Séries e Equações Diferenciais Ordinárias

Prof. Milton de L Oliveira 24 de abril de 2020

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Capítulo 1

Sequências

1.1 Sequências Numéricas

Uma sequência numérica é uma função f : ℕ → ℝ que a cada número natural n associa um número real a_{n}, isto é, f(n) = a_{n}. O termo a_{n} diz-se o n-ésimo termo da sequência ou termo geral da sequência.

Example 1. 1. 1, 1/2, 1/3, ⋯, a_{n} = 1/n

2. −1, 1, −1, 1, ⋯, b_{n} = (−1)^{n}

3. x_{n} = \frac{−n}{n + 1} é o termo geral da sequência f : ℕ → ℝ, f(n) = −\frac{n}{n + 1}.

4. f(n) = \begin{cases}1/n, n par \\ −1/n^{2}, n ímpar, −1, 1/2, −1/9, 1/4, ⋯ \end{cases}

Se considerarmos ℕ′ = {n_{1} < n_{2} < ⋯ } ⊂ ℕ a restrição de f : ℕ → ℝ a f : ℕ′ → ℝ é chamada de subsequência ou subsucessão da sequência original f(n).

Example 2. 1. A sequência a_{n} = (−1)^{n} tem como subsequências a_{2n} = 1 e a_{2n−1} = −1.

2. A sequência \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, ⋯ é uma subsequência da sequência a_{n} = \frac{1}{n}.

Observe que poderíamos denotá-la por b_{n} = \frac{1}{n + 4}, n ∈ ℕ ou ainda

b_{n} = \frac{1}{n}, n ∈ ℕ′ onde ℕ′ = \{5, 6, 7, … \}.

De forma geral, fixado p ∈ mathbbN, então a sequência com termo geral b_{n} = a_{n+p} é uma subsequência de {a_{n}}, onde consideramos para domínio o subconjunto ℕ′ = {1 + p, 2 + p, 3 + p, ⋯ }.

Definition 3. Uma sequência {a_{n}} é dita limitada superiormente quando existir um número real M, denominado cota superior da sequência que satisfaz

a_{n} ≤ M, ∀n ∈ ℕ

Definition 4. Uma sequência {a_{n}} é dita limitada inferiormente quando existir um número real m, denominado cota inferior da sequência que satisfaz

a_{n} ≥ m, ∀n ∈ ℕ

Definition 5. Uma sequência {a_{n}} é dita limitada quando ela for limitada superiormente e inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva C, tal que

|a_{n}| ≤ C, ∀n ∈ ℕ

É claro que se M for uma cota superior de uma dada sequência {a_{n}}, então qualquer número real maior do que M também será cota superior da sequência {a_{n}}. A menor dessas cotas superiores será chamada de supremo da sequência {a_{n}} e a denotamos por sup{a_{n}}. Analogamente, definimos o ínfimo da sequência {a_{n}} e denotamos por inf{a_{n}}, que é a maior das cotas inferiores da sequência. Note que para cada ϵ > 0 o número real α = sup{a_{n}} − ϵ é menor que o supremo da sequência {a_{n}} e, portanto, não pode ser cota superior dessa sequência, por esse motivo, deve existir um n_{0} tal que α < a_{n_{0}}. Para o ínfimo ocorre fato análogo, ou seja, sendo β = inf{a_{n}} + ϵ existe algum termo da sequência tal que β > a_{n_{0}}.

Example 6. 1. A sequência {a_{n}} = n é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente, inf a_{n} = 1.

2. A sequência a_{n} = 1 − n^{2} é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente e sup a_{n} = 0.

3. A sequência a_{n} = (−1)^{n} é limitada, sendo sup a_{n} = 1 e inf a_{n} = −1.

4. A sequência a_{n} = 1/n é limitada, sup a_{n} = 1 e inf a_{n} = 0.

5. A sequência a_{n} = (−1)^{n}n não é limitada superiormente nem inferiormente.

1.1.1 Indução Matemática

Se uma propriedade qualquer P vale para n = 1 e supomos ela válida para n e provamos que P vale para n + 1, então P vale para todo n ∈ ℕ. Esse é o princípio de Indução Matemática.

Example 7. Seja n! = 1.2.3 ⋯ n. Provemos que n! ≥ 2^{n−1}, ∀n ∈ ℕ.

De fato, sabemos que 1! ≥ 2^{1−1}, assim essa propriedade vale para n = 1, suponha que ela vale para n, isto é, n! ≥ 2^{n−1}. Considere agora, (n + 1)! = (n + 1)n!, desse modo,

(n + 1)! = (n + 1)n! ≥ (n + 1)2^{n−1} ≥ (1 + 1)2^{n−1} = 2^{n}

Logo, a propriedade vale para n + 1, e, portanto, vale para todo n ∈ ℕ.

Example 8. Provemos que A_{n} = 3(n^{2}+n) é divisível por 6, para todo n ∈ ℕ.

De fato, temos que para n = 1 A_{1} = 3(1^{2} + 1) = 6 que divide 6. Suponha que A_{n} = 3(n^{2} + n) seja divisível por 6, isto é, existe k ∈ ℕ tal que A_{n} = 6k. Agora considere,

A_{n+1} = 3[(n + 1)^{2} + (n + 1)] = 3(n^{2} + n) + 3[(2n + 1) + 1] = 6k + 6(n + 1)

Logo, A_{n+1} é divisível por 6. Por indução, essa propriedade vale para todo n ∈ ℕ.

1.2 Sequências Monótonas

Definition 9. Uma sequência {a_{n}} é dita crescente ou não decrescente quando a_{n} ≤ a_{n+1}, ∀n ∈ ℕ. Se a_{n} < a_{n+1} ela é dita estritamente crescente.

Definition 10. Uma sequência {a_{n}} é dita decrescente ou não crescente quando a_{n} ≥ a_{n+1}, ∀n ∈ ℕ. Se a_{n} > a_{n+1} ela é dita estritamente decrescente.

Definition 11. Uma sequência é dita monótona se ela é crescente ou decrescente.

Example 12. 1. As sequências a_{n} = n e b_{n} = ln n são crescentes, enquanto que, c_{n} = −n^{3} e d_{n} = 1/n são decrescentes.

2. A sequência a_{n} = (−1)^{n} não é monótona, isto é, ela não é crescente nem decrescente. É uma sequência alternada.

3. A sequência a_{n} = \frac{n}{n + 1} é crescente. De fato, note que

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{n + 2} \frac{n + 1}{n} = \frac{n^{2} + 2n + 1}{n^{2} + 2n} ≥ 1, ∀n.

A monotonicidade de alguma sequências pode ser deduzida por investigação do sinal da derivada da função extensão. Isto é, se f(x) satisfaz f(n) = a_{n}. Por exemplo, para a sequência, f(n) = \frac{n}{n + 1}, podemos analisar

a função f(x) = \frac{x}{x + 1} e como, f′(x) = \frac{1}{(x + 1)^{2}} que é positiva, logo, f(x) é

crescente e, por sua vez, f(n) também é crescente.

Example 13. Para a sequência a_{n} = \frac{n!}{1.3.5 ⋯ (2n − 1)} não é possível definir

a função extensão. Mas note que,

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1.3.5 ⋯ (2n − 1)}{1.3.5 ⋯ (2n − 1)(2n + 1)} \frac{(n + 1)!}{n!} = \frac{n + 1}{2n + 1} < 1

logo, a_{n} > a_{n+1}, ∀n ∈ ℕ o que implica que a_{n} é decrescente.

1.3 Sequências Convergentes

Definition 14. Dizemos que {a_{n}} converge para um número real l se dado ϵ > 0, existe n_{0} ∈ ℕ tal que |a_{n} − l| < ϵ, para todo n ∈ ℕ. Neste caso, denotamos lim_{n→∞} a_{n} = l. E dizemos que a_{n} é convergente. Caso contrário, se tal limite não existe, dizemos que a sequência {a_{n}} é divergente.

Note que;

|a_{n} − l| < ϵ

se, e somente se,

−ϵ < a_{n} − l < ϵ

ou,

l − ϵ < a_{n} < l + ϵ

isto é,

a_{n} ∈ (l − ϵ, l + ϵ).

Um número finito de termos não altera a convergência nem a divergência de uma sequência.

Theorem 15. Uma sequência convergente {a_{n}} não pode ter dois limites.

Demonstração. De fato, se supomos que a_{n} converge e l_{1} = lim a_{n} e l_{2} = lim a_{n} com l_{1} ≠ l_{2} então (suponha l_{1} > l_{2})

l_{1} − l_{2} = |l1 − l2| = |l_{1} − a_{n} + a_{n} + l_{2}| ≤ |l_{1} − a_{n}| + |a_{n} − l_{2}| < 2ϵ

agora tome ϵ = (l_{1} − l2)/2 > 0, desse modo, obtemos, l_{1} − l_{2} < l_{1} − l_{2} o que é absurdo.

Example 16. 1. Vamos mostrar que lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0. Dado ϵ > 0, ∃n_{0} ∈

ℕ tal que n_{0} > \frac{1}{ϵ}. Logo, se n > n_{0} então \frac{1}{n} < \frac{1}{n_{0}} < ϵ, ∀n > n_{0} e assim

lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0.

2. Consideremos a sequência a_{n} = \frac{n}{n+1}. Neste caso, lim_{n→∞} a_{n} = 1. Dado ϵ > 0, note que

|\frac{n}{n + 1} − 1| < ϵ ⇔ \frac{1}{n + 1} < ϵ ⇔ n > \frac{1}{ϵ} − 1

Escolhendo o primeiro n_{0} tal que n_{0} > \frac{1}{ϵ} − 1 então para todo n > n_{0} temos

n > \frac{1}{ϵ} − 1 ⇒ \frac{1}{n + 1} < ϵ ⇒ |\frac{n}{n + 1} − 1| < ϵ.

3. A sequência b_{n} = r^{n}, onde r ∈ ℝ, fixo, tal que −1 < r < 1, converge para zero. Escolha r ≠ 0, dado ϵ > 0, como 0 < |r| < 1, temos que ln |r| está definido, é diferente de zero, e ln |r| < 0. Assim

|r^{n} − 0| = |r|^{n} < ϵ ⇔ n ln |r| < ln ϵ ⇔ n > \frac{ln ϵ}{ln |r|}

Escolha n_{0} maior ou igual a \frac{ln ϵ}{ln |r|} assim |r^{n}| < ϵ o que implica em

lim_{n→∞} r^{n} = 0.

4. Existem sequências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que n aumenta, por exemplo, a sequência a_{n} = n. Nesse caso, dizemos que a sequência tem limite infinito e denotamos lim_{n→∞} a_{n} = ∞, isso significa que dado K > 0 qualquer, existe n_{0} tal que a_{n} > K para todo n > n_{0}. Para a sequência b_{n} = −n , lim_{n→∞} b_{n} = −∞.

5. Se |r| > 1 então lim_{n→∞} |r|^{n} = +∞ e lim_{n→∞} r^{n} não existe.

6. Se a_{n} = (−1)^{n} e como, lim_{n→∞} a_{2n} = 1 e lim_{n→∞} a_{2n−1} = −1, logo, o limite de a_{n} não existe.

Theorem 17. Toda sequência convergente é limitada.

Demonstração. Seja (a_{n}) uma sequência convergente com limite l. Isto é, lim_{n→∞} a_{n} = l ou dado ϵ > 0, ∃n_{0} tal que |a_{n} − l| < ϵ, ∀n > n_{0} ou seja,

−ϵ < a_{n} − l < ϵ, ∀n > n_{0}

ou

|a_{n}| < |l| + ϵ, ∀n > n_{0}

considere M = max{|a_{1}|, |a_{2}|, ⋯, |a_{n_{0}}|, |l| + ϵ} então

|a_{n}| ≤ M, ∀n ∈ ℕ

segue que (a_{n}) é limitada.

A recíproca não é verdadeira pois, por exemplo, a sequência b_{n} = sen n é limitada mas lim_{n→∞} sen n não existe.

Theorem 18. Sejam (a_{n}) uma sequência limitada e (b_{n}) uma sequência que converge a zero então lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0.

Demonstração. Como (a_{n}) é limitada então existe M > 0 tal que |a_{n}| ≤ M, ∀n ∈ ℕ. Por outro lado, como lim_{n→∞} b_{n} = 0 então dado ϵ > 0, existe

n_{0} tal que |b_{n}| < \frac{ϵ}{M} , ∀n > n_{0}. Desse modo,

|a_{n}b_{n}| = |a_{n}||b_{n}| ≤ M \frac{ϵ}{M} < ϵ, ∀n > n_{0}

logo, lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0.

Example 19. A sequência \frac{1}{n} sen n converge a zero. Pois, lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0 e | sen n| ≤ 1. E pelo teorema 18 temos que lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0.

Theorem 20. Temos que o lim_{n→∞} a_{n} = 0 se, e somente se, lim_{n→∞} |a_{n}| = 0.

Note que se lim_{n→∞} a_{n} = L então necessariamente, o lim_{n→∞} |a_{n}| = |L|. (Isso porque ||a_{n}| − |L|| ≤ |a_{n} − L|). Mas, se lim_{n→∞} |a_{n}| existe isso não implica que lim_{n→∞} a_{n} exista. Pois, lim_{n→∞}(−1)^{n} não existe, mas lim_{n→∞} |(−1)^{n}| = 1.

Theorem 21. Se lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} c_{n} = l e (b_{n}) é tal que a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n} então lim_{n→∞} b_{n} = l.

1.3. SEQUÊNCIAS CONVERGENTES 9 Demonstração. De fato, |a_{n} − l| < ϵ e |c_{n} − l| < ϵ então

l − ϵ < a_{n} < l + ϵ, ∀n > n_{1}

l − ϵ < c_{n} < l + ϵ ∀n > n_{2}

tome n_{0} = max n_{1}, n_{2} então

l − ϵ < a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n} < l + ϵ, ∀n > n_{0}

logo,

l − ϵ < b_{n} < l + ϵ, ∀n > n_{0}

ou |b_{n} − l| < ϵ, ∀n > n_{0}. Theorem 22. Se f : [a, ∞) → ℝ é uma função tal que lim_{x→∞} f(x) = l, então a sequência a_{n} = f(n), n > a é convergente e lim_{n→∞}f(n) = l. Se lim_{x→∞} f(x) = ±∞ então lim_{n→∞}f(n) = ±∞. Example 23. Considere a sequência a_{n} = \frac{n+1}{n+2} e calcule o lim_{n→∞} a_{n}.

