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\begin{document}
Universidade Federal da Paraiba

Centro de Ci\^{e}ncias Exatas e da Natureza

Departamento de Matem\'{a}tica

Curso de P\'{o}s-Gradua\c{c}\~{a}o em Matem\'{a}tica

\bigskip

Disciplina: An\'{a}lise real- Prof. Milton

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
Lista de Exerc\'{\i}cios
\end{center}

\bigskip Propriedades M\'{e}tricas do $\mathbb{R}^{n}$

1) Se $\left\|  \cdot\right\|  $ \'{e} uma norma em $\mathbb{R}^{1}$, mostre
que existe $c>0$ tal que $\left\|  x\right\|  =c\left|  x\right|  ,$ $\forall
x\in\mathbb{R}^{1}.$

2) Prove que $\left|  \left\|  x\right\|  -\left\|  y\right\|  \right|
\leq\left\|  x-y\right\|  ,\;\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}.$

3) Mostre que $\left\|  \cdot\right\|  _{1}\sim\left\|  \cdot\right\|  _{2}$
\'{e} uma rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia.

4) Verifique que em $\mathbb{R}^{n}\,$\ as normas $\left\|  \cdot\right\|
_{s}$ e $\left\|  \cdot\right\|  _{\infty}$ n\~{a}o prov\'{e}m de produtos internos.

5) Sejam $\left\vert \cdot\right\vert $ e $\left\Vert \cdot\right\Vert $
normas nos espa\c{c}os vetoriais $E$ e $F$, respectivamente. Prove que em
$E\times F$ cada uma das seguintes fun\c{c}\~{o}es define uma norma e que elas
s\~{a}o duas a duas equivalentes
\[
\left\Vert (x,y)\right\Vert _{1}=\sqrt{\left\vert x\right\vert ^{2}+\left\Vert
y\right\Vert ^{2}},\;\left\Vert (x,y)\right\Vert _{2}=\max\{\;\left\vert
x\right\vert ,\left\Vert y\right\Vert \},\;\;\left\Vert (x,y)\right\Vert
_{3}=\left\vert x\right\vert +\left\Vert y\right\Vert .
\]
Supondo que as normas $\left\vert \cdot\right\vert $ e $\left\Vert
\cdot\right\Vert $ prov\^{e}m de produtos internos, defina em $E\times F$ um
produto interno que d\'{a} origem \`{a} norma $\left\Vert \cdot\right\Vert
_{1}.$

6) Seja $\mathcal{P}$ o espa\c{c}o vetorial dos polin\^{o}mios reais. Mostre
que cada uma das fun\c{c}\~{o}es
\[
\left\|  p\right\|  _{1}=\max_{0\leq t\leq1}\left|  p(t)\right|
\;\;\;\text{e\ }\left\|  p\right\|  _{2}=\max_{0\leq t\leq2}\left|
p(t)\right|  \text{\ \ }%
\]
define uma norma em $\mathcal{P}.\;$Se $\alpha>0$, mostre que existe um
polin\^{o}mio $p(t)$ tal que
\[
\left|  p(t)\right|  <\alpha\text{ em }[0,1]\text{ e }p(2)\geq1.
\]
Usando estes fatos conclua que as normas acima n\~{a}o s\~{a}o equivalentes.

\bigskip

II. Topologia do $\mathbb{R}^{n}$

\bigskip

1) Encontre o exterior, o interior, a fronteira e o fecho de cada subconjunto
do $\mathbb{R}^{2}$ dado abaixo, classificando-o topologicamente em : aberto,
fechado, conexo, compacto, etc

(a) $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};\;x^{2}+y^{2}=1\}.$

(b) $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};\;y>0\;$ou \ ($x>0\;$e $y=0$)$\}$

(c) $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};x^{2}-y^{2}\geq1\}$

(d) $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};x^{2}+\frac{y^{2}}{4}>1\}$

(e) $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2};x$ e $y$ s\~{a}o racionais$\}.$

2) O produto cartesiano $R=I\times J$ de dois intervalos abertos da reta \'{e}
denominado um\textit{\ ret\^{a}ngulo} \textit{aberto} do $\mathbb{R}^{2}.$
Mostre que nos conceitos de interior, exterior e fronteira o termo
\ \textquotedblright bola aberta \textquotedblright\ pode ser substitu\'{\i}do
por ret\^{a}ngulo aberto, independente da norma utilizada. Generalize para o
$\mathbb{R}^{n}.$

