0.$ Assim $0<a_n\leq a_{n_0}, \,\, \forall n>n_0$ o que implica em $(a_n)$ ser limitada. Logo, $(a_n)$ é convergente. Suponha, por absurdo, que $\lim_{n\to \infty} a_n=s\neq 0$ então 
\[
l=\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\lim a_{n+1}}{\lim a_n}=\dfrac{s}{s}=1. 
\]
Mas, $l<1.$ \end{proof}

\begin{example}
As sequências $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$, $b_n=\dfrac{r^n}{n!}$,  $c_n=\dfrac{n!}{1.3.5\cdots(2n-1)}$, $d_n=\dfrac{n^p}{2^n}$ convergem todas a zero.
\end{example}
De fato, para a sequência $a_n$ temos
\[
\lim_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty
} \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}\dfrac{n^n}{n!}=\lim_{n\to \infty}(\dfrac{n}{n+1)})^n=\dfrac{1}{e}<1
\]
aqui usou-se o limite fundamental: 
\[
\lim_{x\to \infty}(1+\dfrac{1}{x})^x=e
\]
Para a sequência $b_n$ temos
\[
\lim_{n\to \infty} \dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{r^(n+1)}{(n+1)!}\dfrac{n!}{r^n}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{r}{n+1}=0,
\]
e, para a sequência $d_n$ temos
\[
\lim_{n\to \infty} \dfrac{d_{n+1}}{d_n}=\lim{n \to \infty} \dfrac{(n+1)^p}{2^(n+1)}\dfrac{2^n}{n^p}=\dfrac{1}{2}\lim_{n \to \infty} (\dfrac{n+1}{n})^p=\dfrac{1}{2}<1
\]
aqui usou-se o fato que se uma função $f$ é contínua num intervalo que contém os termos da sequência $(a_n)$ então $\lim_{n \to \infty} f(a_n)=f(\lim_{n\to \infty} a_n)=f(l).$ se $a_n \to l.$ Nesse caso, temos 
\[
\lim_{n \to \infty} (\dfrac{n+1}{n})^p=(\lim_{n\to \infty} \dfrac{n+1}{n})^p=1^p=1
\]
\begin{example}
Considere a sequência $a_n=n^{1/n}$ e calcule $\lim_{n \to \infty} n^{1/n}.$
\end{example}
Temos que $n^{1/n}=\exp (\dfrac{1}{n}\ln n)$ daí
\[
\lim_{n \to \infty} n^{1/n}=\lim_{n\to \infty}\exp (\dfrac{1}{n}\ln n)=\exp(\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}\ln n)=\exp 0=1.
\]

\chapter{Séries Numéricas}
 \section{Séries Numéricas}
 Dada uma sequência $\{a_n\}$ de números reais, a soma infinita 
 \[
 a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots
 \]
será representada por $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Tais somas infinitas são chamadas de \textbf{séries infinitas } ou, simplesmente, \textbf{séries}.

\begin{example}
\begin{enumerate}
\item A soma $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots$ que é representada por $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}}$ é uma série geométrica.
\item A soma infinita $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$ representamos por $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ é conhecida como a  \textbf{série harmônica}.
\end{enumerate}
\end{example}
Dada uma série infinita $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, as \textbf{somas parciais} dessa série são:
\[
S_1=a_1, \quad S_2=a_1+a_2, \quad S_3=a_1+a_2+a_3,\quad \cdots  ,\quad S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n
\]
Formamos então uma sequência de somas parciais $\{S_n\},$ se $\lim_{n \to \infty} S_n=S$, $S\in \mathbb{R}$ então dizemos que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ \textbf{converge}  e sua \textbf{soma} é $S$, isto é, $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Se $\lim_{n \to \infty} S_n$ não existe então dizemos que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ \textbf{diverge}.
\begin{example}
Seja $r\in \mathbb{R}$ e considere a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$, vamos analisar sobre a convergência ou divergência dessa série.
\end{example}
Seja $\{S_n\}$ a sequência de somas parciais de ordem $n$  da série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$, isto é,
\[
S_n=1+r+r^2+\cdots+r^n
\]
temos que
\[
rS_n=r+r^2+\cdots+r^n+r^{n+1}
\]
daí
\[
(1-r)S_n=1-r^{n+1}
\]
ou 
\[
S_n=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}
\]
como $\lim_{n\to \infty} r^n=0$ se $|r|<1$ e $\lim_{n\to \infty} r^n$ não existe se $|r|>1$, então concluímos que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$ converge e sua soma é $S=\dfrac{1}{1-r}$ se $|r|<1$ e, diverge se $|r|>1$. No caso em que $|r|=1$ a essa série também diverge, pois $\sum_{n=1}^{\infty}1^n=1+1+1+\cdots+1+\cdots=+\infty$ e $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ não existe.
Conclusão a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$ converge se $|r|<1$ e diverge se $|r|\geq 1.$
De forma análoga, a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^n$ converge para $\dfrac{a}{1-r}$ se $|r|<1$ e diverge se $|r|\geq 1$, tal série é chamada de \textbf{série geométrica}.
\begin{example}
A série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}$ é uma série geométrica com $a=1$ e $r=\dfrac{1}{2}<1$, portanto converge e sua soma é $S=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2.$
\end{example} 
\begin{theorem}[Teste do n-ésimo termo] Se uma série $\sum a_n$ converge então $\lim_{n \to \infty} a_n=0.$
\end{theorem}
\begin{proof} Temos que
\[
a_n=S_n-S_{n-1}
\]
como $\sum a_n$ converge então $\lim_{n \to \infty} S_n=S$ e $\lim_{n \to \infty} S_{n-1}=S$
daí
\[
\lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty} S_n-\lim_{n \to \infty} S_{n-1}=S-S=0.
\]
\end{proof}

\begin{example}
\begin{enumerate}
\item A série $\sum (-1)^n$ diverge pois $\lim_{n\to \infty} (-1)^n $ não existe, logo, pelo teste do n-ésimo termo a série $\sum (-1)^n$ não pode convergir.
\item A série $ \sum \dfrac{n}{n+1}$ diverge, pois $\lim_{n\to \infty} \dfrac{n}{n+1}=1\neq 0.$
\end{enumerate}
\end{example}
Consideremos a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$. Note que, $\dfrac{1}{n^2+n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ e
\[
S_n=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}
\]
Logo,
\[
\lim_{n\to \infty} S_n =1-\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1}=1
\]
portanto, $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ converge para $1$. Tal série é conhecida como \textbf{séries de termos encaixantes.}
De um modo geral, a série de termos encaixantes pode ser dada por 
\[
\sum_{n=1}^{\infty} (b_n-b_{n+1})
\]
se $b_n$ convergir então $
\sum_{n=1}^{\infty} (b_n-b_{n+1})=b_1-\lim_{n\to \infty} b_{n+1}.
$
Note que se uma série $\sum a_n$ converge então necessariamente $\lim a_n=0.$ Mas se $\lim a_n=0$ não implica que $\sum a_n $ convirja.

Um exemplo de série que satisfaz o fato de $\lim a_n=0$ mas que ela diverge é a série harmônica que será estudada na próxima subseção.

\subsection{A série harmônica}
A série harmônica é série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$. Temos que
\[
S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}
\]
\[
S_{2n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\cdots+\dfrac{1}{2n}
\]
Logo, 
\begin{equation}
S_{2n}-S_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}\geq \dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=n.\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}\label{desig}
\end{equation}
se a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ fosse convergente então as sequências de somas parciais $\{S_n\}$ e $\{S_{2n}\}$ convergiriam e teriam o mesmo limite, e dessa forma, $lim_{n\to \infty} S_{2n}-S_n=0$ Mas, isto é impossível, pois a desigualdade em (\ref{desig}) implica em $lim_{n\to \infty} S_{2n}-S_n\geq \dfrac{1}{2}$. Logo, $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ diverge.
 
 O acréscimo ou omissão de um número finito de termos não altera a convergência ou divergência de uma série. Podemos daí deduzir que uma série $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge se, e somente se, $\lim_{p\to \infty} \sum_{n=p}^{\infty} a_n=0.$ Esse é o critério de Cauchy dado abaixo.
\begin{theorem}[Critério de Cauchy] Uma série $\sum a_n$ converge se, e somente se, dado $\epsilon>0$ existe $n_0$ tal que 
\[
|S_n-S_m|< \epsilon, \,\, \forall n>m\geq n_0.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{difere}
Se as séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ diferem apenas em uma quantidade finita de termos então ou ambas convergem ou ambas divergem.
\end{theorem}
\begin{proof} Por hipótese, existe um índice $n_0$ tal que $a_n=b_n, \,\,\, \forall n\geq n_0$. Logo: 
\[
S_n=a_1+\cdots+a_{n_0}+b_{n_0+1}+\cdots+b_n
\]
\[
T_n=b_1+\cdots+b_{n_0}+b_{n_0+1}+\cdots+b_n
\]
daí
\[
S_n=S_{n_0}-T_{n_0}+T_n
\]
e $\lim S_n=S$ então $\lim T_n=S+T_{n_0}-S_{n_0},$ e se $\lim S_n$ não existe então $\lim T_n$ também não existe. \end{proof}

\begin{example}
As séries $\sum \dfrac{1}{n}$ e $\sum \dfrac{1}{n-5}$ são divergentes e as séries $\sum \dfrac{1}{n^2+n}$ e $\sum \dfrac{1}{2^n}$ são convergentes.
\end{example}
Como consequência do Teorema \ref{difere} as séries $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=p}^{\infty} a_n$ são ambas convergentes ou ambas divergentes.

\begin{theorem}[Propriedades das séries] Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ séries numéricas e seja $\alpha \in \mathbb{R}.$
\begin{enumerate}
\item Se $\sum a_n$ e $\sum b_n$  convergem então $\sum (a_n+b_n)$ convergem e $\sum \alpha a_n$ convergem.
\item Se $\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ diverge então $\sum (a_n+b_n)$ diverge.
\item Se $\sum a_n $ diverge e $\alpha\neq 0$ então $\sum  \alpha a_n$ diverge.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Se $\sum a_n$ e $\sum b_n$ divergem nada podemos afirmar sobre $\sum (a_n+b_n)$. Tal soma pode convergir ou não.
Exemplo, $\sum (\dfrac{1}{n}+\dfrac{-1}{n})=0$ converge, mas  $\sum (\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n})=\sum \frac{2}{n}$ diverge.
\section{Séries de termos positivos}
Uma série $\sum a_n$ é uma série de termos positivos se $a_n\geq 0$ para todo $n\in \mathbb{N}$. Note que quando $\sum a_n$ é uma série de termos positivos então a sequência de somas parciais $(S_n)$ dessa série é crescente, isto é, 
\[
S_1\leq S_2 \leq \cdots \leq S_n \leq \cdots
\]
logo, para que a série $\sum a_n$ convirja bast mostrar que $(S_n)$ é limitada.

\begin{theorem}[Teste de comparação] Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$  séries de termos positivos. Temos que:
\begin{enumerate}
\item se $a_n\leq b_n$ , para todo $n$ e se $\sum b_n$ converge então $\sum a_n$ converge.
\item se $a_n\geq b_n$, para todo $n$ e se $\sum b_n$ diverge então $\sum a_n$ diverge.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof} Suponha que $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sejam séries de termos positivos, com $\sum b_n$ convergente e suponha que 
\[
a_n\leq b_n, \,\,\,\forall n\in \mathbb{N}
\]
seja $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ e $T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$ então
\[
S_n\leq T_n
\]
como $\sum b_n$ converge então $\lim T_n$ existe. Logo $(T_n)$ é limitada, desse modo, existe $M>0$ tal que $T_n\leq M$. Assim,
\[
S_n\leq M, \,\,\,\, \forall n
\]
segue $(S_n)$ é convergente, logo $\sum a_n$ converge.
Por outro lado, se $\sum b_n$ diverge e $a_n\geq b_n, \,\,\, \forall n$, então
\[
S_n\geq T_n, \,\,\,\forall n
\]
como $\sum b_n$ diverge então $\lim T_n=+\infty$. Desse modo,
$\lim S_n \geq \lim T_n \Rightarrow \lim S_n =+\infty$ o que implica $\sum a_n$ diverge.
\end{proof}
\begin{example} 
Mostre que a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}$ diverge.
\end{example}
De fato, note que 
\[
n+\sqrt{n}<2n \Rightarrow \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}>\dfrac{1}{2n}
\]
como $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2n}$ diverge então pelo teste de comparação segue que $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}$ também diverge.

\begin{example}
Analise sobre a convergência ou divergência da série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3+n^2}$.
\end{example}
Solução: Note que $n^3+n^2>n^2+n$ o que implica em
\[
\dfrac{1}{n^3+n^2}<\dfrac{1}{n^2+n}, \,\,\,\forall n
\]
como $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ converge então pelo teste de comparação a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3+n^2}$ converge.


\begin{theorem}[Teste da Integral]
Seja $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ contínua e suponhamos que $f$ é positiva e decrescente então: 
\begin{enumerate}
\item a série $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ é convergente se  $\int_1^{\infty} f(x)dx$ for convergente,
\item a série $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$  é divergente se $\int_1^{\infty} f(x)dx$  for divergente.
\end{enumerate} 
\end{theorem}
\begin{proof} Seja $f(x)$ função monótona decrescente e positiva. Temos que
\[
f(2)+f(3)+\cdots+f(n)\leq \int_1^n f(x)dx\leq f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)
\]
ou
\[
S_n\leq f(1)+\int_1^n f(x)dx
\]
ou ainda
\[
S_n\leq f(1)+\int_1^n f(x)dx\leq f(1)+\int_1^{\infty} f(x)dx
\]
logo $S_n$ é limitada então $S_n$ é convergente, portanto, $\sum f(n)$ converge.
De modo análogo,como
\[
\int_1^n f(x)dx \leq S_{n-1} 
\]
se $\int_1^{\infty} f(x)dx=+\infty$ então
$\lim S_{n-1}=+\infty$, logo, $\sum f(n)$ diverge.\end{proof}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item Seja $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ temos que $f(x)$ é positiva e decrescente já que $f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}$. A integral $\int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2}dx$ converge e, portanto, $\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge.
\item $f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$  atende às condições expostas mas $\int_2^{\infty} \dfrac{1}{x \ln x}=\lim_{B\to \infty} [\ln (\ln x))]_2^B=+\infty$, logo $\sum \dfrac{1}{n \ln n}$ diverge.

