\documentclass[12pt, a4paper]{book} \usepackage[section]{placeins} \usepackage[brazil]{babel} %\usepackage{ulem} \usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage[latin1]{inputenc} %\usepackage{graphicx} \usepackage{color}% \usepackage{amsfonts} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb}% \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} %\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \DeclareMathOperator{\sen}{sen} \DeclareMathOperator{\arcsen}{arcsen} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \title{Séries e Equações Diferenciais Ordinárias} \author{Prof. Milton de L Oliveira} %\ifplastex\else\email{a\_jtim@bellsouth.net}\fi %\abstract{.} \begin{document} \maketitle \chapter{Sequências} \section{Sequências Numéricas} Uma sequência numérica é uma função $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ que a cada número natural $n$ associa um número real $a_n$, isto é, $f(n)=a_n$. O termo $a_n$ diz-se o n-ésimo termo da sequência ou termo geral da sequência. \begin{example} \begin{enumerate} \item $1,1/2,1/3,\cdots$, $a_n=1/n$ \item $-1,1,-1,1,\cdots,$ $b_n=(-1)^n$ \item $x_n=\dfrac{-n}{n+1}$ é o termo geral da sequência $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad f(n)=-\dfrac{n}{n+1}.$ \item $f(n)= \begin{cases} 1/n, \quad n \quad \mbox{par}\\ -1/n^2, \quad n \quad \mbox{ímpar}, \quad -1,1/2,-1/9,1/4,\cdots \end{cases}$ \end{enumerate} \end{example} Se considerarmos $\mathbb{N}'=\{n_10$ o número real $\alpha=\\sup\{a_n\}-\epsilon$ é menor que o supremo da sequência $\{a_n\}$ e, portanto, não pode ser cota superior dessa sequência, por esse motivo, deve existir um $n_0$ tal que $\alpha < a_{n_0}$. Para o ínfimo ocorre fato análogo, ou seja, sendo $\beta= \inf \{a_n\}+ \epsilon$ existe algum termo da sequência tal que $\beta>a_{n_0}$. \begin{example} \begin{enumerate} \item A sequência $\{a_n\}=n$ é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente, $\inf a_n=1$. \item A sequência $a_n=1-n^2$ é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente e $\sup a_n=0$. \item A sequência $a_n=(-1)^n$ é limitada, sendo $\sup a_n=1$ e $\inf a_n=-1$. \item A sequência $a_n=1/n$ é limitada, $\sup a_n=1$ e $\inf a_n=0.$ \item A sequência $a_n=(-1)^n n$ não é limitada superiormente nem inferiormente. \end{enumerate} \end{example} \subsection{Indução Matemática} Se uma propriedade qualquer P vale para $n=1$ e supomos ela válida para $n$ e provamos que P vale para $n+1$, então P vale para todo $n\in \mathbb{N}.$ Esse é o princípio de Indução Matemática. \begin{example} Seja $n!=1.2.3\cdots n$. Provemos que $n!\geq 2^{n-1}, \quad \forall n\in \mathbb{N}.$ \end{example} De fato, sabemos que $1!\geq 2^{1-1}$, assim essa propriedade vale para $n=1$, suponha que ela vale para $n$, isto é, $n!\geq 2^{n-1}$. Considere agora, $(n+1)!=(n+1)n!$, desse modo, \[ (n+1)!=(n+1)n!\geq (n+1)2^{n-1}\geq (1+1)2^{n-1}=2^n\] Logo, a propriedade vale para $n+1$, e, portanto, vale para todo $n\in \mathbb{N}.$ \begin{example} Provemos que $A_n=3(n^2 +n)$ é divisível por $6$, para todo $n\in \mathbb{N}.$ \end{example} De fato, temos que para $n=1$ $A_1=3(1^2+1)=6$ que divide $6$. Suponha que $A_n=3(n^2+n)$ seja divisível por $6$, isto é, existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $A_n=6k$. Agora considere, \[ A_{n+1}=3[(n+1)^2+(n+1)]=3(n^2+n)+3[(2n+1)+1]=6k+6(n+1) \] Logo, $A_{n+1}$ é divisível por $6$. Por indução, essa propriedade vale para todo $n\in \mathbb{N}.$ \section{Sequências Monótonas} \begin{definition} Uma sequência $\{a_n\}$ é dita \textbf{ crescente } ou \textbf{não decrescente} quando $a_n\leq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}.$ Se $ a_n a_{n+1}$ ela é dita estritamente decrescente. \end{definition} \begin{definition} Uma sequência é dita \textbf{monótona} se ela é crescente ou decrescente. \end{definition} \begin{example} \begin{enumerate} \item As sequências $a_n=n$ e $b_n=\ln n$ são crescentes, enquanto que, $c_n=-n^3$ e $d_n=1/n$ são decrescentes. \item A sequência $a_n=(-1)^n$ não é monótona, isto é, ela não é crescente nem decrescente. É uma sequência alternada. \item A sequência $a_n=\dfrac{n}{n+1}$ é crescente. De fato, note que \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{n+2}\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\geq 1, \forall n. \] \end{enumerate} \end{example} A \textbf{monotonicidade} de alguma sequências pode ser deduzida por investigação do sinal da derivada da função extensão. Isto é, se $f(x)$ satisfaz $f(n)=a_n$. Por exemplo, para a sequência, $f(n)=\dfrac{n}{n+1}$, podemos analisar a função $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ e como, $f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$ que é positiva, logo, $f(x)$ é crescente e, por sua vez, $f(n)$ também é crescente. \begin{example} Para a sequência $a_n=\dfrac{n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}$ não é possível definir a função extensão. Mas note que, \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1.3.5\cdots(2n-1)}{1.3.5\cdots (2n-1)(2n+1)}\dfrac{(n+1)!}{n!}=\dfrac{n+1}{2n+1}<1 \] logo, $a_n>a_{n+1}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$ o que implica que $a_n$ é decrescente. \end{example} \section{Sequências Convergentes} \begin{definition} Dizemos que $\{a_n\}$ converge para um número real $l$ se dado $\epsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $|a_n-l|<\epsilon$, para todo $n\in \mathbb{N}.$ Neste caso, denotamos $\lim_{n\to \infty} a_n=l.$ E dizemos que $a_n$ é \textbf{convergente}. Caso contrário, se tal limite não existe, dizemos que a sequência $\{a_n\}$ é \textbf{divergente}. \end{definition} Note que; \[ |a_n-l|<\epsilon \] se, e somente se, \[ -\epsilonl_2$) \[ l_1-l_2=|l1-l2|=|l_1-a_n+a_n+l_2|\leq |l_1-a_n|+|a_n-l_2|<2\epsilon \] agora tome $\epsilon=(l_1-l2)/2>0$, desse modo, obtemos, $l_1-l_20$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n_0>\frac{1}{\epsilon}.$ Logo, se $n>n_0$ então $\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}<\epsilon, \quad \forall n>n_0$ e assim $\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n}=0.$ \item Consideremos a sequência $a_n=\frac{n}{n+1}.$ Neste caso, $\lim_{n\to \infty} a_n=1.$ Dado $\epsilon>0$, note que \[ |\frac{n}{n+1}-1|<\epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}<\epsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\epsilon}-1 \] Escolhendo o primeiro $n_0$ tal que $n_0>\frac{1}{\epsilon}-1$ então para todo $n>n_0$ temos \[ n>\frac{1}{\epsilon}-1 \Rightarrow \frac{1}{n+1}<\epsilon \Rightarrow |\frac{n}{n+1}-1|<\epsilon. \] \item A sequência $b_n=r^n$, onde $r\in \mathbb{R}$, fixo, tal que $-10$, como $0<|r|<1,$ temos que $\ln |r|$ está definido, é diferente de zero, e $\ln |r|<0$. Assim \[ |r^n-0|=|r|^n <\epsilon \Leftrightarrow n \ln|r|< \ln \epsilon \Leftrightarrow n>\dfrac{\ln \epsilon}{\ln |r|} \] Escolha $n_0$ maior ou igual a $\dfrac{\ln \epsilon}{\ln |r|}$ assim $|r^n|<\epsilon$ o que implica em $\lim_{n\to \infty} r^n=0.$ \item Existem sequências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que $n$ aumenta, por exemplo, a sequência $a_n=n$. Nesse caso, dizemos que a sequência tem limite infinito e denotamos $\lim_{n\to \infty} a_n=\infty$, isso significa que dado $K>0$ qualquer, existe $n_0$ tal que $a_n>K$ para todo $n>n_0.$ Para a sequência $b_n=-n$ , $\lim_{n\to \infty} b_n =-\infty.$ \item Se $|r|>1$ então $\lim_{n\to \infty} |r|^n = + \infty$ e $\lim_{n\to \infty} r^n$ não existe. \item Se $a_n=(-1)^n$ e como, $\lim_{n\to \infty}a_{2n}=1$ e $\lim_{n\to \infty}a_{2n-1}=-1$, logo, o limite de $a_n$ não existe. \end{enumerate} \end{example} \begin{theorem} Toda sequência convergente é limitada. \end{theorem} \begin{proof} Seja $(a_n)$ uma sequência convergente com limite $l$. Isto é, $\lim_{n\to \infty} a_n=l$ ou dado $\epsilon>0$, $\exists n_0$ tal que $|a_n-l|<\epsilon, \,\, \forall n>n_0$ ou seja, \[ -\epsilon n_0 \] ou \[ |a_n|<|l|+\epsilon, \,\,\, \forall n>n_0 \] considere $M=\max \{|a_1|, |a_2|, \cdots, |a_{n_0}|,|l|+\epsilon\}$ então \[ |a_n|\leq M, \,\,\, \forall n\in \mathbb{N} \] segue que $(a_n)$ é limitada. \end{proof} A recíproca não é verdadeira pois, por exemplo, a sequência $b_n=\sen n$ é limitada mas $\lim_{n\to \infty} \sen n$ não existe. \begin{theorem}\label{limzero} Sejam $(a_n)$ uma sequência limitada e $(b_n)$ uma sequência que converge a zero então $\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$ \end{theorem} \begin{proof} Como $(a_n)$ é limitada então existe $M>0$ tal que $|a_n|\leq M, \,\,\ \forall n\in \mathbb{N}.$ Por outro lado, como $\lim_{n\to \infty} b_n=0$ então dado $\epsilon>0$, existe $n_0$ tal que $|b_n|<\dfrac{\epsilon}{M}, \,\,\, \forall n>n_0.$ Desse modo, \[ |a_n b_n|=|a_n||b_n|\leq M \frac{\epsilon}{M}<\epsilon, \,\, \forall n>n_0 \] logo, $\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$ \end{proof} \begin{example} A sequência $\frac{1}{n} \sen n$ converge a zero. Pois, $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0$ e $|\sen n|\leq 1.