Note que a função f(x) = \frac{x+1}{x+2} é tal que lim_{x→∞} \frac{x+1}{x+2} = 1 então lim_{n→∞} \frac{n+1}{n+2} = 1. Example 24. Para calcular o lim_{n→∞} \frac{ln n}{n}. Tomamos a função f(x) = \frac{ln x}{x} e como

lim_{x→∞} \frac{ln x}{x} = lim_{x→∞} \frac{1}{x} = 0

segue que lim_{n→∞} \frac{ln n}{n} = 0.

1.3.1 Propriedades do Limite

Sejam {a_{n}} e {b_{n}} sequências convergentes limites l e r, respectivamente. Então:

1. a_{n} ± b_{n} converge para l ± r;

2. ca_{n} converge para cl;

3. |a_{n}| converge para |l|;

4. a_{n}b_{n} converge para lr;

5. se r ≠ 0 então \frac{a_{n}}{b_{n}} converge para \frac{l}{r}.

Vamos provar uma das propriedades acima, por exemplo, pode ser a propriedade 4. Suponha que a_{n} → l e b_{n} → r então dado ϵ > 0, existe n_{0} tal que |a_{n} − l| < ϵ e |b_{n} − r| < ϵ para todo n > n_{1} e n > n_{2}, assim, se n_{0} = max{n_{1}, n_{2}}, temos que para n > n_{0}

|a_{n}b_{n}−lr| < |a_{n}b_{n}−a_{n}r+a_{n}r−lr| ≤ |a_{n}||b_{n}−r|+|r||a_{n}−l| < Mϵ+|r|ϵ = (M+|r|)ϵ.

Example 25. Analise sobre a convergência das sequências a seguir:

(a) a_{n} = \frac{3n + 1}{5n} + \frac{(−1)}{n} (b) b_{n} = cos \frac{1}{n}(1 + \frac{1}{n}) (c) c_{n} = \frac{n^{2} + 3}{4n^{2} − 2n + 1}.

Theorem 26. Toda sequência monótona limitada é convergente.

Demonstração. Suponha (a_{n}) uma sequência crescente e limitada. Segue que existe M > 0 tal que

|a_{n}| ≤ M, ∀n

isto é, a_{n} ≤ M. Logo, M é uma cota superior para (a_{n}), seja l = sup a_{n} então l é a menor das cotas superiores de (a_{n}), assim l − ϵ não é cota superior de (a_{n}) então existe n_{1} tal que

l − ϵ < a_{n_{1}} ≤ l.

Como (a_{n}) é crescente então a_{n} > a_{n_{1}} para todo n > n_{1}, segue que,

l − ϵ < a_{n} < l + ϵ, ∀n > n_{1}

isto é,

|a_{n} − l| < ϵ, ∀n > n_{1}

o que implica em lim_{n→∞} a_{n} = l.

Example 27. Vimos que a sequência cujo termo geral é a_{n} = \frac{n!}{1.3.5 ⋯ (2n − 1)}

é decrescente. Veriquemos que ela também é limitada.

De fato, temos que

0 < a_{n} = \frac{1}{1} \frac{2}{3} \frac{3}{5} ⋯ \frac{n}{2n − 1} ≤ 1.1.1 ⋯ 1 = 1, ∀n

Logo, pelo teorema 26 a_{n} é convergente. Além disso, inf a_{n} = 0. Logo,

lim_{n→∞} \frac{n!}{1.3.5 ⋯ (2n − 1)} = 0.

Theorem 28. Se uma sequência (a_{n}) converge para um l então todas as subsequências dela convergem para l.

Demonstração. Se pelo menos uma das subsequências de (a_{n}) digamos (a_{n_{k}}) tivesse um outro limite r ≠ l então a_{n_{k}} → r e a_{n} → l com l ≠ r, mas isto contradiz o fato de limite ser único.

Example 29. A sequência (−1)^{n} possui subsequências tais que (−1)^{2k} → 1 e (−1)^{2k−1} → −1. Logo, (−1)^{n} não converge. Por outro lado, a sequência

\frac{(−1)^{n}}{n} converge para zero, pois |(−1)^{n}| ≤ 1 e \frac{1}{n} → 0. Assim, \frac{(−1)^{n}}{n} → 0.

Theorem 30. Teste da Razão para sequências Se uma sequência (a_{n}) de termos positivos satisfaz à condição lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = l < 1 então ela converge para zero.

Demonstração. Seja l < r < 1 tal que 0 < \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < r, ∀n > n_{0}. Como r < 1

então 0 < a_{n+1} < a_{n}r < a_{n} o que implica em a_{n} ser decrescente para n ≥ n_{0}. Assim 0 < a_{n} ≤ a_{n_{0}}, ∀n > n_{0} o que implica em (a_{n}) ser limitada. Logo, (a_{n}) é convergente. Suponha, por absurdo, que lim_{n→∞} a_{n} = s ≠ 0 então

l = lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{lim a_{n+1}}{lim a_{n}} = \frac{s}{s} = 1.

Mas, l < 1.

Example 31. As sequências a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}, b_{n} = \frac{r^{n}}{n!} , c_{n} = \frac{n!}{1.3.5 ⋯ (2n − 1)},

d_{n} = \frac{n^{p}}{2^{n}} convergem todas a zero.

De fato, para a sequência a_{n} temos

lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = lim_{n→∞} \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{(}n + 1)} \frac{n^{n}}{n!} = lim_{n→∞}(\frac{n}{n + 1)})^{n} = \frac{1}{e} < 1

aqui usou-se o limite fundamental:

lim_{x→∞}(1 + \frac{1}{x})^{x} = e

Para a sequência b_{n} temos

lim_{n→∞} \frac{b_{n+1}}{b_{n}} = lim_{n→∞} \frac{r^{(}n + 1)}{(n + 1)!} \frac{n!}{r^{n}} = lim_{n→∞} \frac{r}{n + 1} = 0,

e, para a sequência d_{n} temos

lim_{n→∞} \frac{d_{n+1}}{d_{n}} = lim n → ∞\frac{(n + 1)^{p}}{2^{(}n + 1)} \frac{2^{n}}{n^{p}} = \frac{1}{2} lim_{n→∞}(\frac{n + 1}{n})^{p} = \frac{1}{2} < 1

aqui usou-se o fato que se uma função f é contínua num intervalo que contém os termos da sequência (a_{n}) então lim_{n→∞} f(a_{n}) = f(lim_{n→∞} a_{n}) = f(l). se a_{n} → l. Nesse caso, temos

lim_{n→∞}(\frac{n + 1}{n})^{p} = ( lim_{n→∞} \frac{n + 1}{n})^{p} = 1^{p} = 1

Example 32. Considere a sequência a_{n} = n^{1/n} e calcule lim_{n→∞} n^{1/n}.

Temos que n^{1/n} = exp(\frac{1}{n} ln n) daí

lim_{n→∞} n^{1/n} = lim_{n→∞} exp(\frac{1}{n} ln n) = exp( lim_{n→∞} \frac{1}{n} ln n) = exp 0 = 1.

Séries Numéricas

2.1 Séries Numéricas

Dada uma sequência {a_{n}} de números reais, a soma infinita

a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} + ⋯

será representada por ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Tais somas infinitas são chamadas de séries infinitas ou, simplesmente, séries. Example 33. 1. A soma 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ⋯ que é representada por

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n−1}} é uma série geométrica.

2. A soma infinita 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +⋯ representamos por ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} é conhecida como a série harmônica.

Dada uma série infinita ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, as somas parciais dessa série são: S_{1} = a_{1}, S_{2} = a_{1} + a_{2}, S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}, ⋯, S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} Formamos então uma sequência de somas parciais {S_{n}}, se lim_{n→∞} S_{n} = S, S ∈ ℝ então dizemos que a série ∑_{n=1}^{∞} a_{n} converge e sua soma é S, isto

é, S = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Se lim_{n→∞} S_{n} não existe então dizemos que a série ∑_{n=1}^{∞} a_{n} diverge.

Example 34. Seja r ∈ ℝ e considere a série ∑_{n=1}^{∞} r^{n}, vamos analisar sobre a convergência ou divergência dessa série.

Seja {S_{n}} a sequência de somas parciais de ordem n da série ∑_{n=1}^{∞} r^{n}, isto é,

S_{n} = 1 + r + r^{2} + ⋯ + r^{n}

temos que

rS_{n} = r + r^{2} + ⋯ + r^{n} + r^{n+1}

daí

(1 − r)S_{n} = 1 − r^{n+1}

ou

S_{n} = \frac{1 − r^{n+1}}{1 − r}

como lim_{n→∞} r^{n} = 0 se |r| < 1 e lim_{n→∞} r^{n} não existe se |r| > 1, então concluímos que a série ∑_{n=1}^{∞} r^{n} converge e sua soma é S = \frac{1}{1 − r} se |r| < 1 e, diverge se |r| > 1. No caso em que |r| = 1 a essa série também diverge, pois ∑_{n=1}^{∞} 1^{n} = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯ = +∞ e ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} não existe. Conclusão a série ∑_{n=1}^{∞} r^{n} converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1. De forma

análoga, a série ∑_{n=1}^{∞} ar^{n} converge para \frac{a}{1 − r} se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1, tal série é chamada de série geométrica.

Example 35. A série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} é uma série geométrica com a = 1 e r = \frac{1}{2} < 1,

portanto converge e sua soma é S = \frac{1}{1 − \frac{1}{2}} = 2.

Theorem 36 (Teste do n-ésimo termo). Se uma série ∑ a_{n} converge então lim_{n→∞} a_{n} = 0. Demonstração. Temos que

a_{n} = S_{n} − S_{n−1}

como ∑ a_{n} converge então lim_{n→∞} S_{n} = S e lim_{n→∞} S_{n−1} = S daí

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} S_{n} − lim_{n→∞} S_{n−1} = S − S = 0.

Example 37. 1. A série ∑(−1)^{n} diverge pois lim_{n→∞}(−1)^{n} não existe, logo, pelo teste do n-ésimo termo a série ∑(−1)^{n} não pode convergir.

2. A série ∑ \frac{n}{n + 1} diverge, pois lim_{n→∞} \frac{n}{n + 1} = 1 ≠ 0.

Consideremos a série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + n}. Note que, \frac{1}{n^{2} + n} = \frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} e

S_{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{2} − \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} = 1 − \frac{1}{n + 1}

Logo,

lim_{n→∞} S_{n} = 1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n + 1} = 1

portanto, ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + n} converge para 1. Tal série é conhecida como séries de termos encaixantes. De um modo geral, a série de termos encaixantes pode ser dada por

∑_{n=1}^{∞}(b_{n} − b_{n+1})

se b_{n} convergir então ∑_{n=1}^{∞}(b_{n} − b_{n+1}) = b_{1} − lim_{n→∞} b_{n+1}. Note que se uma série ∑ a_{n} converge então necessariamente lim a_{n} = 0. Mas se lim a_{n} = 0 não implica que ∑ a_{n} convirja.

Um exemplo de série que satisfaz o fato de lim a_{n} = 0 mas que ela diverge é a série harmônica que será estudada na próxima subseção.

2.1.1 A série harmônica

A série harmônica é série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}. Temos que

S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}

S_{2n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{2n}

Logo,

S_{2n}−S_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} +⋯+ \frac{1}{2n} ≥ \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} +⋯+ \frac{1}{2n} = n.\frac{1}{2n} = \frac{1}{2} (2.1)

se a série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} fosse convergente então as sequências de somas parciais {S_{n}} e {S_{2n}} convergiriam e teriam o mesmo limite, e dessa forma, lim_{n→∞}S_{2n} − S_{n} = 0 Mas, isto é impossível, pois a desigualdade em (2.1)

implica em lim_{n→∞}S_{2n} − S_{n} ≥ \frac{1}{2}. Logo, ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} diverge.

O acréscimo ou omissão de um número finito de termos não altera a convergência ou divergência de uma série. Podemos daí deduzir que uma série ∑_{n=1}^{∞} a_{n} converge se, e somente se, lim_{p→∞} ∑_{n=p}^{∞} a_{n} = 0. Esse é o critério de Cauchy dado abaixo.

Theorem 38 (Critério de Cauchy). Uma série ∑ a_{n} converge se, e somente se, dado ϵ > 0 existe n_{0} tal que

|S_{n} − S_{m}| < ϵ, ∀n > m ≥ n_{0}.

Theorem 39. Se as séries ∑ a_{n} e ∑ b_{n} diferem apenas em uma quantidade finita de termos então ou ambas convergem ou ambas divergem.

Demonstração. Por hipótese, existe um índice n_{0} tal que a_{n} = b_{n}, ∀n ≥ n_{0}. Logo:

S_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n_{0}} + b_{n_{0}+1} + ⋯ + b_{n}
T_{n} = b_{1} + ⋯ + b_{n_{0}} + b_{n_{0}+1} + ⋯ + b_{n}

daí

S_{n} = S_{n_{0}} − T_{n_{0}} + T_{n}

e lim S_{n} = S então lim T_{n} = S +T_{n_{0}} −S_{n_{0}}, e se lim S_{n} não existe então lim T_{n} também não existe.

Example 40. As séries ∑ \frac{1}{n} e ∑ \frac{1}{n − 5} são divergentes e as séries ∑ \frac{1}{n^{2} + n}

e ∑ \frac{1}{2^{n}} são convergentes.

Como consequência do Teorema 39 as séries ∑_{n=1}^{∞} a_{n} e ∑_{n=p}^{∞} a_{n} são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Theorem 41 (Propriedades das séries). Sejam ∑ a_{n} e ∑ b_{n} séries numéricas e seja α ∈ ℝ.