\item Tomando $f(x)=xe^{-x^2}$, $\int_1^{\infty} x e^{-x^2} dx=\dfrac{1}{2e}$ o que implica $\sum ne^{-n^2}$ converge.
\end{enumerate}
\end{example}

A série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$ é uma \textbf{p-série}. Analisemos sobre a convergência ou divergência dessa série. Temos o seguinte resultado.

\begin{theorem}
A p-série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1.$
\end{theorem}
\begin{proof} Calculemos a integral, 
\[
\int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^p}dx=\lim_{B\to \infty} \int_1^B  \dfrac{1}{x^p}dx=\lim_{B\to \infty} [B^{1-p} -1], \,\, p\neq 1
\]
se $p<1$ , temos que o $\lim_{B\to \infty} B^{1-p}=+\infty$, se $p>1$ então $\lim_{B\to \infty} B^{1-p}=0.$
\end{proof}

\begin{theorem}[Forma limite do teste de comparação] 
Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ duas séries de termos positivos e seja $l=\lim \dfrac{a_n}{b_n}.$
\begin{enumerate}
\item se $l>0$ então ou ambas as séries $\sum a_n $ e $\sum b_n$ convergem ou ambas divergem
\item se $l=0$ e $\sum b_n$ converge então $\sum a_n$ converge.
\item se $l=+\infty$ e $\sum b_n$ diverge então $\sum a_n$ diverge.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof} Fixado $\epsilon=l/2$ podemos encontrar $n_0$ tal que 
\[
\dfrac{l}{2}b_n \leq a_n \leq \dfrac{3}{2}lb_n, \forall n\geq n_0 
\]
assim, usando o teste de comparação provamos a primeira parte do teorema. Pois se $\sum b_n$ converge então $\sum  (\dfrac{3}{2}l) b_n$ também converge e como $a_n\leq (\dfrac{3}{2}l)b_n$ para todo $n$ segue o resultado. Por outro lado, se $\sum b_n$ diverge como $\dfrac{l}{2}b_n \leq a_n$ para todo $n$, segue que $\sum a_n$ diverge, já que $\sum (l/2)b_n$ diverge. \end{proof}
\begin{example} Considere a série $\sum \dfrac{6\sqrt{n}}{5n+4}.$ Ela converge ou diverge?
\end{example}
Solução: Para encontrar uma série que possamos comparar com a série dada olhamos os termos que dominam no numerador e denominador da série original, neste caso, escolhemos $\sum \dfrac{\sqrt{n}}{n}=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ para comparar com a série dada,  já sabemos que a série $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ é uma p-série com $p=1/2<1$ logo, diverge. E como $\lim_{n\to \infty} \dfrac{6\sqrt{n}}{5n+4}\sqrt{n}=\dfrac{6}{5}>0$ então pela forma limite do teste de comparação segue que 
$\sum \dfrac{6\sqrt{n}}{5n+4}$ diverge.
\begin{example}
As séries $\sum e^{-n^2}$ e $\sum \sen^4(\dfrac{1}{n})$  convergem ou divergem?
\end{example}
Solução: Como 
$\lim e^{-n^2}/1/n^2=0$ e $\lim \dfrac{\sen^4 (\frac{1}{n})}{1/n^4}=1$ então ambas as séries convergem, pela forma limite do teste de comparação, já que as séries $\sum 1/n^2$ e $\sum 1/n^4$ convergem.

\begin{theorem}[Reagrupamento]
O reagrupamento de séries de termos positivos que sejam convergentes não altera a convergência da série.
\end{theorem}
Dadas duas séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ convergentes então $\sum a_n b_n$ não é necessariamente convergente. Além disso, 
\[\sum a_n b_n \neq \sum a_n \sum b_n=\sum c_n\]
onde
\[
\sum_{n=0}^{\infty} c_n=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j}
\]
\begin{example}
Temos que a série $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge mas $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=\sum 1/n$ diverge. 
\end{example}

\section{Séries Alternadas}
Séries do tipo $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ ou $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^(n-1) a_n$
com os termos $a_n\geq 0$ para todo $n$ é dita \textbf{série alternada}. Ou seja,
\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n=-a_1+a_2+\cdots+(-1)^n a_n+ \cdots
\]
\begin{theorem}[Critério de Leibniz]
Seja $\{a_n\}$ uma sequência de termos positivos com as propriedades:
\begin{enumerate}
\item $\lim_{n\to \infty} a_n=0.$
\item $a_1\geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq \cdots,$ isto é, $(a_n)$ monótona decrescente.
\end{enumerate}
Então a série alternada $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ converge.
\end{theorem}
\begin{proof} Considere a série alternada $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n$, temos que
\[
S_{2n}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots+(a_{2n}-a_{2n-1})
\]
ou seja, $(S_{2n})$ é monótona crescente, e reagrupando seus termos temos
\[
S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-(a_3-a_4)-\cdots-(a_{2n-1}-a_{2n})\leq a_1
\]
logo, $(S_{2n})$ é limitada, segue que existe $S=\lim S_{2n}$. Agora, como
\[
S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}
\]
passando o limite 
\[
\lim_{n\to \infty} S_{2n+1}=\lim_{n\to \infty} S_{2n}+ \lim_{n\to \infty} a_{2n+1}=S+0
\]
logo, o $\lim_{n\to \infty} S_n=S$, portanto $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ converge.\end{proof}
\begin{example}
A série $\sum \frac{(-1)^n}{n} $ converge, pois o $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0$ e $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}, \,\,\, \forall n$.
\end{example}
\begin{example}\label{exemp2}
A série $\sum \frac{(-1)^n}{n5^n}$  converge pelo teste de Leibniz.
\end{example}
\begin{example} 
A série $\sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2-5}$  converge também pelo Teste de Leibniz.
\end{example}
\begin{theorem}
O erro que se comete ao se aproximar a soma da série $\sum (-1)^n a_n$ por $S_n$ é de $a_{n+1}$.
\end{theorem}
\begin{proof} De fato,
\[
|S_n -S|=|\sum_{k=n+1}^{\infty}(-1)^k a_k|=|(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}+\cdots|
\]
\[
=|(-1)^{n+1}[a_{n+1}-a_{n+2}+\cdots]|
\]
\[
=a_{n+1}-a_{n+2}+a_{n+3}-a_{n+4}+\cdots\leq a_{n+1}.
\]
\end{proof}
\begin{example}
Para a série do exemplo \ref{exemp2}  temos que
\[
S_4=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{325}+\dfrac{1}{2500}\approx -0,18
\]
o erro cometido para essa aproximação foi $a_5=\dfrac{1}{15625}\approx 64\times 10^{-6}$
\end{example}

\section{Convergência Absoluta}
Uma série $\sum a_n$ \textbf{converge absolutamente} se a nova série $\sum |a_n|$ converge. Por exemplo, a série $\sum \frac{(-1)^n}{2^n}$ converge absolutamente pois a série $\sum \frac{1}{2^n}$ é uma série geométrica de razão $r=1/2$ e, portanto, convergente.
\begin{theorem}[Convergência absoluta]
Se uma série $\sum a_n$ é absolutamente convergente então ela é convergente.
\end{theorem}
\begin{proof} Suponha que $\sum a_n$ converge absolutamente então $\sum |a_n|$ converge. Podemos considerar $b_n=a_n+|a_n|$ como $-|a_n|\leq a_n \leq |a_n|$ então
\[
0\leq b_n\leq 2|a_n|
\]
Logo, $\sum b_n$ converge pelo teste de comparação. Então
\[
\sum a_n=\sum (a_n+|a_n|)-|a_n| 
\]
converge. \end{proof}
Uma série $\sum a_n$ tal que $\sum |a_n|$ diverge é dita \textbf{condicionalmente convergente}. Por exemplo, a série $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge pelo teste das séries alternadas mas a série $\sum  |\frac{(-1)^n}{n}|=\sum  \frac{1}{n}$ diverge. Logo, a série $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ é condicionalmente convergente.

\begin{example}
A série $\sum \frac{\sen n}{n^2}$ converge ou diverge?
\end{example}
Solução: Note que
\[
|\sen n|\leq 1 
\]
daí
\[
\frac{|\sen n|}{n^2}\leq \frac{1}{n^2}
\]
portanto $\sum \frac{|\sen n|}{n^2}$ converge, pelo teste de comparação, logo, a série $\sum \frac{\sen n}{n^2}$ converge absolutamente.
\section{Teste da Razão e da Raíz}

\begin{theorem}[Teste da Razão]
Consideremos uma série $\sum a_n$ com e seja $l=\lim_{n\to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|.$
\begin{enumerate}
\item se $l<1$ então a série $\sum a_n$ converge absolutamente.
\item se $l>1$ ou $l=\infty$ então $\sum a_n$ diverge.
\item se $l=1$ nada se pode concluir.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof} Se $\lim_{n\to \infty} |\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=l<1$ então existe um número real $0<r<1$ tal que
\[
|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|<r,  \,\, \forall n>n_0
\]
desse modo
\[
|a_{n_0+k}|\leq r^k |a_{n_0}|, \,\, \forall k\geq 1
\]
Como $\sum r^k $ é convergente então $\sum |a_{n_0}|r^k$ também converge e $\sum_{n=n_0+1}^{\infty} |a_n|$ converge pelo teste de comparação, logo, $\sum_{n=n_0+1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente, o que implica que $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente (um número finito de termos não altera a convergência ou divergência da série). Se, por outro lado, $l>1$, então $|a_{n+1}|>|a_n|$ e se, $a_{n_0}\neq 0$ para algum $n_0$ então, $\lim_{n\to \infty} |a_n|\neq 0$ o que nos dá $\lim_{n\to \infty} a_n\neq 0$. Logo, $\sum a_n$ diverge (teste do n-ésimo termo).
\end{proof}

\begin{example}
Considere a série as séries $\sum \frac{3^n}{n!}$ e $\sum  \frac{3^n}{n^2}$ analise sobre a convergência ou divergência dessas séries.
\end{example}
Solução: Pelo teste da razão, temos
\[
\lim_{n\to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!}\dfrac{n!}{3^n}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{3}{n+1}=0<1
\]
então a série $\sum \frac{3^n}{n!}$ converge pelo teste da razão. E como
\[
\lim_{n\to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{(n+1)^2}\dfrac{n^2}{3^n}=3>1
\]
 então a série  $\sum  \frac{3^n}{n^2}$ diverge pelo teste da razão.
\begin{example}
Considere a série $\sum (-1)^n \dfrac{n^2+4}{2^n}$ ela converge ou diverge?
\end{example}
Solução:
Usando o teste da razão temos
\[
\lim_{n\to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{(-1)^{n+1} [(n+1)^2 +4]}{2^{n+1}}\dfrac{2^n}{(-1)^n (n^2+4)}\right|=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2}\displaystyle(\dfrac{n^2+2n+5}{n^2+4})=\dfrac{1}{2}<1
\]
o que implica que a série converge.
\begin{theorem}[Teste da Raíz]
Seja $\sum a_n$ uma série numérica. Seja $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=l$. Temos que
\begin{enumerate}
\item se $l<1$ então $\sum a_n$ converge absolutamente.
\item se $l>1$ então $\sum a_n$ diverge.
\item se $l=1$ nada se conclui.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof} Suponha $l<1$ então existe $0<r<1$ tal que
\[
\sqrt[n]{|a_n|}<r, \,\,\,\forall n>n_0
\]
ou 
\[
|a_n|<r^n, \,\,\, \forall n>n_0
\]
como $\sum r^n $ converge segue que $\sum |a_n|$ converge e, portanto, $\sum a_n$ converge absolutamente. Por outro lado, se $l>1$ então  existe $r>1$ tal que 
\[
\sqrt[n]{|a_n|}>r, \,\,\,\forall n>n_0
\]
ou
\[
|a_n|>r^n, \,\,\, \forall n>n_0
\]
como $\lim_{n\to \infty} r^n=+\infty$ então $\lim_{n\to \infty} |a_n| =+\infty$ o que implica $\sum a_n$ diverge (Por quê?).\end{proof}
\begin{example}
Considere a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$. Pelo teste da raíz: $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{n}{2^n}}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt[n]{n}}{2}=\dfrac{1}{2}<1$. Logo, $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ converge absolutamente.
\end{example}
\begin{example}
A série $\sum \dfrac{n^n}{2^n}$ diverge pois, usando o teste da raíz, temos que $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{n^n}{2^n}}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{n}{2}=+\infty$.
\end{example}
\begin{example} A série $\sum \dfrac{1}{n}$ diverge e a série $\sum \dfrac{1}{n^2}$ convergente mas
$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}}=1,$ e o limite
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n^2}}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{\sqrt[n]{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2/n}}=1.$ Se usarmos o teste da razão para essas mesmas séries obtemos resultados semelhantes do limite, ou seja, o limite será igual a $1.$ Por isso, quando $l=1$ o resultado é inconclusivo, pois a série tanto pode convergir como divergir.
\end{example}
\chapter{Séries de Potências}
\section{Séries de Potências}
Uma série de potências de $x$ é uma série do tipo
\[
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots
\]
\begin{example}
A série 
\[
\sum_{n=0}^{\infty} x^n=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots
\]
é uma série de potências de $x$. Observe que ela é uma série geométrica de razão $r=x$. Como a série geométrica só converge se $|r|<1$ então a série  $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ só converge se $|x|<1.$ Neste caso, sua soma é $S=\dfrac{1}{1-x}.$ Podemos então afirmar que 
\[
\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots, \,\,\, |x|<1.
\] 
\end{example}
Dada uma série de potências de $x$, $\sum a_n x^n$, usando o teste da razão temos que
\[
\lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|=|x| \lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|l<1
\]
logo, $|x|<\dfrac{1}{l}=R$, $R$ é o raio de convergência da série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$.
\begin{theorem}
Seja $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ uma série de potências de $x$.  Se $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge para um certo $c\neq 0$ e diverge para um certo $d\neq 0$ com $|c|<|d|$. Então $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge absolutamente para todo $x$ tal que $|x|<|c|$ e diverge para todo $x$ tal que $|x|>|d|$.
\end{theorem}
\begin{proof} Seja a série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ tal que ela converge para $x=c$ e diverge para $x=d$ com 
$|c|<|d|$. Considere $x$ tal que $|x|<|c|$ temos que
\[
\sum_{n=0}^{\infty} |a_n ||x|^n=\sum_{n=0}^{\infty} |a_n c^n| \left(\frac{|x|}{|c|}\right)^n
\]
como $\sum_{n=0}^{\infty} a_n c^n$ converge então devemos ter que $lim_{n\to \infty}|a_n c^n|=0$, podemos então tomar $n_0$ tal que $|a_n c^n|<1$ para todo $n>n_0$ desse modo,
\[
 |a_n||x|^n= |a_n c^n| \left(\frac{|x|}{|c|}\right)^n<\left(\frac{|x|}{|c|}\right)^n,\,\,\,\forall n>n_0
\]
como $|x|<|c|$ então $ |\dfrac{x}{c}|<1$ e a série $\sum_{n=n_0}^{\infty} \left|\frac{x}{c}\right|^n$ é uma série geométrica convergente. Desse modo, a série $\sum_{n=n_0}^{\infty} |a_n ||x|^n$ converge, o que implica que a série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge absolutamente para todo $|x|<|c|$. Agora suponha que $x$ seja tal que $|x|>|d|$ se, por absurdo, supomos que exista algum $x_1$ com $|x_1|>|d|$ e $\sum a_n x_1^n $ convirja, então pelo que acabamos de mostrar essa série deve convergir para todo $x$ tal que $|x|<|x_1|$ assim, como, $|d|<|x_1| $ então $\sum a_n d^n$ converge, o que é um absurdo. Então para todo $x$ tal que $|x|>|d|$ a série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ diverge.
\end{proof}
\begin{theorem}
Seja $\sum a_n x^n $ uma série de potências de $x$. Então somente uma das alternativas abaixo deve ocorrer.
\begin{enumerate}
\item A série converge somente para $x=0$ (R=$0$)
\item A série converge para todo $x$ real. (R=$\infty$)
\item Existe $R>0$ tal que a série $\sum a_n x^n $ converge para todo $x$ tal que $|x|<R$ e diverge para todo $x$ tal que $|x|>R$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof} Se não ocorre a primeira nem a segunda situação então existe um $x_1\neq 0$ onde $\sum a_n x_1^n $ converge e um $x_2\neq 0$ com $|x_1|<|x_2|$ onde $\sum a_n x_2^n $ diverge. Seja 
\[
S=\{ x\in \mathbb{R}| \sum a_n x^n \quad \mbox{converge}\}
\]
é claro que $|x_2|$ é uma cota superior de $S$, tomemos então $R=\sup S.$ Provemos que se $|x|<R $ então $x\in S$. De fato, se $|x|<R$ então $x$ não pode ser cota superior de $S$ já que $R$ é a menor das cotas superiores, então deve ter um elemento $x_0$ de $S$ tal que $|x|\leq|x_0|$ então pelo teorema anterior $x\in S$. Também se $x$ não pertencesse a $S$ então $\sum a_n x^n $ divergiria e $x$ seria uma cota superior de $S$ o que contradiz o fato de $R$ ser a menor delas, já que $|x|<R$. Por outro lado, se $|x|>R$ então $\sum a_n x^n $ deve divergir, pois se $\sum a_n x^n $ convergisse $R$ não seria uma cota superior de $S$ o que é absurdo já que $R=\sup S$.
\end{proof}


