Universidade Federal da Paraíba   CCEN – Departamento de Matemática  Pós – Graduação em Matemática. Verão - 2004

• Carga horária: 10 horas - aula
• Professor:

  Prof. Dr.  Marcelo José Saia (ICMC - USP)

    A principal questão a ser discutida neste mini curso é como se pode usar poliedros de Newton para determinar a trivialidade de famílias de germes de funções ou aplicações, reais ou complexas, que satisfazem alguma condição de não degeneração. Para o caso de funções, serão discutidas a trivialidade topológica e a Whitney equisingularidade.

    Para as  aplicações complexas, iremos enfocar a A-trivialidade topológica, e também dar uma atenção especial ao caso dos germes do plano no plano. No caso geral o objetivo é construir campos de vetores controlados para se obter a trivialidade e no caso de germes do plano no plano, iremos mostrar como se determinar os invariantes topológicos a partir de poliedros de Newton convenientes.

    Para as aplicações reais, iremos discutir as C^r-G-trivialidades, onde G é um dos grupos de Mather R, C, K e A com 0 £ r £ ¥. 

Neste caso o método para se determinar a trivialidade é através de campos de vetores controlados.

1.   J. Briançon, & J.N. Speder, La Trivialité Topologique N´ Implique pas les Conditions de Whitney., Acad. Sc. Paris 280 (1975),

      365-367.

2.   J.N. Damon & T. Gaffney,  Topological triviality of deformations of functions and Newton filtrations, Inv. Math. 72  (1983),

      335-358.

3.   G. M. Greuel, Constant Milnor number implies constant multiplicity for quasihomogeneous singularities, Manuscripta Math .56,

      (1986), 159-166.

4.   A.G. Kouchnirenko, Polyèdres de Newton et Nombres de Milnor, Inv. Math. 32,  (1976), 1-31.

5.   M. Lejeune-Jalabert & B. Teissier, Cloture intègrale des ideaux et equisingularité, Notes of 1974 Seminar at Ecole Polytechnique,

      Univ. de Grenoble (1976).

6.   D. O'Shea, Topologically trivial deformations of isolated quasi homogeneous hypersurface singularities are equimultiple, Proc.

      Amer. Math. Soc.100, (1987), 260-262.

7.   M. J. Saia, The integral closure of ideals and the  Newton filtration, J. Alg. Geometry, 5,(1996), 1-11.

8.   M. J. Saia and J. N. Tomazella, Deformations with constant Milnor number and multiplicity of complex hypersurfaces,

      To appear: Journal of Glasgow Math. Soc. January 2004.

9.   A. N. Varchenko, A lower bound for the codimension of the stratum µ constant in terms of the mixed Hodge structure, Vest.

      Mosk. Univ. Mat. 37, (1982), 29-31.

10. E. Yoshinaga, Topological Principal part of analytic Functions, Trans. of the A.M.S. 314, #2, (1989), 803-813.

11.O. Zariski, Open questions in the Theory of Singularities, Bull. of the A.M.S. 77, (1971), 481-491.