$ E pelo teorema \ref{limzero} temos que $\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$ \end{example} \begin{theorem} Temos que o $\lim_{n\to \infty} a_n=0 $ se, e somente se, $\lim_{n\to \infty} |a_n|=0. $ \end{theorem} Note que se $\lim_{n\to \infty} a_n=L$ então necessariamente, o $\lim_{n\to \infty} |a_n|=|L|$. (Isso porque $||a_n|-|L||\leq |a_n-L|$). Mas, se $\lim_{n\to \infty} |a_n|$ existe isso não implica que $\lim_{n\to \infty} a_n$ exista. Pois, $\lim_{n\to \infty} (-1)^n$ não existe, mas $\lim_{n\to \infty} |(-1)^n|=1$. \begin{theorem} Se $\lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty}c_n=l$ e $(b_n)$ é tal que $a_n\leq b_n \leq c_n$ então $\lim_{n\to \infty} b_n=l.$ \end{theorem} \begin{proof} De fato, $|a_n-l|<\epsilon$ e $|c_n-l|<\epsilon$ então \[ l-\epsilonn_1 \] \[ l-\epsilonn_2 \] tome $n_0=\max{n_1,n_2}$ então \[ l-\epsilonn_0 \] logo, \[ l-\epsilonn_0 \] ou $|b_n-l|<\epsilon, \,\, \forall n>n_0.$ \end{proof} \begin{theorem} Se $f:[a,\infty) \to \mathbb{R}$ é uma função tal que $\lim_{x\to \infty}f(x)=l$, então a sequência $a_n=f(n)$, $n>a$ é convergente e $lim_{n\to \infty} f(n)=l$. Se $\lim_{x\to \infty}f(x)=\pm\infty$ então $lim_{n\to \infty} f(n)=\pm\infty.$ \end{theorem} \begin{example} Considere a sequência $a_n=\frac{n+1}{n+2}$ e calcule o $\lim_{n\to \infty} a_n$. \end{example} Note que a função $f(x)=\frac{x+1}{x+2}$ é tal que $\lim_{x\to \infty} \frac{x+1}{x+2}=1$ então $\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{n+2}=1.$ \begin{example} Para calcular o $\lim_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n}.$ Tomamos a função $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ e como \[ \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}=0 \] segue que $\lim_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n}=0.$ \end{example} \subsection{Propriedades do Limite} Sejam $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ sequências convergentes limites $l$ e $r$, respectivamente. Então: \begin{enumerate} \item $a_n \pm b_n$ converge para $l \pm r$; \item $c a_n$ converge para $cl$; \item $|a_n|$ converge para $|l|$; \item $a_n b_n$ converge para $l r$;\label{quart} \item se $r\neq 0$ então $\frac{a_n}{b_n}$ converge para $\frac{l}{r}.$ \end{enumerate} Vamos provar uma das propriedades acima, por exemplo, pode ser a propriedade \ref{quart}. Suponha que $a_n \to l$ e $b_n \to r$ então dado $\epsilon>0$, existe $n_0$ tal que $|a_n-l|<\epsilon$ e $|b_n-r|<\epsilon$ para todo $n>n_1$ e $n>n_2$, assim, se $n_0=\max\{n_1,n_2\},$ temos que para $n>n_0$ \[ |a_n b_n-lr|<|a_n b_n -a_nr+a_nr-lr|\leq |a_n||b_n-r|+|r||a_n-l|0$ tal que \[ |a_n|\leq M, \,\,\, \forall n \] isto é, $a_n\leq M.$ Logo, $M$ é uma cota superior para $(a_n)$, seja $l=\sup a_n$ então $l$ é a menor das cotas superiores de $(a_n)$, assim $l-\epsilon$ não é cota superior de $(a_n)$ então existe $n_1$ tal que \[ l-\epsilona_{n_1}$ para todo $n>n_1$, segue que, \[ l-\epsilonn_1 \] isto é, \[ |a_n-l|<\epsilon, \,\,\, \forall n>n_1 \] o que implica em $\lim_{n\to \infty} a_n=l.$ \end{proof} \begin{example} Vimos que a sequência cujo termo geral é $a_n=\dfrac{n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}$ é decrescente. Veriquemos que ela também é limitada. \end{example} De fato, temos que \[ 0n_0.$ Como $r<1$ então $0n_0$ o que implica em $(a_n)$ ser limitada. Logo, $(a_n)$ é convergente. Suponha, por absurdo, que $\lim_{n\to \infty} a_n=s\neq 0$ então \[ l=\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\lim a_{n+1}}{\lim a_n}=\dfrac{s}{s}=1. \] Mas, $l<1.$ \end{proof} \begin{example} As sequências $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$, $b_n=\dfrac{r^n}{n!}$, $c_n=\dfrac{n!}{1.3.5\cdots(2n-1)}$, $d_n=\dfrac{n^p}{2^n}$ convergem todas a zero. \end{example} De fato, para a sequência $a_n$ temos \[ \lim_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty } \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}\dfrac{n^n}{n!}=\lim_{n\to \infty}(\dfrac{n}{n+1)})^n=\dfrac{1}{e}<1 \] aqui usou-se o limite fundamental: \[ \lim_{x\to \infty}(1+\dfrac{1}{x})^x=e \] Para a sequência $b_n$ temos \[ \lim_{n\to \infty} \dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{r^(n+1)}{(n+1)!}\dfrac{n!}{r^n}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{r}{n+1}=0, \] e, para a sequência $d_n$ temos \[ \lim_{n\to \infty} \dfrac{d_{n+1}}{d_n}=\lim{n \to \infty} \dfrac{(n+1)^p}{2^(n+1)}\dfrac{2^n}{n^p}=\dfrac{1}{2}\lim_{n \to \infty} (\dfrac{n+1}{n})^p=\dfrac{1}{2}<1 \] aqui usou-se o fato que se uma função $f$ é contínua num intervalo que contém os termos da sequência $(a_n)$ então $\lim_{n \to \infty} f(a_n)=f(\lim_{n\to \infty} a_n)=f(l).$ se $a_n \to l.$ Nesse caso, temos \[ \lim_{n \to \infty} (\dfrac{n+1}{n})^p=(\lim_{n\to \infty} \dfrac{n+1}{n})^p=1^p=1 \] \begin{example} Considere a sequência $a_n=n^{1/n}$ e calcule $\lim_{n \to \infty} n^{1/n}.$ \end{example} Temos que $n^{1/n}=\exp (\dfrac{1}{n}\ln n)$ daí \[ \lim_{n \to \infty} n^{1/n}=\lim_{n\to \infty}\exp (\dfrac{1}{n}\ln n)=\exp(\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}\ln n)=\exp 0=1. \] \chapter{Séries Numéricas} \section{Séries Numéricas} Dada uma sequência $\{a_n\}$ de números reais, a soma infinita \[ a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots \] será representada por $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Tais somas infinitas são chamadas de \textbf{séries infinitas } ou, simplesmente, \textbf{séries}. \begin{example} \begin{enumerate} \item A soma $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots$ que é representada por $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}}$ é uma série geométrica. \item A soma infinita $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$ representamos por $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ é conhecida como a \textbf{série harmônica}. \end{enumerate} \end{example} Dada uma série infinita $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, as \textbf{somas parciais} dessa série são: \[ S_1=a_1, \quad S_2=a_1+a_2, \quad S_3=a_1+a_2+a_3,\quad \cdots ,\quad S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \] Formamos então uma sequência de somas parciais $\{S_n\},$ se $\lim_{n \to \infty} S_n=S$, $S\in \mathbb{R}$ então dizemos que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ \textbf{converge} e sua \textbf{soma} é $S$, isto é, $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Se $\lim_{n \to \infty} S_n$ não existe então dizemos que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ \textbf{diverge}. \begin{example} Seja $r\in \mathbb{R}$ e considere a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$, vamos analisar sobre a convergência ou divergência dessa série. \end{example} Seja $\{S_n\}$ a sequência de somas parciais de ordem $n$ da série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$, isto é, \[ S_n=1+r+r^2+\cdots+r^n \] temos que \[ rS_n=r+r^2+\cdots+r^n+r^{n+1} \] daí \[ (1-r)S_n=1-r^{n+1} \] ou \[ S_n=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r} \] como $\lim_{n\to \infty} r^n=0$ se $|r|<1$ e $\lim_{n\to \infty} r^n$ não existe se $|r|>1$, então concluímos que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$ converge e sua soma é $S=\dfrac{1}{1-r}$ se $|r|<1$ e, diverge se $|r|>1$. No caso em que $|r|=1$ a essa série também diverge, pois $\sum_{n=1}^{\infty}1^n=1+1+1+\cdots+1+\cdots=+\infty$ e $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ não existe. Conclusão a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n$ converge se $|r|<1$ e diverge se $|r|\geq 1.$ De forma análoga, a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^n$ converge para $\dfrac{a}{1-r}$ se $|r|<1$ e diverge se $|r|\geq 1$, tal série é chamada de \textbf{série geométrica}. \begin{example} A série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}$ é uma série geométrica com $a=1$ e $r=\dfrac{1}{2}<1$, portanto converge e sua soma é $S=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2.$ \end{example} \begin{theorem}[Teste do n-ésimo termo] Se uma série $\sum a_n$ converge então $\lim_{n \to \infty} a_n=0.$ \end{theorem} \begin{proof} Temos que \[ a_n=S_n-S_{n-1} \] como $\sum a_n$ converge então $\lim_{n \to \infty} S_n=S$ e $\lim_{n \to \infty} S_{n-1}=S$ daí \[ \lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty} S_n-\lim_{n \to \infty} S_{n-1}=S-S=0. \] \end{proof} \begin{example} \begin{enumerate} \item A série $\sum (-1)^n$ diverge pois $\lim_{n\to \infty} (-1)^n $ não existe, logo, pelo teste do n-ésimo termo a série $\sum (-1)^n$ não pode convergir. \item A série $ \sum \dfrac{n}{n+1}$ diverge, pois $\lim_{n\to \infty} \dfrac{n}{n+1}=1\neq 0.