\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amssymb,amsthm,amsmath}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage[latin1]{inputenc} %permite escrever com acentos, como no Word
\usepackage[utf8]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM OS DADOS ABAIXO
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{myheadings} \topmargin =-20pt \marginparwidth = 45pt
\evensidemargin = -15pt \oddsidemargin = -15pt \textheight = 670pt
\textwidth = 500pt \linespread{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\newtheorem{myth}{Teorema}[section]
\newtheorem{myexe}{Exercício}[section]
\newtheorem{mylem}{Lema}[section]
\newtheorem{mypro}{Proposi\c c\~ao}[section]
\newtheorem{mydef}{Defini\c c\~ao}[section]
\newtheorem{myrem}{Observa\c c\~ao}[section]
\newtheorem{mycor}{Corol\'ario}[section]
\newtheorem{myex}{Exemplo}[section]
\newcommand{\cqd}{\hspace{10pt}\fbox{}}
\newcommand{\cqdf}{\hspace{10pt}\rule{5pt}{5pt}}

%Minhas definicoes 
\def\p#1{\ensuremath{\mathbb P^{#1}}}
\newcommand{\ce}{\c{c}}
\newcommand{\ao}{\~ao }
\newcommand{\oes}{\~oes }
\newcommand{\cod}{{\ensuremath{\mathrm{cod}}}}
\newcommand{\Div}{{\ensuremath{\mathrm{Div}}}}

\newcommand{\X}{{\mathcal X}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\de}{\partial}
\def\w{\omega}
\newcommand{\Ker}{{\ensuremath{\mathrm{Ker}}}}
\newcommand{\tr}{{\ensuremath{\mathrm{tr}}}}



%




%
\begin{document}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% CABEÇALHO DA PÁGINA - POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM!
\pagestyle{empty}
\title{\vspace{-1in}\parbox{\linewidth}{\footnotesize\noindent
{\sc  \bf V Bienal da SBM}
\newline
{\sc  \bf Sociedade Brasileira de Matemática}
\newline
{\sc \bf UFPB - Universidade Federal da Paraíba}
\newline
\bf 18 a 22 de outubro de 2010 }
\newline\newline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%FIM DO CABEÇALHO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ESCREVER O TÍTULO DO TRABALHO NO COMANDO ABAIXO COM
%%% LETRAS MINÚSCULAS!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\sc Folhea\c{c}\~oes de grau um no plano projetivo e matrizes de tra\c{c}o nulo}
%\vskip -0.5truecm
\author{\sc Flaviano Bahia\,\thanks{UFSJ,\, MG, Brasil,\,
    bahia{\_}flaviano@yahoo.com.br} \,\,\,\,\&\,\,\,\, Vivana
    Ferrer\,\thanks{IMPA,\,RJ, Brasil,\, vivisferrer@gmail.com}}}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% NAO PREENCHER O COMANDO \date{} ABAIXO, DEIXAR COMO ESTÁ!
%% NÃO RETIRAR OS COMANDOS \maketitle E \thispagestyle{empty}
\date{}
\maketitle \thispagestyle{empty} \vspace{-10pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

\section{Resumo}
O estudo de folhea\c{c}\~oes holomorfas tem tido 
um enorme avan\c{c}o nos \'ultimos tempos. Trabalhos de 
J.P. Jouanolou, 
D. Cerveau, 
A. Lins-Neto, J.V. Pereira, F.  Cukierman,  
O. Calvo-Andrade, 
X. G\'omez-Mont e outros
focam o interesse em aspectos globais, estudando quest\~oes como
a (não-)existência de solu\c{c}\~oes alg\'ebricas, descri\c{c}\~ao das 
componentes dos espa\c{c}os de folhea\c{c}\~oes de codimens\~ao $\geq
1$, etc.

Nosso ponto de vista segue o da geometria enumerativa cl\'assica, onde s\~ao
consideradas perguntas tais como: {\em Quantas curvas  passam
  por uma quantidade  apropriada de pontos em posi\c{c}\~ao geral?
  Achar o grau do espa\ce o de curvas planas tendo uma singularidade
  de odem dado, etc}.
Em este trabalho consideramos perguntas similares para espa\ce os de
folhea\ce\oes. 

Vamos nos centrar no caso de folhea\ce\oes ($=$campos vetoriais) de
grau um no plano projetivo complexo. 
O espa\ce o 
de campos vetoriais  de grau um no plano projetivo forma um espa\ce o projetivo de 
dimens\~ao $7$, $\p 7$.
As singularidades de um campo vetorial s\~ao os pontos onde o campo se
anula, i.e., nas singularidades n\~ao temos uma dire\ce\ao
determinada. Existem vários tipos de singularidades, que definiremos
no trabalho.


