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\begin{document}
Universidade Federal da Paraiba

Centro de Ci\^{e}ncias Exatas e da Natureza

Departamento de Matem\'{a}tica

\bigskip Disciplina: An\'{a}lise Real- Prof. Milton

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
2$^{\underline{a}}\;$Lista de Exerc\'{\i}cios

\bigskip
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Use $f(x)=x^{2}$ para mostrar que a imagem de um aberto por uma
fun\c{c}\~{a}o cont\'{\i}nua pode n\~{a}o ser um aberto.

\item Prove que se $f:S\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ \'{e} cont\'{\i}nua e
$F\subset\mathbb{R}^{n}$ \'{e} fechado, ent\~{a}o $f^{-1}(F)$ \'{e} fechado em
$S.$

\item Seja $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ uma fun\c{c}\~{a}o
cont\'{\i}nua. Prove que o conjunto dos zeros de $f,$ $Z(f)=\{x\in
\mathbb{R}^{n};$ $f(x)=0\}$ \'{e} fechado.

\item Prove que a imagem de uma sequ\^{e}ncia de Cauchy por uma fun\c{c}\~{a}o
uniformemente cont\'{\i}nua \'{e} uma sequ\^{e}ncia de Cauchy. E se a
fun\c{c}\~{a}o for apenas cont\'{\i}nua?

\item O cone $C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3};\;z\geq0,\;x^{2}+y^{2}-z=0\}$ \'{e}
homeomorfo a $\mathbb{R}^{2}.$

\item Estabele\c{c}a um homeomorfismo entre $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ e
$S^{n}\times\mathbb{R}.$

\item O conjunto das aplica\c{c}\~{o}es lineares injetivas \'{e} aberto em
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}).$ Onde $\mathcal{L}(\mathbb{R}%
^{m},\mathbb{R}^{n})$ \'{e} o conjunto das aplica\c{c}\~{o}es lineares de
$\mathbb{R}^{m}$ em $\mathbb{R}^{n}.$ Idem para as sobrejetivas.

\item Mostre que \ as opera\c{c}\~{o}es usuais de soma de aplica\c{c}\~{o}es e
produto de uma aplica\c{c}\~{a}o por um n\'{u}mero real fazem do conjunto
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n})$ um espa\c{c}o vetorial.
Analogamente, para o conjunto $M(n\times m).$ Exiba, explicitamente, bases
para os espa\c{c}os $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n})$ e $M(n\times
m)$. ($M(n\times m)$ \'{e} o conjunto das matrizes reais $(a_{ij})$ com $n$
linhas e $m$ colunas).

\item Dado $x=(x_{1},\cdots,x_{m})\in\mathbb{R}^{m},$ tem-se
\[
x=x_{1}e_{1}+\cdots+x_{m}e_{m}
\]
onde $\{e_{1},\cdots,e_{m}\}$ \'{e} a base can\^{o}nica do $\mathbb{R}^{m}.$
Tal base permite estabelecer uma bije\c{c}\~{a}o natural entre o conjunto
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n})$ das transforma\c{c}\~{o}es
lineares $T:\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ e o conjunto $M(n\times
m).$ A matriz $(a_{ij})$ que corresponde \`{a} transforma\c{c}\~{a}o linear
$T$ \'{e} definido por
\begin{equation}
T\cdot e_{j}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_{i}\;\;\;\text{(}j=1,\cdots,m\text{).}%
\tag{(*)}%
\end{equation}
Ou seja, mostre que a aplica\c{c}\~{a}o $%
\begin{array}
[c]{cccc}%
\Psi: & \mathcal{L}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}) & \rightarrow & M(n\times
m)\\
& T & \mapsto & \Psi(T)=A
\end{array}
,$ onde $A$ \'{e} tal que $T\cdot e_{j}=Ae_{i},$ \'{e} bijetora.

\item Considere em $\mathbb{R}^{m}$ e $\mathbb{R}^{n}$ a norma euclideana.
Dada uma aplica\c{c}\~{a}o linear $A:\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n},$
existe uma \'{u}nica aplica\c{c}\~{a}o linear $A^{\ast}:\mathbb{R}%
^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$, chamada a \emph{transposta (ou adjunta)} de
$A,$ tal que $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{\ast}y\rangle,$ $\forall
x\in\mathbb{R}^{m},\;\forall y\in\mathbb{R}^{n}.$ Dado $b\in\mathbb{R}^{n},$
mostre que a equa\c{c}\~{a}o $Ax=b$ possui solu\c{c}\~{a}o $x\in\mathbb{R}%
^{m}$ se, e somente se, $b$ \'{e} ortogonal a todo elemento do n\'{u}cleo de
$A^{\ast}.$