$ \end{enumerate} \end{example} Consideremos a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$. Note que, $\dfrac{1}{n^2+n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ e \[ S_n=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1} \] Logo, \[ \lim_{n\to \infty} S_n =1-\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1}=1 \] portanto, $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ converge para $1$. Tal série é conhecida como \textbf{séries de termos encaixantes.} De um modo geral, a série de termos encaixantes pode ser dada por \[ \sum_{n=1}^{\infty} (b_n-b_{n+1}) \] se $b_n$ convergir então $ \sum_{n=1}^{\infty} (b_n-b_{n+1})=b_1-\lim_{n\to \infty} b_{n+1}. $ Note que se uma série $\sum a_n$ converge então necessariamente $\lim a_n=0.$ Mas se $\lim a_n=0$ não implica que $\sum a_n $ convirja. Um exemplo de série que satisfaz o fato de $\lim a_n=0$ mas que ela diverge é a série harmônica que será estudada na próxima subseção. \subsection{A série harmônica} A série harmônica é série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$. Temos que \[ S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n} \] \[ S_{2n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\cdots+\dfrac{1}{2n} \] Logo, \begin{equation} S_{2n}-S_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}\geq \dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=n.\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}\label{desig} \end{equation} se a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ fosse convergente então as sequências de somas parciais $\{S_n\}$ e $\{S_{2n}\}$ convergiriam e teriam o mesmo limite, e dessa forma, $lim_{n\to \infty} S_{2n}-S_n=0$ Mas, isto é impossível, pois a desigualdade em (\ref{desig}) implica em $lim_{n\to \infty} S_{2n}-S_n\geq \dfrac{1}{2}$. Logo, $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ diverge. O acréscimo ou omissão de um número finito de termos não altera a convergência ou divergência de uma série. Podemos daí deduzir que uma série $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge se, e somente se, $\lim_{p\to \infty} \sum_{n=p}^{\infty} a_n=0.$ Esse é o critério de Cauchy dado abaixo. \begin{theorem}[Critério de Cauchy] Uma série $\sum a_n$ converge se, e somente se, dado $\epsilon>0$ existe $n_0$ tal que \[ |S_n-S_m|< \epsilon, \,\, \forall n>m\geq n_0. \] \end{theorem} \begin{theorem}\label{difere} Se as séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ diferem apenas em uma quantidade finita de termos então ou ambas convergem ou ambas divergem. \end{theorem} \begin{proof} Por hipótese, existe um índice $n_0$ tal que $a_n=b_n, \,\,\, \forall n\geq n_0$. Logo: \[ S_n=a_1+\cdots+a_{n_0}+b_{n_0+1}+\cdots+b_n \] \[ T_n=b_1+\cdots+b_{n_0}+b_{n_0+1}+\cdots+b_n \] daí \[ S_n=S_{n_0}-T_{n_0}+T_n \] e $\lim S_n=S$ então $\lim T_n=S+T_{n_0}-S_{n_0},$ e se $\lim S_n$ não existe então $\lim T_n$ também não existe. \end{proof} \begin{example} As séries $\sum \dfrac{1}{n}$ e $\sum \dfrac{1}{n-5}$ são divergentes e as séries $\sum \dfrac{1}{n^2+n}$ e $\sum \dfrac{1}{2^n}$ são convergentes. \end{example} Como consequência do Teorema \ref{difere} as séries $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=p}^{\infty} a_n$ são ambas convergentes ou ambas divergentes. \begin{theorem}[Propriedades das séries] Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ séries numéricas e seja $\alpha \in \mathbb{R}.$ \begin{enumerate} \item Se $\sum a_n$ e $\sum b_n$ convergem então $\sum (a_n+b_n)$ convergem e $\sum \alpha a_n$ convergem. \item Se $\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ diverge então $\sum (a_n+b_n)$ diverge. \item Se $\sum a_n $ diverge e $\alpha\neq 0$ então $\sum \alpha a_n$ diverge. \end{enumerate} \end{theorem} Se $\sum a_n$ e $\sum b_n$ divergem nada podemos afirmar sobre $\sum (a_n+b_n)$. Tal soma pode convergir ou não. Exemplo, $\sum (\dfrac{1}{n}+\dfrac{-1}{n})=0$ converge, mas $\sum (\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n})=\sum \frac{2}{n}$ diverge. \section{Séries de termos positivos} Uma série $\sum a_n$ é uma série de termos positivos se $a_n\geq 0$ para todo $n\in \mathbb{N}$. Note que quando $\sum a_n$ é uma série de termos positivos então a sequência de somas parciais $(S_n)$ dessa série é crescente, isto é, \[ S_1\leq S_2 \leq \cdots \leq S_n \leq \cdots \] logo, para que a série $\sum a_n$ convirja bast mostrar que $(S_n)$ é limitada. \begin{theorem}[Teste de comparação] Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ séries de termos positivos. Temos que: \begin{enumerate} \item se $a_n\leq b_n$ , para todo $n$ e se $\sum b_n$ converge então $\sum a_n$ converge. \item se $a_n\geq b_n$, para todo $n$ e se $\sum b_n$ diverge então $\sum a_n$ diverge. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Suponha que $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sejam séries de termos positivos, com $\sum b_n$ convergente e suponha que \[ a_n\leq b_n, \,\,\,\forall n\in \mathbb{N} \] seja $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ e $T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$ então \[ S_n\leq T_n \] como $\sum b_n$ converge então $\lim T_n$ existe. Logo $(T_n)$ é limitada, desse modo, existe $M>0$ tal que $T_n\leq M$. Assim, \[ S_n\leq M, \,\,\,\, \forall n \] segue $(S_n)$ é convergente, logo $\sum a_n$ converge. Por outro lado, se $\sum b_n$ diverge e $a_n\geq b_n, \,\,\, \forall n$, então \[ S_n\geq T_n, \,\,\,\forall n \] como $\sum b_n$ diverge então $\lim T_n=+\infty$. Desse modo, $\lim S_n \geq \lim T_n \Rightarrow \lim S_n =+\infty$ o que implica $\sum a_n$ diverge. \end{proof} \begin{example} Mostre que a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}$ diverge. \end{example} De fato, note que \[ n+\sqrt{n}<2n \Rightarrow \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}>\dfrac{1}{2n} \] como $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2n}$ diverge então pelo teste de comparação segue que $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}$ também diverge. \begin{example} Analise sobre a convergência ou divergência da série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3+n^2}$. \end{example} Solução: Note que $n^3+n^2>n^2+n$ o que implica em \[ \dfrac{1}{n^3+n^2}<\dfrac{1}{n^2+n}, \,\,\,\forall n \] como $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ converge então pelo teste de comparação a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3+n^2}$ converge. \begin{theorem}[Teste da Integral] Seja $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ contínua e suponhamos que $f$ é positiva e decrescente então: \begin{enumerate} \item a série $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ é convergente se $\int_1^{\infty} f(x)dx$ for convergente, \item a série $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ é divergente se $\int_1^{\infty} f(x)dx$ for divergente. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Seja $f(x)$ função monótona decrescente e positiva. Temos que \[ f(2)+f(3)+\cdots+f(n)\leq \int_1^n f(x)dx\leq f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1) \] ou \[ S_n\leq f(1)+\int_1^n f(x)dx \] ou ainda \[ S_n\leq f(1)+\int_1^n f(x)dx\leq f(1)+\int_1^{\infty} f(x)dx \] logo $S_n$ é limitada então $S_n$ é convergente, portanto, $\sum f(n)$ converge. De modo análogo,como \[ \int_1^n f(x)dx \leq S_{n-1} \] se $\int_1^{\infty} f(x)dx=+\infty$ então $\lim S_{n-1}=+\infty$, logo, $\sum f(n)$ diverge.\end{proof} \begin{example} \begin{enumerate} \item Seja $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ temos que $f(x)$ é positiva e decrescente já que $f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}$. A integral $\int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2}dx$ converge e, portanto, $\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge. \item $f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$ atende às condições expostas mas $\int_2^{\infty} \dfrac{1}{x \ln x}=\lim_{B\to \infty} [\ln (\ln x))]_2^B=+\infty$, logo $\sum \dfrac{1}{n \ln n}$ diverge. \item Tomando $f(x)=xe^{-x^2}$, $\int_1^{\infty} x e^{-x^2} dx=\dfrac{1}{2e}$ o que implica $\sum ne^{-n^2}$ converge. \end{enumerate} \end{example} A série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$ é uma \textbf{p-série}. Analisemos sobre a convergência ou divergência dessa série. Temos o seguinte resultado. \begin{theorem} A p-série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1.$ \end{theorem} \begin{proof} Calculemos a integral, \[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^p}dx=\lim_{B\to \infty} \int_1^B \dfrac{1}{x^p}dx=\lim_{B\to \infty} [B^{1-p} -1], \,\, p\neq 1 \] se $p<1$ , temos que o $\lim_{B\to \infty} B^{1-p}=+\infty$, se $p>1$ então $\lim_{B\to \infty} B^{1-p}=0.$ \end{proof} \begin{theorem}[Forma limite do teste de comparação] Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ duas séries de termos positivos e seja $l=\lim \dfrac{a_n}{b_n}.$ \begin{enumerate} \item se $l>0$ então ou ambas as séries $\sum a_n $ e $\sum b_n$ convergem ou ambas divergem \item se $l=0$ e $\sum b_n$ converge então $\sum a_n$ converge. \item se $l=+\infty$ e $\sum b_n$ diverge então $\sum a_n$ diverge. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Fixado $\epsilon=l/2$ podemos encontrar $n_0$ tal que \[ \dfrac{l}{2}b_n \leq a_n \leq \dfrac{3}{2}lb_n, \forall n\geq n_0 \] assim, usando o teste de comparação provamos a primeira parte do teorema. Pois se $\sum b_n$ converge então $\sum (\dfrac{3}{2}l) b_n$ também converge e como $a_n\leq (\dfrac{3}{2}l)b_n$ para todo $n$ segue o resultado. Por outro lado, se $\sum b_n$ diverge como $\dfrac{l}{2}b_n \leq a_n$ para todo $n$, segue que $\sum a_n$ diverge, já que $\sum (l/2)b_n$ diverge. \end{proof} \begin{example} Considere a série $\sum \dfrac{6\sqrt{n}}{5n+4}.$ Ela converge ou diverge? \end{example} Solução: Para encontrar uma série que possamos comparar com a série dada olhamos os termos que dominam no numerador e denominador da série original, neste caso, escolhemos $\sum \dfrac{\sqrt{n}}{n}=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ para comparar com a série dada, já sabemos que a série $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ é uma p-série com $p=1/2<1$ logo, diverge. E como $\lim_{n\to \infty} \dfrac{6\sqrt{n}}{5n+4}\sqrt{n}=\dfrac{6}{5}>0$ então pela forma limite do teste de comparação segue que $\sum \dfrac{6\sqrt{n}}{5n+4}$ diverge. \begin{example} As séries $\sum e^{-n^2}$ e $\sum \sen^4(\dfrac{1}{n})$ convergem ou divergem? \end{example} Solução: Como $\lim e^{-n^2}/1/n^2=0$ e $\lim \dfrac{\sen^4 (\frac{1}{n})}{1/n^4}=1$ então ambas as séries convergem, pela forma limite do teste de comparação, já que as séries $\sum 1/n^2$ e $\sum 1/n^4$ convergem. \begin{theorem}[Reagrupamento] O reagrupamento de séries de termos positivos que sejam convergentes não altera a convergência da série. \end{theorem} Dadas duas séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ convergentes então $\sum a_n b_n$ não é necessariamente convergente. Além disso, \[\sum a_n b_n \neq \sum a_n \sum b_n=\sum c_n\] onde \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j} \] \begin{example} Temos que a série $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge mas $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=\sum 1/n$ diverge. \end{example} \section{Séries Alternadas} Séries do tipo $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ ou $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^(n-1) a_n$ com os termos $a_n\geq 0$ para todo $n$ é dita \textbf{série alternada}. Ou seja, \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n=-a_1+a_2+\cdots+(-1)^n a_n+ \cdots \] \begin{theorem}[Critério de Leibniz] Seja $\{a_n\}$ uma sequência de termos positivos com as propriedades: \begin{enumerate} \item $\lim_{n\to \infty} a_n=0.$ \item $a_1\geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq \cdots,$ isto é, $(a_n)$ monótona decrescente. \end{enumerate} Então a série alternada $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ converge. \end{theorem} \begin{proof} Considere a série alternada $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n$, temos que \[ S_{2n}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots+(a_{2n}-a_{2n-1}) \] ou seja, $(S_{2n})$ é monótona crescente, e reagrupando seus termos temos \[ S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-(a_3-a_4)-\cdots-(a_{2n-1}-a_{2n})\leq a_1 \] logo, $(S_{2n})$ é limitada, segue que existe $S=\lim S_{2n}$. Agora, como \[ S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1} \] passando o limite \[ \lim_{n\to \infty} S_{2n+1}=\lim_{n\to \infty} S_{2n}+ \lim_{n\to \infty} a_{2n+1}=S+0 \] logo, o $\lim_{n\to \infty} S_n=S$, portanto $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ converge.\end{proof} \begin{example} A série $\sum \frac{(-1)^n}{n} $ converge, pois o $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0$ e $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}, \,\,\, \forall n$. \end{example} \begin{example}\label{exemp2} A série $\sum \frac{(-1)^n}{n5^n}$ converge pelo teste de Leibniz. \end{example} \begin{example} A série $\sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2-5}$ converge também pelo Teste de Leibniz. \end{example} \begin{theorem} O erro que se comete ao se aproximar a soma da série $\sum (-1)^n a_n$ por $S_n$ é de $a_{n+1}$. \end{theorem} \begin{proof} De fato, \[ |S_n -S|=|\sum_{k=n+1}^{\infty}(-1)^k a_k|=|(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}+\cdots| \] \[ =|(-1)^{n+1}[a_{n+1}-a_{n+2}+\cdots]| \] \[ =a_{n+1}-a_{n+2}+a_{n+3}-a_{n+4}+\cdots\leq a_{n+1}. \] \end{proof} \begin{example} Para a série do exemplo \ref{exemp2} temos que \[ S_4=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{325}+\dfrac{1}{2500}\approx -0,18 \] o erro cometido para essa aproximação foi $a_5=\dfrac{1}{15625}\approx 64\times 10^{-6}$ \end{example} \section{Convergência Absoluta} Uma série $\sum a_n$ \textbf{converge absolutamente} se a nova série $\sum |a_n|$ converge. Por exemplo, a série $\sum \frac{(-1)^n}{2^n}$ converge absolutamente pois a série $\sum \frac{1}{2^n}$ é uma série geométrica de razão $r=1/2$ e, portanto, convergente. \begin{theorem}[Convergência absoluta] Se uma série $\sum a_n$ é absolutamente convergente então ela é convergente. \end{theorem} \begin{proof} Suponha que $\sum a_n$ converge absolutamente então $\sum |a_n|$ converge. Podemos considerar $b_n=a_n+|a_n|$ como $-|a_n|\leq a_n \leq |a_n|$ então \[ 0\leq b_n\leq 2|a_n| \] Logo, $\sum b_n$ converge pelo teste de comparação. Então \[ \sum a_n=\sum (a_n+|a_n|)-|a_n| \] converge. \end{proof} Uma série $\sum a_n$ tal que $\sum |a_n|$ diverge é dita \textbf{condicionalmente convergente}. Por exemplo, a série $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge pelo teste das séries alternadas mas a série $\sum |\frac{(-1)^n}{n}|=\sum \frac{1}{n}$ diverge. Logo, a série $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ é condicionalmente convergente. \begin{example} A série $\sum \frac{\sen n}{n^2}$ converge ou diverge? \end{example} Solução: Note que \[ |\sen n|\leq 1 \] daí \[ \frac{|\sen n|}{n^2}\leq \frac{1}{n^2} \] portanto $\sum \frac{|\sen n|}{n^2}$ converge, pelo teste de comparação, logo, a série $\sum \frac{\sen n}{n^2}$ converge absolutamente. \section{Teste da Razão e da Raíz} \begin{theorem}[Teste da Razão] Consideremos uma série $\sum a_n$ com e seja $l=\lim_{n\to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|.$ \begin{enumerate} \item se $l<1$ então a série $\sum a_n$ converge absolutamente. \item se $l>1$ ou $l=\infty$ então $\sum a_n$ diverge. \item se $l=1$ nada se pode concluir. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Se $\lim_{n\to \infty} |\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=l<1$ então existe um número real $0n_0 \] desse modo \[ |a_{n_0+k}|\leq r^k |a_{n_0}|, \,\, \forall k\geq 1 \] Como $\sum r^k $ é convergente então $\sum |a_{n_0}|r^k$ também converge e $\sum_{n=n_0+1}^{\infty} |a_n|$ converge pelo teste de comparação, logo, $\sum_{n=n_0+1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente, o que implica que $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente (um número finito de termos não altera a convergência ou divergência da série). Se, por outro lado, $l>1$, então $|a_{n+1}|>|a_n|$ e se, $a_{n_0}\neq 0$ para algum $n_0$ então, $\lim_{n\to \infty} |a_n|\neq 0$ o que nos dá $\lim_{n\to \infty} a_n\neq 0$. Logo, $\sum a_n$ diverge (teste do n-ésimo termo). \end{proof} \begin{example} Considere a série as séries $\sum \frac{3^n}{n!}$ e $\sum \frac{3^n}{n^2}$ analise sobre a convergência ou divergência dessas séries. \end{example} Solução: Pelo teste da razão, temos \[ \lim_{n\to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!}\dfrac{n!}{3^n}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{3}{n+1}=0<1 \] então a série $\sum \frac{3^n}{n!}$ converge pelo teste da razão. E como \[ \lim_{n\to \infty} \dfrac{3^{n+1}}{(n+1)^2}\dfrac{n^2}{3^n}=3>1 \] então a série $\sum \frac{3^n}{n^2}$ diverge pelo teste da razão. \begin{example} Considere a série $\sum (-1)^n \dfrac{n^2+4}{2^n}$ ela converge ou diverge? \end{example} Solução: Usando o teste da razão temos \[ \lim_{n\to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{(-1)^{n+1} [(n+1)^2 +4]}{2^{n+1}}\dfrac{2^n}{(-1)^n (n^2+4)}\right|=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2}\displaystyle(\dfrac{n^2+2n+5}{n^2+4})=\dfrac{1}{2}<1 \] o que implica que a série converge. \begin{theorem}[Teste da Raíz] Seja $\sum a_n$ uma série numérica. Seja $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=l$. Temos que \begin{enumerate} \item se $l<1$ então $\sum a_n$ converge absolutamente. \item se $l>1$ então $\sum a_n$ diverge. \item se $l=1$ nada se conclui. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Suponha $l<1$ então existe $0n_0 \] ou \[ |a_n|n_0 \] como $\sum r^n $ converge segue que $\sum |a_n|$ converge e, portanto, $\sum a_n$ converge absolutamente. Por outro lado, se $l>1$ então existe $r>1$ tal que \[ \sqrt[n]{|a_n|}>r, \,\,\,\forall n>n_0 \] ou \[ |a_n|>r^n, \,\,\, \forall n>n_0 \] como $\lim_{n\to \infty} r^n=+\infty$ então $\lim_{n\to \infty} |a_n| =+\infty$ o que implica $\sum a_n$ diverge (Por quê?).\end{proof} \begin{example} Considere a série $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$. Pelo teste da raíz: $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{n}{2^n}}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt[n]{n}}{2}=\dfrac{1}{2}<1$. Logo, $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ converge absolutamente. \end{example} \begin{example} A série $\sum \dfrac{n^n}{2^n}$ diverge pois, usando o teste da raíz, temos que $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{n^n}{2^n}}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{n}{2}=+\infty$. \end{example} \begin{example} A série $\sum \dfrac{1}{n}$ diverge e a série $\sum \dfrac{1}{n^2}$ convergente mas $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}}=1,$ e o limite $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n^2}}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{\sqrt[n]{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2/n}}=1.$ Se usarmos o teste da razão para essas mesmas séries obtemos resultados semelhantes do limite, ou seja, o limite será igual a $1.$ Por isso, quando $l=1$ o resultado é inconclusivo, pois a série tanto pode convergir como divergir. \end{example} \chapter{Séries de Potências} \section{Séries de Potências} Uma série de potências de $x$ é uma série do tipo \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots \] \begin{example} A série \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots \] é uma série de potências de $x$. Observe que ela é uma série geométrica de razão $r=x$. Como a série geométrica só converge se $|r|<1$ então a série $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ só converge se $|x|<1.$ Neste caso, sua soma é $S=\dfrac{1}{1-x}.$ Podemos então afirmar que \[ \dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots, \,\,\, |x|<1. \] \end{example} Dada uma série de potências de $x$, $\sum a_n x^n$, usando o teste da razão temos que \[ \lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|=|x| \lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|l<1 \] logo, $|x|<\dfrac{1}{l}=R$, $R$ é o raio de convergência da série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$. \begin{theorem} Seja $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ uma série de potências de $x$. Se $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge para um certo $c\neq 0$ e diverge para um certo $d\neq 0$ com $|c|<|d|$. Então $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge absolutamente para todo $x$ tal que $|x|<|c|$ e diverge para todo $x$ tal que $|x|>|d|$. \end{theorem} \begin{proof} Seja a série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ tal que ela converge para $x=c$ e diverge para $x=d$ com $|c|<|d|$. Considere $x$ tal que $|x|<|c|$ temos que \[ \sum_{n=0}^{\infty} |a_n ||x|^n=\sum_{n=0}^{\infty} |a_n c^n| \left(\frac{|x|}{|c|}\right)^n \] como $\sum_{n=0}^{\infty} a_n c^n$ converge então devemos ter que $lim_{n\to \infty}|a_n c^n|=0$, podemos então tomar $n_0$ tal que $|a_n c^n|<1$ para todo $n>n_0$ desse modo, \[ |a_n||x|^n= |a_n c^n| \left(\frac{|x|}{|c|}\right)^n<\left(\frac{|x|}{|c|}\right)^n,\,\,\,\forall n>n_0 \] como $|x|<|c|$ então $ |\dfrac{x}{c}|<1$ e a série $\sum_{n=n_0}^{\infty} \left|\frac{x}{c}\right|^n$ é uma série geométrica convergente. Desse modo, a série $\sum_{n=n_0}^{\infty} |a_n ||x|^n$ converge, o que implica que a série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge absolutamente para todo $|x|<|c|$. Agora suponha que $x$ seja tal que $|x|>|d|$ se, por absurdo, supomos que exista algum $x_1$ com $|x_1|>|d|$ e $\sum a_n x_1^n $ convirja, então pelo que acabamos de mostrar essa série deve convergir para todo $x$ tal que $|x|<|x_1|$ assim, como, $|d|<|x_1| $ então $\sum a_n d^n$ converge, o que é um absurdo. Então para todo $x$ tal que $|x|>|d|$ a série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ diverge. \end{proof} \begin{theorem} Seja $\sum a_n x^n $ uma série de potências de $x$. Então somente uma das alternativas abaixo deve ocorrer. \begin{enumerate} \item A série converge somente para $x=0$ (R=$0$) \item A série converge para todo $x$ real. (R=$\infty$) \item Existe $R>0$ tal que a série $\sum a_n x^n $ converge para todo $x$ tal que $|x|R$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Se não ocorre a primeira nem a segunda situação então existe um $x_1\neq 0$ onde $\sum a_n x_1^n $ converge e um $x_2\neq 0$ com $|x_1|<|x_2|$ onde $\sum a_n x_2^n $ diverge. Seja \[ S=\{ x\in \mathbb{R}| \sum a_n x^n \quad \mbox{converge}\} \] é claro que $|x_2|$ é uma cota superior de $S$, tomemos então $R=\sup S.$ Provemos que se $|x|R$ então $\sum a_n x^n $ deve divergir, pois se $\sum a_n x^n $ convergisse $R$ não seria uma cota superior de $S$ o que é absurdo já que $R=\sup S$. \end{proof} $R$ é o raio de convergência da série $\sum a_n x^n$. Já o \textbf{intervalo de convergência} da série é um dos seguintes intervalos: \[ (-R, R),\,\, (-R,R],\,\, [-R,R), \,\, [-R,R] \] fora desses intervalos a série sempre diverge. E o intervalo $(-R,R)$ é sempre o intervalo de convergência absoluta da série. \begin{theorem}\label{derint} Seja $\sum a_n x^n$ uma série de potências de $x$. Se essa série tem raio de convergência $R$. Então ela pode ser derivada termo a termo ou integrada termo a termo, isto é, \[ \dfrac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)=\dfrac{d}{dx}\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots \right)\]\[ =a_1 +2a_2 x+3a_3 x^2 + \cdots+n a_n x^{n-1}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \] e \[ \int_0^x \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\right) dt=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x t^n dt=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1} \] essas novas séries obtidas têm o mesmo raio de convergência da série original. \end{theorem} \begin{example} Obtenha uma série de potências de $x$ que represente a função $f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}.$ \end{example} Solução: Observe que \[ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\dfrac{1}{(1+x)^2} \] como \[ \dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots \] usando o teorema \ref{derint} obtemos \[ -\dfrac{1}{(1+x)^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-1+2x-3x^2+\cdots+(-1)^n n x^{n-1}+\cdots\,\,\, |x|<1. \] \begin{example} Obtenha uma série de potências de $x$ que represente a função $\ln (1+x)$. \end{example} Solução: Note que \[ \ln(1+x)=\int_0^x \dfrac{1}{1+t}dt \] como \[ \dfrac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^n, \,\,\, |t|<1 \] o que nos leva a \[ \ln x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1},\,\,\, |x|<1 \] O intervalo de convergência dessa série é $(-1,1]$. Isso, porque quando escolhemos $x=-1$ na série de $\ln (1+x)$ obtemos a série numérica $-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n+1}$ que é divergente, por outro lado, se fazemos $x=1$ na série de $\ln (1+x)$ obtemos a série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1}$ que converge pelo teste de Leibniz. \begin{example} A série $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$ é absolutamente convergente para todo $x$ real. Que função essa série representa? \end{example} Solução:De fato,vemos que \[ \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\dfrac{n!}{x^n} \right|=\lim_{n \to \infty} \dfrac{|x|}{n+1}=0<1 \] então pelo teste da razão essa série converge absolutamente para todo $x$ real. Suponha que a série acima represente uma função $f(x)$, ou seja, $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}.$ Derivando a função $f(x)$ obtemos \[ f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \dfrac{x^{n-1}}{n!