1. Se ∑ a_{n} e ∑ b_{n} convergem então ∑(a_{n} + b_{n}) convergem e ∑ αa_{n} convergem.

2. Se ∑ a_{n} converge e ∑ b_{n} diverge então ∑(a_{n} + b_{n}) diverge.

3. Se ∑ a_{n} diverge e α ≠ 0 então ∑ αa_{n} diverge.

Se ∑ a_{n} e ∑ b_{n} divergem nada podemos afirmar sobre ∑(a_{n} + b_{n}). Tal

soma pode convergir ou não. Exemplo, ∑(\frac{1}{n} + \frac{−1}{n}) = 0 converge, mas

∑(\frac{1}{n} + \frac{1}{n}) = ∑ \frac{2}{n} diverge.

2.2 Séries de termos positivos

Uma série ∑ a_{n} é uma série de termos positivos se a_{n} ≥ 0 para todo n ∈ ℕ. Note que quando ∑ a_{n} é uma série de termos positivos então a sequência de somas parciais (S_{n}) dessa série é crescente, isto é,

S_{1} ≤ S_{2} ≤ ⋯ ≤ S_{n} ≤ ⋯

logo, para que a série ∑ a_{n} convirja bast mostrar que (S_{n}) é limitada.

Theorem 42 (Teste de comparação). Sejam ∑ a_{n} e ∑ b_{n} séries de termos positivos. Temos que:

1. se a_{n} ≤ b_{n} , para todo n e se ∑ b_{n} converge então ∑ a_{n} converge.

2. se a_{n} ≥ b_{n}, para todo n e se ∑ b_{n} diverge então ∑ a_{n} diverge.

Demonstração. Suponha que ∑ a_{n} e ∑ b_{n} sejam séries de termos positivos, com ∑ b_{n} convergente e suponha que

a_{n} ≤ b_{n}, ∀n ∈ ℕ

seja S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} e T_{n} = b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} então

S_{n} ≤ T_{n}

como ∑ b_{n} converge então lim T_{n} existe. Logo (T_{n}) é limitada, desse modo, existe M > 0 tal que T_{n} ≤ M. Assim,

S_{n} ≤ M, ∀n

segue (S_{n}) é convergente, logo ∑ a_{n} converge. Por outro lado, se ∑ b_{n} diverge e a_{n} ≥ b_{n}, ∀n, então

S_{n} ≥ T_{n}, ∀n

como ∑ b_{n} diverge então lim T_{n} = +∞. Desse modo, lim S_{n} ≥ lim T_{n} ⇒ lim S_{n} = +∞ o que implica ∑ a_{n} diverge.

Example 43. Mostre que a série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n + \sqrt{n}} diverge.

De fato, note que

n + \sqrt{n} < 2n ⇒ \frac{1}{n + \sqrt{n}} > \frac{1}{2n}

como ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2n} diverge então pelo teste de comparação segue que ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n + \sqrt{n}}

também diverge.

Example 44. Analise sobre a convergência ou divergência da série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{3} + n^{2}} .

Solução: Note que n^{3} + n^{2} > n^{2} + n o que implica em

\frac{1}{n^{3} + n^{2}} < \frac{1}{n^{2} + n}, ∀n

como ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + n} converge então pelo teste de comparação a série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{3} + n^{2}} converge.

Theorem 45 (Teste da Integral). Seja f : [1, +∞) → ℝ contínua e suponhamos que f é positiva e decrescente então:

1. a série ∑_{n=1}^{∞} f(n) é convergente se ∫_{1}^{∞} f(x)dx for convergente,

2. a série ∑_{n=1}^{∞} f(n) é divergente se ∫_{1}^{∞} f(x)dx for divergente.

Demonstração. Seja f(x) função monótona decrescente e positiva. Temos que

f(2) + f(3) + ⋯ + f(n) ≤ ∫_{1}^{n} f(x)dx ≤ f(1) + f(2) + ⋯ + f(n − 1)

ou

S_{n} ≤ f(1) + ∫_{1}^{n} f(x)dx

ou ainda

S_{n} ≤ f(1) + ∫_{1}^{n} f(x)dx ≤ f(1) + ∫_{1}^{∞} f(x)dx

logo S_{n} é limitada então S_{n} é convergente, portanto, ∑ f(n) converge. De modo análogo,como

∫_{1}^{n} f(x)dx ≤ S_{n−1}

se ∫_{1}^{∞} f(x)dx = +∞ então lim S_{n−1} = +∞, logo, ∑ f(n) diverge.

Example 46. 1. Seja f(x) = \frac{1}{x^{2}} temos que f(x) é positiva e decrescente

já que f′(x) = −\frac{2}{x^{3}} . A integral ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{2}} dx converge e, portanto, ∑ \frac{1}{n^{2}} converge.

2. f(x) = \frac{1}{x ln x} atende às condições expostas mas ∫_{2}^{∞} \frac{1}{x ln x} = lim_{B→∞}[ln(ln x))]_{2}^{B} =

+∞, logo ∑ \frac{1}{n ln n} diverge.

3. Tomando f(x) = xe^{−x^{2}}, ∫_{1}^{∞} xe^{−x^{2}}dx = \frac{1}{2e} o que implica ∑ ne^{−n^{2}}

converge.

A série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p}} é uma p-série. Analisemos sobre a convergência ou divergência dessa série. Temos o seguinte resultado.

Theorem 47. A p-série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p}} converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.

Demonstração. Calculemos a integral,

∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{p}} dx = lim_{B→∞} ∫_{1}^{B} \frac{1}{x^{p}} dx = lim_{B→∞}[B^{1−p} − 1], p ≠ 1

se p < 1 , temos que o lim_{B→∞} B^{1−p} = +∞, se p > 1 então lim_{B→∞} B^{1−p} = 0.

Theorem 48 (Forma limite do teste de comparação). Sejam ∑ a_{n} e ∑ b_{n} duas séries de termos positivos e seja l = lim \frac{a_{n}}{b_{n}} .

1. se l > 0 então ou ambas as séries ∑ a_{n} e ∑ b_{n} convergem ou ambas divergem

2. se l = 0 e ∑ b_{n} converge então ∑ a_{n} converge.

3. se l = +∞ e ∑ b_{n} diverge então ∑ a_{n} diverge.

Demonstração. Fixado ϵ = l/2 podemos encontrar n_{0} tal que

\frac{l}{2}b_{n} ≤ a_{n} ≤ \frac{3}{2}lb_{n}, ∀n ≥ n_{0}

assim, usando o teste de comparação provamos a primeira parte do teorema.

Pois se ∑ b_{n} converge então ∑(\frac{3}{2}l)b_{n} também converge e como a_{n} ≤ (\frac{3}{2}l)b_{n}

para todo n segue o resultado. Por outro lado, se ∑ b_{n} diverge como \frac{l}{2}b_{n} ≤ a_{n} para todo n, segue que ∑ a_{n} diverge, já que ∑(l/2)b_{n} diverge.

Example 49. Considere a série ∑ \frac{6\sqrt{n}}{5n + 4}. Ela converge ou diverge?

Solução: Para encontrar uma série que possamos comparar com a série dada olhamos os termos que dominam no numerador e denominador da série

original, neste caso, escolhemos ∑ \frac{\sqrt{n}}{n} = ∑ \frac{1}{\sqrt{n}} para comparar com a série

dada, já sabemos que a série ∑ \frac{1}{\sqrt{n}} é uma p-série com p = 1/2 < 1 logo,

diverge. E como lim_{n→∞} \frac{6\sqrt{n}}{5n + 4}\sqrt{n} = \frac{6}{5} > 0 então pela forma limite do teste

de comparação segue que ∑ \frac{6\sqrt{n}}{5n + 4} diverge.

Example 50. As séries ∑ e^{−n^{2}} e ∑ sen^{4}(\frac{1}{n}) convergem ou divergem?

Solução: Como lim e^{−n^{2}}/1/n^{2} = 0 e lim \frac{sen^{4}(\frac{1}{n})}{1/n^{4}} = 1 então ambas as

séries convergem, pela forma limite do teste de comparação, já que as séries ∑ 1/n^{2} e ∑ 1/n^{4} convergem.

Theorem 51 (Reagrupamento). O reagrupamento de séries de termos positivos que sejam convergentes não altera a convergência da série.

Dadas duas séries ∑ a_{n} e ∑ b_{n} convergentes então ∑ a_{n}b_{n} não é necessariamente convergente. Além disso,

∑ a_{n}b_{n} ≠ ∑ a_{n} ∑ b_{n} = ∑ c_{n}

onde

∑_{n=0}^{∞} c_{n} = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{j=0}^{n} a_{j}b_{n−j}

Example 52. Temos que a série ∑ \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} converge mas ∑ \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} =

∑ 1/n diverge.

2.3 Séries Alternadas

Séries do tipo ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} ou ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{(}n − 1)a_{n} com os termos a_{n} ≥ 0 para todo n é dita série alternada. Ou seja,

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} = −a_{1} + a_{2} + ⋯ + (−1)^{n}a_{n} + ⋯

Theorem 53 (Critério de Leibniz). Seja {a_{n}} uma sequência de termos positivos com as propriedades:

1. lim_{n→∞} a_{n} = 0.

2. a_{1} ≥ a_{2} ≥ ⋯ ≥ a_{n} ≥ ⋯, isto é, (a_{n}) monótona decrescente. Então a série alternada ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} converge. Demonstração. Considere a série alternada ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1}a_{n}, temos que

S_{2n} = (a_{1} − a_{2}) + (a_{3} − a_{4}) + ⋯ + (a_{2n} − a_{2n−1})

ou seja, (S_{2n}) é monótona crescente, e reagrupando seus termos temos

S_{2n} = a_{1} − (a_{2} − a_{3}) − (a_{3} − a_{4}) − ⋯ − (a_{2n−1} − a_{2n}) ≤ a_{1} logo, (S_{2n}) é limitada, segue que existe S = lim S_{2n}. Agora, como

S_{2n+1} = S_{2n} + a_{2n+1}

passando o limite

lim_{n→∞} S_{2n+1} = lim_{n→∞} S_{2n} + lim_{n→∞} a_{2n+1} = S + 0

logo, o lim_{n→∞} S_{n} = S, portanto ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1}a_{n} converge. Example 54. A série ∑ \frac{(−1)^{n}}{n} converge, pois o lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0 e \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}, ∀n. Example 55. A série ∑ \frac{(−1)^{n}}{n5^{n}} converge pelo teste de Leibniz. Example 56. A série ∑_{n=3}^{∞} \frac{(−1)^{n}n}{n^{2}−5} converge também pelo Teste de Leibniz. Theorem 57. O erro que se comete ao se aproximar a soma da série ∑(−1)^{n}a_{n} por S_{n} é de a_{n+1}. Demonstração. De fato,

|S_{n} − S| = | ∑_{k=n+1}^{∞}(−1)^{k}a_{k}| = |(−1)^{n+1}a_{n+1} + (−1)^{n+2}a_{n+2} + ⋯ |

= |(−1)^{n+1}[a_{n+1} − a_{n+2} + ⋯]|
= a_{n+1} − a_{n+2} + a_{n+3} − a_{n+4} + ⋯ ≤ a_{n+1}.

Example 58. Para a série do exemplo 94 temos que

S_{4} = −\frac{1}{5} + \frac{1}{50} − \frac{1}{325} + \frac{1}{2500} ≈ −0, 18

o erro cometido para essa aproximação foi a_{5} = \frac{1}{15625} ≈ 64 × 10^{−6}

2.4 Convergência Absoluta

Uma série ∑ a_{n} converge absolutamente se a nova série ∑ |a_{n}| converge. Por exemplo, a série ∑ \frac{(−1)^{n}}{2^{n}} converge absolutamente pois a série ∑ \frac{1}{2^{n}} é uma série geométrica de razão r = 1/2 e, portanto, convergente.

Theorem 59 (Convergência absoluta). Se uma série ∑ a_{n} é absolutamente convergente então ela é convergente.

Demonstração. Suponha que ∑ a_{n} converge absolutamente então ∑ |a_{n}| converge. Podemos considerar b_{n} = a_{n} + |a_{n}| como −|a_{n}| ≤ a_{n} ≤ |a_{n}| então

0 ≤ b_{n} ≤ 2|a_{n}|

Logo, ∑ b_{n} converge pelo teste de comparação. Então

∑ a_{n} = ∑(a_{n} + |a_{n}|) − |a_{n}|

converge.

Uma série ∑ a_{n} tal que ∑ |a_{n}| diverge é dita condicionalmente convergente. Por exemplo, a série ∑ \frac{(−1)^{n}}{n} converge pelo teste das séries alternadas mas a série ∑ |\frac{(−1)^{n}}{n} | = ∑ \frac{1}{n} diverge. Logo, a série ∑ \frac{(−1)^{n}}{n} é condicionalmente convergente.

Example 60. A série ∑ \frac{sen n}{n^{2}} converge ou diverge?

Solução: Note que

| sen n| ≤ 1

daí

\frac{| sen n|}{n^{2}} ≤ \frac{1}{n^{2}}

portanto ∑ \frac{| sen n|}{n^{2}} converge, pelo teste de comparação, logo, a série ∑ \frac{sen n}{n^{2}} converge absolutamente.

2.5 Teste da Razão e da Raíz

Theorem 61 (Teste da Razão). Consideremos uma série ∑ a_{n} com e seja l = lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |.

1. se l < 1 então a série ∑ a_{n} converge absolutamente.

2. se l > 1 ou l = ∞ então ∑ a_{n} diverge.

3. se l = 1 nada se pode concluir.