\item Uma aplica\c{c}\~{a}o \ linear \ $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow
\mathbb{R}^{n}$ diz-se \emph{sim\'{e}trica} quando $T=T^{\ast}.$ Prove que o
conjunto $S$ das aplica\c{c}\~{o}es lineares sim\'{e}tricas constitui um
subespa\c{c}o vetorial de dimens\~{a}o $n(n+1)/2$ em $\mathcal{L}%
(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}).$ Quando $T^{\ast}=-T,$ diz-se que $T$ \'{e}
\emph{anti-sim\'{e}trica}. Prove que o conjunto $U$ das aplica\c{c}\~{o}es
lineares anti-sim\'{e}tricas \'{e} um subespa\c{c}o vetorial de dimens\~{a}o
$n(n-1)/2$ em $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})$ e que toda
aplica\c{c}\~{a}o linear $T$ se escreve, de modo \'{u}nico, como soma de uma
aplica\c{c}\~{a}o sim\'{e}trica com uma anti-sim\'{e}trica, isto \'{e},
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})=S\oplus U.$

\item Dado um subconjunto $X\subset\mathbb{R}^{m},$ seu \emph{complemento
ortogonal \ }\'{e} o conjunto $X^{\perp}=\{y\in\mathbb{R}^{m}:\langle
x,y\rangle=0,\;\forall x\in X\}.$ Mostre que $X^{\perp}$ \'{e} um
subespa\c{c}o vetorial do $\mathbb{R}^{m}$ e que se $E\subset\mathbb{R}^{m}$
\'{e} um subespa\c{c}o vetorial ent\~{a}o $E^{\perp\perp}=E.$

\item Dada $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}),$ supomos fixadas
uma norma em $\mathbb{R}^{m},$ outra em $\mathbb{R}^{n}$ e pomos, $\left\vert
T\right\vert =\sup\{\left\vert Tx\right\vert ;\;x\in\mathbb{R}^{m},$
$\left\vert x\right\vert =1\}.$ Prove que $\left\vert T\right\vert =\inf
\{c\in\mathbb{R};\;\left\vert Tx\right\vert \leq c\left\vert x\right\vert
,\;\forall x\in\mathbb{R}^{m}\}.$

\item Uma forma quadr\'{a}tica $H:IR^{n}\rightarrow IR$ \'{e} uma
fun\c{c}\~{a}o cujo valor num vetor $v=(v_{1},\cdots,v_{n})$ \'{e} dado por
$\sum_{i,j=1}^{n}h_{ij}v_{i}v_{j},$ onde $h_{ij}$ \'{e} uma matriz
sim\'{e}trica $n\times n.$ Denotamos por $H\cdot v^{2}.$ Definimos a
$\emph{Hessiana} $ de uma fun\c{c}\~{a}o diferenci\'{a}vel $f:U\subset
IR^{n}\rightarrow IR$ no ponto $x$ por $H(x)=d^{2}f(x),$ isto \'{e},
\[
H(x)\cdot v^{2}=\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial
x_{j}}(x)v_{i}v_{j}.
\]
Dada uma fun\c{c}\~{a}o diferenci\'{a}vel $f:U\rightarrow IR,$ um ponto $a\in
U$ \'{e} ponto cr\'{\i}tico de $f$ (ou ponto \emph{singular}) quando
$df(a)=0,$ isto \'{e}, $\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(a)=\cdots
=\dfrac{\partial f}{\partial x_{n}}(a)=0.$Diz-se que $f$ \ tem
um\emph{\ m\'{a}ximo }(resp. \emph{m\'{\i}nimo}) \emph{local }\ no ponto $a\in
U$ quando existe $\delta>0$ tal que $\left\vert v\right\vert <\delta
\Rightarrow f(a+v)\leq f(a)$ (resp. $f(a)\leq f(a+v)$).

(a) Mostre que se $f$ tem um m\'{a}ximo local (ou m\'{\i}nimo local) no ponto
$a,$ ent\~{a}o $a$ \'{e} um ponto cr\'{\i}tico de $f.$

O ponto cr\'{\i}tico $a$ diz-se \emph{n\~{a}o degenerado }quando a matriz
Hessiana nesse ponto \'{e} invert\'{\i}vel, i. e., $\det(\dfrac{\partial^{2}%
f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a))\neq0.$

(b) Seja $f:U\rightarrow IR$ de classe $C^{2}.$ Mostre que todo ponto
cr\'{\i}tico n\~{a}o-degenerado $a\in U$ \'{e} um ponto cr\'{\i}tico isolado.