} \] ou \[ f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} \] ou ainda \[ f'(x)=f(x) \] daí \[ \dfrac{f'(x)}{f(x)}=1 \] integrando a igualdade acima obtemos \[ \ln f(x)=x+c_0 \] ou \[ f(x)=Ce^x,\,\,\, (C=e^c_0 \,\,\,\mbox {é uma constante}) \] como $f(0)=1$ obtemos $C=1$ e $f(x)=e^x$, portanto, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}=e^x$. Uma série de potências de $x-x_0$ é uma série do tipo \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n=a_0+a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2+\cdots+a_n (x-x_0)^n+\cdots \] Todos os resultados que obtivemos para as séries de potências de $x$ são válidos para as séries de potências de $x-x_0$ com as devidas adaptações. \begin{example} Da série \[ \dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \,\,|x|<1\] obtemos \[ \dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, \,\,|x|<1 \] integrando termo a termo, de $0$ a $x$ para $|x|<1$, temos \[ \arctg x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}, \,\,\, |x|\leq 1 \] \end{example} \begin{example} Considere a série $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n+1}}{n}$ analisemos sobre o intervalo de convergência dessa série. \end{example} Solução: Usando o teste da razão \[ \lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{(x-3)^{n+2}}{n+1}\dfrac{n}{(x-3)^{n+1}}\right|=\lim_{n\to \infty} |x-3|\dfrac{n}{n+1}=|x-3| \] essa série converge absolutamente se $|x-3|<1$, que equivale a $21$. Se tal série converge para uma função $g$ então devemos ter que \[ g(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n \] e, por derivação termo a termo \[ g'(x)=\alpha+\alpha(\alpha-1)x+\cdots+\dfrac{n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n-1} +\cdots \] desse modo, \[ g'(x)+xg'(x)=\alpha g(x) \] ou \[ (1+x)g'(x)-\alpha g(x)=0 \] daí \[ \dfrac{d}{dx}\left[ \dfrac{g(x)}{(1+x)^{\alpha}}\right]=\dfrac{(1+x)g'(x)-\alpha g(x)}{(1+x)^{\alpha+1}} \] ou \[ \dfrac{g(x)}{(1+x)^{\alpha}}=c \] e como $g(0)=1$ então $g(x)=(1+x)^{\alpha}.$ \begin{example} Ache a série binomial da função $\sqrt{1+x}.$ \end{example} Solução: Como $\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$ então \[ (1+x)^{1/2}=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\cdots+\dfrac{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}-1)\cdots (\dfrac{1}{2}-n+1)}{n!}x^n+\cdots \] \[ =1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\cdots+(-1)^n \dfrac{1.3.\cdots (2n-3)}{2^n n!}x^n+\cdots \] \chapter{S\'{e}ries de Fourier} \section{Introdu\c{c}\~ao} As s\'eries de Fourier s\~ao ferramentas muito importante na resolu\c{c}\~ao de Equa\c{c}\~oes Diferenciais Parciais. Podemos aplic\'a-las em diversas equa\c{c}\~oes da F\'{\i}sica-Matem\'atica, principalmente nas equa\c{c}\~oes de Onda, Calor e Laplace. Vamos desenvolver neste cap\'{\i}tulo toda a teoria para calcular as s\'eries de Fourier de algumas fun\c{c}\~oes e depois aplicar o m\'etodo desenvolvido para resolver as equa\c{c}\~oes acima citadas. \section{Fun\c{c}\~{o}es Peri\'{o}dicas} \bigskip \begin{definition} Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $T$ se $f\left( x+T\right) =f\left( x\right) $ para todo $x$. \end{definition} \bigskip \begin{example} A fun\c{c}\~{a}o $\sen x$ \'{e} peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2\pi$. Observe a figura \ref{seno}.% \begin{figure} [!htb] \begin{center} \includegraphics[ height=1.3759in, width=2.1465in ]% {Figura16.eps} \caption{$y=\sen x$} \label{seno}% \end{center} \end{figure} %EndExpansion \end{example} \begin{example} A fun\c{c}\~{a}o $f\left( x\right) =x-\left[ x\right] ,$ onde $\left[ x\right] $ representa o maior inteiro, menor do que ou igual a $x,$\'{e} peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $1$. Veja o gr\'{a}fico de $f$ dado pela figura \ref{efe}. \begin{figure} [!htb] \begin{center} \includegraphics[ height=1.7772in, width=4.0188in ]% {Figura13.eps} \caption{$f(x)=x-[x]$} \label{efe} \end{center} \end{figure} \end{example} \textsf{Observa\c{c}\~{a}o:} Se $T$ \'{e} um per\'{\i}odo para a fun\c{c}\~{a}o $f$, ent\~{a}o $2T$ tamb\'{e}m \'{e} um per\'{\i}odo, pois: \begin{equation*} f\left( x+2T\right) =f\left( x+T\right) =f\left( x\right) \end{equation*} E em geral, $kT$ \'{e} um per\'{\i}odo, onde $k$ \'{e} um inteiro. Para $k=0$, temos que $0$ \'{e} um per\'{\i}odo da $f.$ Mas isso n\~{a}o tem interesse pois $0$ \'{e} per\'{\i}odo de qualquer fun\c{c}\~{a}o. O menor per\'{\i}odo positivo \'{e} chamado o per\'{\i}odo fundamental. \begin{example} O per\'{\i}odo fundamental $T$ da fun\c{c}\~{a}o $\sen% \left( \dfrac{n\pi x}{L}\right) $ pode ser determinado do seguinte modo. Devemos ter:% \[ \sen\dfrac{n\pi\left( x+T\right) }{L}=\sen% \dfrac{n\pi x}{L},\forall x\in\mathbb{R}. \] Usando a seguinte propriedade trigonom\'{e}trica, $\sen\left( a+b\right) =\sen a\sen b+\sen% b\sen a$, devemos ter: \begin{equation} \sen \dfrac{n\pi x}{L}\cos\dfrac{n\pi T}% {L}+\sen\dfrac{n\pi T}{L}\cos\dfrac{n\pi x}{L}% =\sen\dfrac{n\pi x}{L} \label{equ1} \end{equation} Fazendo $x=\dfrac{L}{2n},$ na igualdade acima obtemos:% \begin{equation*} \sen\dfrac{\pi}{2}\cos \dfrac{n\pi T}{L}=\sen\dfrac{\pi}{2} \end{equation*} O que implica: \begin{equation} \cos\dfrac{n\pi T}{L}=1 \label{equ2} \end{equation}, e da\'{\i}, usando a identidade: $\sen^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,$ obtemos:% \begin{equation} \sen\dfrac{n\pi T}{L}=0\label{equ3} \end{equation} Como estamos interessados no menor valor positivo de $T$ que satisfa\c{c}a (\ref{equ2}) e (\ref{equ3}), simultaneamente, ent\~ao $\dfrac{n\pi T}{L}=2\pi,$isto \'{e}, o per\'{\i}odo fundamental de $\sen\dfrac{n\pi x}{L}$ \'{e}: $T=\dfrac{2L}{n}.$ (De maneira an\'{a}loga obtemos que o per\'{\i}odo fundamental de $\cos\dfrac{n\pi x}{L}$ \'{e} tamb\'{e}m $\dfrac{2L}{n}.$) \end{example} \section{Coeficientes de Fourier} \index{coeficiente de Fourier} Se uma fun\c{c}\~{a}o $f\left( x\right) $ for expressa com: \begin{equation} f\left( x\right) =\dfrac{1}{2}a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi x}{L}+b_{n}\sen\dfrac{n\pi x}{L}\right) \label{fourier} \end{equation} \'{e} de se esperar que os coeficientes $a_{n}$ e $b_{n}$ estejam intimamente ligados \`{a} fun\c{c}\~{a}o $f.$ Vamos supor que a igualdade acima se verifique, e que a s\'{e}rie em (\ref{fourier}) convirja uniformemente. Como consequ\^{e}ncia da Proposi\c{c}\~{a}o 1, $f$ deve ser cont\'{\i}nua (e portanto, pode ser integrada termo a termo), e deve ser peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L$ (pois o per\'{\i}odo fundamental de $\cos\dfrac{\pi x}{L}$ \'{e} $2L $, e $2L$ \'{e} per\'{\i}odo para as demais fun\c{c}\~{o}es seno e co-seno que aparecem na s\'{e}rie). Assim, usando a Proposi\c{c}\~{a}o 2, podemos integrar ambos os lados de (\ref{fourier}) para obter: \begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) dx=\dfrac{1}{2}a_{0} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} dx+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx+b_{n}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx\right) \label{coeffourier} \end{equation} por outro lado, \begin{equation*} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx=0 \end{equation*} pois, \begin{equation*} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx=\dfrac{L}{n\pi}{\displaystyle\int_{-n\pi}^{n\pi}}\sen udu=-\dfrac{L}{n\pi}\left( \cos u\right) ]_{-n\pi}^{n\pi }=0 \end{equation*} de modo an\'alogo segue que \begin{equation*} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx=0 \end{equation*} segue da igualdade (\ref{coeffourier}) e do exposto acima que \begin{equation*} {\displaystyle\int_{-L}^{L}}f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}a_{0} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} dx \end{equation*} segue que \begin{equation} a_{0}=\frac{1}{L} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) dx \label{coef1} \end{equation} Para calcularmos os demais coeficientes usamos as seguintes rela\c{c}\~oes: \begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=0, \mbox{se} \,n,m\geq 1 \label{rel1} \end{equation} \begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=\left\{ \begin{array} [c]{l}% L,\text{ se }n=m\geq1\\ 0,\text{ se }n\neq m,n,m\geq1 \end{array} \right.\label{rel2} \end{equation} \begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}% {L}dx=\left\{ \begin{array} [c]{l}% L,\text{ se }n=m\geq1\\ 0,\text{ se }n\neq m,n,m\geq1 \end{array} \right.\label{rel3} \end{equation} por quest\~oes de esclarecimento vamos provar uma dessas rela\c{c}\~oes, para $n=m\geq1$ temos: \[ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos^{2}\dfrac{n\pi x}{L}dx=\dfrac{L}{n\pi}{\displaystyle\int_{-n\pi}^{n\pi}\cos^{2}udu}=\dfrac{L}{2n\pi} {\displaystyle\int_{-n\pi}^{n\pi}} \left( \cos2u+1\right) du\] \[=\dfrac{L}{2n\pi}\left[ \left( \frac{1} {2}\sen 2u\right) +\left( u\right) \right]_{-n\pi}^{n\pi} =\dfrac{L}{2n\pi}\left[ n\pi-\left( -n\pi\right) \right] =\dfrac {L}{2n\pi}\left[ 2n\pi\right] =L \] Analogamente mostram-se as outras rela\c{c}\~oes. Agora, multiplicando (\ref{fourier}) por $\cos\dfrac{m\pi x}{L},$ com $m\geq1$ fixo, e integrando de $-L$ a $L$, obtemos: \[ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+ \] \[ +\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{n} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx\right) \] Do somat\'{o}rio acima obtemos \[ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx \] \[ +(a_{1}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{1}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+... \] % \[ +a_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{m\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{m\pi x}{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}dx+...) \] Usando as rela\c{c}\~oes (\ref{rel1}), (\ref{rel2}) e (\ref{rel3}) expostas acima conclu\'{i}mos que: \[ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=0+\left( 0+...