$R$ é o raio de convergência da série $\sum a_n x^n$. Já o \textbf{intervalo de convergência} da série é um dos seguintes intervalos:
\[
(-R, R),\,\, (-R,R],\,\, [-R,R), \,\, [-R,R]
\]
fora desses intervalos a série sempre diverge. E o intervalo $(-R,R)$ é sempre o intervalo de convergência absoluta da série.
\begin{theorem}\label{derint}
Seja $\sum a_n x^n$ uma série de potências de $x$. Se essa série tem raio de convergência $R$. Então ela pode ser derivada termo a termo ou integrada termo a termo, isto é,
\[
\dfrac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)=\dfrac{d}{dx}\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots \right)\]\[
=a_1 +2a_2 x+3a_3 x^2 + \cdots+n a_n x^{n-1}+\cdots
=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}
\]
e
\[
\int_0^x \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\right) dt=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x t^n dt=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1}
\]
essas novas séries obtidas têm o mesmo raio de convergência da série original.
\end{theorem}

\begin{example} Obtenha uma série de potências de $x$ que represente a função $f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}.$
\end{example}
Solução: Observe que
\[
\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}
\]
como
\[
\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots
\]
usando o teorema \ref{derint} obtemos
\[
-\dfrac{1}{(1+x)^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-1+2x-3x^2+\cdots+(-1)^n n x^{n-1}+\cdots\,\,\, |x|<1.
\]
\begin{example}
Obtenha uma série de potências de $x$ que represente a função $\ln (1+x)$.
\end{example}
Solução: Note que
\[
\ln(1+x)=\int_0^x \dfrac{1}{1+t}dt
\]
como 
\[
\dfrac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^n, \,\,\,  |t|<1
\]
o que nos leva a 
\[
\ln x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1},\,\,\, |x|<1
\]
O intervalo de convergência dessa série é $(-1,1]$. Isso, porque quando escolhemos $x=-1$ na série de $\ln (1+x)$ obtemos a série numérica $-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n+1}$ que é divergente, por outro lado, se fazemos $x=1$ na série de $\ln (1+x)$ obtemos a série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1}$ que converge pelo teste de Leibniz.
\begin{example}
 A série $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$ é absolutamente convergente para todo $x$ real. Que função essa série representa?
\end{example}
Solução:De fato,vemos que 
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\dfrac{n!}{x^n} \right|=\lim_{n \to \infty} \dfrac{|x|}{n+1}=0<1
\]
então pelo teste da razão essa série converge absolutamente para todo $x$ real.
Suponha que a série acima  represente uma função $f(x)$, ou seja,
$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}.$ Derivando a função $f(x)$ obtemos
\[
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \dfrac{x^{n-1}}{n!}
\]
ou
\[
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}
\]
ou ainda
\[
f'(x)=f(x)
\]
daí
\[
\dfrac{f'(x)}{f(x)}=1
\]
integrando a igualdade acima obtemos
\[
\ln f(x)=x+c_0
\]
ou 
\[
f(x)=Ce^x,\,\,\, (C=e^c_0 \,\,\,\mbox {é uma constante})
\]
como $f(0)=1$ obtemos $C=1$ e $f(x)=e^x$, portanto, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}=e^x$.

Uma série de potências de $x-x_0$ é uma série do tipo
\[
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n=a_0+a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2+\cdots+a_n (x-x_0)^n+\cdots
\]
Todos os resultados que obtivemos para as séries de potências de $x$ são válidos para as séries de potências de $x-x_0$ com as devidas adaptações.
\begin{example}
Da série 
\[
\dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \,\,|x|<1\]
 obtemos
\[
\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, \,\,|x|<1
\]
integrando termo a termo, de $0$ a $x$ para $|x|<1$, temos
\[
\arctg x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}, \,\,\, |x|\leq 1 
\]
\end{example}

\begin{example}
Considere a série $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n+1}}{n}$ analisemos sobre o intervalo de convergência dessa série.
\end{example}
Solução: Usando o teste da razão
\[
\lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{(x-3)^{n+2}}{n+1}\dfrac{n}{(x-3)^{n+1}}\right|=\lim_{n\to \infty} |x-3|\dfrac{n}{n+1}=|x-3|
\]
essa série converge absolutamente se $|x-3|<1$, que equivale a $2<x<4$ e diverge fora desse intervalo. No caso em que $|x-3|=1$ que corresponde a $x=2$ e $x=4$, quando substituimos $x=2$ nessa série obtemos $\sum \dfrac{(-1)^n}{n}$ que converge e para $x=4$ obtemos a série $\sum \dfrac{1}{n}$ que diverge. Logo, o intervalo de convergência da série $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n+1}}{n}$ é o intervalo $2\leq x<4.$

\section{Séries de Taylor}
Quando uma função é representada por uma série de potências então podemos ter
\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+ a_n x^n+\cdots
\]
Levantamos então as seguintes questões: que relação há entre $f(x)$ e os coeficientes da série $a_n$? Em que situação essa série representa realmente a função $f(x)$?
Em relação à primeira questão temos que se $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$  e se $f(x) \in C^{\infty}$ então $f(0)=a_0$ e, como $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ então $f'(0)=a_1$, como $f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}$ então $f''(0)=2! a_2$, e assim por diante, seguindo esse mesmo raciocínio obtemos $f^{(n)}(0)=n! a_n$ então podemos concluir que
\[
f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 +\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots
\]
essa série é conhecida como \textbf{série de Maclaurin}  da função $f$. A \textbf{série de Taylor} de $f$  em torno de um ponto $x_0$ é
\[
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots
\]
onde os $a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$, para todo $n\geq 0$, aqui usa-se a convenção de que $f^{(0)}(x_0)=f(x_0)$. A série de Maclaurin de uma função $f$ nada mais é que a sua série de Taylor em torno do ponto $x=0.$
\begin{example}
Achar a série de Maclaurin da função $f(x)=\sen x$.
\end{example}
Solução: Temos que
\[
\begin{cases}
f(x)=\sen x \Rightarrow f(0)=\sen 0=0\\
f'(x)=\cos x \Rightarrow f'(0)=\cos 0=1\\
f''(x)=-\sen x \Rightarrow f''(0)=-\sen 0=0\\
f'''(x)=-\cos x \Rightarrow f'''(0)=-\cos 0=-1\\
f^{(iv)}(x)=\sen x \Rightarrow f^{(iv)}(0)=\sen 0=0
\end{cases}
\]
só os termos ímpares são diferentes de zero, analisemos esses termos
\[
\begin{cases}
f^{(1)}(0)=f^{(2.0+1)}(0)=(-1)^0=1\\
f^{(3)}(0)=f^{(2.1+1)}(0)=(-1)^1=-1\\
f^{(5)}(0)=f^{(2.2+1)}(0)=(-1)^2=1\\
\vdots \\
f^{(2.k+1)}(0)=(-1)^k
\end{cases}
\]
assim
\[
\sen x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots
\]
Essa é a série de Maclaurin da função $f(x)=\sen x$.
Com a série de Maclaurin da função $f(x)=\sen x$ podemos encontrar a série de Maclaurin da função $f(x)=\cos x$, por derivação termo a termo,
\[
\cos x=\dfrac{d}{dx}(\sen x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+\cdots
\]
\begin{example}
Encontre a série de Taylor da função $\ln x$ em torno de $x=1$.
\end{example}
Solução: Temos
\[
\begin{cases}
f(x)=\ln x \Rightarrow f(1)=\ln 1=0\\
f'(x)=\dfrac{1}{x} \Rightarrow f'(1)=1\\
f''(x)=\dfrac{-1}{x^2} \Rightarrow f''(1)=-1\\
f'''(x)=\dfrac{2}{x^3} \Rightarrow f'''(1)=2\\
f^{(iv)}(x)=-\dfrac{3!}{x^4} \Rightarrow f^{(iv)}(1)=-3!\\
\vdots \\
f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n} \Rightarrow f^{(n)}(1)=(-1)^{n-1} (n-1)!
\end{cases}
\]
logo,
\[
\ln x=(x-1)-\dfrac{(x-1)^2}{2}+\dfrac{(x-1)^3}{3}-\dfrac{(x-1)^4}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^n(x-1)^n}{n}+\cdots
\]
com $|x-1|<1.$

\subsection{Polinômios de Taylor}
O \textbf{polinômio de Taylor} de uma função $f(x)$ em torno de $x=a$ é
\[
P_{n,a}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{n!}(x-a)^k
\]
O \textbf{polinômio de Maclaurin} de $f$ é:
\[
P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(0)}{n!}x^k
\]
que é o polinômio de Taylor de $f$ em torno do ponto $x=0.$
Por exemplo, o polinômio de Maclaurin de $f(x)=\exp x$ é 
\[
P_n(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}.
\]
\begin{theorem}[Fórmula de Taylor com resto]
Seja $f(x)$ uma função de classe $C^{\infty}$ num intervalo que contém $a$. Dado qualquer $x$ nesse intervalo existe um número real $\xi$ entre $a$ e $x$ tal que
\[
f(x)=P_{n,a}(x)+R_n (x)
\]
onde $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^n,$
e
\[
P_{n,a}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
\]
Além disso, a sequência $P_{n,a}(x)$ converge para $f(x)$ quando $n\to \infty$ se, e somente se, $\lim_{n\to \infty} R_n (x)=0.$
\end{theorem}
\begin{proof}
Considere a função $G:[a,x]\to \mathbb{R}$ dada por
\[
G(t)=f(x)-[f(t)+f'(t)(x-t)+\dfrac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n]-R_n(x)\dfrac{(x-t)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}}
\]
com $a$ e $x$ fixos, onde $R_n(x)=f(x)-P_{n,a}(x).$ Observe que $G$ satisfaz as seguintes propriedades:
\begin{enumerate}
\item $G(a)=f(x)-P_{n,a}(x)-R_n(x)=0$
\item $G(x)=0$
\item $G$ é contínua no intervalo fechado $[a,x]$ e derivável no intervalo aberto $(a,x)$. 
\end{enumerate}
Logo, pelo teorema de Rolle existe um $\xi$ tal que $\xi$ está entre $a$ e $x$ tal que $G'(\xi)=0.$ Mas 
\[
G'(t)=\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n-(n+1)R_n(x)\dfrac{(x-t)^{n}}{(x-a)^{n+1}}
\]
e, portanto, $G'(\xi)=0$ implica em $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^n.$ 

Note que a soma parcial de ordem $n$ da série $\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ é $S_n=P_{n,a}(x)$. Logo,
\[
\lim_{n\to \infty} S_n=\lim_{n\to \infty} P_{n,a}(x)=\lim_{n\to \infty}[f(x)-R_n(x)]=f(x)
\]
Logo,
\[
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
\]
\end{proof}
\begin{example}
Mostre que a série de potências $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$ realmente representa a função $f(x)=e^x$ para todo $x$ real.
\end{example}
Solução: Ja vimos que $e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$. Falta mostrar que esta série realmente representa a função exponencial $e^x$. Pela Fórmula de Taylor com resto, temos que
\[
e^x=P_n(x)+R_n(x)
\]
onde 
\[
P_n(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}
\]
e 
\[
R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x)^{n+1}=\dfrac{e^{\xi}x^{n+1}}{(n+1)!}
\]
onde $\xi$ está entre $0$ e $x$. Como $\lim_{n\to \infty} \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}=0$ então
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{e^{\xi}x^{n+1}}{(n+1)!}  \right|=0.
\]
Logo, realmente a série representa a função $e^x.$

\begin{example}
Analise se a série da função $f(x)=\sen x$ realmente a representa.
\end{example}
Solução: Temos que
\[
f(0)=0, \, \, f'(0)=1, \,\, f''(0)=0, \,\, f'''(0)=-1, \cdots .
\]
Além disso, 
\[
f^{(n+1)}(\xi)=\begin{cases}
\pm \sen \xi, \,\, n \,\, \mbox{par}\\
\pm \cos \xi, \,\, n \,\, \mbox{ímpar}
\end{cases}
\]
e o resto
\[
|R_n(x)|=\left| \dfrac{f^{(n+1)} (\xi) x^{n+1}}{(n+1)!}\right|\leq \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
\]
e, $\lim_{n\to \infty} |R_n(x)|=0 \Rightarrow  \lim_{n\to \infty} R_n(x)=0$ e portanto, a série do $\sen x$ representa essa função.

\begin{remark} Uma função $f(x)$ é \textbf{analítica} em $x=a$ quando ela puder ser representada por sua série de Taylor em algum intervalo aberto em torno de $a$.
\end{remark}

Um outro resultado que podemos deduzir da fórmula $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$  é que se aproximarmos o valor de $f(x)$ por $P_n(x)$ o erro que cometemos é da ordem de $|R_n(x)|.$
\begin{example}
Encontre o valor aproximado de $e^{-0.04}$  com erro menor que $5\times 10^{-4}$.
\end{example}
Solução: Temos que 
\[
e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+R_n(x)
\]
se aproximarmos 
\[
e^{-0,04}\approx 1-0,04+\dfrac{(0,04)^2}{2!}
\]
então o erro que cometemos será de
\[
|R_3 (-0,04)|\leq \dfrac{|(-0,04)^3}{3!}\approx \dfrac{0,000064}{3!}.
\]