Demonstração. Se lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = l < 1 então existe um número real 0 <

r < 1 tal que

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < r, ∀n > n_{0}

desse modo

|a_{n_{0}+k}| ≤ r^{k}|a_{n_{0}}|, ∀k ≥ 1

Como ∑ r^{k} é convergente então ∑ |a_{n_{0}}|r^{k} também converge e ∑_{n=n_{0}+1}^{∞} |a_{n}| converge pelo teste de comparação, logo, ∑_{n=n_{0}+1}^{∞} a_{n} converge absolutamente, o que implica que ∑_{n=1}^{∞} a_{n} converge absolutamente (um número finito de termos não altera a convergência ou divergência da série). Se, por outro lado, l > 1, então |a_{n+1}| > |a_{n}| e se, a_{n_{0}} ≠ 0 para algum n_{0} então, lim_{n→∞} |a_{n}| ≠ 0 o que nos dá lim_{n→∞} a_{n} ≠ 0. Logo, ∑ a_{n} diverge (teste do n-ésimo termo).

Example 62. Considere a série as séries ∑ \frac{3^{n}}{n!} e ∑ \frac{3^{n}}{n^{2}} analise sobre a convergência ou divergência dessas séries.

Solução: Pelo teste da razão, temos

lim_{n→∞} \frac{3^{n+1}}{(n + 1)!} \frac{n!}{3^{n}} = lim_{n→∞} \frac{3}{n + 1} = 0 < 1

então a série ∑ \frac{3^{n}}{n!} converge pelo teste da razão. E como

lim_{n→∞} \frac{3^{n+1}}{(n + 1)^{2}} \frac{n^{2}}{3^{n}} = 3 > 1

então a série ∑ \frac{3^{n}}{n^{2}} diverge pelo teste da razão.

Example 63. Considere a série ∑(−1)^{n} \frac{n^{2} + 4}{2^{n}} ela converge ou diverge?

Solução: Usando o teste da razão temos

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} |\frac{(−1)^{n+1}[(n + 1)^{2} + 4]}{2^{n+1}} \frac{2^{n}}{(−1)^{n}(n^{2} + 4)}| = lim_{n→∞} \frac{1}{2}(\frac{n^{2} + 2n + 5}{n^{2} + 4}) = \frac{1}{2} < 1

o que implica que a série converge.

Theorem 64 (Teste da Raíz). Seja ∑ a_{n} uma série numérica. Seja lim_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = l. Temos que 1. se l < 1 então ∑ a_{n} converge absolutamente.

2. se l > 1 então ∑ a_{n} diverge.

3. se l = 1 nada se conclui.

Demonstração. Suponha l < 1 então existe 0 < r < 1 tal que

\sqrt[n]{|a_{n}|} < r, ∀n > n_{0}

ou

|a_{n}| < r^{n}, ∀n > n_{0}

como ∑ r^{n} converge segue que ∑ |a_{n}| converge e, portanto, ∑ a_{n} converge absolutamente. Por outro lado, se l > 1 então existe r > 1 tal que

\sqrt[n]{|a_{n}|} > r, ∀n > n_{0}

ou

|a_{n}| > r^{n}, ∀n > n_{0}

como lim_{n→∞} r^{n} = +∞ então lim_{n→∞} |a_{n}| = +∞ o que implica ∑ a_{n} diverge (Por quê?).

Example 65. Considere a série ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{2^{n}}. Pelo teste da raíz: lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n}}} =

lim_{n→∞} \frac{\sqrt[n]{n}}{2} = \frac{1}{2} < 1. Logo, ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{2^{n}} converge absolutamente.

Example 66. A série ∑ \frac{n^{n}}{2^{n}} diverge pois, usando o teste da raíz, temos que

lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{2^{n}}} = lim_{n→∞} \frac{n}{2} = +∞.

Example 67. A série ∑ \frac{1}{n} diverge e a série ∑ \frac{1}{n^{2}} convergente mas lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} =

1, e o limite lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt[n]{n^{2}}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2/n}} = 1. Se usarmos

o teste da razão para essas mesmas séries obtemos resultados semelhantes do limite, ou seja, o limite será igual a 1. Por isso, quando l = 1 o resultado é inconclusivo, pois a série tanto pode convergir como divergir.

Séries de Potências

3.1 Séries de Potências

Uma série de potências de x é uma série do tipo

∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n} + ⋯

Example 68. A série

∑_{n=0}^{∞} x^{n} = 1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n} + ⋯

é uma série de potências de x. Observe que ela é uma série geométrica de razão r = x. Como a série geométrica só converge se |r| < 1 então a série

∑_{n=0}^{∞} x^{n} só converge se |x| < 1. Neste caso, sua soma é S = \frac{1}{1 − x}. Podemos então afirmar que

\frac{1}{1 − x} = 1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n} + ⋯, |x| < 1.

Dada uma série de potências de x, ∑ a_{n}x^{n}, usando o teste da razão temos que

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} | = |x| lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |x|l < 1

logo, |x| < \frac{1}{l} = R, R é o raio de convergência da série ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}.

Theorem 69. Seja ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} uma série de potências de x. Se ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} converge para um certo c ≠ 0 e diverge para um certo d ≠ 0 com |c| < |d|. Então ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} converge absolutamente para todo x tal que |x| < |c| e diverge para todo x tal que |x| > |d|.

Demonstração. Seja a série ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} tal que ela converge para x = c e diverge para x = d com |c| < |d|. Considere x tal que |x| < |c| temos que

∑_{n=0}^{∞} |a_{n}||x|^{n} = ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}c^{n}| (\frac{|x|}{|c|})^{n}

como ∑_{n=0}^{∞} a_{n}c^{n} converge então devemos ter que lim_{n→∞}|a_{n}c^{n}| = 0, podemos então tomar n_{0} tal que |a_{n}c^{n}| < 1 para todo n > n_{0} desse modo,

|a_{n}||x|^{n} = |a_{n}c^{n}| (\frac{|x|}{|c|})^{n} < (\frac{|x|}{|c|})^{n} , ∀n > n_{0}

como |x| < |c| então |\frac{x}{c}| < 1 e a série ∑_{n=n_{0}}^{∞} |\frac{x}{c} |^{n} é uma série geométrica convergente. Desse modo, a série ∑_{n=n_{0}}^{∞} |a_{n}||x|^{n} converge, o que implica que a série ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} converge absolutamente para todo |x| < |c|. Agora suponha que x seja tal que |x| > |d| se, por absurdo, supomos que exista algum x_{1} com |x_{1}| > |d| e ∑ a_{n}x_{1}^{n} convirja, então pelo que acabamos de mostrar essa série deve convergir para todo x tal que |x| < |x_{1}| assim, como, |d| < |x_{1}| então ∑ a_{n}d^{n} converge, o que é um absurdo. Então para todo x tal que |x| > |d| a série ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} diverge.

Theorem 70. Seja ∑ a_{n}x^{n} uma série de potências de x. Então somente uma das alternativas abaixo deve ocorrer.

1. A série converge somente para x = 0 (R=0)

2. A série converge para todo x real. (R=∞)

3. Existe R > 0 tal que a série ∑ a_{n}x^{n} converge para todo x tal que |x| < R e diverge para todo x tal que |x| > R.

Demonstração. Se não ocorre a primeira nem a segunda situação então existe um x_{1} ≠ 0 onde ∑ a_{n}x_{1}^{n} converge e um x_{2} ≠ 0 com |x_{1}| < |x_{2}| onde ∑ a_{n}x_{2}^{n} diverge. Seja

S = {x ∈ ℝ| ∑ a_{n}x^{n} converge}

é claro que |x_{2}| é uma cota superior de S, tomemos então R = sup S. Provemos que se |x| < R então x ∈ S. De fato, se |x| < R então x não pode ser cota superior de S já que R é a menor das cotas superiores, então deve ter um elemento x_{0} de S tal que |x| ≤ |x_{0}| então pelo teorema anterior x ∈ S. Também se x não pertencesse a S então ∑ a_{n}x^{n} divergiria e x seria uma cota superior de S o que contradiz o fato de R ser a menor delas, já que |x| < R. Por outro lado, se |x| > R então ∑ a_{n}x^{n} deve divergir, pois se ∑ a_{n}x^{n} convergisse R não seria uma cota superior de S o que é absurdo já que R = sup S.

R é o raio de convergência da série ∑ a_{n}x^{n}. Já o intervalo de convergência da série é um dos seguintes intervalos:

(−R, R), (−R, R], [−R, R), [−R, R]

fora desses intervalos a série sempre diverge. E o intervalo (−R, R) é sempre o intervalo de convergência absoluta da série.

Theorem 71. Seja ∑ a_{n}x^{n} uma série de potências de x. Se essa série tem raio de convergência R. Então ela pode ser derivada termo a termo ou integrada termo a termo, isto é,

\frac{d}{dx} (∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}) = \frac{d}{dx} (a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n} + ⋯)

= a_{1} + 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2} + ⋯ + na_{n}x^{n−1} + ⋯ = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1}

e

∫_{0}^{x} (∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n}) dt = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{x} t^{n}dt = ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}x^{n+1}}{n + 1}

essas novas séries obtidas têm o mesmo raio de convergência da série original.

Example 72. Obtenha uma série de potências de x que represente a função

f(x) = \frac{1}{(1 + x)^{2}} .

Solução: Observe que

\frac{d}{dx} (\frac{1}{1 + x}) = −\frac{1}{(1 + x)^{2}}

como

\frac{1}{1 + x} = 1 − x + x^{2} − ⋯ + (−1)^{n}x^{n} + ⋯

usando o teorema 71 obtemos

−\frac{1}{(1 + x)^{2}} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{1 + x}) = −1 + 2x − 3x^{2} + ⋯ + (−1)^{n}nx^{n−1} + ⋯ |x| < 1.

Example 73. Obtenha uma série de potências de x que represente a função ln(1 + x).

28 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS

Solução: Note que

ln(1 + x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{1 + t}dt

como

\frac{1}{1 + t} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}t^{n}, |t| < 1

o que nos leva a

ln x = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n + 1}, |x| < 1

O intervalo de convergência dessa série é (−1, 1]. Isso, porque quando escolhemos x = −1 na série de ln(1 + x) obtemos a série numérica − ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n + 1} que é divergente, por outro lado, se fazemos x = 1 na série de ln(1 + x) obtemos a série ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} que converge pelo teste de Leibniz.

Example 74. A série ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} é absolutamente convergente para todo x real. Que função essa série representa?

Solução:De fato,vemos que

lim_{n→∞} |\frac{x^{n+1}}{(n + 1)!} \frac{n!}{x^{n}} | = lim_{n→∞} \frac{|x|}{n + 1} = 0 < 1

então pelo teste da razão essa série converge absolutamente para todo x real. Suponha que a série acima represente uma função f(x), ou seja, f(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} . Derivando a função f(x) obtemos

f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} n\frac{x^{n−1}}{n!}

ou

f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n−1}}{(n − 1)!}

ou ainda

f′(x) = f(x)

daí

\frac{f′(x)}{f(x)} = 1

integrando a igualdade acima obtemos

ln f(x) = x + c_{0}

ou

f(x) = Ce^{x}, (C = e_{0}^{c} é uma constante)

como f(0) = 1 obtemos C = 1 e f(x) = e^{x}, portanto, ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x}.

Uma série de potências de x − x_{0} é uma série do tipo

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − x_{0})^{n} = a_{0} + a_{1}(x − x_{0}) + a_{2}(x − x_{0})^{2} + ⋯ + a_{n}(x − x_{0})^{n} + ⋯

Todos os resultados que obtivemos para as séries de potências de x são válidos para as séries de potências de x − x_{0} com as devidas adaptações.

Example 75. Da série

\frac{1}{1 + x} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}x^{n}, |x| < 1

obtemos

\frac{1}{1 + x^{2}} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}x^{2n}, |x| < 1

integrando termo a termo, de 0 a x para |x| < 1, temos

arctg x = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1}, |x| ≤ 1

Example 76. Considere a série ∑_{n=0}^{∞} \frac{(x − 3)^{n+1}}{n} analisemos sobre o intervalo de convergência dessa série.

Solução: Usando o teste da razão

lim_{n→∞} |\frac{(x − 3)^{n+2}}{n + 1} \frac{n}{(x − 3)^{n+1}} | = lim_{n→∞} |x − 3|\frac{n}{n + 1} = |x − 3|

essa série converge absolutamente se |x − 3| < 1, que equivale a 2 < x < 4 e diverge fora desse intervalo. No caso em que |x − 3| = 1 que corresponde a

x = 2 e x = 4, quando substituimos x = 2 nessa série obtemos ∑ \frac{(−1)^{n}}{n} que

converge e para x = 4 obtemos a série ∑ \frac{1}{n} que diverge. Logo, o intervalo

de convergência da série ∑_{n=0}^{∞} \frac{(x − 3)^{n+1}}{n} é o intervalo 2 ≤ x < 4.

3.2 Séries de Taylor

Quando uma função é representada por uma série de potências então podemos ter

f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n} + ⋯

Levantamos então as seguintes questões: que relação há entre f(x) e os coeficientes da série a_{n}? Em que situação essa série representa realmente a função f(x)? Em relação à primeira questão temos que se f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} e se f(x) ∈ C^{∞} então f(0) = a_{0} e, como f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1} então f′(0) = a_{1}, como f′′(x) = ∑_{n=2}^{∞} n(n − 1)a_{n}x^{n−2} então f′′(0) = 2!a_{2}, e assim por diante, seguindo esse mesmo raciocínio obtemos f^{(n)}(0) = n!a_{n} então podemos concluir que

f(x) = f(0) + f′(0)x + \frac{f′′(0)}{2!}x^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} + ⋯

essa série é conhecida como série de Maclaurin da função f. A série de Taylor de f em torno de um ponto x_{0} é

f(x) = f(x_{0})+f′(x_{0})(x−x_{0})+ \frac{f′′(x_{0})}{2!}(x−x_{0})^{2} +⋯+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x−x_{0})^{n} +⋯

onde os a_{n} = \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}, para todo n ≥ 0, aqui usa-se a convenção de que

f^{(0)}(x_{0}) = f(x_{0}). A série de Maclaurin de uma função f nada mais é que a sua série de Taylor em torno do ponto x = 0. Example 77. Achar a série de Maclaurin da função f(x) = sen x.

