Construção de gráficos de funções y = f(x)

Construção de gráficos de funções y = f(x)

Suponhamos conhecido o gráfico de uma função y = f(x):

Então, a partir de operações simples (translações, reflexões, ...) no gráfico de f, é possível construirmos facilmente os gráficos das seguintes funções:

  1. g(x) = f(x) + a, a > 0

    Neste caso, o gráfico de g pode ser construído através do deslocamento (translação) de "a" unidades para cima do gráfico de f.

  2. g(x) = f(x) - a, a > 0

    O gráfico de g pode ser construído através do deslocamento de "a" unidades para baixo do gráfico de f.

  3. g(x) = f(x + a), a > 0

    O gráfico de g pode ser construído através do deslocamento de "a" unidades para a esquerda do gráfico de f.

  4. g(x) = f(x - a), a > 0

    O gráfico de g pode ser construído através do deslocamento de "a" unidades para a direita do gráfico de f.

  5. g(x) = -f(x)

    O gráfico de g pode ser construído através da reflexão em torno do eixo dos x do gráfico de f, ou seja, os pontos do gráfico de f que estiverem abaixo do eixo x são refletidos para cima e os que estiverem acima do eixo x são refletidos para baixo.

  6. g(x) = f(-x)

    O gráfico de g pode ser construído através da reflexão em torno do eixo dos y do gráfico de f, ou seja, os pontos do gráfico de f que estiverem à esquerda do eixo y são refletidos para a direita e os que estiverem à direita do eixo y são refletidos para a esquerda.

  7. g(x) = |f(x)|

    O gráfico de g pode ser construído através da reflexão em torno do eixo dos x da parte do gráfico de f que estiver abaixo desse eixo. A parte do gráfico de f que estiver acima do eixo dos x faz parte do gráfico de g sem modificações.

  8. g(x) = f(a x), a < 1

    O gráfico de g pode ser construído através de um alongamento na direção horizontal do gráfico de f:

  9. g(x) = f(a x), a > 1

    O gráfico de g pode ser construído através de um encolhimento na direção horizontal do gráfico de f:

  10. g(x) = a f(x), a < 1

    O gráfico de g pode ser construído através de um encolhimento na direção vertical do gráfico de f:

  11. g(x) = a f(x), a > 1

    O gráfico de g pode ser construído através de um alongamento na direção vertical do gráfico de f:


Exemplos:

1. Construir o gráfico de g(x) = | x^2 - 3 | a partir do gráfico de f(x)= x^2.

Solução:

O gráfico de x^2 - 3 é o gráfico de x^2 deslocado 3 unidades para baixo. Refletindo para cima do eixo dos x a parte do gráfico de x^2-3 que está abaixo desse eixo, obtemos o gráfico de g(x).

2. Supondo conhecido o gráfico de f(x) = 1/x, construa o gráfico de g(x) = (2x + 5)/(x + 1) .

Solução:

Observando que 2x + 5 = 2x + 2 + 3 = 2(x + 1) + 3 temos que g(x) pode ser escrita na forma

g(x) = 2 + 3/(x+1)
O gráfico de 1/(x + 1) pode ser construído deslocando-se o gráfico de 1/x uma unidade para a esquerda. Daí, para se obter o gráfico de 3/(x+1) é só fazer um pequeno alongamento na direção vertical. Finalmente, basta deslocar o gráfico de 3/(x + 1) duas unidades para cima para se obter o gráfico de g(x).


Texto elaborado em 12/março/98 por Lenimar Nunes de Andrade. Os gráficos foram construídos com o MAPLE 4.0, versão de demonstração

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