\subsection{Série Binomial}
Binômio de Newton
\[
(x+y)^k=x^k +kx^{k-1}y+\dfrac{k(k-1)}{2!} x^{k-2}y^2+\cdots+y^k
\]
 ou simbolicamente,
 \[
 (x+y)^k=\sum_{j=0}^k {k \choose j} x^j y^{k-j};
 \]
onde 
\[
{k \choose j} =\dfrac{k!}{j!(k-j)!}
\]
fazendo nesta fórmula $y=1$, obtemos
\[
(1+x)^k=1+kx+\dfrac{k(k-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{k(k-1)\cdots (k-j+1)}{j!}x^j+\cdots +x^k
\]
Motivado por essa fórmula, procuramos um desenvolvimento em série de potências para a função $f(x)=(1+x)^{\alpha}$ , onde $\alpha$ é um número real qualquer.A \textbf{série binomial} é definida como
\[
1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots
\]
o n-ésimo termo dessa série é
\[
a_n=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n
\]
logo,
\[
\lim_{n\to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to \infty} |x| \dfrac{|\alpha-n|}{n+1}=|x|
\]
portanto, a série binomial converge absolutamente quando $|x|<1$ e diverge se $|x|>1$. Se tal série converge para uma função $g$ então devemos ter que
\[
g(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n
\]
e, por derivação termo a termo
\[
g'(x)=\alpha+\alpha(\alpha-1)x+\cdots+\dfrac{n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n-1}
+\cdots
\]
desse modo,
\[
g'(x)+xg'(x)=\alpha g(x)
\]
ou
\[
(1+x)g'(x)-\alpha g(x)=0
\]
daí
\[
\dfrac{d}{dx}\left[ \dfrac{g(x)}{(1+x)^{\alpha}}\right]=\dfrac{(1+x)g'(x)-\alpha g(x)}{(1+x)^{\alpha+1}}
\]
ou
\[
 \dfrac{g(x)}{(1+x)^{\alpha}}=c
\]
e como $g(0)=1$ então $g(x)=(1+x)^{\alpha}.$
\begin{example}
Ache a série binomial da função $\sqrt{1+x}.$
\end{example}
Solução: Como $\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$ então
\[
(1+x)^{1/2}=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\cdots+\dfrac{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}-1)\cdots (\dfrac{1}{2}-n+1)}{n!}x^n+\cdots
\]
\[
=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\cdots+(-1)^n \dfrac{1.3.\cdots (2n-3)}{2^n n!}x^n+\cdots
\]
\chapter{S\'{e}ries de Fourier}

\section{Introdu\c{c}\~ao}
As s\'eries de Fourier s\~ao ferramentas muito importante na
resolu\c{c}\~ao de Equa\c{c}\~oes Diferenciais Parciais. Podemos
aplic\'a-las em diversas equa\c{c}\~oes da
F\'{\i}sica-Matem\'atica, principalmente nas equa\c{c}\~oes de
Onda, Calor e Laplace. Vamos desenvolver neste cap\'{\i}tulo toda
a teoria para calcular as s\'eries de Fourier de algumas
fun\c{c}\~oes e depois aplicar o m\'etodo desenvolvido para
resolver as equa\c{c}\~oes acima citadas.

\section{Fun\c{c}\~{o}es Peri\'{o}dicas}

\bigskip

\begin{definition}
Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} peri\'{o}dica de
per\'{\i}odo $T$ se $f\left(  x+T\right)  =f\left(  x\right)  $ para todo $x$.
\end{definition}

\bigskip

\begin{example}
A fun\c{c}\~{a}o $\sen x$ \'{e} peri\'{o}dica de per\'{\i}odo
$2\pi$. Observe a figura \ref{seno}.%

\begin{figure}
[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[
height=1.3759in,
width=2.1465in
]%
{Figura16.eps}
\caption{$y=\sen x$}
\label{seno}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion

\end{example}


\begin{example}
A fun\c{c}\~{a}o $f\left(  x\right)  =x-\left[  x\right]  ,$ onde $\left[
x\right]  $ representa o maior inteiro, menor do que ou igual a $x,$\'{e}
peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $1$. Veja o gr\'{a}fico de $f$ dado pela figura \ref{efe}.

\begin{figure}
[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[
height=1.7772in,
width=4.0188in
]%
{Figura13.eps}
\caption{$f(x)=x-[x]$}
\label{efe}
\end{center}
\end{figure}


\end{example}



\textsf{Observa\c{c}\~{a}o:}

Se $T$ \'{e} um per\'{\i}odo para a fun\c{c}\~{a}o $f$, ent\~{a}o
$2T$ tamb\'{e}m \'{e} um per\'{\i}odo, pois:
\begin{equation*}
f\left(  x+2T\right)  =f\left(  x+T\right)  =f\left(  x\right)
\end{equation*}
E em geral, $kT$ \'{e} um per\'{\i}odo, onde $k$ \'{e} um inteiro.
Para $k=0$, temos que $0$ \'{e} um per\'{\i}odo da $f.$ Mas isso
n\~{a}o tem interesse pois $0$ \'{e} per\'{\i}odo de qualquer
fun\c{c}\~{a}o. O menor per\'{\i}odo positivo \'{e} chamado o
per\'{\i}odo fundamental.

\begin{example}
 O per\'{\i}odo fundamental $T$ da fun\c{c}\~{a}o $\sen%
\left(  \dfrac{n\pi x}{L}\right)  $ pode ser determinado do seguinte modo.
Devemos ter:%
\[
\sen\dfrac{n\pi\left(  x+T\right)  }{L}=\sen%
\dfrac{n\pi x}{L},\forall x\in\mathbb{R}.
\]
Usando a seguinte propriedade trigonom\'{e}trica, $\sen\left(
a+b\right)  =\sen a\sen b+\sen%
b\sen a$, devemos ter:
\begin{equation}
\sen \dfrac{n\pi x}{L}\cos\dfrac{n\pi T}%
{L}+\sen\dfrac{n\pi T}{L}\cos\dfrac{n\pi x}{L}%
=\sen\dfrac{n\pi x}{L} \label{equ1}
\end{equation}
Fazendo  $x=\dfrac{L}{2n},$ na igualdade acima obtemos:%
\begin{equation*}
\sen\dfrac{\pi}{2}\cos \dfrac{n\pi T}{L}=\sen\dfrac{\pi}{2}
\end{equation*}
O que implica:
\begin{equation} \cos\dfrac{n\pi
T}{L}=1 \label{equ2}
\end{equation}, e da\'{\i}, usando a identidade:
$\sen^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,$ obtemos:%
\begin{equation}
\sen\dfrac{n\pi T}{L}=0\label{equ3}
\end{equation}
Como estamos interessados no menor valor positivo de $T$ que
satisfa\c{c}a (\ref{equ2}) e (\ref{equ3}), simultaneamente,
ent\~ao $\dfrac{n\pi T}{L}=2\pi,$isto \'{e}, o per\'{\i}odo
fundamental de $\sen\dfrac{n\pi x}{L}$ \'{e}: $T=\dfrac{2L}{n}.$
(De maneira an\'{a}loga obtemos que o per\'{\i}odo fundamental de
$\cos\dfrac{n\pi x}{L}$ \'{e} tamb\'{e}m $\dfrac{2L}{n}.$)
\end{example}




\section{Coeficientes de Fourier}
\index{coeficiente de Fourier}

 Se uma fun\c{c}\~{a}o $f\left(  x\right)  $ for expressa com:


\begin{equation} f\left(  x\right)
=\dfrac{1}{2}a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(
a_{n}\cos\dfrac{n\pi x}{L}+b_{n}\sen\dfrac{n\pi x}{L}\right)
\label{fourier}
\end{equation}

\'{e} de se esperar que os coeficientes $a_{n}$ e $b_{n}$ estejam intimamente
ligados \`{a} fun\c{c}\~{a}o $f.$

 Vamos supor que a igualdade acima se verifique, e que a
s\'{e}rie em (\ref{fourier}) convirja uniformemente.

 Como consequ\^{e}ncia da Proposi\c{c}\~{a}o 1, $f$ deve ser
cont\'{\i}nua (e portanto, pode ser integrada termo a termo), e
deve ser peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L$ (pois o per\'{\i}odo
fundamental de $\cos\dfrac{\pi x}{L}$ \'{e} $2L $, e $2L$ \'{e}
per\'{\i}odo para as demais fun\c{c}\~{o}es seno e co-seno que
aparecem na s\'{e}rie). Assim, usando a Proposi\c{c}\~{a}o 2,
podemos integrar ambos os lados de (\ref{fourier}) para obter:

\begin{equation}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
 f\left(  x\right)
dx=\dfrac{1}{2}a_{0}
 {\displaystyle\int_{-L}^{L}}
dx+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(  a_{n}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\cos\dfrac{n\pi x}{L}dx+b_{n}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx\right)
\label{coeffourier}
\end{equation}

por outro lado,
\begin{equation*}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx=0
\end{equation*}
pois,
\begin{equation*}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi
x}{L}dx=\dfrac{L}{n\pi}{\displaystyle\int_{-n\pi}^{n\pi}}\sen
udu=-\dfrac{L}{n\pi}\left(  \cos u\right)  ]_{-n\pi}^{n\pi }=0
\end{equation*}
de modo an\'alogo segue que
\begin{equation*}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx=0
\end{equation*}
segue da igualdade  (\ref{coeffourier}) e do exposto acima que
\begin{equation*}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}f\left(  x\right) dx=\frac{1}{2}a_{0}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} dx
\end{equation*}
segue que
\begin{equation}
a_{0}=\frac{1}{L} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)
dx \label{coef1}
\end{equation}
Para calcularmos os demais coeficientes usamos as seguintes
rela\c{c}\~oes:

\begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi
x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=0, \mbox{se} \,n,m\geq 1 \label{rel1}
\end{equation}



\begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi
x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
L,\text{ se }n=m\geq1\\
0,\text{ se }n\neq m,n,m\geq1
\end{array}
\right.\label{rel2}
\end{equation}

\begin{equation}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\sen\dfrac{n\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}%
{L}dx=\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
L,\text{ se }n=m\geq1\\
0,\text{ se }n\neq m,n,m\geq1
\end{array}
\right.\label{rel3}
\end{equation}
por quest\~oes de esclarecimento vamos provar uma dessas
rela\c{c}\~oes, para  $n=m\geq1$ temos:

\[
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos^{2}\dfrac{n\pi
x}{L}dx=\dfrac{L}{n\pi}{\displaystyle\int_{-n\pi}^{n\pi}\cos^{2}udu}=\dfrac{L}{2n\pi}
{\displaystyle\int_{-n\pi}^{n\pi}} \left(  \cos2u+1\right)  du\]
\[=\dfrac{L}{2n\pi}\left[  \left(  \frac{1} {2}\sen 2u\right)
+\left(  u\right)  \right]_{-n\pi}^{n\pi}
  =\dfrac{L}{2n\pi}\left[  n\pi-\left(  -n\pi\right)  \right]
=\dfrac {L}{2n\pi}\left[  2n\pi\right]  =L
\]
Analogamente mostram-se as outras rela\c{c}\~oes.

Agora, multiplicando (\ref{fourier}) por $\cos\dfrac{m\pi x}{L},$
com $m\geq1$ fixo, e integrando de $-L$ a $L$, obtemos:

\[
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+
\]
\[
+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(  a_{n}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi
x}{L}dx+b_{n} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi
x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx\right)
\]
Do somat\'{o}rio acima obtemos
\[
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)  \cos\dfrac{m\pi
x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0} {\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx
\]


\[
+(a_{1}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\cos\dfrac{\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{1}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi
x}{L}dx+...
\]
%

\[
+a_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{m\pi
x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\sen\dfrac{m\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+...)
\]
Usando as rela\c{c}\~oes (\ref{rel1}), (\ref{rel2}) e (\ref{rel3})
expostas acima conclu\'{i}mos que:

\[
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=0+\left(  0+...+a_{m}%
L+b_{m}0+...+0+...\right)
\]
o que nos d\'a
\begin{equation}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)  \cos\dfrac{m\pi
x}{L}dx=a_{m}L \label{coef2}
\end{equation}
De modo an\'alogo, multiplicando (\ref{fourier}) por
$\sen\dfrac{m\pi x}{L},$ com $m\geq1$ fixo, e integrando de $-L$ a
$L$, obtemos:
\[
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+
\]
%

\[
+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(  a_{n}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\cos\dfrac{n\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{n}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\sen\dfrac{n\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}%
{L}dx\right)
\]
da\'{i}
\[
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx
\]


\[
+(a_{1} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{\pi
x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{1} {\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\sen\dfrac{\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+...
\]


\[
+a_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{m\pi
x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\sen\dfrac{m\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+...)
\]
Novamente das rela\c{c}\~oes (\ref{rel1}), (\ref{rel2}) e
(\ref{rel3}) temos:
\[%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)  \sen\dfrac{m\pi
x}{L}dx=0+\left( 0+...+a_{m}0+b_{m}L+...+0+...\right)
\]
segue que
\begin{equation}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=b_{m}%
L \label{coef3}
\end{equation}
Finalmente, de (\ref{coef1}), (\ref{coef2}) e (\ref{coef3})
obtemos:
\begin{equation}
a_{n}=\frac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)  \cos\dfrac{n\pi
x}{L}dx,n\geq0 \label{coeffou1}
\end{equation}


\begin{equation}
 b_{n}=\frac{1}{L} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(
x\right) \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx,n\geq 1\label{coeffou2}
\end{equation}

\begin{definition}
 Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o
peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L,$ integr\'{a}vel e absolutamente
integr\'{a}vel em cada intervalo limitado; em particular, $
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \left\vert f\left(  x\right)
\right\vert dx<\infty.$ Os n\'{u}meros $a_{n}$, para $n\geq0$, e
$b_{n}$, para $n\geq1$, dados em (\ref{coeffou1}) e
(\ref{coeffou2}) s\~{a}o definidos como os coeficientes de Fourier
da fun\c{c}\~{a}o $f.$ (A exig\^{e}ncia da integrabilidade e
integrabilidade absoluta de $f$ \'{e} necess\'{a}ria para que as
express\~{o}es (\ref{coeffou1}) e (\ref{coeffou2}) fa\c{c}am
sentido.)
\end{definition}

Obs.:
\begin{align*}
\left\vert a_{n}\right\vert  &  =\left\vert \frac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx\right\vert \\
&  \leq\frac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
\left\vert f\left(  x\right)  \right\vert \left\vert \cos\dfrac{n\pi x}%
{L}\right\vert dx\leq\frac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} \left\vert f\left(  x\right)
\right\vert dx,
\end{align*}
o que d\'{a} sentido \`{a} integral.

