\documentclass[twoside]{article}
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\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage[latin1]{inputenc} %permite escrever com acentos, como no Word
\usepackage[utf8]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM OS DADOS ABAIXO
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{myheadings} \topmargin =-20pt \marginparwidth = 45pt
\evensidemargin = -15pt \oddsidemargin = -15pt \textheight = 670pt
\textwidth = 500pt \linespread{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\newtheorem{myth}{Teorema}[section]
\newtheorem{myexe}{Exercício}[section]
\newtheorem{mylem}{Lema}[section]
\newtheorem{mypro}{Proposi\c c\~ao}[section]
\newtheorem{mydef}{Defini\c c\~ao}[section]
\newtheorem{myrem}{Observa\c c\~ao}[section]
\newtheorem{mycor}{Corol\'ario}[section]
\newtheorem{myex}{Exemplo}[section]
\newcommand{\cqd}{\hspace{10pt}\fbox{}}
\newcommand{\cqdf}{\hspace{10pt}\rule{5pt}{5pt}}

%Minhas definicoes 
\def\p#1{\ensuremath{\mathbb P^{#1}}}
\newcommand{\ce}{\c{c}}
\newcommand{\ao}{\~ao }
\newcommand{\oes}{\~oes }
\newcommand{\cod}{{\ensuremath{\mathrm{cod}}}}
\newcommand{\Div}{{\ensuremath{\mathrm{Div}}}}

\newcommand{\X}{{\mathcal X}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\de}{\partial}
\def\w{\omega}
\newcommand{\Ker}{{\ensuremath{\mathrm{Ker}}}}
\newcommand{\tr}{{\ensuremath{\mathrm{tr}}}}



%




%
\begin{document}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% CABEÇALHO DA PÁGINA - POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM!
\pagestyle{empty}
\title{\vspace{-1in}\parbox{\linewidth}{\footnotesize\noindent
{\sc  \bf V Bienal da SBM}
\newline
{\sc  \bf Sociedade Brasileira de Matemática}
\newline
{\sc \bf UFPB - Universidade Federal da Paraíba}
\newline
\bf 18 a 22 de outubro de 2010 }
\newline\newline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%FIM DO CABEÇALHO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ESCREVER O TÍTULO DO TRABALHO NO COMANDO ABAIXO COM
%%% LETRAS MINÚSCULAS!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\sc Folhea\c{c}\~oes de grau um no plano projetivo e matrizes de tra\c{c}o nulo}
%\vskip -0.5truecm
\author{\sc Flaviano Bahia\,\thanks{UFSJ,\, MG, Brasil,\,
    bahia{\_}flaviano@yahoo.com.br} \,\,\,\,\&\,\,\,\, Vivana
    Ferrer\,\thanks{IMPA,\,RJ, Brasil,\, vivisferrer@gmail.com}}}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% NAO PREENCHER O COMANDO \date{} ABAIXO, DEIXAR COMO ESTÁ!
%% NÃO RETIRAR OS COMANDOS \maketitle E \thispagestyle{empty}
\date{}
\maketitle \thispagestyle{empty} \vspace{-10pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

\section{Introdu\ce\ao}
O estudo de folhea\c{c}\~oes holomorfas tem tido 
um enorme avan\c{c}o nos \'ultimos tempos. Trabalhos de 
J.P. Jouanolou, 
D. Cerveau, 
A. Lins-Neto, J.V. Pereira, F.  Cukierman,  
O. Calvo-Andrade, 
X. G\'omez-Mont e outros
focam o interesse em aspectos globais, estudando quest\~oes como
a (não-)existência de solu\c{c}\~oes alg\'ebricas, descri\c{c}\~ao das 
componentes dos espa\c{c}os de folhea\c{c}\~oes de codimens\~ao $\geq
1$, etc.

Nosso ponto de vista segue o da geometria enumerativa cl\'assica, onde s\~ao
consideradas perguntas tais como: {\em Quantas curvas  passam
  por uma quantidade  apropriada de pontos em posi\c{c}\~ao geral?
  Achar o grau do espa\ce o de curvas planas tendo uma singularidade
  de odem dado, etc}.
Em este trabalho consideramos perguntas similares para espa\ce os de
folhea\ce\oes. 