Para mostrar (b), prove primeiro o seguinte resultado:

(c) Seja $F=(f_{1},\cdots,f_{n}):U\rightarrow IR^{n},$ onde cada
$f_{i}:U\rightarrow IR$ ($1\leq i\leq n)$ \'{e} diferenci\'{a}vel no ponto
$a\in U\subset IR^{n}.$ Se a matriz $H=(\dfrac{\partial^{2}f}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}(a)),$ tem determinante $\neq0$ ent\~{a}o existe
$\delta>0$ tal que $0<\left|  x-a\right|  <\delta\Rightarrow F(x)\neq F(a).$

(d) Conclua com esses resultados que o conjunto dos pontos cr\'{\i}ticos
n\~{a}o-degenerados de uma fun\c{c}\~{a}o de classe $C^{2}$ \'{e}
enumer\'{a}vel. E que em cada compacto $K\subset U$ h\'{a} apenas um
n\'{u}mero finito deles.

\item Seja $H:IR^{n}\rightarrow IR$ uma forma quadr\'{a}tica, dada por $H\cdot
v^{2}=\sum h_{ij}v_{i}v_{j}$ para $v=(v_{1},\cdots,v_{n}).$ Diremos que $H$
\'{e} \emph{positiva} quando tivermos $H\cdot v^{2}>0,\;\forall v\neq0$ em
$IR^{n}.$ Se for $H\cdot v^{2}<0,\forall v\neq0$ em $IR^{n},$ diremos que ela
\'{e} uma forma quadr\'{a}tica \emph{negativa. }Se uma forma quadr\'{a}tica
for positiva ou negativa, diremos que ela \'{e} uma \emph{forma definida.
}$\ $Diremos que $H$ \'{e} \emph{indefinida }quando existirem vetores $v,w\in
IR^{n}$ tais que $H\cdot v^{2}>0$ e $H\cdot w^{2}<0.$

(a) D\^{e} exemplos de formas quadr\'{a}ticas definidas e indefinidas.

(b) Seja $f:U\rightarrow IR,$ $f\in C^{2},$ $a\in U$ um ponto cr\'{\i}tico de
$f$ e $H$ a forma Hessiana de $f$ em $a.$ Mostre que se $H$ \'{e} positiva
ent\~{a}o $a$ \'{e} um ponto de m\'{\i}nimo local n\~{a}o-degenerado.

(c) Sejam $f$ e $\ a$ nas mesmas condi\c{c}\~{o}es de (b), mostre que se $H$
\'{e} negativa ent\~{a}o $a$ \'{e} um ponto de m\'{a}ximo local n\~{a}o-degenerado.

(d) Sejam $f$ e $a$ nas mesmas condi\c{c}\~{o}es de (b), mostre que se $H$
\'{e} indefinida ent\~{a}o $a$ n\~{a}o \'{e} ponto de m\'{\i}nimo local nem de
m\'{a}ximo local para $f.$

(e) D\^{e} exemplos para as tr\^{e}s situa\c{c}\~{o}es (b), (c) e (d).

\item Mostre que se $f:[a,b]\rightarrow IR^{n}$ \'{e} um caminho cont\'{\i}nuo
e possui derivada nula em todos os pontos de $(a,b)$ ent\~{a}o $f$ \'{e} constante.

\item Seja $f:U\subset IR^{n}\rightarrow IR$ diferenci\'{a}vel em $U$ aberto.
Se para $i=1,\cdots,n,\;\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}:U\rightarrow IR$
s\~{a}o diferenci\'{a}veis num ponto $a\in U$ ent\~{a}o diz-se que $f$ \'{e}
\emph{duas vezes diferenci\'{a}vel} no ponto $a.$ Neste caso, $\forall
i,j=1,\cdots,n$, existem as derivadas parciais de segunda ordem
\[
\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(  \frac{\partial f}{\partial x_{j}%
}\right)  (a)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(a).
\]
Assim, ficam definidas $n^{2}$ fun\c{c}\~{o}es $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}:U\rightarrow IR,\;1\leq i,j\leq n.$ Se todas essas
fun\c{c}\~{o}es s\~{a}o diferenci\'{a}veis num ponto, ent\~{a}o $f$ \'{e}
\emph{tr\^{e}s vezes diferenci\'{a}vel }naquele ponto. E assim por diante.

