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\begin{document}
Universidade Federal da Paraiba

Centro de Ci\^{e}ncias Exatas e da Natureza

Departamento de Matem\'{a}tica

Disciplina: An\'{a}lise II

Professor$:$ Milton

\bigskip

\begin{center}
\bigskip3$^{\underline{a}}\;\;$Lista de Exerc\'{\i}cios

\bigskip
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Se $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \'{e} compacto e $(f_{n})$ \'{e} uma
sequ\^{e}ncia de fun\c{c}\~{o}es cont\'{\i}nuas de $K$ em $\mathbb{R}^{m}$ que
\'{e} uniformemente convergente em $K,$ mostre que a fam\'{\i}lia $\{f_{n}\}$
\'{e} equicont\'{\i}nua em $K.$

\item Seja $\mathcal{F}$ uma cole\c{c}\~{a}o uniformemente limitada e
equicont\'{\i}nua de fun\c{c}\~{o}es $f:D\subseteq\mathbb{R}^{n}%
\rightarrow\mathbb{R}$ e seja $f^{\ast}:D\rightarrow\mathbb{R}$ definida por
\[
f^{\ast}(x)=\sup\{f(x):f\in\mathcal{F}\}.
\]
Mostre que $f^{\ast}$ \'{e} cont\'{\i}nua em $D.$

\item Mostre que o Teorema de Arzel\'{a}-\`{A}scoli pode falhar quando
consideramos as seguintes sequ\^{e}ncias de fun\c{c}\~{o}es

\begin{itemize}
\item[(a)] $f_{n}(x)=x+n,\;x\in\lbrack0,1].$

\item[(b)] $f_{n}(x)=x^{n},\;x\in\lbrack0,1].$

\item[(c)] $f_{n}(x)=\frac{1}{1+(x-n)^{2}},\;x\in\lbrack0,\infty).$
\end{itemize}

Quais as hip\'{o}teses que falham no Teorema?

\item Se $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ \'{e} cont\'{\i}nua em
$[0,\infty)$ e $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0,$ mostre que $f$ \'{e}
uniformemente cont\'{\i}nua em $[0,\infty).$

\item Mostre que se, para cada $n\in\mathbb{N},$ a fun\c{c}\~{a}o
$f_{n}:I\rightarrow\mathbb{R}$ \'{e} mon\'{o}tona crescente e se
$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)$ \'{e} cont\'{\i}nua em $I,$ ent\~{a}o
a converg\^{e}ncia \'{e} uniforme em $I.$

\item Suponhamos $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uniformemente
cont\'{\i}nua em $\mathbb{R}$ e , para $n\in\mathbb{N},$ seja $f_{n}%
(x)=f(x+\frac{1}{n})$ para $x\in\mathbb{R}.$ Mostre que $(f_{n})$ converge
uniformemente em $\mathbb{R}$ para $f.$

\item Considere as sequ\^{e}ncias $(f_{n})$ de $D=\{x\in\mathbb{R}:x\geq0\}$
em $\mathbb{R}$ definidas pelas seguintes f\'{o}rmulas:

(a) $\frac{x^{n}}{n},\;\;\;\;\;\;$(b) $\frac{x^{n}}{1+x^{n}},\;\;\;\;\;\;$(c)
$\frac{x^{n}}{n+x^{n}},$

(d) $\frac{x^{2n}}{1+x},\;\ \ \ \ \ \ $(e)$\;\frac{x^{n}}{1+x^{2n}%
},\;\;\;\;\;$(f) $\frac{x}{n}e^{-\frac{x}{n}}.$

\item D\^{e} exemplo de uma sequ\^{e}ncia de fun\c{c}\~{o}es descont\'{\i}nuas
em toda parte, que converge uniformemente para uma fun\c{c}\~{a}o cont\'{\i}nua.

\item D\^{e} exemplo de uma sequ\^{e}ncia de fun\c{c}\~{o}es cont\'{\i}nuas
que converge num compacto para uma fun\c{c}\~{a}o que tem um n\'{u}mero
infinito de descontinuidades.

\item Seja $(f_{n})$ uma sequ\^{e}ncia de fun\c{c}\~{o}es cont\'{\i}nuas de
$D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ em $\mathbb{R}^{m}$ tal que $(f_{n})$ converge
uniformemente para $f$ em $D,$ e seja $(x_{n})$ uma sequ\^{e}ncia de elementos
de$\,\ D$ que converge para $x\in D.$ Decorre que $(f_{n}(x_{n}))$ converge
para $f(x)?$
\end{enumerate}

$\;\;\;\;$


\end{document}