+a_{m}% L+b_{m}0+...+0+...\right) \] o que nos d\'a \begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{m\pi x}{L}dx=a_{m}L \label{coef2} \end{equation} De modo an\'alogo, multiplicando (\ref{fourier}) por $\sen\dfrac{m\pi x}{L},$ com $m\geq1$ fixo, e integrando de $-L$ a $L$, obtemos: \[ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+ \] % \[ +\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{n\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{n}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{n\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}% {L}dx\right) \] da\'{i} \[ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx \] \[ +(a_{1} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{1} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+... \] \[ +a_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \cos\dfrac{m\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+b_{m} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \sen\dfrac{m\pi x}{L}\sen\dfrac{m\pi x}{L}dx+...) \] Novamente das rela\c{c}\~oes (\ref{rel1}), (\ref{rel2}) e (\ref{rel3}) temos: \[% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=0+\left( 0+...+a_{m}0+b_{m}L+...+0+...\right) \] segue que \begin{equation} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{m\pi x}{L}dx=b_{m}% L \label{coef3} \end{equation} Finalmente, de (\ref{coef1}), (\ref{coef2}) e (\ref{coef3}) obtemos: \begin{equation} a_{n}=\frac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx,n\geq0 \label{coeffou1} \end{equation} \begin{equation} b_{n}=\frac{1}{L} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx,n\geq 1\label{coeffou2} \end{equation} \begin{definition} Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L,$ integr\'{a}vel e absolutamente integr\'{a}vel em cada intervalo limitado; em particular, $ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \left\vert f\left( x\right) \right\vert dx<\infty.$ Os n\'{u}meros $a_{n}$, para $n\geq0$, e $b_{n}$, para $n\geq1$, dados em (\ref{coeffou1}) e (\ref{coeffou2}) s\~{a}o definidos como os coeficientes de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f.$ (A exig\^{e}ncia da integrabilidade e integrabilidade absoluta de $f$ \'{e} necess\'{a}ria para que as express\~{o}es (\ref{coeffou1}) e (\ref{coeffou2}) fa\c{c}am sentido.) \end{definition} Obs.: \begin{align*} \left\vert a_{n}\right\vert & =\left\vert \frac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx\right\vert \\ & \leq\frac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \left\vert f\left( x\right) \right\vert \left\vert \cos\dfrac{n\pi x}% {L}\right\vert dx\leq\frac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} \left\vert f\left( x\right) \right\vert dx, \end{align*} o que d\'{a} sentido \`{a} integral. \section{S\'{e}rie de Fourier} \index{s\'{e}rie de Fourier} Dada uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L$, integr\'{a}vel e absolutamente integr\'{a}vel, que possa ser escrita na forma: \begin{equation} f\left( x\right) \simeq\dfrac{1}{2}a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi x}{L}+b_{n}\sen\dfrac{n\pi x}{L}\right),\label{serfou} \end{equation} a express\~{a}o do lado direito \'{e} a s\'{e}rie de Fourier de $f$. Que rela\c{c}\~{a}o h\'{a} entre $f$ e sua s\'{e}rie de Fourier? Ser\'{a} que a igualdade sempre ocorre? Vamos estudar as condi\c{c}\~{o}es suficientes para que a fun\c{c}\~{a}o $f$ seja igual \`{a} sua s\'{e}rie de Fourier. \begin{definition} Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ ser\'{a} seccionalmente cont\'{\i}nua se ela tiver apenas um n\'{u}mero finito de descontinuidades (todas de primeira esp\'{e}cie) em qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados $a0\\ 0,\text{ se }x=0\\ -1,\text{ se }x<0 \end{array} \right. \]\label{exemp1} \end{example} \begin{example} A fun\c{c}\~{a}o \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c}% x+1,\text{ se }x\geq0;\\ 0,\text{ se }x<0. \end{array} \right. \]\label{exemp2} \end{example} \begin{example} \ A fun\c{c}\~{a}o% \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c}% 1,\text{ se }0\leq x<\pi\\ 0,\text{ se }-\pi\leq x<0\\ \text{e peri\'{o}dica de per\'{\i}odo }2\pi \end{array} \right. \] \label{examplef} \end{example} \begin{definition} Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ ser\'{a} seccionalmente diferenci\'{a}vel se ela for seccionalmente cont\'{\i}nua e se a fun\c{c}\~{a}o derivada $f^{\prime}$ for tamb\'{e}m seccionalmente cont\'{\i}nua. \end{definition} Observe que a derivada $f^{\prime}$ n\~{a}o est\'{a} definida em todos os pontos: com certeza $f^{\prime}\left( x\right) $ n\~{a}o existe nos pontos $x$ onde $f$ \'{e} descont\'{\i}nua; e mais, $f^{\prime}\left( x\right) $ pode n\~{a}o existir, mesmo em alguns pontos onde $f$ \'{e} cont\'{\i}nua. \begin{example} As fun\c{c}\~{o}es dos exemplos (\ref{exemp1}) - (\ref{exemplof}) anteriores sa\~{o} seccionalmente diferenci\'{a}veis. Vamos pegar o exemplo (\ref{exemp2}):% \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c}% x+1,\text{ se }x\geq0;\\ 0,\text{ se }x<0. \end{array} \right. \Rightarrow f^{\prime}\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c}% 1,\text{ se }x\geq0;\\ 0,\text{ se }x<0. \end{array} \right. \] \end{example} \begin{example} A seguinte fun\c{c}\~{a}o \'{e} cont\'{\i}nua, mas n\~{a}o seccionalmente diferenci\'{a}vel:% \[ f\left( x\right) =\left\{ \begin{array} [c]{c}% \sqrt{1-x^{2}},\text{ se }\left\vert x\right\vert \leq1\\ \text{e peri\'{o}dica de per\'{\i}odo 2}% \end{array} \right. \] pois nos pontos onde $f^{\prime}$ \'{e} descont\'{\i}nua, a descontinuidade \'{e} de segunda esp\'{e}cie, pois pela regra da cadeia, temos:$f=\sqrt{1-x^{2}% }\Rightarrow f^{\prime}=\left( -2x\right) \dfrac{1}{2}\left( 1-x^{2}% \right) ^{-\tfrac{1}{2}}$, da\'{\i}, $f^{\prime}\left( x\right) =-\dfrac {x}{\sqrt{1-x^{2}}}$, que \'{e} descont\'{\i}nua em $\left\vert x\right\vert =1$ com ela sendo de segunda espécie. \end{example} Agora enunciamos um resultado que fornece condi\c{c}\~{o}es suficientes para a converg\^{e}ncia da s\'{e}rie de Fourier de uma fun\c{c}\~{a}o $f.$ \index{teorema de Fourier} \begin{theorem} (Fourier) Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o seccionalmente diferenci\'{a}vel e periódica de per\'{\i}odo $2L$. Ent\~{a}o a s\'{e}rie de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f,$ dada em (\ref{serfou}), converge, em cada ponto $x$, para:% \begin{equation} \dfrac{1}{2}\left[ f\left( x+0\right) +f\left( x-0\right) \right] =\dfrac{1}{2}a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi x}{L}+b_{n}\sen\dfrac{n\pi x}{L}\right) \end{equation} \end{theorem} {\large Exerc\'{\i}cio 1} Calcular a s\'{e}rie de Fourier da fun\c{c}\~{a}o $f$ definida no exemplo 3 acima e tra\c{c}ar o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o definida por essa s\'{e}rie. Compare esse gr\'{a}fico com o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o. Resolu\c{c}\~{a}o: C\'{a}lculo dos coeficientes: $a_{0}=\frac{1}{L} {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) dx\Rightarrow$ onde o per\'{\i}odo da fun\c{c}\~{a}o \'{e} $2L,$ da\'{\i}, \[ a_{0}=\dfrac{1}{\pi}% {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f\left( x\right) dx=\dfrac{1}{\pi}\left( {\displaystyle\int_{-\pi}^{0}} 0dx+ {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} 1dx\right) =\dfrac{1}{\pi}\left( \pi-0\right) =1 \] para $n\neq0,$ temos: \[ a_{n}=\dfrac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx,n\geq0;\ \ \ b_{n}=\dfrac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx, \] da\'{\i},% \[ a_{n}=\dfrac{1}{\pi} {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f\left( x\right) \cos\left( nx\right) dx=\dfrac{1}{\pi}\left( {\displaystyle\int_{-\pi}^{0}} 0\cos\left( nx\right) dx+ {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} 1\cos\left( nx\right) dx\right) , \] resolvendo a integral,temos: \[ {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} \cos\left( nx\right) dx=\dfrac{1}{\pi}% {\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} \cos u\dfrac{du}{n}\]\[=\dfrac{1}{\pi}\left[ \dfrac{\sen u}% {n}\right] _{0}^{n\pi}=\dfrac{1}{n\pi}\left[ \sen\left( n\pi\right) -\sen\left( 0\right) \right] =0 \] e \[ b_{n}=\dfrac{1}{\pi}% {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f\left( x\right) \sen\left( nx\right) dx=\dfrac{1}{\pi }\left( {\displaystyle\int_{-\pi}^{0}} 0\sen\left( nx\right) dx+ {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} 1\sen\left( nx\right) dx\right) , \] de modo an\'{a}logo para $b_{n},$ temos \[ {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} 1\sen\left( nx\right) dx=\dfrac{1}{\pi}% {\displaystyle\int_{0}^{n\pi}} \sen u\dfrac{du}{n}=\dfrac{1}{\pi}\left[ -\dfrac{\cos u}% {n}\right] _{0}^{n\pi}\]\[=-\dfrac{1}{n\pi}\left[ \cos\left( n\pi\right) -\cos\left( 0\right) \right] =\frac{1}{n\pi}\left[ 1-\cos\left( n\pi\right) \right] , \] ou, para $k=1,2,...:$ \[ b_{2k}=\frac{1}{2k\pi}\left[ 1-\cos\left( 2k\pi\right) \right] =0\] e \begin{equation} b_{2k-1}=\frac{1}{\left( 2k-1\right) \pi}\left\{ 1-\cos\left[ \left( 2k-1\right) \right] \pi\right\} =\frac{2}{\left( 2k-1\right) \pi} \label{b2k} \end{equation} A s\'{e}rie de Fourier de $f$ ser\'{a}: \[ f\left( x\right) \sim\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\left( 2k-1\right) \pi}\sen\left[ \left( 2k-1\right) x\right] \] Pelo Teorema de Fourier, o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o definida pela s\'{e}rie \'{e} dado pela figura \ref{figura} abaixo.