Utilizando a regra de Leibniz prove a seguinte vers\~{a}o do Teorema de
Schwarz: \textquotedblright Seja $f:U\rightarrow IR$ tal que existem
$\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$ e $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}$ em todos os pontos de $U.$ Se as fun\c{c}\~{o}es
$\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}},\dfrac{\partial^{2}f}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}:U\rightarrow IR$ s\~{a}o cont\'{\i}nuas, ent\~{a}o a
derivada $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}$ existe em todos
os pontos de $U$ e vale $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}%
}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}.$

\item Seja $f:IR^{m}\rightarrow IR$ tal que $f(tx)=|t|f(x)$ para $x\in IR^{m}
$ e $t\in IR$ quaisquer. Se $f$ \'{e} diferenci\'{a}vel na origem, ent\~{a}o
$f(x)=0$ para todo $x.$

\item Se $f:U\rightarrow IR$, $U\subset IR^{n}$ aberto, assuma seu m\'{a}ximo
(ou m\'{\i}nimo) num ponto $a\in U$ ent\~{a}o qualquer derivada parcial de $f$
que exista em $a$ \'{e} nula.

\item Seja $f:U\rightarrow IR$ cont\'{\i}nua no aberto limitado $U\subset
IR^{n},$ possuindo derivadas parciais em todos os pontos de $U.\;$Se, para
todo $a\in\partial U$ tem-se $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ ent\~{a}o existe
$c\in U$ tal que $\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}(c)=0,$ $i=1,\cdots,n.$

\item Se $f:U\rightarrow IR$ possui derivadas parciais, com $\left\vert
\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)\right\vert \leq M$ ($i=1,\cdots,n)$ em
todos os pontos do aberto convexo $U\subset IR^{m}$ ent\~{a}o $|f(x)-f(y)|\leq
M|x-y|$ (norma da soma) para quaisquer $x,y\in U.$ Conclua que se $f$ possui
derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ent\~{a}o ela \'{e}
cont\'{\i}nua (mas n\~{a}o necessariamente uniformemente cont\'{\i}nua).

\item Uma fun\c{c}\~{a}o $f:IR^{m}\rightarrow IR$ tal que $f(0)=0$ e
$f(tx)=tf(x)$ para quaisquer $x\in IR^{m}$ e $t>0$ tem todas as derivadas
direcionais na origem, e vale $\dfrac{\partial f}{\partial v}(0)=f(v).$

\item Sejam $U\subset IR^{m}$ aberto, $f:U\rightarrow IR$ diferenci\'{a}vel no
ponto $a\in U$ e $M=\{(x,y)\in IR^{m+1};\;x\in U,$ $y=f(x)\}$ o gr\'{a}fico de
$f.$ O conjunto $E$ dos vetores $v=(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m},\alpha
_{m+1})\in IR^{m+1}$ tais que $\alpha_{m+1}=\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}%
\cdot\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)$ \'{e} um subespa\c{c}o vetorial de
dimens\~{a}o $m$ em $IR^{m+1}.$ Mostre que $E$ coincide com o conjunto dos
vetores $\lambda^{\prime}(0)$ dos caminhos $\lambda:(-\varepsilon
,\varepsilon)\rightarrow IR^{m+1},$ diferenci\'{a}veis no ponto $t=0,$ com
$\lambda(0)=a$ e tais que $\lambda(t)\in M$ para todo $t.$ Determine
$\beta_{1},\cdots,\beta_{m+1}$ de modo que o vetor $w=(\beta_{1},\cdots
,\beta_{m+1})$ seja n\~{a}o-nulo e ortogonal ao subespa\c{c}o $E.$

\item Mostre que todo funcional linear $f:IR^{m}\rightarrow IR$ \'{e}
diferenci\'{a}vel e $df(x)\cdot v=f\cdot v$ para quaisquer $x,v\in IR^{m}.$

\item Para cada uma das fun\c{c}\~{o}es abaixo, escreva a diferencial sob a
forma
\[
df(x)=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}dx_{1}+\cdots+\frac{\partial
f}{\partial x_{n}}dx_{n}
\]
e use esta express\~{a}o para calcular $df(x)\cdot v$ para $x$ e $v$ dados.