Solução: Temos que

f(x) = sen x ⇒ f(0) = sen 0 = 0
f′(x) = cos x ⇒ f′(0) = cos 0 = 1
f′′(x) = − sen x ⇒ f′′(0) = − sen 0 = 0
f′′′(x) = − cos x ⇒ f′′′(0) = − cos 0 = −1
f^{(iv)}(x) = sen x ⇒ f^{(iv)}(0) = sen 0 = 0

só os termos ímpares são diferentes de zero, analisemos esses termos

{f^{(1)}(0) = f^{(2.0+1)}(0) = (−1)^{0} = 1 ; f^{(3)}(0) = f^{(2.1+1)}(0) = (−1)^{1} = −1 ; f^{(5)}(0) = f^{(2.2+1)}(0) = (−1)^{2} = 1 ; ⋮ ; f^{(2.k+1)}(0) = (−1)^{k}

assim

sen x = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} − ⋯ + \frac{(−1)^{n}x^{2n+1}}{(2n + 1)!} + ⋯

Essa é a série de Maclaurin da função f(x) = sen x. Com a série de Maclaurin da função f(x) = sen x podemos encontrar a série de Maclaurin da função f(x) = cos x, por derivação termo a termo,

cos x = \frac{d}{dx}(sen x) = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯ + \frac{(−1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} + ⋯

Example 78. Encontre a série de Taylor da função ln x em torno de x = 1.

Solução: Temos

\{f(x) = ln x ⇒ f(1) = ln 1 = 0 ; f′(x) = \frac{1}{x} ⇒ f′(1) = 1 ; f′′(x) = \frac{−1}{x^{2}} ⇒ f′′(1) = −1 ; f′′′(x) = \frac{2}{x^{3}} ⇒ f′′′(1) = 2 ; f^{(iv)}(x) = −\frac{3!}{x^{4}} ⇒ f^{(iv)}(1) = −3! ; ⋮ ; f^{(n)}(x) = (−1)^{n−1} \frac{(n − 1)!}{x^{n}} ⇒ f^{(n)}(1) = (−1)^{n−1}(n − 1)!

logo,

ln x = (x − 1) − \frac{(x − 1)^{2}}{2} + \frac{(x − 1)^{3}}{3} − \frac{(x − 1)^{4}}{4} + ⋯ + \frac{(−1)^{n}(x − 1)^{n}}{n} + ⋯

com |x − 1| < 1.

3.2.1 Polinômios de Taylor

O polinômio de Taylor de uma função f(x) em torno de x = a é

P_{n,a}(x) = f(a)+f′(a)(x−a)+\frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2}+⋯+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{n!}(x−a)^{k}

O polinômio de Maclaurin de f é:

P_{n}(x) = f(0) + f′(0)x + \frac{f′′(0)}{2!}x^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{n!}x^{k}

que é o polinômio de Taylor de f em torno do ponto x = 0. Por exemplo, o polinômio de Maclaurin de f(x) = exp x é

P_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} .

Theorem 79 (Fórmula de Taylor com resto). Seja f(x) uma função de classe C^{∞} num intervalo que contém a. Dado qualquer x nesse intervalo existe um número real ξ entre a e x tal que

f(x) = P_{n,a}(x) + R_{n}(x)

onde R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − a)^{n}, e

P_{n,a}(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x − a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

Além disso, a sequência P_{n,a}(x) converge para f(x) quando n → ∞ se, e somente se, lim_{n→∞} R_{n}(x) = 0.

Demonstração. Considere a função G : [a, x] → ℝ dada por

G(t) = f(x)−[f(t)+f′(t)(x−t)+\frac{f′′(t)}{2!}(x−t)^{2}+⋯+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x−t)^{n}]−R_{n}(x)\frac{(x − t)^{n+1}}{(x − a)^{n+1}}

com a e x fixos, onde R_{n}(x) = f(x) − P_{n,a}(x). Observe que G satisfaz as seguintes propriedades:

1. G(a) = f(x) − P_{n,a}(x) − R_{n}(x) = 0

2. G(x) = 0

3. G é contínua no intervalo fechado [a, x] e derivável no intervalo aberto (a, x).

Logo, pelo teorema de Rolle existe um ξ tal que ξ está entre a e x tal que G′(ξ) = 0. Mas

G′(t) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x − t)^{n} − (n + 1)R_{n}(x)\frac{(x − t)^{n}}{(x − a)^{n+1}}

e, portanto, G′(ξ) = 0 implica em R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − a)^{n}.

Note que a soma parcial de ordem n da série ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k} é S_{n} = P_{n,a}(x). Logo,

lim_{n→∞} S_{n} = lim_{n→∞} P_{n,a}(x) = lim_{n→∞}[f(x) − R_{n}(x)] = f(x)

Logo,

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k}.

Example 80. Mostre que a série de potências ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} realmente representa a função f(x) = e^{x} para todo x real.

Solução: Ja vimos que e^{x} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} . Falta mostrar que esta série realmente representa a função exponencial e^{x}. Pela Fórmula de Taylor com resto, temos que

e^{x} = P_{n}(x) + R_{n}(x)

onde

P_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!}

e

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x)^{n+1} = \frac{e^{ξ}x^{n+1}}{(n + 1)!}

onde ξ está entre 0 e x. Como lim_{n→∞} \frac{|x|^{n+1}}{(n + 1)!} = 0 então

lim_{n→∞} |\frac{e^{ξ}x^{n+1}}{(n + 1)!}| = 0.

Logo, realmente a série representa a função e^{x}. Example 81. Analise se a série da função f(x) = sen x realmente a representa.

Solução: Temos que

f(0) = 0, f′(0) = 1, f′′(0) = 0, f′′′(0) = −1, · · · .

Além disso,

f^{(n+1)}(ξ) = \begin{cases}± sen ξ, n par \\ ± cos ξ, n ímpar \end{cases}

e o resto

|R_{n}(x)| = |\frac{f^{(n+1)}(ξ)x^{n+1}}{(n + 1)!} | ≤ \frac{|x|^{n+1}}{(n + 1)!}

e, lim_{n→∞} |R_{n}(x)| = 0 ⇒ lim_{n→∞} R_{n}(x) = 0 e portanto, a série do sen x representa essa função.

Remark 82. Uma função f(x) é analítica em x = a quando ela puder ser representada por sua série de Taylor em algum intervalo aberto em torno de a.

Um outro resultado que podemos deduzir da fórmula f(x) = P_{n}(x) + R_{n}(x) é que se aproximarmos o valor de f(x) por P_{n}(x) o erro que cometemos é da ordem de |R_{n}(x)|.

Example 83. Encontre o valor aproximado de e^{−0.04} com erro menor que 5 × 10^{−4}.

Solução: Temos que

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} + R_{n}(x)

se aproximarmos

e^{−0,04} ≈ 1 − 0, 04 + \frac{(0, 04)^{2}}{2!}

então o erro que cometemos será de

|R_{3}(−0, 04)| ≤ \frac{|(−0, 04)^{3}}{3!} ≈ \frac{0, 000064}{3!}.

3.2.2 Série Binomial

Binômio de Newton

(x + y)^{k} = x^{k} + kx^{k−1}y + \frac{k(k − 1)}{2!}x^{k−2}y^{2} + ⋯ + y^{k}

ou simbolicamente,

(x + y)^{k} = ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}x^{j}y^{k−j};

onde

\binom{k}{j} = \frac{k!}{j!(k − j)!}

fazendo nesta fórmula y = 1, obtemos

(1 + x)^{k} = 1 + kx + \frac{k(k − 1)}{2!}x^{2} + ⋯ + \frac{k(k − 1) ⋯ (k − j + 1)}{j!}x^{j} + ⋯ + x^{k}

Motivado por essa fórmula, procuramos um desenvolvimento em série de potências para a função f(x) = (1+x)^{α} , onde α é um número real qualquer.A série binomial é definida como

1 + αx + \frac{α(α − 1)}{2!}x^{2} + ⋯ + \frac{α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!}x^{n} + ⋯

o n-ésimo termo dessa série é

a_{n} = \frac{α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!}x^{n}

logo,

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} |x|\frac{|α − n|}{n + 1} = |x|

portanto, a série binomial converge absolutamente quando |x| < 1 e diverge se |x| > 1. Se tal série converge para uma função g então devemos ter que

g(x) = 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!}x^{n}

e, por derivação termo a termo

g′(x) = α + α(α − 1)x + ⋯ + \frac{nα(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!}x^{n−1} + ⋯

desse modo,

g′(x) + xg′(x) = αg(x)

ou

(1 + x)g′(x) − αg(x) = 0

daí

\frac{d}{dx} [\frac{g(x)}{(1 + x)^{α}} ] = \frac{(1 + x)g′(x) − αg(x)}{(1 + x)^{α+1}}

ou

\frac{g(x)}{(1 + x)^{α}} = c

e como g(0) = 1 então g(x) = (1 + x)^{α}.

Example 84. Ache a série binomial da função \sqrt{1 + x}.

36 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS Solução: Como \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2} então

(1 + x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x − \frac{1}{8}x^{2} + ⋯ + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} − 1) ⋯ (\frac{1}{2} − n + 1)}{n!}x^{n} + ⋯

= 1 + \frac{1}{2}x − \frac{1}{8}x^{2} + ⋯ + (−1)^{n} \frac{1.3. · · · (2n − 3)}{2^{n}n!}x^{n} + ⋯

Séries de Fourier

4.1 Introdução

As séries de Fourier são ferramentas muito importante na resolução de Equações Diferenciais Parciais. Podemos aplicá-las em diversas equações da Física-Matemática, principalmente nas equações de Onda, Calor e Laplace. Vamos desenvolver neste capítulo toda a teoria para calcular as séries de Fourier de algumas funções e depois aplicar o método desenvolvido para resolver as equações acima citadas.

4.2 Funções Periódicas

Definition 85. Uma função f : ℝ → ℝ é periódica de período T se f (x + T) = f (x) para todo x.

Example 86. A função sen x é periódica de período 2π. Observe a figura 4.1.

Example 87. A função f (x) = x−[x] , onde [x] representa o maior inteiro, menor do que ou igual a x,é periódica de período 1. Veja o gráfico de f dado pela figura 4.2.

Observação:

Se T é um período para a função f, então 2T também é um período, pois:

f (x + 2T) = f (x + T) = f (x)

Figura 4.1: y = sen x

Figura 4.2: f(x) = x − [x]

E em geral, kT é um período, onde k é um inteiro. Para k = 0, temos que 0 é um período da f. Mas isso não tem interesse pois 0 é período de qualquer função. O menor período positivo é chamado o período fundamental.

Example 88. O período fundamental T da função sen (\frac{nπx}{L}) pode ser determinado do seguinte modo. Devemos ter:

sen \frac{nπ (x + T)}{L} = sen \frac{nπx}{L}, ∀x ∈ ℝ.

Usando a seguinte propriedade trigonométrica, sen (a + b) = sen a sen b + sen b sen a, devemos ter:

sen \frac{nπx}{L} cos \frac{nπT}{L} + sen \frac{nπT}{L} cos \frac{nπx}{L} = sen \frac{nπx}{L}  (4.1)

Fazendo x = \frac{L}{2n}, na igualdade acima obtemos:

sen \frac{π}{2} cos \frac{nπT}{L} = sen \frac{π}{2}

O que implica:

cos \frac{nπT}{L} = 1  (4.2)

, e daí, usando a identidade: sen^{2} θ + cos^{2} θ = 1, obtemos:

sen \frac{nπT}{L} = 0  (4.3)

Como estamos interessados no menor valor positivo de T que satisfaça (4.2)

e (4.3), simultaneamente, então \frac{nπT}{L} = 2π,isto é, o período fundamental de

sen \frac{nπx}{L} é: T = \frac{2L}{n}. (De maneira análoga obtemos que o período fundamental

de cos \frac{nπx}{L} é também \frac{2L}{n}.)

4.3 Coeficientes de Fourier

Se uma função f (x) for expressa com:

f (x) = \frac{1}{2}a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} (a_{n} cos \frac{nπx}{L} + b_{n} sen \frac{nπx}{L})  (4.4)

é de se esperar que os coeficientes a_{n} e b_{n} estejam intimamente ligados à função f.

Vamos supor que a igualdade acima se verifique, e que a série em (4.4) convirja uniformemente.

Como consequência da Proposição 1, f deve ser contínua (e portanto, pode ser integrada termo a termo), e deve ser periódica de período 2L (pois o período fundamental de cos \frac{πx}{L} é 2L, e 2L é período para as demais funções seno e co-seno que aparecem na série). Assim, usando a Proposição 2, podemos integrar ambos os lados de (4.4) para obter:

∫_{−L}^{L}f (x) dx = \frac{1}{2}a_{0}∫_{−L}^{L}dx + ∑_{n=1}^{∞} (a_{n}∫_{−L}^{L} cos \frac{nπx}{L}dx + b_{n}∫_{−L}^{L} sen \frac{nπx}{L}dx)

(4.5)

por outro lado,

∫_{−L}^{L} sen \frac{nπx}{L}dx = 0

pois,

∫_{−L}^{L} sen \frac{nπx}{L}dx = \frac{L}{nπ} ∫_{−nπ}^{nπ} sen udu = −\frac{L}{nπ} (cos u)]_{−nπ}^{nπ} = 0

40 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER de modo análogo segue que

∫_{−L}^{L} cos \frac{nπx}{L}dx = 0

segue da igualdade (4.5) e do exposto acima que

∫_{−L}^{L}f (x) dx = \frac{1}{2}a_{0}∫_{−L}^{L}dx

segue que

a_{0} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) dx  (4.6)

Para calcularmos os demais coeficientes usamos as seguintes relações:

∫_{−L}^{L} cos \frac{nπx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx = 0, se n, m ≥ 1  (4.7)
∫_{−L}^{L} cos \frac{nπx}{L} cos \frac{mπx}{L}dx = \{ \begin{matrix}L, se n = m ≥ 1 \\ 0, se n ≠ m, n, m ≥ 1 \end{matrix}  (4.8)
∫_{−L}^{L} sen \frac{nπx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx = \{ \begin{matrix}L, se n = m ≥ 1 \\ 0, se n ≠ m, n, m ≥ 1 \end{matrix}  (4.9)

por questões de esclarecimento vamos provar uma dessas relações, para n = m ≥ 1 temos:

∫_{−L}^{L} cos^{2} \frac{nπx}{L}dx = \frac{L}{nπ} ∫_{−nπ}^{nπ} cos^{2} udu = \frac{L}{2nπ} ∫_{−nπ}^{nπ} (cos 2u + 1) du

= \frac{L}{2nπ} [(\frac{1}{2} sen 2u) + (u)]_{−nπ}^{nπ} = \frac{L}{2nπ} [nπ − (−nπ)] = \frac{L}{2nπ} [2nπ] = L

Analogamente mostram-se as outras relações.