Vamos nos centrar no caso de folhea\ce\oes ($=$campos vetoriais) de
grau um no plano projetivo complexo. 
O espa\ce o 
de campos vetoriais  de grau um no plano projetivo forma um espa\ce o projetivo de 
dimens\~ao $7$, $\p 7$.
As singularidades de um campo vetorial s\~ao os pontos onde o campo se
anula, i.e., nas singularidades n\~ao temos uma dire\ce\ao
determinada. Existem vários tipos de singularidades, que definiremos
no trabalho.


Queremos estudar que tipos de singularidades podem aparecer em uma
folhea\ce\ao de grau um (campo vetorial de grau um), e os  subespa\ce os de $\p 7$ de campos vetoriais  que apresentam 
alguma singularidade de cada um desses tipos. Fixado um tipo de singularidade,
vamos descrever  as folhea\ce\oes que apresentam esse tipo de
singularidade assim como um espa\ce o de parâmetros para
campos  apresentando tal tipo de singularidades, e calcular
codimens\ao e grau deste espa\ce o em $\p 7$.  

O grau do espa\c{c}o $M\subset \p 7$ de campos vetoriais  com singularidade 
de tipo dado
tem a seguinte interpreta\ce\ao geom\'etrica: \'e o n\'umero de 
campos vetoriais $\X$  apresentando uma singularidade do tipo prefixado e 
que s\ao tangentes a um n\'umero adequado ($=\cod M$) 
de retas com um ponto marcado, i.e., o campo $\X(p)$ \'e paralelo a
$\ell$, para um n\'umero adequado de pares (ponto, reta) no conjunto $\{(p,\ell)\mid p\in \ell\}$.   

 
O caso de  campos vetoriais  de grau um, 
se simplifica usando a correspondência existente (provada por
Jouanoulou [5]) entre campos 
de grau um e matrizes $3\times 3$ de trazo nulo. 
Mostraremos como \'e obtida esta correspondência e faremos um 
dicion\'ario entre folhea\ce\oes de grau um e matrizes. 
Em particular, mostraremos os tipos de singularidades que correspondem   
 com as poss\'iveis  formas de Jordan para matrizes.

Explorando esta correspondência, obteremos o grau dos espa\ce os  de 
campos vetoriais  com 
singularidade  de tipo prefixado, olhando para eles  como espa\ce os
de matrizes com determinada forma de Jordan. O grau dos estratos
determinados por forma de Jordan s\ao conhecidos, mas nos casos mais
simples mostraremos com \'e obtido esse grau.

   
Esperamos que este  trabalho seja uma \'util (e pela vez compreens\'ivel)
 introdu\ce\ao  a problemas enumerativos,  assim como ao
estudo da  
geometria dos espa\ce os de folhea\ce\~oes.



No trabalho daremos todas as  defini\c{c}\oes necess\'arias, num
n\'ivel adequado para um aluno de final de gradua\ce\~ao.

Ser\ao necessarios conhecimentos b\'asicos de álgebra linear,
 polinômios em várias variáveis,
 campos de vetores e $1$-formas diferenciais.
 
 Referências para o estudo de folhea\ce\oes s\~ao as
notas de  G\'omez-Mont e Ort\'iz Bobadilla [4] ou o livro de Lins-Neto e
Scardua [6].
Para o estudo de  folhea\ce\oes (de grau quaisquer) desde o ponto de vista enumerativo, ver a
tese [2].

A seguir detalhamos o conteúdo de cada se\ce\ao.

Na Se\ce\ao $2$ começaremos definindo o plano projetivo
$\mathbb{P}^2$, o qual 
será o ambiente onde trabalharemos. Definiremos também  campo de
vetores em $\mathbb{P}^2$, discutiremos suas expressões globais e
locais e como
 obter uma expressão a partir da outra. Isto motivará a defini\ceão de  
folheação holomorfa de dimensão um. Calcularemos  a dimensão do espaço 
de campos de vetores de grau $d$ em $\mathbb{P}^2$. Ainda no capítulo
$2$ serão estudados $1$-formas diferenciáveis e como uma 
$1$-forma pode estar relacionada com um campo de vetores. Assim
definiremos 
também uma folheação holomorfa de dimensão um em $\mathbb{P}^2$
através de 
uma $1$-forma. Dada uma folheação definida por um campo de vetores,
 mostraremos como encontrar a expressão de uma $1$-forma que define a 
mesma folheação e também mostraremos o caminho inverso.