(a) $f:IR\times(IR-\{0\})\rightarrow IR,$ $f(x,y)=x/y.$ Calcule $df(x)\cdot v$
com $v=(tx,ty)$ e relacione este resultado com as curvas de n\'{\i}vel de $f.$

(b) $f:IR^{3}-\{0\}\rightarrow IR,$ $f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}.$
Mostre que $df(x,y,z)\cdot v=0$ se, e somente se, $v$ \'{e} perpendicular a
$(x,y,z).$ Calcule $df(x,y,z)\cdot v$ para $x=1,\;y=2,\;z=3,$ e $v=(4,2,2).$

(c) $f:IR^{2}-\{0\}\rightarrow IR,$ $f(z)=\log|z|.$ Calcule $df(z)\cdot v,$
com $z=(x,y)$ e $v=(-y,x).$

\item Considere em $IR^{m}$ a norma euclideana. Se $f:IR^{m}-\{0\}\rightarrow
IR$ \'{e} definida por $f(x)=|x|^{a},$ com $a\in IR,$ ent\~{a}o $df(x)\cdot
v=a|x|^{a-2}\langle x,v\rangle$ para todo $v\in IR^{m}.$

\item Seja $f:IR^{m}\times IR^{m}\rightarrow IR$ dada por $f(x,y)=\langle
x,y\rangle.$Mostre que $f$ \'{e} diferenci\'{a}vel e que $df(x,y)\cdot
(v,w)=\langle v,y\rangle+\langle x,w\rangle.$ Generalize, considerando uma
forma bilinear $\varphi:IR^{m}\times IR^{n}\rightarrow IR$ qualquer.
$\ $Generalize ainda mais, tomando $\psi:IR^{m_{1}}\times\cdots\times
IR^{m_{k}}\rightarrow IR.$ Obtenha a diferencial da fun\c{c}\~{a}o
determinante como caso particular.

\item Seja $U\subset IR^{m}$ aberto. Se a fun\c{c}\~{a}o diferenci\'{a}vel
$f:U\rightarrow IR$ cumpre a condi\c{c}\~{a}o de Lipschitz $\left\vert
f(x)-f(y)\right\vert \leq c\left\vert x-y\right\vert $ ent\~{a}o $\left\vert
df(x)\cdot v\right\vert \leq c\left\vert v\right\vert $ para $x\in U$ e $v\in
IR^{m}.$

\item Dada a transforma\c{c}\~{a}o linear $A:IR^{m}\rightarrow IR^{n},$ defina
as fun\c{c}\~{o}es $f:IR^{m}\times IR^{n}\rightarrow IR$ e $g:IR^{m}%
\rightarrow IR$ pondo $f(x,y)=\langle A\cdot x,y\rangle$ e $g(x)=\langle
A\cdot x,x\rangle.$ Determine $grad$ $f(x,y)$ e $grad$ $g(x).$

\item Sejam $\xi:I\rightarrow IR$ cont\'{\i}nua e $f:IR^{2}\rightarrow IR$ de
classe $C^{1},$ com $\dfrac{\partial f}{\partial y}\neq0$ em todos os pontos.
Se $f(x,\xi(x))=0$ para todo $x\in I,$ prove que $\xi$ \'{e} de classe
$C^{1}.$

\item Seja $f:U\rightarrow IR$ definida no aberto $U\subset IR^{2},$ tal que
$(x^{2}+y^{2})f(x,y)+f(x,y)^{2}=1$ para qualquer $(x,y)\in U.$ Prove que $f\in
C^{\infty}.$

\item Seja $f:U\rightarrow IR$ definida no aberto $U\subset IR^{n}.$ Se a
fun\c{c}\~{a}o $g:U\rightarrow IR,$ dada por $g(x)=\int_{0}^{f(x)}%
(t^{2}+1)dt,$ for de classe $C^{\infty},$ ent\~{a}o $f$ tamb\'{e}m ser\'{a}
$C^{\infty}.$

\item Seja $f:IR^{2}\rightarrow IR$ de classe $C^{\infty},$ com
$f(x,0)=f(0,y)=0$ para quaisquer $x,y\in IR.$ Mostre que existe $g:IR^{2}%
\rightarrow IR$ de classe $C^{\infty}$ tal que $f(x,y)=g(x,y)\cdot x\cdot y$
para qualquer $(x,y)\in IR^{2}.$

\item Seja $f:U\rightarrow IR$ de classe $C^{k}$ ($i\leq k\leq\infty)$ no
aberto convexo $U\subset IR^{2},$ contendo a origem. Suponha que $f$ e todas
as suas derivadas parciais de ordem $\leq i$ se anulam na origem. Prove que
existem fun\c{c}\~{o}es $a_{0},$ $a_{1},$ $\cdots,$ $a_{i}:U\rightarrow IR$ de
classe $C^{k-i},$ tais que $f(x,y)=\sum\limits_{j=0}^{i}a_{j}(x,y)x^{j}%
y^{i-j}$ para todo ponto $(x,y)\in U.$
\end{enumerate}


\end{document}