Agora, multiplicando (4.4) por cos \frac{mπx}{L}, com m ≥ 1 fixo, e integrando de −L a L, obtemos:

∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{mπx}{L}dx = \frac{1}{2}a_{0}∫_{−L}^{L} cos \frac{mπx}{L}dx+

+ ∑_{n=1}^{∞} (a_{n}∫_{−L}^{L} cos \frac{nπx}{L} cos \frac{mπx}{L}dx + b_{n}∫_{−L}^{L} sen \frac{nπx}{L} cos \frac{mπx}{L}dx)

4.3. COEFICIENTES DE FOURIER 41 Do somatório acima obtemos

∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{mπx}{L}dx = \frac{1}{2}a_{0}∫_{−L}^{L} cos \frac{mπx}{L}dx

+(a_{1}∫_{−L}^{L} cos \frac{πx}{L} cos \frac{mπx}{L}dx + b_{1}∫_{−L}^{L} sen \frac{πx}{L} cos \frac{mπx}{L}dx + ...

+a_{m}∫_{−L}^{L} cos \frac{mπx}{L} cos \frac{mπx}{L}dx + b_{m}∫_{−L}^{L} sen \frac{mπx}{L} cos \frac{mπx}{L}dx + ...)

Usando as relações (4.7), (4.8) e (4.9) expostas acima concluímos que:

∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{mπx}{L}dx = 0 + (0 + ... + a_{m}L + b_{m}0 + ... + 0 + ...)

o que nos dá

∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{mπx}{L}dx = a_{m}L  (4.10)

De modo análogo, multiplicando (4.4) por sen \frac{mπx}{L}, com m ≥ 1 fixo, e integrando de −L a L, obtemos:

∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{mπx}{L}dx = \frac{1}{2}a_{0}∫_{−L}^{L} sen \frac{mπx}{L}dx+

+ ∑_{n=1}^{∞} (a_{n}∫_{−L}^{L} cos \frac{nπx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx + b_{n}∫_{−L}^{L} sen \frac{nπx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx)

daí

∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{mπx}{L}dx = \frac{1}{2}a_{0}∫_{−L}^{L} sen \frac{mπx}{L}dx

+(a_{1}∫_{−L}^{L} cos \frac{πx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx + b_{1}∫_{−L}^{L} sen \frac{πx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx + ...

+a_{m}∫_{−L}^{L} cos \frac{mπx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx + b_{m}∫_{−L}^{L} sen \frac{mπx}{L} sen \frac{mπx}{L}dx + ...)

Novamente das relações (4.7), (4.8) e (4.9) temos:

∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{mπx}{L}dx = 0 + (0 + ... + a_{m}0 + b_{m}L + ... + 0 + ...)

segue que

∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{mπx}{L}dx = b_{m}L  (4.11)

Finalmente, de (4.6), (4.10) e (4.11) obtemos:

a_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{nπx}{L}dx, n ≥ 0  (4.12)

b_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{nπx}{L}dx, n ≥ 1  (4.13)

Definition 89. Seja f : ℝ → ℝ uma função periódica de período 2L, integrável e absolutamente integrável em cada intervalo limitado; em particu-

lar, ∫_{−L}^{L} |f (x)| dx < ∞. Os números a_{n}, para n ≥ 0, e b_{n}, para n ≥ 1, dados

em (4.12) e (4.13) são definidos como os coeficientes de Fourier da função f. (A exigência da integrabilidade e integrabilidade absoluta de f é necessária para que as expressões (4.12) e (4.13) façam sentido.)

Obs.:

|a_{n}| = |\frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{nπx}{L}dx|

≤ \frac{1}{L}∫_{−L}^{L} |f (x)| |cos \frac{nπx}{L}| dx ≤ \frac{1}{L}∫_{−L}^{L} |f (x)| dx,

o que dá sentido à integral.

4.4 Série de Fourier

Dada uma função f : ℝ → ℝ periódica de período 2L, integrável e absolutamente integrável, que possa ser escrita na forma:

f (x) ≃ \frac{1}{2}a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} (a_{n} cos \frac{nπx}{L} + b_{n} sen \frac{nπx}{L}) ,  (4.14)

a expressão do lado direito é a série de Fourier de f.

Que relação há entre f e sua série de Fourier? Será que a igualdade sempre ocorre?

Vamos estudar as condições suficientes para que a função f seja igual à sua série de Fourier.

Definition 90. Uma função f : ℝ → ℝ será seccionalmente contínua se ela tiver apenas um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie) em qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados a < b, existem a ≤ a_{1} < a_{2} < ... < a_{n} ≤ b, tais que f é contínua em cada intervalo aberto (a_{j}, a_{j+1}) , j = 1, ..., n − 1, e existem os limites f (a_{j} + 0) = lim_{x→a_{j}^{+}} f (x)

e f (a_{j} − 0) = lim_{x→a_{j}^{−}} f (x) .

Observação: Toda função contínua é seccionalmente contínua.

Example 91. f (x) = \frac{1}{x}, x ≠ 0, não é seccionalmente contínua, pois sua descontinuidade em x = 0 é de segunda espécie.

Example 92. A função f : ℝ → ℝ definida por

f (x) = \{ \begin{matrix}1, se x ≥ 1 \\ \frac{1}{n}, se \frac{1}{n + 1} ≤ x ≤ \frac{1}{n}, n = 1, 2, ... \\ 0, se x ≤ 0 \end{matrix}

não é seccionalmente contínua, apesar de todas as descontinuidades serem de primeira espécie; acontece, porém, que, no intervalo (0, 1), há um número infinito de tais descontinuidades.

Examples de funções seccionalmente contínuas:

Example 93. A função sinal de x, definida por

signx = \{ \begin{matrix}+1, se x > 0 \\ 0, se x = 0 \\ −1, se x < 0 \end{matrix}

Example 94. A função

f (x) = \{ \begin{matrix}x + 1, se x ≥ 0; \\ 0, se x < 0. \end{matrix}

Example 95. A função

f (x) = \{ \begin{matrix}1, se 0 ≤ x < π \\ 0, se − π ≤ x < 0 \\ e periódica de período 2π \end{matrix}

Definition 96. Uma função f : ℝ → ℝ será seccionalmente diferenciável se ela for seccionalmente contínua e se a função derivada f′ for também seccionalmente contínua.

Observe que a derivada f′ não está definida em todos os pontos: com certeza f′ (x) não existe nos pontos x onde f é descontínua; e mais, f′ (x) pode não existir, mesmo em alguns pontos onde f é contínua.

Example 97. As funções dos exemplos (93) - (??) anteriores saõ seccionalmente diferenciáveis. Vamos pegar o exemplo (94):

f (x) = \{ \begin{matrix}x + 1, se x ≥ 0; \\ 0, se x < 0. \end{matrix} ⇒ f′ (x) = \{ \begin{matrix}1, se x ≥ 0; \\ 0, se x < 0. \end{matrix}

Example 98. A seguinte função é contínua, mas não seccionalmente diferenciável:

f (x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{1 − x^{2}}, se |x| ≤ 1 \\ e periódica de período 2 \end{matrix}

pois nos pontos onde f′ é descontínua, a descontinuidade é de segunda espécie,

pois pela regra da cadeia, temos:f = \sqrt{1 − x^{2}} ⇒ f′ = (−2x) \frac{1}{2} (1 − x^{2})^{− \frac{1}{2}} ,

daí, f′ (x) = −\frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} , que é descontínua em |x| = 1 com ela sendo de

segunda espécie.

Agora enunciamos um resultado que fornece condições suficientes para a convergência da série de Fourier de uma função f.

Theorem 99. (Fourier) Seja f : ℝ → ℝ uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período 2L. Então a série de Fourier da função f, dada em (4.14), converge, em cada ponto x, para:

\frac{1}{2} [f (x + 0) + f (x − 0)] = \frac{1}{2}a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} (a_{n} cos \frac{nπx}{L} + b_{n} sen \frac{nπx}{L}) (4.15)

Exercício 1 Calcular a série de Fourier da função f definida no exemplo 3 acima e traçar o gráfico da função definida por essa série. Compare esse gráfico com o gráfico da função.

Resolução:

Cálculo dos coeficientes: a_{0} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) dx ⇒ onde o período da função

é 2L, daí,

a_{0} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π}f (x) dx = \frac{1}{π} (∫_{−π}^{0}0dx + ∫_{0}^{π}1dx) = \frac{1}{π} (π − 0) = 1

para n ≠ 0, temos:

a_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{nπx}{L}dx, n ≥ 0; b_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{nπx}{L}dx,

daí,

a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π}f (x) cos (nx) dx = \frac{1}{π} (∫_{−π}^{0}0 cos (nx) dx + ∫_{0}^{π}1 cos (nx) dx) ,

resolvendo a integral,temos:

∫_{0}^{π} cos (nx) dx = \frac{1}{π} ∫_{0}^{nπ} cos u\frac{du}{n}

= \frac{1}{π} [\frac{sen u}{n}]_{0}^{nπ} = \frac{1}{nπ} [sen (nπ) − sen (0)] = 0

e

b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π}f (x) sen (nx) dx = \frac{1}{π} (∫_{−π}^{0}0 sen (nx) dx + ∫_{0}^{π}1 sen (nx) dx) ,

de modo análogo para b_{n}, temos

∫_{0}^{π}1 sen (nx) dx = \frac{1}{π} ∫_{0}^{nπ} sen u\frac{du}{n} = \frac{1}{π} [−\frac{cos u}{n}]_{0}^{nπ}

= −\frac{1}{nπ} [cos (nπ) − cos (0)] = \frac{1}{nπ} [1 − cos (nπ)] ,

ou, para k = 1, 2, ... :

b_{2k} = \frac{1}{2kπ} [1 − cos (2kπ)] = 0

46 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER e

b_{2k−1} = \frac{1}{(2k − 1) π} \{1 − cos [(2k − 1)] π\} = \frac{2}{(2k − 1) π}  (4.16)

A série de Fourier de f será:

f (x) ∼ \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{(2k − 1) π} sen [(2k − 1) x]

Pelo Teorema de Fourier, o gráfico da função definida pela série é dado pela figura 4.3 abaixo.

Figura 4.3: Gráfico da série de Fourier da função do exemplo 95

Exercício 2 Use os resultados do Exercício 1 para obter uma expressão em série para \frac{π}{4} .

Resolução: No ponto x = \frac{π}{2} , a série de Fourier é igual a 1, em virtude do Teorema de Fourier:

\frac{1}{2} [f (x + 0) + f (x − 0)] = \frac{1}{2} [1 + 1] = 1,

logo,

1 = \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{(2k − 1) π} sen [(2k − 1) \frac{π}{2} ]

\frac{1}{2} = \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2k − 1)} sen [(2k − 1) \frac{π}{2} ]

\frac{π}{4} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2k − 1)} sen [(2k − 1) \frac{π}{2} ] ,

ou, finalmente,

\frac{π}{4} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + \frac{1}{9} − ... = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{(2k − 1)},

que é conhecida como uma série de alternada que converge pelo teste de Leibniz.

4.5 Séries de Fourier de funções pares e ímpares

Definition 100. Uma função f : ℝ → ℝ é par se f (x) = f (−x), para todo x ∈ ℝ. (Isso significa que o gráfico da função f é simétrico com relação ao eixo dos y).

Definition 101. Uma função f : ℝ → ℝ é ímpar se f (x) = −f (−x), para todo x ∈ ℝ. (Isso significa que o gráfico da função f é simétrico com relação à origem).

Example 102. funções pares: f (x) = cos \frac{nπx}{L}; f (x) = x^{2n}, para n = 1, 2, ...; outro: f (x) = |x| .

Example 103. funções ímpares: f (x) = sen \frac{nπx}{L}; f (x) = x^{2n−1}; para n = 1, 2, ...; outro: f (x) = x.

Proposition 104. 1. A soma de duas funções pares é uma função par

2. A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.

3. O produto de duas funções pares é uma função par.

4. O produto de duas funções ímpares é uma função par.

5. O produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar.

Demonstração:

1 Sejam f, g : ℝ → ℝ funções pares

(f + g) (x) = f (x) + g (x) = f (−x) + g (−x) = (f + g) (−x)

48 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER

2 Sejam f, g : ℝ → ℝ funções ímpares (f + g) (x) = f (x) + g (x) = −f (−x) + [−g (−x)] = − [f (−x) + g (−x)] =

− (f + g) (−x)

3 Sejam f, g : ℝ → ℝ funções pares:

(fg) (x) = f (x) g (x) = f (−x) g (−x) = (fg) (−x)

4 Sejam f, g : ℝ → ℝ funções ímpares: (fg) (x) = f (x) g (x) = [−f (−x)] [−g (−x)] = [f (−x) g (−x)] = (fg) (−x)

5 Sejam f : ℝ → ℝ uma função par e g : ℝ → ℝ uma função ímpar: (fg) (x) = f (x) g (x) = f (−x) [−g (−x)] = − [f (−x) g (−x)] = − (fg) (−x) Proposition 105. (i) Seja f : ℝ → ℝ uma função par que é integrável em qualquer intervalo limitado. Então:

∫_{−L}^{L}f = 2∫_{0}^{L}f

(ii) Se f : ℝ → ℝ é uma função ímpar e integrável em qualquer intervalo limitado. Então:

∫_{−L}^{L}f = 0

Demonstração:Seja f uma função par e considere a integral ∫_{−L}^{L}f = ∫_{−L}^{0}f+ ∫_{0}^{L}f, temos que para y = −x

∫_{−L}^{0}f (x) dx = −∫_{L}^{0}f (−y) dy = +∫_{0}^{L}f (−y) dy = ∫_{0}^{L}f (y) dy.

isso mostra que se f é par então

∫_{−L}^{L}f = 2∫_{0}^{L}f

Analogamente, seja f uma função ímpar temos que ∫_{−L}^{L}f = ∫_{−L}^{0}f + ∫_{0}^{L}f, e para y = −x teremos

∫_{−L}^{0}f (x) dx = −∫_{L}^{0}f (−y) dy = +∫_{0}^{L}f (−y) dy = −∫_{0}^{L}f (y) dy.

que mostra

∫_{−L}^{L}f = 0

Da proposição anterior podemos estabelecer os seguintes resultados sobre as séries de fourier de funções pares e ímpares.