\section{S\'{e}rie de Fourier}
\index{s\'{e}rie de Fourier}

 Dada uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ peri\'{o}dica de
per\'{\i}odo $2L$, integr\'{a}vel e absolutamente integr\'{a}vel,
que possa ser escrita na forma:
\begin{equation}
 f\left(  x\right)
\simeq\dfrac{1}{2}a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(
a_{n}\cos\dfrac{n\pi x}{L}+b_{n}\sen\dfrac{n\pi
x}{L}\right),\label{serfou}
\end{equation}
a express\~{a}o do lado direito \'{e} a s\'{e}rie de Fourier de
$f$.

Que rela\c{c}\~{a}o h\'{a} entre $f$ e sua s\'{e}rie de Fourier? Ser\'{a} que
a igualdade sempre ocorre?

Vamos estudar as condi\c{c}\~{o}es suficientes para que a fun\c{c}\~{a}o $f$
seja igual \`{a} sua s\'{e}rie de Fourier.

\begin{definition}
Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ ser\'{a}
seccionalmente cont\'{\i}nua se ela tiver apenas um n\'{u}mero
finito de descontinuidades (todas de primeira esp\'{e}cie) em
qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados $a<b$,
existem $a\leq a_{1}<a_{2}<...<a_{n}\leq b$, tais que
$f$ \'{e} cont\'{\i}nua em cada intervalo aberto $\left(  a_{j},a_{j+1}%
\right)  ,$ $j=1,...,n-1,$ e existem os limites $f\left(  a_{j}+0\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a_{j}^{+}}f\left(  x\right)  $ e $f\left(
a_{j}-0\right)  =\lim\limits_{x\rightarrow a_{j}^{-}}f\left(  x\right)  .$
\end{definition}



\noindent \textsf{Observa\c{c}\~{a}o:} Toda fun\c{c}\~{a}o
cont\'{\i}nua \'{e} seccionalmente cont\'{\i}nua.

\begin{example}
$f\left(  x\right)  =\dfrac{1}{x},$ $x\neq0,$ n\~{a}o \'{e}
seccionalmente cont\'{\i}nua, pois sua descontinuidade em $x=0$
\'{e} de segunda esp\'{e}cie.
\end{example}

\begin{example}
 A fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ definida por%
\[
f\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
1,\text{ se }x\geq1\\
\dfrac{1}{n},\text{ se }\dfrac{1}{ n+1}\leq x\leq\dfrac{1}%
{n},\text{ }n=1,2,...\\
0,\text{ se }x\leq0
\end{array}
\right.
\]
n\~{a}o \'{e} seccionalmente cont\'{\i}nua, apesar de todas as descontinuidades
serem de primeira esp\'{e}cie; acontece, por\'{e}m, que, no intervalo
$\left(  0,1\right)  $, h\'{a} um n\'{u}mero infinito de tais descontinuidades.
\end{example}

Examples de fun\c{c}\~{o}es seccionalmente cont\'{\i}nuas:

\begin{example}
A fun\c{c}\~{a}o sinal de $x$, definida por%
\[
signx=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
+1,\text{ se }x>0\\
0,\text{ se }x=0\\
-1,\text{ se }x<0
\end{array}
\right.
\]\label{exemp1}
\end{example}



\begin{example}
A fun\c{c}\~{a}o
\[
f\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x+1,\text{ se }x\geq0;\\
0,\text{ se }x<0.
\end{array}
\right.
\]\label{exemp2}
\end{example}



\begin{example}
\ A fun\c{c}\~{a}o%
\[
f\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
1,\text{ se }0\leq x<\pi\\
0,\text{ se }-\pi\leq x<0\\
\text{e peri\'{o}dica de per\'{\i}odo }2\pi
\end{array}
\right.
\]
\label{examplef}
\end{example}



\begin{definition}
 Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ ser\'{a} seccionalmente
diferenci\'{a}vel se ela for seccionalmente cont\'{\i}nua e se a
fun\c{c}\~{a}o derivada $f^{\prime}$ for tamb\'{e}m seccionalmente cont\'{\i}nua.
\end{definition}

Observe que a derivada $f^{\prime}$ n\~{a}o est\'{a} definida em
todos os pontos: com certeza $f^{\prime}\left(  x\right)  $
n\~{a}o existe nos pontos $x$ onde $f$ \'{e} descont\'{\i}nua; e
mais, $f^{\prime}\left( x\right)  $ pode n\~{a}o existir, mesmo em
alguns pontos onde $f$ \'{e} cont\'{\i}nua.

\begin{example}
 As fun\c{c}\~{o}es dos exemplos (\ref{exemp1}) - (\ref{exemplof}) anteriores sa\~{o}
  seccionalmente diferenci\'{a}veis. Vamos pegar
o exemplo (\ref{exemp2}):%
\[
f\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x+1,\text{ se }x\geq0;\\
0,\text{ se }x<0.
\end{array}
\right.  \Rightarrow f^{\prime}\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
1,\text{ se }x\geq0;\\
0,\text{ se }x<0.
\end{array}
\right.
\]
\end{example}



\begin{example}
 A seguinte fun\c{c}\~{a}o \'{e} cont\'{\i}nua, mas n\~{a}o
seccionalmente diferenci\'{a}vel:%
\[
f\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\sqrt{1-x^{2}},\text{ se }\left\vert x\right\vert \leq1\\
\text{e peri\'{o}dica de per\'{\i}odo 2}%
\end{array}
\right.
\]
pois nos pontos onde $f^{\prime}$ \'{e} descont\'{\i}nua, a
descontinuidade \'{e}
de segunda esp\'{e}cie, pois pela regra da cadeia, temos:$f=\sqrt{1-x^{2}%
}\Rightarrow f^{\prime}=\left(  -2x\right)  \dfrac{1}{2}\left(  1-x^{2}%
\right)  ^{-\tfrac{1}{2}}$, da\'{\i}, $f^{\prime}\left(  x\right)  =-\dfrac
{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$, que \'{e} descont\'{\i}nua em $\left\vert x\right\vert
=1$ com ela sendo de segunda espécie.
\end{example}

 Agora enunciamos um resultado que fornece condi\c{c}\~{o}es suficientes
para a converg\^{e}ncia da s\'{e}rie de Fourier de uma
fun\c{c}\~{a}o $f.$
\index{teorema de Fourier}
\begin{theorem}
(Fourier) Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o
seccionalmente diferenci\'{a}vel e periódica de per\'{\i}odo $2L$. Ent\~{a}o
a s\'{e}rie de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f,$ dada em
(\ref{serfou}), converge, em
cada ponto $x$, para:%
\begin{equation}
\dfrac{1}{2}\left[  f\left(  x+0\right)  +f\left(  x-0\right)
\right] =\dfrac{1}{2}a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(
a_{n}\cos\dfrac{n\pi x}{L}+b_{n}\sen\dfrac{n\pi x}{L}\right)
\end{equation}

\end{theorem}


{\large Exerc\'{\i}cio 1}
 Calcular a s\'{e}rie de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f$ definida no
exemplo 3 acima e tra\c{c}ar o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o definida por essa
s\'{e}rie. Compare esse gr\'{a}fico com o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o.

Resolu\c{c}\~{a}o:

 C\'{a}lculo dos coeficientes: $a_{0}=\frac{1}{L}
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  dx\Rightarrow$ onde o per\'{\i}odo da fun\c{c}\~{a}o \'{e}
$2L,$ da\'{\i},


\[
a_{0}=\dfrac{1}{\pi}%
{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}}
f\left(  x\right)  dx=\dfrac{1}{\pi}\left(
{\displaystyle\int_{-\pi}^{0}}
0dx+
{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}
1dx\right)  =\dfrac{1}{\pi}\left(  \pi-0\right)  =1
\]
para $n\neq0,$ temos:

\[
a_{n}=\dfrac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx,n\geq0;\ \ \ b_{n}=\dfrac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx,
\]
da\'{\i},%

\[
a_{n}=\dfrac{1}{\pi} {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f\left(
x\right)  \cos\left( nx\right)  dx=\dfrac{1}{\pi}\left(
{\displaystyle\int_{-\pi}^{0}} 0\cos\left(  nx\right)  dx+
{\displaystyle\int_{0}^{\pi}} 1\cos\left(  nx\right)  dx\right)  ,
\]
resolvendo a integral,temos:

\[
{\displaystyle\int_{0}^{\pi}} \cos\left(  nx\right)  dx=\dfrac{1}{\pi}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
\cos u\dfrac{du}{n}\]\[=\dfrac{1}{\pi}\left[  \dfrac{\sen u}%
{n}\right]  _{0}^{n\pi}=\dfrac{1}{n\pi}\left[  \sen\left(
n\pi\right)  -\sen\left(  0\right)  \right]  =0
\]
e
\[
b_{n}=\dfrac{1}{\pi}%
{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f\left(  x\right)  \sen\left(
nx\right)  dx=\dfrac{1}{\pi }\left( {\displaystyle\int_{-\pi}^{0}}
0\sen\left(  nx\right)  dx+ {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}
1\sen\left(  nx\right)  dx\right)  ,
\]
de modo an\'{a}logo para $b_{n},$ temos

\[
{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}
1\sen\left(  nx\right)  dx=\dfrac{1}{\pi}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
\sen u\dfrac{du}{n}=\dfrac{1}{\pi}\left[  -\dfrac{\cos u}%
{n}\right]  _{0}^{n\pi}\]\[=-\dfrac{1}{n\pi}\left[  \cos\left(  n\pi\right)
-\cos\left(  0\right)  \right]  =\frac{1}{n\pi}\left[  1-\cos\left(
n\pi\right)  \right]  ,
\]
ou, para $k=1,2,...:$

\[
b_{2k}=\frac{1}{2k\pi}\left[  1-\cos\left(  2k\pi\right)  \right]  =0\]  e
\begin{equation}
b_{2k-1}=\frac{1}{\left(  2k-1\right)  \pi}\left\{  1-\cos\left[  \left(
2k-1\right)  \right]  \pi\right\}  =\frac{2}{\left(  2k-1\right)  \pi}
\label{b2k}
\end{equation}
 A s\'{e}rie de Fourier de $f$ ser\'{a}:

\[
f\left(  x\right)
\sim\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\left(
2k-1\right)  \pi}\sen\left[  \left(  2k-1\right)  x\right]  \]

 Pelo Teorema de Fourier, o gr\'{a}fico da
fun\c{c}\~{a}o definida pela s\'{e}rie \'{e} dado pela figura \ref{figura} abaixo.%

\begin{figure}
[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.3237in,
width=5.0981in
]%
{Figura26.eps}
\caption{Gr\'afico da s\'erie de Fourier da fun\c{c}\~ao do exemplo \ref{examplef}}
\label{figura}
\end{center}
\end{figure}

{\large Exerc\'{\i}cio 2}
 Use os resultados do Exerc\'{\i}cio 1 para obter uma express\~{a}o em
s\'{e}rie para $\dfrac{\pi}{4}.$

Resolu\c{c}\~{a}o: No ponto $x=\dfrac{\pi}{2}$, a s\'{e}rie de Fourier \'{e} igual a 1, em
virtude do Teorema de Fourier:%

\[
\dfrac{1}{2}\left[  f\left(  x+0\right)  +f\left(  x-0\right)  \right]
=\dfrac{1}{2}\left[  1+1\right]  =1,
\]
logo,


\[
1=\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{\left(
2k-1\right)  \pi }\sen\left[  \left(  2k-1\right)
\dfrac{\pi}{2}\right]
\]
%

\[
\frac{1}{2}=\dfrac{2}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\left(
2k-1\right) }\sen\left[  \left(  2k-1\right)  \dfrac{\pi}%
{2}\right]
\]


\[
\dfrac{\pi}{4}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\left(
2k-1\right)  }\sen\left[  \left(  2k-1\right)
\dfrac{\pi}{2}\right]  ,
\]
ou, finalmente,%

\[
\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}%
-...=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left(  -1\right)  ^{k-1}}{\left(
2k-1\right)  },
\]
que \'{e} conhecida como uma s\'{e}rie de alternada que converge pelo teste de Leibniz.


\section{S\'{e}ries de Fourier de fun\c{c}\~{o}es pares e
\'{\i}mpares} \index{fun\c{c}\~oes pares e \'{\i}mpares}

\begin{definition}
Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} par se $f\left(
x\right)  =f\left(  -x\right)  $, para todo $x\in\mathbb{R}.$ (Isso significa
que o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o $f$ \'{e} sim\'{e}trico com
rela\c{c}\~{a}o ao eixo dos $y$).
\end{definition}

\begin{definition}
Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} \'{\i}mpar se $f\left(
x\right)  =-f\left(  -x\right)  $, para todo $x\in\mathbb{R}.$ (Isso significa
que o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o $f$ \'{e} sim\'{e}trico com
rela\c{c}\~{a}o \`{a} origem).
\end{definition}

\begin{example}
{\large fun\c{c}\~{o}es pares:\ }$f\left(  x\right)  =\cos\dfrac{n\pi x}%
{L};\ \ f\left(  x\right)  =x^{2n},$ para $n=1,2,...;\ $outro: $f\left(
x\right)  =\left\vert x\right\vert .$
\end{example}

\begin{example}
{\large fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares:\ }$f\left(  x\right)
=\sen\dfrac{n\pi x}{L};\ f\left(  x\right)  =x^{2n-1};$ para
$n=1,2,...;\ $outro: $f\left(  x\right)  =x.$
\end{example}

\begin{proposition}
\begin{enumerate}
\item A soma de duas fun\c{c}\~{o}es pares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par

\item A soma de duas fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar.
\item O produto de duas fun\c{c}\~{o}es pares \'{e} uma
fun\c{c}\~{a}o par.
\item O produto de duas fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares \'{e}
uma fun\c{c}\~{a}o par.
\item O produto de uma fun\c{c}\~{a}o par por uma
fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\textsf{Demonstra\c{c}\~{a}o:}

$1$ Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es pares
\begin{center}
$\left(  f+g\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x\right)  +g\left(
x\right)  =f\left(  -x\right)  +g\left(  -x\right)  =\left(  f+g\right)
\left(  -x\right)  $
\end{center}

$2$ Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares
\begin{center} $\left(  f+g\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x\right)  +g\left(
x\right)  =-f\left(  -x\right)  +\left[  -g\left(  -x\right)  \right]
=-\left[  f\left(  -x\right)  +g\left(  -x\right)  \right]  =-\left(
f+g\right)  \left(  -x\right)  $
\end{center}

$3$
Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es pares:

\begin{center}
$\left(  fg\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x\right)  g\left(  x\right)
=f\left(  -x\right)  g\left(  -x\right)  =\left(  fg\right)  \left(
-x\right)  $
\end{center}


$4$
Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares:

\begin{center}
$\left(  fg\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x\right)  g\left(  x\right)
=\left[  -f\left(  -x\right)  \right]  \left[  -g\left(  -x\right)  \right]
=\left[  f\left(  -x\right)  g\left(  -x\right)  \right]  =\left(  fg\right)
\left(  -x\right)  $
\end{center}

$5$
Sejam $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o par e
$g:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar:

\begin{center}
$\left(  fg\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x\right)  g\left(  x\right)
=f\left(  -x\right)  \left[  -g\left(  -x\right)  \right]  =-\left[  f\left(
-x\right)  g\left(  -x\right)  \right]  =-\left(  fg\right)  \left(
-x\right)  $
\end{center}

\begin{proposition}
$\left(  i\right)  $ Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o par
que \'{e} integr\'{a}vel em qualquer intervalo limitado. Ent\~{a}o:%
\[%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f=2%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
f
\]
$\left(  ii\right)  $ Se $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o
\'{\i}mpar e integr\'{a}vel em qualquer intervalo limitado. Ent\~{a}o:%
\[%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f=0
\]
\end{proposition}

\textsf{Demonstra\c{c}\~{a}o:}Seja $f$ uma fun\c{c}\~ao par e considere a integral
$
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f=%
{\displaystyle\int_{-L}^{0}}
f+%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
f,$ temos que para $y=-x$
\begin{center}
$
{\displaystyle\int_{-L}^{0}}
f\left(  x\right)  dx=-%
{\displaystyle\int_{L}^{0}}
f\left(  -y\right)  dy=+%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
f\left(  -y\right)  dy=%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
f\left(  y\right)  dy.$
\end{center}
isso mostra que se $f$ \'e par ent\~ao \[%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f=2%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
f
\]
Analogamente, seja $f$ uma fun\c{c}\~ao \'{\i}mpar temos que
$%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f=%
{\displaystyle\int_{-L}^{0}}
f+%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
f,$ e para  $y=-x$ teremos
\begin{center}
$%
{\displaystyle\int_{-L}^{0}}
f\left(  x\right)  dx=-%
{\displaystyle\int_{L}^{0}}
f\left(  -y\right)  dy=+%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
f\left(  -y\right)  dy=-%
{\displaystyle\int_{0}^{L}} f\left(  y\right)  dy.$
\end{center}
que mostra \[%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f=0
\]
Da proposi\c{c}\~ao anterior podemos estabelecer os seguintes
resultados sobre as s\'eries de fourier de fun\c{c}\~oes pares e
\'{\i}mpares.