Queremos estudar que tipos de singularidades podem aparecer em uma
folhea\ce\ao de grau um (campo vetorial de grau um), e os  subespa\ce os de $\p 7$ de campos vetoriais  que apresentam 
alguma singularidade de cada um desses tipos. Fixado um tipo de singularidade,
vamos descrever  as folhea\ce\oes que apresentam esse tipo de
singularidade assim como um espa\ce o de parâmetros para
campos  apresentando tal tipo de singularidades, e calcular
codimens\ao e grau deste espa\ce o em $\p 7$.  

O grau do espa\c{c}o $M\subset \p 7$ de campos vetoriais  com singularidade 
de tipo dado
tem a seguinte interpreta\ce\ao geom\'etrica: \'e o n\'umero de 
campos vetoriais $\X$  apresentando uma singularidade do tipo prefixado e 
que s\ao tangentes a um n\'umero adequado ($=\cod M$) 
de retas com um ponto marcado, i.e., o campo $\X(p)$ \'e paralelo a
$\ell$, para um n\'umero adequado de pares (ponto, reta) no conjunto $\{(p,\ell)\mid p\in \ell\}$.   

 
O caso de  campos vetoriais  de grau um, 
se simplifica usando a correspondência existente (provada por
Jouanoulou [5]) entre campos 
de grau um e matrizes $3\times 3$ de trazo nulo. 
Mostraremos como \'e obtida esta correspondência e faremos um 
dicion\'ario entre folhea\ce\oes de grau um e matrizes. 
Em particular, mostraremos os tipos de singularidades que correspondem   
 com as poss\'iveis  formas de Jordan para matrizes.

Explorando esta correspondência, obteremos o grau dos espa\ce os  de 
campos vetoriais  com 
singularidade  de tipo prefixado, olhando para eles  como espa\ce os
de matrizes com determinada forma de Jordan. O grau dos estratos
determinados por forma de Jordan s\ao conhecidos, mas nos casos mais
simples mostraremos com \'e obtido esse grau.

   
Esperamos que este  trabalho seja uma \'util (e pela vez compreens\'ivel)
 introdu\ce\ao  a problemas enumerativos,  assim como ao
estudo da  
geometria dos espa\ce os de folhea\ce\~oes.



No trabalho daremos todas as  defini\c{c}\oes necess\'arias, num
n\'ivel adequado para um aluno de final de gradua\ce\~ao.

Ser\ao necessarios conhecimentos b\'asicos de álgebra linear,
 polinômios em várias variáveis,
 campos de vetores e $1$-formas diferenciais.
 
 Referências para o estudo de folhea\ce\oes s\~ao as
notas de  G\'omez-Mont e Ort\'iz Bobadilla [4] ou o livro de Lins-Neto e
Scardua [6].
Para o estudo de  folhea\ce\oes (de grau quaisquer) desde o ponto de vista enumerativo, ver a
tese [2].

A seguir detalhamos o conteúdo de cada se\ce\ao.

A primeira se\ce\ao é uma introdu\ceão, onde pretendemos tratar algun
exemplos de geometría enumerativa clássica, espa\ce os de parâmetros
para curvas planas etc,.

Na Se\ce\ao $2$ começaremos definindo o plano projetivo
$\mathbb{P}^2$, o qual 
será o ambiente onde trabalharemos. Definiremos também  campo de
vetores em $\mathbb{P}^2$, discutiremos suas expressões globais e
locais e como
 obter uma expressão a partir da outra. Isto motivará a defini\ceão de  
folheação holomorfa de dimensão um. Calcularemos  a dimensão do espaço 
de campos de vetores de grau $d$ em $\mathbb{P}^2$. Ainda no capítulo
$2$ serão estudados $1$-formas diferenciáveis e como uma 
$1$-forma pode estar relacionada com um campo de vetores. Assim
definiremos 
também uma folheação holomorfa de dimensão um em $\mathbb{P}^2$
através de 
uma $1$-forma. Dada uma folheação definida por um campo de vetores,
 mostraremos como encontrar a expressão de uma $1$-forma que define a 
mesma folheação e também mostraremos o caminho inverso.

Na Se\ce\ao $3$ definiremos  singularidade de um campo de vetores e de
 uma $1$-forma, e mostraremos que  um campo de vetores de grau $1$ em
 $\mathbb{P}^2$ genérico tem $3$ singularidades. 
A partir daí classificaremos estas singularidades e apresentaremos
 exemplos 
de campos de vetores que apresentam cada um dos tipos de singularidades.

Na Se\ce\ao $4$ mostraremos o isomorfismo existente entre  campos de
vetores de grau $1$ em $\mathbb{P}^2$ e matrizes $3 \times 3$ de traço
nulo.  Exploraremos este isomorfismo para dar uma relação com a
classificação 
de singularidades feitas no capítulo $3$ com as possíveis formas de
Jordan
 de uma matriz $3 \times 3$ de traço nulo.

Por fim, na Se\ce\ao $5$ calcularemos  a dimensão e o grau de cada subvariedade do espaço das folheações que apresenta cada um dos tipos de singularidades.


\end{document}