(a) Se f for uma função par, periódica de período 2L, integrável e absolutamente integrável, então:

a_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{nπx}{L}dx = \frac{2}{L}∫_{0}^{L}f (x) cos \frac{nπx}{L}dx, n ≥ 0,

pois o produto de duas funções pares é uma função par. E,

b_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{nπx}{L}dx = 0, n ≥ 1,

pois o produto de uma função par e uma função ímpar é uma função ímpar.

Portanto, a série de Fourier de uma função par é uma série de co-senos.

(b) Se f for uma função ímpar, periódica de período 2L, integrável e absolutamente integrável, então:

a_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) cos \frac{nπx}{L}dx = 0,

pois o produto de uma função par e uma função ímpar é uma função ímpar. E,

b_{n} = \frac{1}{L}∫_{−L}^{L}f (x) sen \frac{nπx}{L}dx = \frac{2}{L} ∫_{0}^{L} f (x) sen \frac{nπx}{L}dx,

pois o produto de duas funções ímpares é uma função par. Assim, a série de Fourier de uma função ímpar é uma série de senos.

4.6 Cálculo de Algumas Séries de Fourier

I ) Seja f_{1} : ℝ → ℝ periódica de período 2L e definida por f_{1} (x) = x, para −L ≤ x < L. Como f_{1} é ímpar, teremos uma série de senos cujos coeficientes são:

a_{n} = 0; b_{n} = \frac{2}{L}∫_{0}^{L}x sen \frac{nπx}{L}dx.

fazendo a mudança de variável y = \frac{nπx}{L}, obtemos:

b_{n} = \frac{2}{L}∫_{0}^{nπ} \frac{L}{nπ} y sen (y) \frac{L}{nπ} dy = \frac{2L}{n^{2}π^{2}} ∫_{0}^{nπ}y sen (y) dy.

Integrando por partes, temos

∫_{0}^{nπ}y sen (y) dy = [−y cos y]_{0}^{nπ} + ∫_{0}^{nπ} cos (y) dy
= −nπ cos (nπ) − (0) + [sen (y)]_{0}^{nπ} = −nπ cos (nπ)

Logo

b_{n} = \frac{2L}{n^{2}π^{2}} (−nπ cos (nπ)) ⇒ b_{n} = \frac{2L}{nπ} (− cos (nπ)) ,

como

\{ \begin{matrix}para n ímpar, cos (nπ) = −1 \\ para n par, cos (nπ) = 1 \end{matrix}

então

b_{n} = \frac{2L}{nπ} (−1)^{n+1} .

Portanto a série de Fourier da função f_{1} é:

f_{1} (x) ∼ \frac{2L}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} . sen \frac{nπx}{L}

e seu gráfico é:

II ) Seja f_{2} : ℝ → ℝ periódica de período 2L e definida por

f_{2} (x) = \{ \begin{matrix}L − x, para 0 ≤ x ≤ L; \\ L + x, para − L ≤ x ≤ 0 \end{matrix}

Como f_{2} é uma função par, temos uma série de cossenos, cujos coeficientes são:

4.6. CÁLCULO DE ALGUMAS SÉRIES DE FOURIER 51

Figura 4.4: Gráfico da função f_{1}

a_{0} = \frac{2}{L}∫_{0}^{L} (L − x) dx = \frac{2}{L} [Lx − \frac{x^{2}}{2} ]_{0}^{L}

= \frac{2}{L} (L^{2} − \frac{L^{2}}{2} ) − 0 = \frac{2}{L} \frac{L^{2}}{2} = L;

e

a_{n} = \frac{2}{L}∫_{0}^{L} (L − x) cos \frac{nπx}{L}dx

fazendo a mudança de variável y = \frac{nπx}{L}, obtemos:

a_{n} = \frac{2}{L}∫_{0}^{nπ} (L − \frac{L}{nπ} y) cos (y) \frac{L}{nπ} dy

= \frac{2}{L}∫_{0}^{nπ}L (\frac{nπ − y}{nπ} ) cos (y) \frac{L}{nπ} dy =

= \frac{2L}{n^{2}π^{2}} ∫_{0}^{nπ} (nπ − y) cos (y) dy

Integrando por partes a integral acima, temos

∫_{0}^{nπ} (nπ − y) cos (y) dy = [(nπ − y) sen (y)]_{0}^{nπ}
−∫_{0}^{nπ} − sen (y) dy = 0 − 0 + [− cos (y)]_{0}^{nπ}
= − cos (nπ) − (− cos 0)
= 1 − cos (nπ) ,

Logo,

a_{n} = \frac{2L}{n^{2}π^{2}} (1 − cos (nπ))

como

\{ \begin{matrix}para n ímpar, cos (nπ) = −1 \\ para n par, cos (nπ) = 1 \end{matrix}

então

a_{n} = \frac{2L}{n^{2}π^{2}} [1 − (−1)^{n}]

ou seja,para n = 2k, temos: a_{2k} = 0, k = 1, 2, ... e para n = 2k − 1, temos:

a_{2k−1} = \frac{2L}{(2k − 1)^{2} π^{2}} [1 − (−1)] ⇒ a_{2k−1} = \frac{4L}{(2k − 1)^{2} π^{2}} , k = 1, 2, ...

Portanto a série de Fourier da função f_{2} é:

f_{2} (x) ∼ \frac{L}{2} + \frac{4L}{π^{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2k − 1)^{2}} . cos \frac{(2k − 1) πx}{L}.

gráfico da função f_{2} :

Observe que, em virtude do Teorema de Fourier, o símbolo ∼ pode ser substituído por =. Usando o Teorema de Fourier, para x = 0, obtemos:

L − 0 = \frac{L}{2} + \frac{4L}{π^{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2k − 1)^{2}} ,

ou seja,

\frac{L}{2} = \frac{4L}{π^{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2k − 1)^{2}} ⇒ \frac{π^{2}}{8} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2k − 1)^{2}} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + ...

III ) Seja f_{3} : ℝ → ℝ periódica de príodo 2L e definida por f_{3} (x) = x^{2} para −L ≤ x ≤ L. Como f_{3} é par, teremos uma série de cossenos cujos coeficientes são:

a_{0} = \frac{2}{L}∫_{0}^{L}x^{2}dx = \frac{2}{L} [\frac{x^{3}}{3} ]_{0}^{L} = \frac{2}{L} (\frac{L^{3}}{3} ) − 0 = 2\frac{L^{2}}{3} ;

a_{n} = \frac{2}{L}∫_{0}^{L}x^{2} cos \frac{nπx}{L}dx.

fazendo a mudança de variável y = \frac{nπx}{L}, obtemos:

a_{n} = \frac{2}{L}∫_{0}^{nπ} (\frac{L}{nπ} y)^{2} cos (y) \frac{L}{nπ} dy =

= \frac{2}{L} \frac{2L^{3}}{n^{3}π^{3}} ∫_{0}^{nπ}y^{2} cos (y) dy = \frac{2L^{2}}{n^{3}π^{3}} ∫_{0}^{nπ}y^{2} cos (y) dy

Integrando por partes, temos

∫_{0}^{nπ}y^{2} cos (y) dy = [y^{2} sen (y)]_{0}^{nπ} − ∫_{0}^{nπ}2y sen (y) dy
= 0 − 0 − ∫_{0}^{nπ}2y sen (y) dy,

daí,

a_{n} = −\frac{4L^{2}}{n^{3}π^{3}} ∫_{0}^{nπ}y sen (y) dy

Integrando novamente por partes, obtemos

∫_{0}^{nπ}y sen (y) dy = [−y cos (nπ)]_{0}^{nπ} − ∫_{0}^{nπ} − cos ydy
= −nπ cos (nπ) − 0 + [sen y]_{0}^{nπ}
= −nπ cos (nπ)

Logo,

a_{n} = −\frac{4L^{2}}{n^{3}π^{3}} [−nπ cos (nπ)] = \frac{4L^{2}}{n^{3}π^{3}} [cos (nπ)] = \frac{4L^{2}}{n^{2}π^{2}} (−1)^{n}

Portanto a série de Fourier da função f_{3} é:

f_{3} (x) ∼ \frac{L^{2}}{3} + \frac{4L^{2}}{π^{2}} ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} cos \frac{nπx}{L}.

O gráfico da função f_{3} é dado pela figura 4.5.

Figura 4.5: Gráfico da função f_{3}

Observe que, de fato, tem-se = em vez de ∼, como consequência do teorema de Fourier. Usando o Teorema de Fourier para x = L, obtemos:

L^{2} = \frac{L^{2}}{3} + \frac{4L^{2}}{π^{2}} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} ,

pois (−1)^{n} e cos nπ sempre terão o mesmo sinal e assim, pela multiplicação dos dois termos, sempre teremos +1.

Ou seja,

L^{2} − \frac{L^{2}}{3} = \frac{4L^{2}}{π^{2}} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} ⇒ \frac{2L^{2}}{3} = \frac{4L^{2}}{π^{2}} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} ⇒ ⇒ \frac{π^{2}}{6} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ...

56 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER

Equações Diferenciais Ordinárias

5.1 Introdução

Este primeiro capítulo é uma revisão das equações diferenciais lineares de 1^{a} e 2^{a} ordem, oferecemos aqui uma noção do que seja uma equação diferencial e algumas técnicas para resolver alguns problemas simples.

5.2 Equações Diferenciais de 1^{a} ordem

Uma equação diferencial ordinária de 1^{a} ordem é uma equação do tipo

y′ = f(x, y)  (5.1)

onde f : Ω→ ℝ, é uma função dada e Ω ⊂ (a, b)×ℝ é um conjunto aberto; x é uma variável independente, pertencente ao intervalo (a, b) , com a, b números reais a < b; e y = y(x) é a variável que depende de x. Qualquer função y = ϕ(x) que satisfaça a edo (5.1) é dita solução dessa equação. Isto é, se y = ϕ(x) é solução então ela satisfaz

\frac{dϕ}{dx} = f(x, ϕ(x)), a ≤ x ≤ b.  (5.2)

Podemos impor uma condição inicial para essa equação, qual seja,

y(x_{0}) = y_{0},  (5.3)

quando consideramos a equação diferencial (5.1) junto com a condição inicial (5.3) então dizemos que se trata um problema de Cauchy. Condições são colocadas sobre a função f de modo que o problema de Cauchy

\{ \begin{matrix}y′ = f(x, y), x ∈ (a, b) \\ y(x_{0}) = y_{0}, x_{0} ∈ (a, b), y_{0} ∈ ℝ \end{matrix}  (5.4)

tenha uma única solução. À priori, a nossa função f pode ser qualquer função de duas variáveis. Mas para se garantir existência de soluções da equação diferencial (5.1) f teria de ser no mínimo contínua. Há dois teoremas importantes sobre existência de soluções que enunciamos a seguir.

Theorem 106 (Picard). Se f de \frac{∂f}{∂y} forem contínuas num domínio retan-

gular R = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : |x − x_{0}| < a, |y − y_{0}| < b} então há um intervalo |x − x_{0}| ≤ h < a no qual existe uma única solução y = ϕ(x) satisfazendo a equação diferencial (5.1) e as condições iniciais (5.3).

Theorem 107 (Peano). Se f é contínua num domínio retangular R = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : |x−x_{0}| < a, |y−y_{0}| < b} então há um intervalo |x−x_{0}| ≤ h < a no qual existe pelo menos uma solução y = ϕ(x) satisfazendo a equação diferencial (5.1) e as condições iniciais (5.3). Mas nesse caso, não se garante unicidade.

Por exemplo, dada a equação diferencial ordinária

y′ = xy^{1/2}, y(0) = 0

então y = \frac{x^{4}}{16} é solução dessa equação, pois, y′ = \frac{x^{3}}{4} e xy^{1/2} = x (\frac{x^{4}}{16})^{1/2} =

\frac{x.x^{2}}{4} = \frac{x^{3}}{4} . Note que essa solução não é única, já que y = 0 é também uma solução da equação diferencial junto com as condições iniciais.

Example 108. A relação x^{2} + y^{2} = 25 é uma solução implícita da equação diferencial

\frac{dy}{dx} = −\frac{x}{y}  (5.5)

no intervalo −5 ≤ x ≤ 5.

De fato, por diferenciação implícita, temos

\frac{d}{dx}[x^{2} + y^{2}] = \frac{d}{dx}(25)

ou

2x + 2yy′ = 0 ⇒ y′ = −\frac{x}{y}.

5.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1^{A} ORDEM 59

Além disso, resolvendo x^{2} + y^{2} = 25 para y em termos de x obtemos y = ±\sqrt{25 − x^{2}} as duas funções y = ϕ_{1}(x) = \sqrt{25 − x^{2}} e y = ϕ_{2}(x) = −\sqrt{25 − x^{2}} são soluções explícitas da edo (5.5) no intervalo −5 ≤ x ≤ 5.