Na Se\ce\ao $3$ definiremos  singularidade de um campo de vetores e de
 uma $1$-forma, e mostraremos que  um campo de vetores de grau $1$ em
 $\mathbb{P}^2$ genérico tem $3$ singularidades. 
A partir daí classificaremos estas singularidades e apresentaremos
 exemplos 
de campos de vetores que apresentam cada um dos tipos de singularidades.

Na Se\ce\ao $4$ mostraremos o isomorfismo existente entre  campos de
vetores de grau $1$ em $\mathbb{P}^2$ e matrizes $3 \times 3$ de traço
nulo.  Exploraremos este isomorfismo para dar uma relação com a
classificação 
de singularidades feitas no capítulo $3$ com as possíveis formas de
Jordan
 de uma matriz $3 \times 3$ de traço nulo.

Por fim, na Se\ce\ao $5$ calcularemos  a dimensão e o grau de cada subvariedade do espaço das folheações que apresenta cada um dos tipos de singularidades.




\section{Folhea\ce\oes em $\p 2$.}


\subsection{O plano projetivo.} 
Nesta seção vamos definir e estudar o plano projetivo complexo
$\mathbb{P}^2=\C \mathbb{P}^2$.
Uma excelente referência para estudar o plano projetivo e curvas planas é o livro de Fulton [3].

Como motivação para definir o plano projetivo $\mathbb{P}^2$, vamos começar definindo o plano afim $\mathbb{A}^2:=\mathbb{C}^2$ e conhecendo um pouco de curvas algébricas. 

Uma curva algébrica de grau $k$ no plano afim
 é o conjunto de  zeros de um
polinômio 
$f(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$ de grau $k$.  A motivação para se definir o plano
 projetivo é
 que queremos que dadas duas curvas em $\ 2$ de grau $k_1$ e $k_2$
 respectivamente, elas
 tenham $k_1k_2$ pontos de interseção. Observe  no plano afim 
 o
 seguinte exemplo: 
\begin{myex}\label{exeretas}
Sejam as curvas $x+y+1=0$ e $x+y-1=0$. Temos que em 
$\mathbb{A}^2$ a interseção entre elas é vazia, mas por outro lado
 ambas
 curvas são de grau 1, logo queremos que a interseção delas seja 1 ponto.
\end{myex}
Observando geometricamente, temos que as duas curvas citadas acima são
duas retas paralelas. Então a ideia de definir o plano projetivo
$\mathbb{P}^2$ será a de compactificar o plano afim $\mathbb{A}^2$,
adicionando um ponto para cada direção no plano afim (este ponto será
a interse\ce\ao das retas, o que elas tem em comum).

\paragraph{Defini\ce\ao de plano projetivo.}
Uma maneira de se fazer isso é definir $\mathbb{P}^2$ como sendo o
conjunto 
de todas as retas passando pela origem em $\mathbb{C}^3$. 
Representaremos este conjunto como sendo o quociente de
$\mathbb{C}^3\backslash\{0\}$ por uma relação de equivalência que
identifica  $(z_0,z_1,z_2)$ com  $(w_0,w_1,w_2)$ se e só se  existe $\lambda \neq 0$ tal que  $(z_0,z_1,z_2)=\lambda(w_0,w_1,w_2)$. Vamos representar a classe de equivalência que contém $(z_0,z_1,z_2)$ por $(z_0:z_1:z_2)$. Daí temos
$$\mathbb{P}^2=\{(z_0:z_1:z_2); (z_0,z_1,z_2)\neq(0,0,0)\}$$
Veremos $\mathbb{A}^2 \subset \mathbb{P}^2$ da seguinte maneira:
$$\begin{array}{ccc}
   \mathbb{A}^2&\rightarrow&\mathbb{P}^2
\\ (x,y)&\mapsto&(1:x:y)
  \end{array}
$$
Isto nos leva a perceber que $\mathbb{P}^2$ pode descrito como a união de 3 conjuntos que são isomorfos a $\mathbb{A}^2$, a saber:
$$U_{i}:=\{(z_{0}:z_{1}:z_{2})\in \mathbb{P}^2; z_{i}\neq 0\}$$
Temos $\mathbb{P}^2=U_0 \cup U_1 \cup U_2$ e os conjuntos $U_i$ são chamados de abertos coordenados.
Os isomorfismos entre $U_i$ e $\mathbb{A}^2$ são dados da seguinte maneira:

Para $i=0$
$$\begin{array}{cccc}
   \varphi_0:&U_0&\rightarrow&\mathbb{A}^2
\\ &(z_0:z_1:z_2)&\mapsto&(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0})
  \end{array}
$$
Para $i=1$
$$\begin{array}{cccc}
   \varphi_1:&U_1&\rightarrow&\mathbb{A}^2
\\ &(z_0:z_1:z_2)&\mapsto&(\frac{z_0}{z_1},\frac{z_2}{z_1})
  \end{array}
$$
Para $i=2$
$$\begin{array}{cccc}
   \varphi_0:&U_2&\rightarrow&\mathbb{A}^2
\\ &(z_0:z_1:z_2)&\mapsto&(\frac{z_0}{z_2},\frac{z_1}{z_2})
  \end{array}
$$

Quando denotamos um ponto $p \in U_i$ pelas coordenadas dadas por $\varphi_i(p)$ dizemos que $p$ está escrito em coordenadas locais. No caso especial em que $i=0$ escreveremos $p=(x,y)$.

Associada a cada aberto $U_{i}$, em $\p 2$ temos sua correspodente {\em reta no
  infinito} $\ell_{i}$ definida pela equa\ce\ao $z_{i}=0$.
Assim $\p 2$ pode também ser pensado como a {\em completa\ce\ao} de $U_{i}$ com a
  reta no infinito $\ell_{i}$. Por exemplo completando o aberto $U_{0}$
  obtemos  $$\p 2 =\{(z_0:z_1:z_2)\mid
  z_{0}\neq 0\}\cup \{(0:z_1:z_2)\}=U_{0}\cup \ell_{0}.$$
 

\paragraph{Curvas algébricas em $\p 2$.}Façamos a seguinte pergunta agora: como são as curvas algébricas em $\mathbb{P}^2$?

Baseados na ideia de curvas algébricas em $\mathbb{A}^2$ parece
natural  definir uma curva algébrica em $\mathbb{P}^2$ como sendo os
zeros de 
um polinômio em $\mathbb{C}[z_0,z_1,z_2]$, mas observe que isto pode 
gerar algum problema, pois temos diferentes maneiras de representar um 
mesmo ponto. Por exemplo, seja $F(z_0,z_1,z_2)=z_1+z_2+1$ e o ponto 
$(1:0:-1)=(2:0:-2)$, então temos $0=F(1,0,-1)\neq F(2,0,-2)=-1$. Logo
os zeros de este polinômio não definem um subconjunto em  $\p 2$. 
A condi\ce\ao para que os zeros de um polinômio $F\in \mathbb{C}[z_0,z_1,z_2]$
defina um subconjunto de  $\p 2=\frac{\C^3\setminus{\{0\}}}{\sim}$ \'e
que se um ponto anula $F$, todos os pontos equivalentes pela
rela\ce\ao $\sim$  também anulem $F$ i.e., $F(z_0,z_1,z_2)=0$
implica $F(\lambda z_0,\lambda z_1,\lambda
z_2)=0$ para todo $\lambda\in \C^*$. 


