Universidade Federal da Paraíba   CCEN – Departamento de Matemática  Pós – Graduação em Matemática. Verão - 2004

• Carga horária: 10 horas - aula
• Professor:

  Prof. Dr.  Francesco Russo (DMAT - UFPE)

     O objetivo deste mini-curso é dar uma introdução aos temas clássicos e modernos da geometria projetiva e geometria algébrica, como projeções, seções hiperplanas, estudo das variedades das retas secantes e tangentes a uma variedade.

    Na primeira parte vamos expor resultados clássicos sobre as variedades das secantes, das tangentes e dos espaços plurisecantes, sobre variedade dual, sobre o ”join” de variedades, sobre as várias noções de cone tangente.  Demonstraremos o Lema fundamental de Terracini e as suas primeiras conseqüências. Como aplicação forneceremos uma demonstração altamente elementar do famoso teorema de del Pezzo-Bertini-Severi de caracterização da superfície de Veronese, como a única superfície irredutível de P⁵ não cone, com variedade das secantes de dimensão 4.

    Na segunda parte vamos ilustrar o novo período da geometria projetiva, que começou no final dos anos 70 do século passado. O teorema de conexão de Fulton-Hansen, que vamos enunciar e demonstrar evidenciando as profundas ligações com vários resultados de natureza algébrica e geométrica e topológica, abriu o caminho para uma série de aplicações a problemas clássicos e modernos. Aprofundaremos os resultados de Fyodor Zak sobre a tangência de espaços lineares, sobre a finitude do mapa de Gauss, sobre a dimensão da variedade dual e a solução da conjectura de Hartshorne sobre a linear normalidade de variedades de codimensão "pequena". Generalizaremos o teorema de Severi, demonstrado na primeira parte, a classificacão das variedades de Severi e das variedades com deficiências secantes extremais, ou variedades de Scorza. Os métodos utilizados são uma mistura entre técnicas clássicas (projeções , lema de Terracini, tangência ao longo de subvariedades) e conseqüências do teorema de Fulton-Hansen.

    Na ultima aula desejamos tratar uma série de problemas em aberto na área e evidenciar uma série de construções e aplicações da geometria projetiva a problemas centrais da geometria algébrica, como o problema de Waring, a equação determinantal de uma hipersuperfície, o hessiano de polinômios e a variedade dual.

    Os pré-requisitos necessários se limitam a ferramentas desenvolvidas em qualquer curso introdutório de geometria algébrica.

1. Russo, Francesco. Tangents and Secants of Algebraic Varietes Notes of a Course,  24^o Colóquio Bras. de Mat.,  IMPA - 2003