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\begin{document}
%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
$\text{UFPB/CCEN/CAMPUS I}$ & $\text{PER\'{I}ODO 09.2}$\\
$\text{P\'{O}S-GRADUA\c{C}\~{A}O EM MATEM\'{A}TICA}$ & $\text{DATA:22.08.2009
}$\\
$\text{DISCIPLINA: }$An\'{a}lise Real I & $\text{TURMA: 01}$\\
$\text{PROFESSOR: Milton }$ & $\text{TURNO: Tarde}$\\
{\ ALUNO:}\underline{\hspace{5cm}}\quad MATRICULA:\underline{\hspace{2cm}} &
\\
&
\end{tabular}


\bigskip

\begin{center}
$5^{a}$ Lista de Exerc\'{\i}cios

\bigskip
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Mostre usando a defini\c{c}\~{a}o de integral as seguintes propriedades:
sejam $f,g:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ ($A$ cubo
fechado)~fun\c{c}\~{o}es integr\'{a}veis.

a) $f\pm g$ \'{e} integr\'{a}vel;

b) $f^{2}$ \'{e} integr\'{a}vel;

c) $f\cdot g$ \'{e} integr\'{a}vel;

d) $\left\vert f\right\vert $ \'{e} integr\'{a}vel;

e) se $f(x)>0,~\forall x\in A,$ ent\~{a}o $\sqrt{f}$ \'{e} integr\'{a}vel.

\item Mostre um exemplo de um conjunto $C\subset\mathbb{R}^{n}$ onde $\partial
C$ n\~{a}o tem medida nula.

\item Mostre que um conjunto ilimitado n\~{a}o pode ter conte\'{u}do nulo.

\item D\^{e} um exemplo de um conjunto fechado de medida nula, mas que n\~{a}o
tenha conte\'{u}do nulo.

\item a) Se um conjunto $C$ tem conte\'{u}do nulo, mostre que $\overline{C}$ e
$\partial C$ tem conte\'{u}do nulo.

b) D\^{e} exemplo de conjunto de medida nula, mas que a fronteira do conjunto
n\~{a}o tenha medida nula.

\item a) Seja $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ uma fun\c{c}\~{a}o n\~{a}o
decrescente. Mostre que o conjunto \newline$\left\{  x\in\lbrack a,b]:f\text{
\'{e} descont\'{\i}nua em }x\right\}  $ tem medida nula.

b) Conclua do item (a) que toda fun\c{c}\~{a}o $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
mon\'{o}tona \'{e} integr\'{a}vel em $[a,b].$

\item Mostre que se $C$ tem conte\'{u}do nulo, ent\~{a}o $C\subset A$ para
algum ret\^{a}ngulo fechado $A$ e $C$ \'{e} Jordan-Mensur\'{a}vel com
$\int_{A}\chi_{C}=0.$

\item D\^{e} um exemplo de um conjunto limitado $C$ de medida nula tal que
$\int_{A}\chi_{C}$ n\~{a}o existe.

\item Se $C$ \'{e} um conjunto limitado de medida nula e $\int_{A}\chi_{C}$
existe, mostre que $\int_{A}\chi_{C}=0.$(Sugest\~{a}o: Mostre que
$L(f,P)=0,\forall P.$)

\item Se $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ ($A$ ret\^{a}ngulo fechado) \'{e} n\~{a}o
negativa e $\int_{A}f=0,$ mostre que o conjunto $\left\{  x:f(x)\neq0\right\}
$ tem medida nula. (Sugest\~{a}o: Mostre que o conjunto $\left\{
x:f(x)>1/n\right\}  $ tem conte\'{u}do nulo.

\item Seja $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ uma fun\c{c}\~{a}o cont\'{\i}nua.
Mostre que o gr\'{a}fico de $f$ tem conte\'{u}do nulo.

\item Seja $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ uma fun\c{c}\~{a}o integr\'{a}vel e
n\~{a}o-negativa e considere\newline$A_{f}=\left\{  (x,y):a\leq x\leq b\text{
e }0\leq y\leq f(x)\right\}  .$ Mostre que $A_{f}$ \'{e} Jordan-Mensur\'{a}vel
e tem \'{a}rea $\int_{a}^{b}f.$

\item Se $f:[a,b]\times\lbrack a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ \'{e}
integr\'{a}vel, mostre que
\[
\int_{a}^{b}\int_{a}^{y}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}\int_{x}^{b}f(x,y)dydx.
\]


\item Use o teorema de Fubini para mostrar que $D_{12}f=D_{21}f$ se estas
fun\c{c}\~{o}es s\~{a}o cont\'{\i}nuas. (Sugest\~{a}o: Se $D_{12}f-D_{21}f>0,$
existe um ret\^{a}ngulo $A$ contendo $a$ tal que $D_{12}f(x)-D_{21}%
f(x)>0,\forall x\in A.$

\item Se $A=[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times\lbrack a_{n},b_{n}]$ e
$f:A\rightarrow\mathbb{R}$ \'{e} cont\'{\i}nua, defina $F:A\rightarrow
\mathbb{R}$ por%
\[
F(x)=\int_{[a_{1,}x_{1}]\times\cdots\times\lbrack a_{n},x_{n}]}f.
\]
Qual o valor de $D_{i}F(x)$ para $x\in intA?$

\item Seja $f:[a,b]\times\lbrack c,d]\rightarrow\mathbb{R}$ e suponha $D_{2}f$
cont\'{\i}nua. Defina $F(y)=\int_{a}^{b}f\left(  x,y\right)  dx.$ Prove a
regra de Leibniz:%
\[
F^{\prime}(y)=\int_{a}^{b}D_{2}f(x,y)dx.
\]
(Sugest\~{a}o: $F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}(\int_{c}^{y}%
D_{2}f(x,s)ds+f(x,c))dx.$)
\end{enumerate}


\end{document}