$\left(  a\right)  $ Se $f$ for uma fun\c{c}\~{a}o par, peri\'{o}dica de
per\'{\i}odo $2L,$ integr\'{a}vel e absolutamente integr\'{a}vel, ent\~{a}o:

\begin{center}
$a_{n}=\dfrac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}}
f\left(  x\right)  \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{L}} f\left(  x\right)  \cos\dfrac{n\pi
x}{L}dx,$ $n\geq0 $,
\end{center}

pois o produto de duas fun\c{c}\~{o}es pares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par. E,

\begin{center}
$b_{n}=\dfrac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)  \sen\dfrac{n\pi
x}{L}dx=0,$ $n\geq1$,
\end{center}

pois o produto de uma fun\c{c}\~{a}o par e uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e}
uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar.

Portanto, a s\'{e}rie de Fourier de uma fun\c{c}\~{a}o par \'{e} uma s\'{e}rie
de co-senos.

\bigskip

$\left(  b\right)  $ Se $f$ for uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar, peri\'{o}dica
de per\'{\i}odo $2L$, integr\'{a}vel e absolutamente integr\'{a}vel, ent\~{a}o:

\begin{center}
$a_{n}=\dfrac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)  \cos\dfrac{n\pi
x}{L}dx=0$,
\end{center}

pois o produto de uma fun\c{c}\~{a}o par e uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e}
uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar. E,

\begin{center}
$b_{n}=\dfrac{1}{L}%
{\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left(  x\right)  \sen\dfrac{n\pi
x}{L}dx=\dfrac{2}{L}\int _{0}^{L}f\left(  x\right)
\sen\dfrac{n\pi x}{L}dx,$
\end{center}

pois o produto de duas fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par.

Assim, a s\'{e}rie de Fourier de uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e} uma
s\'{e}rie de senos.


\section{C\'{a}lculo de Algumas S\'{e}ries de Fourier}
\index{s\'erie de Fourier}

I ) Seja $f_{1}:\mathbb{R\rightarrow R}$ peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L$ e
definida por $f_{1}\left(  x\right)  =x,$ para $-L\leq x<L.$ Como $f_{1}$
\'{e} \'{\i}mpar, teremos uma s\'{e}rie de senos cujos coeficientes s\~{a}o:

\begin{center}%
\[
a_{n}=0;\ b_{n}=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{L}} x\sen\dfrac{n\pi x}{L}dx.
\]
\end{center}

fazendo a mudan\c{c}a de vari\'{a}vel $y=\dfrac{n\pi x}{L},$ obtemos:%

\[
b_{n}=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
\dfrac{L}{n\pi}y\sen\left(  y\right)  \dfrac{L}{n\pi}%
dy=\dfrac{2L}{n^{2}\pi^{2}}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} y\sen\left(  y\right)  dy.
\]

Integrando por partes, temos
\begin{align*}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
y\sen \left(  y\right)  dy  &  =\left[  -y\cos y\right]  _{0}%
^{n\pi}+%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
\cos\left(  y\right)  dy\\
&  =-n\pi\cos\left(  n\pi\right)  -\left(  0\right)  +\left[
\sen\left(  y\right)  \right]  _{0}^{n\pi}=-n\pi\cos\left(
n\pi\right)
\end{align*}


Logo
\[
b_{n}=\dfrac{2L}{n^{2}\pi^{2}}\left(  -n\pi\cos\left(  n\pi\right)  \right)
\Rightarrow b_{n}=\dfrac{2L}{n\pi}\left(  -\cos\left(  n\pi\right)  \right)
,
\]
como
\[
\ \left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\text{para\ \ }n\ \text{\'{\i}mpar, }\cos\left(  n\pi\right)  =-1\\
\text{para\ \ }n\text{ par, }\cos\left(  n\pi\right)  =1
\end{array}
\right.
\]
ent\~ao
\[
b_{n}=\dfrac{2L}{n\pi}\left(  -1\right)^{n+1}.
\]


Portanto a s\'{e}rie de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f_{1}$ \'{e}:

\begin{center}
$f_{1}\left(  x\right)  \sim\dfrac{2L}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}%
\dfrac{\left(  -1\right)^{n+1}}{n}.\sen\dfrac{n\pi x}{L}$
\end{center}

e seu gr\'{a}fico \'{e}:

\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.2309in,
width=3.9525in
]
{Figura24.eps}
\caption{Gr\'afico da fun\c{c}\~ao $f_{1}$}
\end{center}
\end{figure}



II ) Seja $f_{2}:\mathbb{R\rightarrow R}$ peri\'{o}dica de
per\'{\i}odo $2L$ e definida por

\[
f_{2}\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
L-x,\text{ para }0\leq x\leq L;\\
L+x,\text{ para }-L\leq x\leq0
\end{array}
\right.
\]

Como $f_{2}$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par, temos uma s\'{e}rie de
cossenos, cujos coeficientes s\~{a}o:

\begin{align*}
a_{0}  &  =\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
\left(  L-x\right)  dx=\frac{2}{L}\left[  Lx-\dfrac{x^{2}}{2}\right]  _{0}%
^{L}\\
&  =\frac{2}{L}\left(  L^{2}-\dfrac{L^{2}}{2}\right)  -0=\dfrac{2}{L}%
\dfrac{L^{2}}{2}=L;
\end{align*}
e
\[
a_{n}=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{L}} \left(  L-x\right)  \cos\dfrac{n\pi
x}{L}dx
\]
fazendo a mudan\c{c}a de vari\'{a}vel $y=\dfrac{n\pi x}{L},$
obtemos:

\[
a_{n}=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} \left(  L-\dfrac{L}{n\pi}y\right)
\cos\left(  y\right)  \dfrac{L}{n\pi}dy
\]%
\[
=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} L\left(
\dfrac{n\pi-y}{n\pi}\right)  \cos\left(  y\right)  \dfrac{L}{n\pi
}dy=
\]
%

\[
=\dfrac{2L}{n^{2}\pi^{2}}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} \left(  n\pi-y\right)  \cos\left(
y\right)  dy
\]

Integrando por partes a integral acima, temos

\begin{align*}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} \left(  n\pi-y\right)  \cos\left(
y\right)  dy  &  =\left[  \left(
n\pi-y\right)  \sen\left(  y\right)  \right]  _{0}^{n\pi}\\
-%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} -\sen\left(  y\right)  dy  &
=0-0+\left[  -\cos\left(
y\right)  \right]  _{0}^{n\pi}\\
&  =-\cos\left(  n\pi\right)  -\left(  -\cos0\right) \\
&  =1-\cos\left(  n\pi\right)  ,
\end{align*}

Logo,


\[
a_{n}=\dfrac{2L}{n^{2}\pi^{2}}\left(  1-\cos\left(  n\pi\right)
\right)\] como
\[\\ \left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\text{para \ }n\text{\ \ \'{\i}mpar, }\cos\left(  n\pi\right)  =-1\\
\text{para \ }n\text{\ \  par, }\cos\left(  n\pi\right)  =1
\end{array}
\right.
\]
ent\~ao
\[
a_{n}=\dfrac{2L}{n^{2}\pi^{2}}\left[  1-\left(  -1\right)  ^{n}\right]
\]
ou seja,para $n=2k,$ temos: $a_{2k}=0,$ $k=1,2,...$ e para $n=2k-1,$ temos:
\[
a_{2k-1}=\dfrac{2L}{\left(  2k-1\right)  ^{2}\pi^{2}}\left[  1-\left(
-1\right)  \right]  \Rightarrow a_{2k-1}=\dfrac{4L}{\left(  2k-1\right)
^{2}\pi^{2}},\ k=1,2,...
\]


Portanto a s\'{e}rie de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f_{2}$ \'{e}:

\begin{center}%
\[
f_{2}\left(  x\right)  \sim\dfrac{L}{2}+\dfrac{4L}{\pi^{2}}\sum\limits_{k=1}%
^{\infty}\dfrac{1}{\left(  2k-1\right)  ^{2}}.\cos\dfrac{\left(  2k-1\right)
\pi x}{L}.
\]



\end{center}

gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o $f_{2}:$

\begin{figure}[!htb]
\includegraphics[
height=2.041in,
width=4.8032in
]
{Figura23.eps}
\end{figure}


Observe que, em virtude do Teorema de Fourier, o s\'{\i}mbolo $\sim$ pode ser
substitu\'{\i}do por $=$. Usando o Teorema de Fourier, para $x=0$, obtemos:%

\[
L-0=\dfrac{L}{2}+\dfrac{4L}{\pi^{2}}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac
{1}{\left(  2k-1\right)  ^{2}},
\]
ou seja,

\begin{center}%
\[
\dfrac{L}{2}=\dfrac{4L}{\pi^{2}}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\left(
2k-1\right)  ^{2}}\Rightarrow\dfrac{\pi^{2}}{8}=\sum\limits_{k=1}^{\infty
}\dfrac{1}{\left(  2k-1\right)  ^{2}}=1+\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{5^{2}%
}+\dfrac{1}{7^{2}}+...
\]



\end{center}

\bigskip

III ) Seja $f_{3}:\mathbb{R\rightarrow R}$ peri\'{o}dica de
pr\'{\i}odo $2L$ e definida por $f_{3}\left(  x\right)  =x^{2}$
para $-L\leq x\leq L.$ Como $f_{3}$ \'{e} par, teremos uma
s\'{e}rie de cossenos cujos coeficientes s\~{a}o:

\[
a_{0}=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{L}}
x^{2}dx=\dfrac{2}{L}\left[  \dfrac{x^{3}}{3}\right]  _{0}^{L}=\dfrac{2}%
{L}\left(  \dfrac{L^{3}}{3}\right)  -0=2\dfrac{L^{2}}{3};
\]
%

\[
a_{n}=\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{L}} x^{2}\cos\dfrac{n\pi x}{L}dx.
\]

fazendo a mudan\c{c}a de vari\'{a}vel $y=\dfrac{n\pi x}{L},$ obtemos:%

\begin{align*}
a_{n}  &  =\dfrac{2}{L}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} \left(  \dfrac{L}{n\pi}y\right)
^{2}\cos\left(  y\right)  \dfrac{L}{n\pi
}dy=\\
&  =\dfrac{2}{L}\dfrac{2L^{3}}{n^{3}\pi^{3}}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
y^{2}\cos\left(  y\right)  dy=\dfrac{2L^{2}}{n^{3}\pi^{3}}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} y^{2}\cos\left(  y\right)  dy
\end{align*}

Integrando por partes, temos
\begin{align*}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} y^{2}\cos\left(  y\right)  dy  &
=\left[  y^{2}\sen\left(
y\right)  \right]  _{0}^{n\pi}-%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
2y\sen\left(  y\right)  dy\\
&  =0-0-%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} 2y\sen\left(  y\right)  dy,
\end{align*}
da\'{\i},
\[
a_{n}=-\dfrac{4L^{2}}{n^{3}\pi^{3}}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} y\sen\left(  y\right)  dy
\]


Integrando novamente por partes, obtemos
\begin{align*}%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} y\sen\left(  y\right)  dy  &
=\left[  -y\cos\left(
n\pi\right)  \right]  _{0}^{n\pi}-%
{\displaystyle\int_{0}^{n\pi}}
-\cos ydy\\
&  =-n\pi\cos\left(  n\pi\right)  -0+\left[  \sen y\right]
_{0}^{n\pi}\\
&  =-n\pi\cos\left(  n\pi\right)
\end{align*}
Logo,
\[
a_{n}=-\dfrac{4L^{2}}{n^{3}\pi^{3}}\left[  -n\pi\cos\left(  n\pi\right)
\right]  =\dfrac{4L^{2}}{n^{3}\pi^{3}}\left[  \cos\left(  n\pi\right)
\right]  =\dfrac{4L^{2}}{n^{2}\pi^{2}}\left(  -1\right)  ^{n}%
\]

Portanto a s\'{e}rie de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f_{3}$ \'{e}:

\[
f_{3}\left(  x\right)  \sim\dfrac{L^{2}}{3}+\dfrac{4L^{2}}{\pi^{2}}%
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left(  -1\right)  ^{n}}{n^{2}}\cos
\dfrac{n\pi x}{L}.
\]


O gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o $f_{3}$ \'e dado pela figura
\ref{figur3}.

\begin{figure}
[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.2528in,
width=4.8308in
]%
{Figura12.eps}
\caption{Gr\'afico da fun\c{c}\~ao $f_{3}$}
\label{figur3}%
\end{center}
\end{figure}

Observe que, de fato, tem-se $=$ em vez de $\sim$, como consequ\^{e}ncia do
teorema de Fourier. Usando o Teorema de Fourier para $x=L$, obtemos:

\[L^{2}=\dfrac{L^{2}}{3}+\dfrac{4L^{2}}{\pi^{2}}\sum\limits_{n=1}^{\infty
}\dfrac{1}{n^{2}},\] pois $\left(  -1\right)  ^{n}$ e $\cos n\pi$ sempre
ter\~{a}o o mesmo sinal e assim, pela multiplica\c{c}\~{a}o dos dois termos,
sempre teremos $+1.$

Ou seja,

\[
L^{2}-\dfrac{L^{2}}{3}=\dfrac{4L^{2}}{\pi^{2}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}%
\dfrac{1}{n^{2}}\Rightarrow\dfrac{2L^{2}}{3}=\dfrac{4L^{2}}{\pi^{2}}%
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow\dfrac{\pi^{2}}{6}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}%
}=1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{4^{2}}+...
\]

\chapter{Equações Diferenciais Ordinárias}

\section{Introdu\c{c}\~{a}o}

\index{equa\c{c}\~oes diferenciais}

 Este primeiro cap\'{\i}tulo
\'e uma revis\~ao das equa\c{c}\~oes diferenciais lineares de
$1^a$ e $2^a$ ordem, oferecemos aqui uma no\c{c}\~ao do que seja
uma equa\c{c}\~ao diferencial e algumas t\'ecnicas para resolver
alguns problemas simples.