No caso mais simples em que a função f é linear em relação a variável y a nossa equação diferencial de 1^{a} ordem se apresenta na forma

y′ = α(x)y + β(x)  (5.6)

onde α e β são funções reais quaisquer definidas no intervalo (a, b). Se supomos que α e β são funções contínuas em (a, b) então esta equação tem uma resolução bem simples, pois se consideramos primeiro a equação linear homogênea associada à equação (5.6), isto é,

y′ = α(x)y  (5.7)

podemos escrever tal equação na forma

\frac{y′}{y} = α(x)

integrando em x temos

ln y = ∫ ^{x} α(s)ds + c_{1},

onde c_{1} é uma constante arbitrária, segue que

y(x) = Ce^{∫^{x} α(s)ds}  (5.8)

é uma solução da equação homogênea (5.7) com C = e^{c_{1}}. Usando agora o método de variação dos parâmetros para y dada em (5.8) temos

y′ = C′e^{∫^{x} α(s)ds} + Cα(x)e^{∫^{x} α(s)ds}

substituindo tal resultado em (5.6) obtemos

C′e^{∫^{x} α(s)ds} + Cα(x)e^{∫^{x} α(s)ds} = Cα(x)e^{∫^{x} α(s)ds} + β(x)

segue que

C′e^{∫^{x} α(s)ds} = β(x)

o que nos dá

C′ = β(x)e^{− ∫^{x} α(s)ds}

daí

C = C_{0} + ∫ ^{x} β(s)e^{− ∫^{s} α(t)dt}ds  (5.9)

onde C_{0} é uma constante arbitrária. Logo, y dada por

y(x) = Ce^{∫^{x} α(s)ds}  (5.10)

onde C é definida em (5.9) é a solução geral de (5.6).

Vejamos alguns modelos matemáticos de algumas edos que podem ser físicos, biológicos, químicos, etc.

Crescimento Populacional

Modelo de Malthus

Se P representa a população numa certa região num determinado instante t então

\frac{dP}{dt} = kP (k constante de proporcionalidade)

Modelo de Verhulst

\frac{dP}{dt} = (r − aP)P

onde r e a são constantes.

Decaimento Radioativo

A taxa \frac{dA}{dt} a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade A(t) da substância remanescente no instante t

\frac{dA}{dt} = kA (k < 0)

Remark 109. Uma única equação diferencial pode servir como modelo matemático para vários fenômenos diferentes. Modelos matemáticos são frequentemente acompanhados por determinadas condições laterais. Por exemplo para o modelo de crescimento populacional esperaríamos conhecer a população inicial P_{0} e no modelo de decaimento radiativo a quantidade inicial da substância radioativa.

Lei de Resfriamento de Newton

De acordo com a Lei empírica de Newton do resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada de temperatura ambiente. Nesse caso, se T é a temperatura do corpo e T_{m} é temperatura do meio ambiente então

\frac{dT}{dt} = k(T − T_{m}) (k < 0).

Disseminação de uma doença

Uma doença contagiosa espalha-se numa comunidade através do contato entre as pessoas. Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença e y(t) o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que

a taxa \frac{dx}{dt} segundo a qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois grupos de pessoas. Se supormos que o número de interações é proporcional ao produto xy então

\frac{dx}{dt} = kxy

k é a constante de proporcionalidade. Se a comunidade tem uma população fixa de N pessoas. O número de y é y = N − x. Assim

\frac{dx}{dt} = kx(N − x)

se no instante inicial haviam x_{0} pessoas infectadas então x(0) = x_{0}. Misturas No instante t = 0, um tanque contém Q_{0} kg de sal dissolvido em V_{0}

litros de água. Uma solução de sal em água com Q_{1} kg de sal por litro entra no tanque a uma razão de v litros por minuto e a solução do tanque, bem misturada, sai a mesma razão. Seja Q(t) a quantidade de sal no tanque num instante t. A taxa de variação da quantidade de sal no tanque, no instante

t, \frac{dQ}{dt}, é igual à taxa na qual o sal entra no tanque, menos a taxa na qual o sal sai do tanque. Logo,

\frac{dQ}{dt} = vQ_{1} − \frac{v}{v_{0}} Q(t).

Mecânica

A lei do movimento de Newton diz que

F = ma

F é a força externa, m é massa, a é a aceleração. Para um corpo que cai livremente num vácuo, e bastante próximo da terra, temos que

w = mg

onde w é o peso do corpo, m é massa do corpo e g é a aceleração da gravidade. Mesmo que a massa do corpo permaneça constante, seu peso, e a aceleração da gravidade, alteram-se com a distância ao centro do campo gravitacional da terra. Para um corpo muito distante da terra

w = \frac{k}{(R + x)^{2}} ,

k constante. Em x = 0, temos que w = mg então k = mgR^{2} e, portanto,

w = \frac{mgR^{2}}{(R + x)^{2}} .

5.3 Equações Diferenciais de 2^{a} Ordem

Uma equação diferencial de 2^{a} ordem, na forma mais geral, é uma equação do tipo

F (x, y, y′, y′′) = 0.  (5.11)

onde x é a variável independente, e y = y(x) é a variável dependente, aqui

y′ = \frac{dy}{dx}, y′′ = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} , F (x, y, t, w) é uma função dada. Em muitas situações de muitos problemas de aplicações (na física, na matemática, etc.) a equação (5.11) se apresenta na seguinte forma

y′′ = f(x, y, y′).  (5.12)

Theorem 110. Se as funções f, f_{y} e f_{v} são contínuas numa região aberta R do espaço tri-dimensional xyv e se o ponto (x_{0}, y_{0}, y′_{0}) está em R, então em algum intervalo em torno de x_{0}, existe uma única solução y = ϕ(x) da equação diferencial (5.12) que satisfaz as condições iniciais

y(x_{0}) = y_{0}, y′(x_{0}) = y′_{0}.  (5.13)

A equação geral linear de segunda ordem pode ser dada no seguinte modo

P (x)y′′ + Q(x)y′ + R(x)y = G(x),  (5.14)

onde P, Q, R e G são funções dadas.

Example 111. Equação de Legendre de ordem α

(1 − x^{2})y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0

Example 112. Equação de Bessel de ordem ν

x^{2}y′′ + xy′ + (x^{2} − ν^{2})y = 0.

Supondo P, Q, R e G contínuas num certo intervalo α < x < β, e que P nunca se anula no intervalo, podemos dividir a equação (5.14) por P (x) e obter uma equação da forma

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x).  (5.15)

Theorem 113. Se as funções p, q e g são contínuas num intervalo α < x < β, então existe uma e somente uma função y = ϕ(x) que satisfaz a equação diferencial (5.15) e as condições iniciais (5.13).

5.4 Soluções Fundamentais

A equação

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0  (5.16)

é a equação homogênea associada à equação (5.15).

Theorem 114. Se y = y_{1}(x) e y = y_{2}(x) são soluções da equação diferencial (5.16) então y = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x), (c_{1} e c_{2} constantes arbitrárias) é também solução de (5.16).

Duas soluções y_{1} e y_{2} de (5.16) formarão um conjunto fundamental de soluções se toda solução de (5.16) puder ser escrita como combinação linear de y_{1} e y_{2}. O Wronskiano de y_{1} e y_{2} é dado por

W (y_{1}, y_{2}) = | \begin{matrix}y_{1} & y_{2} \\ y′_{1} & y′_{2} \end{matrix} | = y_{1}y′_{2} − y_{2}y′_{1}  (5.17)

se W (y_{1}, y_{2}) ≠ 0 então y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de solução de (5.16). Isto quer dizer que as soluções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e toda solução de (5.16) se escreve como combinação linear dessas duas soluções.

5.5 Equações diferenciais com coeficientes constantes

Na equação diferencial (5.14) se fazemos P (x) = a, Q(x) = b, R(x) = c e G(x) = 0, com a, b e c constantes reais então ela se transforma na seguinte equação:

ay′′ + by′ + cy = 0  (5.18)

É natural considerar uma solução de (5.18) na forma:

y = e^{αx}  (5.19)

com α sendo uma constante a determinar. Derivando y dada por (5.19) em relação a x, temos

y′(x) = αe^{αx}
y′′(x) = α^{2}e^{αx}

Substituindo os valores de y, y′ e y′′ em (5.18) obtemos:

aα^{2}e^{αx} + bαe^{αx} + ce^{αx} = 0

que resulta na seguinte igualdade:

(aα^{2} + bα + c)e^{αx} = 0

Como e^{αx} é sempre diferente, devemos ter que:

aα^{2} + bα + c = 0  (5.20)

A equação (5.20) é conhecida como equação característica associada à equação (5.18). Temos então três casos a considerar: as raízes α de (5.20) são reais e distintas, elas são reais e iguais ou são complexas conjugadas. Quando forem reais e distintas, isto é, α_{1} e α_{2} satisfazendo a equação (5.20) então temos duas soluções linearmente independentes da equação (5.18), dadas por:

y_{1}(x) = e^{α_{1}x}, y_{2}(x) = e^{α_{2}x}.

Essas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções da equação (5.18) e, portanto, a solução geral dessa equação é dada pela combinação linear dessas duas soluções, ou seja, y dada por

y = c_{1}e^{α_{1}x} + c_{2}e^{α_{2}x}  (5.21)

com c_{1} e c_{2} constantes arbitrárias, é a solução geral da equação (5.18). Se as raízes forem iguais, isto é, α_{1} = α_{2} então uma solução é da forma y_{1} = e^{α_{1}x} e a outra solução linearmente independente com essa é dada por y_{2} = xe^{α_{2}x} que é encontrada usando o método de variação dos parâmetros. Logo a solução geral da equação (5.18) nesse caso, é dada por:

y = c_{1}e^{α_{1}x} + c_{2}xe^{α_{2}x}  (5.22)

com c_{1} e c_{2} constantes arbitrárias. No caso complexo, uma das raízes sendo da forma α_{1} = r_{1} + ir_{2} uma solução complexa é da forma

y = e^{r_{1}+ir_{2}x}  (5.23)

Se queremos as duas soluções reais linearmente independentes da equação (5.18), para esse caso, basta tomar y_{1} como sendo a parte real de (5.23) e y_{2} como sendo a parte imaginária (5.23), ou seja,

y_{1} = cos(r_{2}x)e^{r_{1}x}, y_{2} = sen(r_{2}x)e^{r_{1}x}  (5.24)

E a solução geral de (5.18) é dada por

y = c_{1} cos(r_{2}x)e^{r_{1}x} + c_{2} sen(r_{2}x)e^{r_{1}x}  (5.25)

com c_{1} e c_{2} constantes arbitrárias. Quando estamos resolvendo uma equação diferencial do tipo (5.18) satisfazendo condições iniciais então podemos determinar as constantes c_{1} e c_{2}, ou seja, elas deixam de ser arbitrárias.

5.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM COEFICIENTES CONSTANTES65

Example 115. Considere a equação diferencial

y′′ − 5y′ + 6y = 0  (5.26)

com os dados iniciais dados por

y(0) = 1, y′(0) = 2.  (5.27)

A equação característica associada à equação (5.35) é dada por

r^{2} − 5r + 6 = 0  (5.28)

cujas raízes são

r_{1} = 2, r_{2} = 3  (5.29)

Logo a solução geral de (5.35) é

y = c_{1}e^{2x} + c_{2}e^{3x}  (5.30)

Como queremos que essa solução satisfaça as condições iniciais (5.27) devemos ter:

y(0) = c_{1} + c_{2} = 1
y′(0) = 2c_{1} + 3c_{2} = 2

resolvendo o sistema acima, obtemos, c_{1} = 1 e c_{2} = 0. Logo, a única solução da equação (5.35) que satisfaz as condições iniciais (5.27) é y = e^{2x}.

Example 116. Considere a equação diferencial

y′′ − 6y′ + 9y = 0  (5.31)

A equação característica associada à equação (5.35) é dada por

r^{2} − 6r + 9 = 0  (5.32)

cuja raíz é

r_{1} = r_{2} = 3  (5.33)

Logo a solução geral de (5.35) é

y = c_{1}e^{3x} + c_{2}xe^{3x}  (5.34)

66 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Example 117. Considere a equação diferencial

y′′ + y = 0  (5.35)

A equação característica associada à equação (5.35) é dada por

r^{2} + 1 = 0  (5.36)

cujas raízes complexas são

r_{1} = i, r_{2} = −i  (5.37)

Logo a solução geral de (5.35) é

y = c_{1} cos x + c_{2} sen x.  (5.38)

5.6 Exercícios

1. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares com condições iniciais dadas:

(a) y′′ + y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 2.

(b) y′′ + 3y′ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.

2. Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:

(a) y′′ − y′ + y = 0,

(b) y′′ + 3y = 0,

(c) y′′ − 9y = 0.

3. Mostre que as equações abaixo tem duas soluções linearmente independentes e calcule o Wronskiano de cada uma delas:

(a) y′′ + y′ + 2y = 0,

(b) y′′ + 4y = 0,

(c) y′′ − 8y = 0.

4. Considere o problema não homogêneo abaixo:

ay′′ + by′ + cy = g,  (5.39)

onde a, b, c e g são funções de x diferenciáveis. Suponha que y_{1} e y_{2} são soluções linearmente independentes do problema homogêneo associado ao problema (5.39):

ay′′ + by′ + cy = 0.  (5.40)

Considere uma solução particular de (5.39) dada por

y_{p} = c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}  (5.41)

onde c_{1} e c_{2} são funções de x. Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p} de (5.39). Ou seja, suponha que c′_{1}y_{1} + c′_{2}y_{2} = 0, derive (5.41) para obter y′_{p} e y′′_{p} substitua esses valores em (5.39) para obter o sistema

\{ \begin{matrix}c′_{1}y_{1} + c′_{2}y_{2} = 0 \\ c′_{1}y′_{1} + c′_{2}y′_{2} = \frac{g}{a} \end{matrix}  (5.42)

Resolva esse sistema para c_{1} e c_{2} e encontre a solução particular y_{p} dada por (5.41) onde c_{1} e c_{2} são soluções de (5.42). Logo a solução geral do problema (5.39) é dada por

y(x) = y_{p}(x) + c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x)

onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias.

5. Aplique o método de variação dos parâmetros do exercício anterior para determinar a solução geral dos problemas não homogêneos abaixo:

(a) y′′ + y = sen x,

(b) y′′ − 3y′ + y = e^{t},

(c) y′′ − 2y′ + 4y = tan x.