% \begin{figure} [!htb] \begin{center} \includegraphics[ height=2.3237in, width=5.0981in ]% {Figura26.eps} \caption{Gr\'afico da s\'erie de Fourier da fun\c{c}\~ao do exemplo \ref{examplef}} \label{figura} \end{center} \end{figure} {\large Exerc\'{\i}cio 2} Use os resultados do Exerc\'{\i}cio 1 para obter uma express\~{a}o em s\'{e}rie para $\dfrac{\pi}{4}.$ Resolu\c{c}\~{a}o: No ponto $x=\dfrac{\pi}{2}$, a s\'{e}rie de Fourier \'{e} igual a 1, em virtude do Teorema de Fourier:% \[ \dfrac{1}{2}\left[ f\left( x+0\right) +f\left( x-0\right) \right] =\dfrac{1}{2}\left[ 1+1\right] =1, \] logo, \[ 1=\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{\left( 2k-1\right) \pi }\sen\left[ \left( 2k-1\right) \dfrac{\pi}{2}\right] \] % \[ \frac{1}{2}=\dfrac{2}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\left( 2k-1\right) }\sen\left[ \left( 2k-1\right) \dfrac{\pi}% {2}\right] \] \[ \dfrac{\pi}{4}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\left( 2k-1\right) }\sen\left[ \left( 2k-1\right) \dfrac{\pi}{2}\right] , \] ou, finalmente,% \[ \dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}% -...=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{\left( 2k-1\right) }, \] que \'{e} conhecida como uma s\'{e}rie de alternada que converge pelo teste de Leibniz. \section{S\'{e}ries de Fourier de fun\c{c}\~{o}es pares e \'{\i}mpares} \index{fun\c{c}\~oes pares e \'{\i}mpares} \begin{definition} Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} par se $f\left( x\right) =f\left( -x\right) $, para todo $x\in\mathbb{R}.$ (Isso significa que o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o $f$ \'{e} sim\'{e}trico com rela\c{c}\~{a}o ao eixo dos $y$). \end{definition} \begin{definition} Uma fun\c{c}\~{a}o $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} \'{\i}mpar se $f\left( x\right) =-f\left( -x\right) $, para todo $x\in\mathbb{R}.$ (Isso significa que o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o $f$ \'{e} sim\'{e}trico com rela\c{c}\~{a}o \`{a} origem). \end{definition} \begin{example} {\large fun\c{c}\~{o}es pares:\ }$f\left( x\right) =\cos\dfrac{n\pi x}% {L};\ \ f\left( x\right) =x^{2n},$ para $n=1,2,...;\ $outro: $f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert .$ \end{example} \begin{example} {\large fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares:\ }$f\left( x\right) =\sen\dfrac{n\pi x}{L};\ f\left( x\right) =x^{2n-1};$ para $n=1,2,...;\ $outro: $f\left( x\right) =x.$ \end{example} \begin{proposition} \begin{enumerate} \item A soma de duas fun\c{c}\~{o}es pares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par \item A soma de duas fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar. \item O produto de duas fun\c{c}\~{o}es pares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par. \item O produto de duas fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par. \item O produto de uma fun\c{c}\~{a}o par por uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar. \end{enumerate} \end{proposition} \textsf{Demonstra\c{c}\~{a}o:} $1$ Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es pares \begin{center} $\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right) =f\left( -x\right) +g\left( -x\right) =\left( f+g\right) \left( -x\right) $ \end{center} $2$ Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares \begin{center} $\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right) =-f\left( -x\right) +\left[ -g\left( -x\right) \right] =-\left[ f\left( -x\right) +g\left( -x\right) \right] =-\left( f+g\right) \left( -x\right) $ \end{center} $3$ Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es pares: \begin{center} $\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) g\left( x\right) =f\left( -x\right) g\left( -x\right) =\left( fg\right) \left( -x\right) $ \end{center} $4$ Sejam $f,g:\mathbb{R\rightarrow R}$ fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares: \begin{center} $\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) g\left( x\right) =\left[ -f\left( -x\right) \right] \left[ -g\left( -x\right) \right] =\left[ f\left( -x\right) g\left( -x\right) \right] =\left( fg\right) \left( -x\right) $ \end{center} $5$ Sejam $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o par e $g:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar: \begin{center} $\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) g\left( x\right) =f\left( -x\right) \left[ -g\left( -x\right) \right] =-\left[ f\left( -x\right) g\left( -x\right) \right] =-\left( fg\right) \left( -x\right) $ \end{center} \begin{proposition} $\left( i\right) $ Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma fun\c{c}\~{a}o par que \'{e} integr\'{a}vel em qualquer intervalo limitado. Ent\~{a}o:% \[% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f=2% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f \] $\left( ii\right) $ Se $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar e integr\'{a}vel em qualquer intervalo limitado. Ent\~{a}o:% \[% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f=0 \] \end{proposition} \textsf{Demonstra\c{c}\~{a}o:}Seja $f$ uma fun\c{c}\~ao par e considere a integral $ {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f=% {\displaystyle\int_{-L}^{0}} f+% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f,$ temos que para $y=-x$ \begin{center} $ {\displaystyle\int_{-L}^{0}} f\left( x\right) dx=-% {\displaystyle\int_{L}^{0}} f\left( -y\right) dy=+% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f\left( -y\right) dy=% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f\left( y\right) dy.$ \end{center} isso mostra que se $f$ \'e par ent\~ao \[% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f=2% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f \] Analogamente, seja $f$ uma fun\c{c}\~ao \'{\i}mpar temos que $% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f=% {\displaystyle\int_{-L}^{0}} f+% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f,$ e para $y=-x$ teremos \begin{center} $% {\displaystyle\int_{-L}^{0}} f\left( x\right) dx=-% {\displaystyle\int_{L}^{0}} f\left( -y\right) dy=+% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f\left( -y\right) dy=-% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f\left( y\right) dy.$ \end{center} que mostra \[% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f=0 \] Da proposi\c{c}\~ao anterior podemos estabelecer os seguintes resultados sobre as s\'eries de fourier de fun\c{c}\~oes pares e \'{\i}mpares. $\left( a\right) $ Se $f$ for uma fun\c{c}\~{a}o par, peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L,$ integr\'{a}vel e absolutamente integr\'{a}vel, ent\~{a}o: \begin{center} $a_{n}=\dfrac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx=\dfrac{2}{L}% {\displaystyle\int_{0}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx,$ $n\geq0 $, \end{center} pois o produto de duas fun\c{c}\~{o}es pares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par. E, \begin{center} $b_{n}=\dfrac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx=0,$ $n\geq1$, \end{center} pois o produto de uma fun\c{c}\~{a}o par e uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar. Portanto, a s\'{e}rie de Fourier de uma fun\c{c}\~{a}o par \'{e} uma s\'{e}rie de co-senos. \bigskip $\left( b\right) $ Se $f$ for uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar, peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L$, integr\'{a}vel e absolutamente integr\'{a}vel, ent\~{a}o: \begin{center} $a_{n}=\dfrac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos\dfrac{n\pi x}{L}dx=0$, \end{center} pois o produto de uma fun\c{c}\~{a}o par e uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar. E, \begin{center} $b_{n}=\dfrac{1}{L}% {\displaystyle\int_{-L}^{L}} f\left( x\right) \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx=\dfrac{2}{L}\int _{0}^{L}f\left( x\right) \sen\dfrac{n\pi x}{L}dx,$ \end{center} pois o produto de duas fun\c{c}\~{o}es \'{\i}mpares \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o par. Assim, a s\'{e}rie de Fourier de uma fun\c{c}\~{a}o \'{\i}mpar \'{e} uma s\'{e}rie de senos. \section{C\'{a}lculo de Algumas S\'{e}ries de Fourier} \index{s\'erie de Fourier} I ) Seja $f_{1}:\mathbb{R\rightarrow R}$ peri\'{o}dica de per\'{\i}odo $2L$ e definida por $f_{1}\left( x\right) =x,$ para $-L\leq x