\section{Equa\c{c}\~oes Diferenciais de $1^a$ ordem}
\index{equa\c{c}\~oes diferenciais de $1^a$ ordem}
Uma equa\c{c}\~{a}o diferencial ordin\'{a}ria de 1${{}^a}$
ordem \'{e} uma equa\c{c}\~{a}o do tipo%
\begin{equation}
y^{\prime}=f(x,y) \label{edoprim1}%
\end{equation}
onde $f:\Omega\mathbb{\rightarrow R}$, \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o dada e
$\Omega\subset\left(  a,b\right)  \times\mathbb{R}$ é um conjunto aberto;
$x$ \'{e} uma vari\'{a}vel independente, pertencente ao intervalo $\left(
a,b\right)  , $ com $a,b$ n\'{u}meros reais $a<b;$ e $ y=y(x)$ \'{e} a
vari\'{a}vel que depende de $x$. Qualquer função $y=\phi (x)$ que satisfaça a edo (\ref{edoprim1}) é dita solução dessa equação. Isto é, se $y=\phi (x)$ é solução então ela satisfaz 
\begin{equation}
\dfrac{d\phi}{dx}=f(x,\phi (x)), \,\,\, a\leq x \leq b.\label{edopr}%
\end{equation}


 Podemos impor uma condi\c{c}\~{a}o inicial para
essa equa\c{c}\~{a}o, qual seja,
\begin{equation}
y(x_{0})=y_{0}, \label{edoprim2}%
\end{equation}
quando consideramos a equa\c{c}\~{a}o diferencial (\ref{edoprim1})~junto com a
condi\c{c}\~{a}o inicial (\ref{edoprim2}) ent\~{a}o dizemos que se trata um
problema de Cauchy. Condi\c{c}\~{o}es s\~{a}o colocadas sobre a fun\c{c}\~{a}o
$f$ de modo que o problema de Cauchy%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
y^{\prime}=f(x,y),\ \ x\in(a,b)\\
y(x_{0})=y_{0},\ x_{0}\in(a,b),\ y_{0}\in\mathbb{R}%
\end{array}
\right.\label{probcauchy}
\end{equation}
tenha uma \'{u}nica solu\c{c}\~{a}o. À priori,  a nossa
fun\c{c}\~{a}o $f$ pode ser qualquer função de duas variáveis. Mas para se garantir existência de soluções da equação diferencial (\ref{edoprim1}) $f$ teria de ser no mínimo contínua. Há dois teoremas importantes sobre existência de soluções que enunciamos a seguir. 
\begin{theorem}[Picard]
Se $f$ de $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ forem contínuas num domínio retangular $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: |x-x_0|<a, |y-y_0|<b\}$ então há um intervalo $|x-x_0|\leq h<a$ no qual existe uma única solução $y=\phi (x)$ satisfazendo a equação diferencial (\ref{edoprim1}) e as condições iniciais (\ref{edoprim2}). 
\end{theorem}

\begin{theorem}[Peano]
Se $f$ é contínua num domínio retangular $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: |x-x_0|<a, |y-y_0|<b\}$ então há um intervalo $|x-x_0|\leq h<a$ no qual existe pelo menos uma solução $y=\phi (x)$ satisfazendo a equação diferencial (\ref{edoprim1}) e as condições iniciais (\ref{edoprim2}). Mas nesse caso, não se garante unicidade.
\end{theorem}
Por exemplo, dada a equação diferencial ordinária
\[
y^{\prime} =xy^{1/2}, \quad y(0)=0
\]
então $y=\dfrac{x^4}{16}$ é solução dessa equação, pois, $y^{\prime}=\dfrac{x^3}{4}$ e $xy^{1/2}=x\left(\dfrac{x^4}{16}\right)^{1/2}=\dfrac{x.x^2}{4}=\dfrac{x^3}{4}$. Note que essa solução  não  é única, já que $y=0$ é também uma solução da equação diferencial junto com as condições iniciais.

\begin{example}
A relação $x^2+y^2=25$ é uma solução implícita da equação diferencial
\begin{equation}
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\label{edoimp}
\end{equation}
no intervalo $-5\leq x\leq 5.$
\end{example} 
De fato, por diferenciação implícita, temos
\[
\dfrac{d}{dx}[x^2+y^2]=\dfrac{d}{dx}(25)
\]
ou
\[
2x+2y y^{\prime}=0 \Rightarrow y^{\prime}=-\dfrac{x}{y}.
\]
Além disso, resolvendo $x^2+y^2=25$ para $y$ em termos de $x$ obtemos $y=\pm \sqrt{25-x^2}$ as duas funções $y=\phi_1(x)=\sqrt{25-x^2}$ e $y=\phi_2(x)=-\sqrt{25-x^2}$ são soluções explícitas da edo (\ref{edoimp}) no intervalo $-5\leq x\leq 5.$ 
 
 No caso mais simples em que a fun\c{c}\~{a}o $f$ \'{e} linear em
rela\c{c}\~{a}o a vari\'{a}vel $y$ a nossa equa\c{c}\~{a}o diferencial de 1${{}^a}$ ordem se apresenta na forma%
\begin{equation}
y^{\prime}=\alpha(x)y+\beta(x) \label{edoprim3}%
\end{equation}
onde $\alpha$ e $\beta$ s\~{a}o fun\c{c}\~{o}es reais quaisquer definidas no
intervalo $\left(  a,b\right)  $.\ Se supomos que $\alpha$ e $\beta$ s\~{a}o
fun\c{c}\~{o}es cont\'{\i}nuas em $\left(  a,b\right)  $ ent\~{a}o esta
equa\c{c}\~{a}o tem uma resolu\c{c}\~{a}o bem simples, pois se \ consideramos
primeiro a equa\c{c}\~{a}o linear homog\^{e}nea associada \`{a}
equa\c{c}\~{a}o (\ref{edoprim3}), isto \'{e},%
\begin{equation}
y^{\prime}=\alpha(x)y \label{edohom}%
\end{equation}
podemos escrever tal equa\c{c}\~{a}o na forma
\[
\frac{y^{\prime}}{y}=\alpha(x)
\]
integrando em $x$ temos%
\[
\ln y=\int^{x}\alpha(s)ds+c_{1},
\]
onde $c_{1}$ \'{e} uma constante arbitr\'{a}ria, segue que
\begin{equation}
y(x)=Ce^{\int^{x}\alpha(s)ds} \label{edohomsol}%
\end{equation}
\'{e} uma solu\c{c}\~{a}o da equa\c{c}\~{a}o homog\^{e}nea (\ref{edohom}) com
$C=e^{c_{1}}.$ Usando agora o m\'{e}todo de varia\c{c}\~{a}o dos
par\^{a}metros para $y$ dada em (\ref{edohomsol}) temos%
\[
y^{\prime}=C^{\prime}e^{\int^{x}\alpha(s)ds}+C\alpha(x)e^{\int^{x}\alpha(s)ds}%
\]
substituindo tal resultado em (\ref{edoprim3}) obtemos%
\[
C^{\prime}e^{\int^{x}\alpha(s)ds}+C\alpha(x)e^{\int^{x}\alpha(s)ds}%
=C\alpha(x)e^{\int^{x}\alpha(s)ds}+\beta(x)
\]
segue que
\[
C^{\prime}e^{\int^{x}\alpha(s)ds}=\beta(x)
\]
o que nos d\'{a}
\[
C^{\prime}=\beta(x)e^{-\int^{x}\alpha(s)ds}%
\]
da\'{\i}%
\begin{equation}
C=C_{0}+\int^{x}\beta(s)e^{-\int^{s}\alpha(t)dt}ds \label{edoprim4}%
\end{equation}
onde $C_{0}$ \'{e} uma constante arbitr\'{a}ria. Logo, $y$ dada por
\begin{equation}
y(x)=Ce^{\int^{x}\alpha(s)ds} \label{edoprim5}%
\end{equation}
onde $C$ \'{e} definida em (\ref{edoprim4}) \'{e} a solu\c{c}\~{a}o geral de
(\ref{edoprim3}).

Vejamos alguns modelos matemáticos de algumas edos que podem ser físicos, biológicos, químicos, etc.

\textbf{Crescimento Populacional} 

\textit{Modelo de Malthus}

Se $P$ representa a população numa certa região num determinado instante $t$ então
\[
\dfrac{dP}{dt}=kP \,\, ( k \,\,\mbox{constante de proporcionalidade})
\]

\textit{Modelo de Verhulst}
\[
\dfrac{dP}{dt}=(r-aP)P
\]
onde $r$ e $a$ são constantes.

\textbf{Decaimento Radioativo}

A taxa $\dfrac{dA}{dt}$ a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade $A(t)$ da substância remanescente no instante $t$
\[
\dfrac{dA}{dt}=kA  \,\, (k<0)
\]

\begin{remark} 
Uma única equação diferencial pode servir como modelo matemático para vários fenômenos diferentes. Modelos matemáticos são frequentemente acompanhados por determinadas condições laterais. Por exemplo para o modelo de crescimento populacional esperaríamos conhecer a população inicial $P_0$ e no modelo de decaimento radiativo a quantidade inicial da substância radioativa.
\end{remark}

\textbf{Lei de Resfriamento de Newton} 

De acordo com a Lei empírica de Newton do resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada de temperatura ambiente. Nesse caso, se $T$ é a temperatura do corpo e $T_m$ é temperatura do meio ambiente então
\[
\dfrac{dT}{dt}=k(T-T_m) \,\, (k<0).
\]

\textbf{Disseminação de uma doença}

Uma doença contagiosa espalha-se numa comunidade através do contato entre as pessoas. Seja $x(t)$ o número de pessoas que contraíram a doença e $y(t)$ o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que a taxa $\dfrac{dx}{dt}$ segundo a qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois grupos de pessoas. Se supormos que o número de interações é proporcional ao produto $xy$ então
\[
\dfrac{dx}{dt}=kxy
\]
$k$ é a constante de proporcionalidade. Se a comunidade tem uma população fixa de  $N$ pessoas. O número de $y$ é $y=N-x$. Assim
\[
\dfrac{dx}{dt}=kx(N-x)
\]
se no instante inicial haviam $x_0$ pessoas infectadas então $x(0)=x_0.$

\textbf{Misturas} 

No instante $t=0$, um tanque contém $Q_0$ kg de sal dissolvido em $V_0$ litros de água. Uma solução de sal em água com $Q_1$ kg de sal por litro entra no tanque a uma razão de $v$ litros por minuto e a solução do tanque, bem misturada, sai a mesma razão. Seja $Q(t)$ a quantidade de sal no tanque num instante $t$. A taxa de variação da quantidade de sal no tanque, no instante $t$, $\dfrac{dQ}{dt}$, é igual à taxa na qual o sal entra no tanque, menos a taxa na qual o sal sai do tanque. Logo,
\[
\dfrac{dQ}{dt}=vQ_1-\dfrac{v}{v_0}Q(t).
\]

\textbf{Mecânica}

A lei do movimento de Newton diz que
\[
F=ma
\]
$F$ é a força externa, $m$ é massa, $a$ é a aceleração. Para um corpo que cai livremente num vácuo, e bastante próximo da terra, temos que 
\[
w=mg
\]
onde $w$ é o peso do corpo, $m$ é massa do corpo e $g$ é a aceleração da gravidade. Mesmo que a massa do corpo permaneça constante, seu peso, e a aceleração da gravidade, alteram-se com a distância ao centro do campo gravitacional da terra.
Para um corpo muito distante da terra
\[
w=\dfrac{k}{(R+x)^2},
\]
$k$ constante. Em $x=0$, temos que $w=mg$ então $k=mgR^2$ e, portanto,
\[
w=\dfrac{mgR^2}{(R+x)^2}.
\]






\section{Equa\c{c}\~{o}es Diferenciais de $2^{a}$ Ordem}
\index{equa\c{c}\~oes diferenciais de $2^a$ ordem}

 Uma
equa\c{c}\~{a}o diferencial de $2^{a}$ ordem, na forma mais geral,
\'{e} uma equa\c{c}\~{a}o do tipo
\begin{equation}
F(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0. \label{edosec1}%
\end{equation}
onde $x$ \'{e} a vari\'{a}vel independente, e $y=y(x)$ \'{e} a vari\'{a}vel
dependente, aqui $y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx},\ y^{\prime\prime}=\dfrac{d^{2}%
y}{dx^{2}},$ $F(x,y,t,w)$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o dada. Em muitas
situa\c{c}\~{o}es de muitos problemas de aplica\c{c}\~{o}es (na f\'{\i}sica,
na matem\'{a}tica, etc.) a equa\c{c}\~{a}o (\ref{edosec1}) se apresenta na
seguinte forma
\begin{equation}
y^{\prime\prime}=f(x,y,y^{\prime}). \label{edosec2}%
\end{equation}


\begin{theorem}
Se as fun\c{c}\~{o}es $f$, $f_{y}$ e $f_{v}$ s\~{a}o cont\'{\i}nuas numa
regi\~{a}o aberta $R$ do espa\c{c}o tri-dimensional $xyv$ e se o ponto
$(x_{0},y_{0},y_{0}^{\prime})$ est\'{a} em $R$, ent\~{a}o em algum intervalo
em torno de $x_{0}$, existe uma \'{u}nica solu\c{c}\~{a}o $y=\phi(x)$ da
equa\c{c}\~{a}o diferencial (\ref{edosec2}) que satisfaz as condi\c{c}\~{o}es
iniciais
\begin{equation}
y(x_{0})=y_{0},\,\,\,y^{\prime}(x_{0})=y_{0}^{\prime}. \label{edosecini}%
\end{equation}
\end{theorem}

A equa\c{c}\~{a}o geral linear de segunda ordem pode ser dada no seguinte
modo
\begin{equation}
P(x)y^{\prime\prime}+Q(x)y^{\prime}+R(x)y=G(x), \label{edosec3}%
\end{equation}
onde $P$, $Q$, $R$ e $G$ s\~{a}o fun\c{c}\~{o}es dadas.