3) Mostre que $S\subset\mathbb{R}^{n}$ \'{e} aberto se e s\'{o} se
$S\cap\partial S=\emptyset.$

4) Mostre que $x\in\overline{S}$ se e s\'{o} se $S\cap B_{\varepsilon}%
(x)\neq\emptyset,$ para todo $\varepsilon>0.$

5) Prove que para todo $S\subset\mathbb{R}^{n},$ tem-se $\partial
S=\overline{S}\cap\overline{S^{C}}.$

6) Mostre que o interior de $S$ \'{e} o maior aberto contido em $S$ e que o
fecho de $S$ \'{e} o menor fechado que cont\'{e}m $S.$

7) Seja $S\subset\mathbb{R}^{n}$ um subconjunto aberto. Mostre que os
subconjuntos abertos em $S$ s\~{a}o, precisamente, \ os abertos de
$\mathbb{R}^{n}$ contidos em $S.$

8) Prove a igualdade de conjuntos $A-B=A\cap B^{C}.$ Conclua que se $A$ \'{e}
aberto e $B$ \'{e} fechado, $A-B$ \'{e} aberto e que se $A$ \'{e} fechado e
$B$ \'{e} aberto, ent\~{a}o $A-B$ \'{e} fechado.

9) Um ponto $x_{0}\in S\subset\mathbb{R}^{n}$ \'{e} denominado um
\textit{ponto isolado} de $S$ se existir $\varepsilon>0$ tal que
$B_{\varepsilon}(x_{0})\cap S=\{x_{0}\}.$ Prove que todo ponto de $S$ ou \'{e}
um ponto de acumula\c{c}\~{a}o de $S.$

10) Para o conjunto $S$ do exerc\'{\i}cio 1(a), prove que dois pontos
quaisquer de $S^{C}$ podem ser ligados por uma poligonal inteiramente contida
em $S^{C}.$ Por esta raz\~{a}o o conjunto $S^{C}$ \'{e} denominado
\textit{Conexo por Caminho.}

11) Prove que um subconjunto aberto $S\subset\mathbb{R}^{n}$ \'{e} conexo se,
e somente se, \'{e} conexo por caminho.

12) Mostre que se $S\subset\mathbb{R}^{n}$ e $S^{C\text{ \ }}$s\~{a}o abertos,
ent\~{a}o $S=\mathbb{R}^{n}$ ou $S=\emptyset.$ O mesmo ocorre se ambos s\~{a}o fechados.

13) Mostre que $\overline{S}=S\cup S^{\prime},$ onde $S^{\prime}$ denota o
conjunto dos pontos de acumula\c{c}\~{a}o de $S.$

14) Para qualquer $S\subset\mathbb{R}^{n}$ mostre que $S^{\prime}$ \'{e} fechado.

15) Seja $S\subset\mathbb{R}^{2}$ um subconjunto n\~{a}o-enumer\'{a}vel. Prove
que $S$ tem um ponto de acumula\c{c}\~{a}o.

16) Se $A\subset\lbrack0,1]$ \'{e} a uni\~{a}o de intervalos abertos
$(a_{i},b_{i})$ tal que cada n\'{u}mero racional de $(0,1)$ pertence a algum
$(a_{i},b_{i}),$ mostre que $\partial A=[0,1]-A.$

17) Se $A$ \ \'{e} um conjunto fechado da reta que cont\'{e}m todos os
n\'{u}meros racionais de $[0,1]$, mostre que $[0,1]\subset A.$

18) Seja $A\subset\mathbb{R}^{n}$ um conjunto fechado e $x\notin A.$ Prove que
existe um n\'{u}mero real positivo $d$ tal que $\left\|  y-x\right\|  \geq d$
para qualquer $y\in A.$

19) Se $A$ \'{e} fechado, $B$ \'{e} compacto e $A\cap B=\emptyset,$ prove que
existe $d>0$ tal que $\left\|  y-x\right\|  \geq d,$ para qualquer $y\in A$ e
qualquer $x\in B.$ D\^{e} um exemplo em $\mathbb{R}^{2}$ mostrando que isto
pode n\~{a}o ocorrer se os conjuntos $A$ e $B$ forem apenas fechados.

20) Se $A\subset\mathbb{R}^{n}$ \'{e} aberto e $K\subset A$ \'{e} compacto,
mostre que existe um conjunto compacto $K^{\ast}$ tal que $K\subset
int(K^{\ast})$ e $K^{\ast}\subset A.$


\end{document}