\begin{example}
Equa\c{c}\~{a}o de Legendre de ordem $\alpha$
\[
(1-x^{2})y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+\alpha(\alpha+1)y=0
\]
\end{example}



\begin{example}
Equa\c{c}\~{a}o de Bessel de ordem $\nu$
\[
x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\nu^{2})y=0.
\]
\end{example}

Supondo $P$, $Q$, $R$ e $G$ cont\'{\i}nuas num certo intervalo $\alpha
<x<\beta$, e que $P$ nunca se anula no intervalo, podemos dividir a
equa\c{c}\~{a}o (\ref{edosec3}) por $P(x)$ e obter uma equa\c{c}\~{a}o da
forma
\begin{equation}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=g(x). \label{ed7}%
\end{equation}


\begin{theorem}
Se as fun\c{c}\~{o}es $p$, $q$ e $g$ s\~{a}o cont\'{\i}nuas num
intervalo $\alpha<x<\beta$, ent\~{a}o existe uma e somente uma
fun\c{c}\~{a}o $y=\phi(x)$ que satisfaz a equa\c{c}\~{a}o
diferencial (\ref{ed7}) e as condi\c{c}\~{o}es iniciais
(\ref{edosecini}).
\end{theorem}



\section{Solu\c{c}\~oes Fundamentais}
\index{solu\c{c}\~oes fundamentais}

 A equa\c{c}\~ao
\begin{equation}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0 \label{ed8}%
\end{equation}
\'e a equa\c{c}\~ao homog\^enea associada \`a equa\c{c}\~ao
(\ref{ed7}).

\begin{theorem}
Se $y=y_{1}(x)$ e $y=y_{2}(x)$ s\~{a}o solu\c{c}\~{o}es da
equa\c{c}\~{a}o diferencial (\ref{ed8}) ent\~{a}o
$y=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x),$ ($c_{1}$ e $c_{2}$ constantes
arbitr\'{a}rias) \'{e} tamb\'{e}m solu\c{c}\~{a}o de (\ref{ed8}).
\end{theorem}

Duas solu\c{c}\~{o}es $y_{1}$ e $y_{2}$ de (\ref{ed8})
formar\~{a}o um conjunto fundamental de solu\c{c}\~{o}es se toda
solu\c{c}\~{a}o de (\ref{ed8}) puder ser escrita como
combina\c{c}\~{a}o linear de $y_{1}$ e $y_{2}$. O Wronskiano de
$y_{1}$ e $y_{2}$ \'{e} dado por
\begin{equation}
W(y_{1},y_{2})=\left\vert
\begin{array}
[c]{cc}%
y_{1} & y_{2}\\
y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime}%
\end{array}
\right\vert =y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{2}y_{1}^{\prime}%
\end{equation}
se $W(y_{1},y_{2})\neq0$ ent\~{a}o $y_{1}$ e $y_{2}$ formam um
conjunto fundamental de solu\c{c}\~{a}o de (\ref{ed8}). Isto quer
dizer que as solu\c{c}\~{o}es $y_{1}$ e $y_{2}$ s\~{a}o
linearmente independentes e toda solu\c{c}\~{a}o de (\ref{ed8}) se
escreve como combina\c{c}\~{a}o linear dessas duas
solu\c{c}\~{o}es.

\section{Equa\c{c}\~oes diferenciais com coeficientes constantes}
\index{eq. dif. com coeficientes constantes}

 Na
equa\c{c}\~ao diferencial (\ref{edosec3}) se fazemos $P(x)=a$,
$Q(x)=b$, $R(x)=c$ e $G(x)=0$, com $a$, $b$ e $c$ constantes reais
ent\~ao ela se transforma na seguinte equa\c{c}\~ao:
\begin{equation}
ay^{\prime \prime}+by^{\prime}+cy=0 \label{edoconst1}
\end{equation}
\'E natural considerar uma solu\c{c}\~ao de (\ref{edoconst1}) na
forma:
\begin{equation}
y=e^{\alpha x} \label{edoconst2}
\end{equation}
com $\alpha$ sendo uma constante a determinar. Derivando $y$ dada
por (\ref{edoconst2}) em  rela\c{c}\~ao a $x$, temos
\begin{eqnarray*}
y^{\prime}(x)=\alpha e^{\alpha x}\label{edoconst3}\\
y^{\prime \prime}(x)=\alpha^2 e^{\alpha x}\label{edoconst4}
\end{eqnarray*}
Substituindo os valores de $y$, $y^{\prime}$ e $y^{\prime \prime}$
em (\ref{edoconst1}) obtemos:
\[
a \alpha^2 e^{\alpha x}+b \alpha e^{\alpha x}+ ce^{\alpha x}=0\]
que resulta na seguinte igualdade:
\[
(a \alpha^2 +b \alpha + c)e^{\alpha x}=0\] Como $e^{\alpha x}$ \'e
sempre diferente, devemos ter que:
\begin{equation}
a \alpha^2 +b \alpha + c=0 \label{edoconst5}
\end{equation}
A equa\c{c}\~ao (\ref{edoconst5}) \'e conhecida como equa\c{c}\~ao
caracter\'{\i}stica associada \`a equa\c{c}\~ao (\ref{edoconst1}).
Temos ent\~ao tr\^es casos a considerar: as ra\'{\i}zes $\alpha$
de (\ref{edoconst5}) s\~ao reais e distintas, elas s\~ao reais e
iguais ou s\~ao complexas conjugadas. Quando forem reais e
distintas, isto \'e, $\alpha_1$ e $\alpha_2$ satisfazendo a
equa\c{c}\~ao (\ref{edoconst5}) ent\~ao temos duas solu\c{c}\~oes
linearmente independentes da equa\c{c}\~ao (\ref{edoconst1}),
dadas por:
\begin{equation*}
y_1(x)=e^{\alpha_1 x},\;\;\;y_2(x)=e^{\alpha_2 x}.
\end{equation*}

Essas duas solu\c{c}\~oes formam um conjunto fundamental de
solu\c{c}\~oes da equa\c{c}\~ao (\ref{edoconst1}) e, portanto, a
solu\c{c}\~ao geral dessa equa\c{c}\~ao \'e dada pela
combina\c{c}\~ao linear dessas duas solu\c{c}\~oes, ou seja, $y$
dada por
\begin{equation}
y=c_1e^{\alpha_1 x}+c_2 e^{\alpha_2 x}
\end{equation}
com $c_1$ e $c_2$ constantes arbitr\'arias, \'e a solu\c{c}\~ao
geral da equa\c{c}\~ao (\ref{edoconst1}). Se as ra\'{i}zes forem
iguais, isto \'e, $\alpha_1=\alpha_2$ ent\~ao uma solu\c{c}\~ao
\'e da forma $y_1=e^{\alpha_1 x}$ e a outra solu\c{c}\~ao
linearmente independente com essa \'e dada por $y_2=xe^{\alpha_2
x}$ que \'e encontrada usando o m\'etodo de varia\c{c}\~ao dos
par\^ametros. Logo a solu\c{c}\~ao geral da equa\c{c}\~ao
(\ref{edoconst1}) nesse caso, \'e dada por:
\begin{equation}
y=c_1e^{\alpha_1 x}+c_2 x e^{\alpha_2 x}
\end{equation}
com $c_1$ e $c_2$ constantes arbitr\'arias. No caso complexo, uma
das ra\'{\i}zes sendo da forma $\alpha_1=r_1+ir_2$ uma
solu\c{c}\~ao complexa \'e da forma
\begin{equation}
y=e^{r_1+ir_2 x} \label{edoconst6}
\end{equation}
Se queremos as duas solu\c{c}\~oes reais linearmente independentes
da equa\c{c}\~ao (\ref{edoconst1}), para esse caso, basta tomar
$y_1$ como sendo a parte real de (\ref{edoconst6}) e $y_2$ como
sendo a parte imagin\'aria (\ref{edoconst6}), ou seja,
\begin{equation}
y_1=\cos (r_2 x) e^{r_1 x},\;\;\; y_2=\sen (r_2 x) e^{r_1
x}\end{equation} E a solu\c{c}\~ao geral de (\ref{edoconst1}) \'e
dada por
\begin{equation}
y=c_1\cos (r_2 x) e^{r_1 x}+c_2 \sen (r_2 x) e^{r_1 x}
\end{equation}
com $c_1$ e $c_2$ constantes arbitr\'arias. Quando estamos
resolvendo uma equa\c{c}\~ao diferencial do tipo (\ref{edoconst1})
satisfazendo condi\c{c}\~oes iniciais ent\~ao podemos determinar
as constantes $c_1$ e $c_2$, ou seja, elas deixam de ser
arbitr\'arias.

\begin{example} Considere a equa\c{c}\~ao diferencial
\begin{equation}
y^{\prime \prime}-5y^{\prime}+6y=0\label{execont1}
\end{equation}
com os dados iniciais dados por
\begin{equation}
y(0)=1, \;\; y'(0)=2.\label{exeini}
\end{equation}
 A equa\c{c}\~ao
caracter\'{\i}stica associada \`a equa\c{c}\~ao (\ref{execont1})
\'e dada por
\begin{equation}
r^2-5r+6=0\end{equation} cujas ra\'{\i}zes s\~ao
\begin{equation}
r_1=2,\;\;\;r_2=3
\end{equation}
Logo a solu\c{c}\~ao geral de (\ref{execont1}) \'e
\begin{equation}
y=c_1 e^{2x}+c_2 e^{3x}
\end{equation}
Como queremos que essa solu\c{c}\~ao satisfa\c{c}a as
condi\c{c}\~oes iniciais (\ref{exeini}) devemos ter:
\begin{eqnarray}
y(0)=c_1+c_2=1 \nonumber\\
y'(0)=2c_1+3c_2=2\nonumber
\end{eqnarray}
resolvendo o sistema acima, obtemos, $c_1=1$ e $c_2=0$. Logo, a
\'unica solu\c{c}\~ao da equa\c{c}\~ao (\ref{execont1}) que
satisfaz as condi\c{c}\~oes iniciais (\ref{exeini}) \'e
$y=e^{2x}$.
\end{example}

\begin{example} Considere a equa\c{c}\~ao diferencial
\begin{equation}
y^{\prime \prime}-6y^{\prime}+9y=0\label{execont1}
\end{equation}
 A equa\c{c}\~ao
caracter\'{\i}stica associada \`a equa\c{c}\~ao (\ref{execont1})
\'e dada por
\begin{equation}
r^2-6r+9=0\end{equation} cuja ra\'{\i}z \'e
\begin{equation}
r_1=r_2=3
\end{equation}
Logo a solu\c{c}\~ao geral de (\ref{execont1}) \'e
\begin{equation}
y=c_1 e^{3x}+c_2x e^{3x}
\end{equation}
\end{example}

\begin{example} Considere a equa\c{c}\~ao diferencial
\begin{equation}
y^{\prime \prime}+y=0\label{execont1}
\end{equation}
 A equa\c{c}\~ao
caracter\'{\i}stica associada \`a equa\c{c}\~ao (\ref{execont1})
\'e dada por
\begin{equation}
r^2+1=0\end{equation} cujas ra\'{\i}zes complexas s\~ao
\begin{equation}
r_1=i,\;\;\;r_2=-i
\end{equation}
Logo a solu\c{c}\~ao geral de (\ref{execont1}) \'e
\begin{equation}
y=c_1 \cos x+c_2 \sen x.
\end{equation}
\end{example}
\bigskip

\section{Exercícios}

\begin{enumerate}

\item Resolva as seguintes equa\c{c}\~oes diferenciais lineares com condi\c{c}\~oes iniciais dadas:
\begin{enumerate}
\item $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0,\;\;\;y(0)=1,\;\;y^{\prime}(0)=2$.
\item $y^{\prime \prime}+3y^{\prime}+y=0,\;\;\;y(0)=0,\;\;y^{\prime}(0)=1$.
\end{enumerate}

\item Encontre a solu\c{c}\~ao geral das equa\c{c}\~oes diferenciais abaixo:
\begin{enumerate}
\item $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0,$
\item $y^{\prime \prime}+3y=0,$
\item $y^{\prime \prime}-9y=0.$
\end{enumerate}

\item Mostre que as equa\c{c}\~oes abaixo tem duas solu\c{c}\~oes linearmente independentes e calcule o Wronskiano de cada uma delas:
\begin{enumerate}
\item $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2y=0,$
\item $y^{\prime \prime}+4y=0,$
\item $y^{\prime \prime}-8y=0.$
\end{enumerate}

\item Considere o {\it problema n\~ao homog\^eneo} abaixo:
\begin{equation}
ay^{\prime \prime}+by^{\prime}+cy=g,\label{exerc1}
\end{equation}
onde $a$, $b$, $c$ e $g$ s\~ao fun\c{c}\~oes de $x$ diferenci\'aveis. Suponha que $y_1$ e $y_2$ s\~ao solu\c{c}\~oes linearmente independentes do problema homog\^eneo associado ao problema (\ref{exerc1}):
\begin{equation}
ay^{\prime \prime}+by^{\prime}+cy=0.\label{exerc2}
\end{equation}
Considere uma solu\c{c}\~ao particular de (\ref{exerc1}) dada por
\begin{equation}
y_p=c_1 y_1+c_2 y_2 \label{exerc3}
\end{equation}
onde $c_1$ e $c_2$ s\~ao fun\c{c}\~oes de $x$. Use o m\'etodo de varia\c{c}\~ao dos par\^ametros para encontrar uma solu\c{c}\~ao particular $y_p$ de (\ref{exerc1}). Ou seja, suponha que $c^{\prime}_1 y_1+c^{\prime}_2 y_2=0$, derive (\ref{exerc3}) para obter $y^{\prime}_p$ e $y^{\prime \prime}_p$ substitua esses valores em (\ref{exerc1}) para obter o sistema
\begin{equation}
\left\{\begin{array}[l]
 cc^{\prime}_1 y_1+c^{\prime}_2 y_2=0\\
c^{\prime}_1 y^{\prime}_1+c^{\prime}_2 y^{\prime}_2=\dfrac{g}{a}
\end{array}\right.\label{exerc4}
\end{equation}
Resolva esse sistema para $c_1$ e $c_2$ e encontre a solu\c{c}\~ao particular $y_p$ dada por (\ref{exerc3}) onde $c_1$ e $c_2$ s\~ao solu\c{c}\~oes de (\ref{exerc4}). Logo a solu\c{c}\~ao geral do problema (\ref{exerc1}) \'e dada por
\[
y(x)=y_p(x)+c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)\]
onde $c_1$ e $c_2$ s\~ao constantes arbitr\'arias.

\item Aplique o m\'etodo de varia\c{c}\~ao dos par\^ametros do exerc\'{\i}cio anterior para determinar a solu\c{c}\~ao geral dos problemas n\~ao homog\^eneos abaixo:
\begin{enumerate}
\item $y^{\prime \prime}+y=\sen x,$
\item $y^{\prime \prime}-3y^{\prime}+y=e^t,$
\item $y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+4y=\tan x.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}












\end{document}