Para isso vamos definir polinômios homogêneos.
\begin{mydef}
 Dizemos que um polinômio $F(z_0,z_1,z_2)$ é homogêneo de grau $d$ se $$F(z_0,z_1,z_2)=\sum_{i+j+l=d}a_{ijl}z_0^iz_1^jz_2^l.$$
Isto implica que $\lambda^dF(z_0,z_1,z_2)=F(\lambda z_0,\lambda z_1,\lambda z_2)$.
\end{mydef}

Assim se $F$ é um polinômio homogêneo e $F$ se anula em
$(z_0,z_1,z_2)$, então $F$ se anula em qualquer representante do ponto
$(z_0:z_1:z_2)$. Com isto podemos definir uma curva algébrica em
$\mathbb{P}^2$ de grau $k$ como sendo os zeros de um polinômio
homogêneo de grau $k$ em $\mathbb{C}[z_0,z_1,z_2].$



Notaremos $Z(F)=\{(z_0:z_1:z_2)\mid F(z_0:z_1:z_2)=0\}$ à curva
definida por $F$.


\begin{myexe}
 \textbf{Relação de Euler: } Mostre que se $F(z_0,z_1,z_2)$ é um polinômio homogêneo de grau $d$ então vale a igualdade:
$$z_0\frac{\partial F}{\partial z_0}+z_1\frac{\partial F}{\partial z_1}+z_2\frac{\partial F}{\partial z_2}=dF$$
\textbf{Dica: }Mostre primeiro para o monômio $a_{ijl}z_0^iz_1^jz_2^l$.
\end{myexe}


\paragraph{Nota\ceão.}Em todo o trabalho, $S_{d}$ denotará o conjunto
de 
polinômios
homogêneos de grau $d$ em três variáveis.

\paragraph{Homogeneização.} Dado um polinômio $f \in \mathbb{C}[x,y]$ de grau $d$, vamos dizer
 que 
$F\in \mathbb{C}[z_0,z_1,z_2]$ é a homogeneização de $f$ em $z_0$
 quando
 $F=z_0^df\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)$. Leitor, mostre que $F$ é homogêneo.

Com este processo de homogeneização, estamos adicionando um ponto
(completando) as curvas definidas em $U_{0}$. Por exemplo, voltando ao
exemplo \ref{exeretas},
consideremos as retas $\ell_{1}=Z(x+y+1)$ e $\ell_{2}=Z(x+y-1)$,
homogeneizando obtemos curvas definidas pelos polinômios 
\[F_{1}:=z_1+z_2+z_0 \,\,\text{e}\,\, F_{2}:=z_1+z_2-z_0\]
Observe que agora estas curvas se intersectam no ponto $(0:1:-1)$, que
representa a dire\ce\ao comum de $\ell_{1}$ e $\ell_{2}$.
 O ponto $(0:1:-1)$ n\ao está na carta $U_{0}$, ele está de fato
 na reta no infinito correspondente a $U_{0}$ (i.e. $Z(z_{0})$).

\begin{myex}
Mais um exemplo, considere as curvas de grau dois definidas em
$U_{0}$, por
\[f_{1}:=x^2-y^2-x=0\] e \[f_{2}:=x-y=0,\] queremos ter dois
($=grau(f_{1})grau(f_{2})$) pontos na
interse\ce\ao. Em principio só temos o ponto $(0,0)$ na interse\ce\~ao,
leitor: verifique.

Homogeneizando obtemos $F_{1}:=z_{1}^2-z_{2}^2-z_{1}z_{0}$ e
$F_{2}:=z_{1}-z_{2}$, estas duas curvas se intersetam nos pontos
$(1:0:0)\in U_{0}$ (que já tinhamos) e $(0:1:1)$, que está na reta no infinito
da carta $U_{0}$.
\end{myex}
Dado um polinômio $F(z_0,z_1,z_2)$ homogêneo, dizemos que $f(x,y):=F(1,x,y)$ é a desomogeneização de $F$ na variável $z_0$.
Este é o processo inverso da homogeneiza\ce\ao, e permite ver
localmente as curvas definidas em $\p 2$.


\paragraph{Espa\ce o tangente a $\p 2$.}
Definimos o espaço tangente a um ponto $p \in U_i$ como sendo $T_p\mathbb{P}^2:=T_{\varphi_i(p)}\mathbb{C}^2$.

Quando $p \in U_0$, denotaremos $\left\{\frac{\partial}{\partial x}(p), \frac{\partial}{\partial y}(p)\right\}$ uma base de $T_p\mathbb{P}^2$.

\paragraph{O espa\ce o projetivo de dimens\ao $n$.}Por fim, definimos $\mathbb{P}^n$ como sendo o conjuntos de todas as retas que passam pela origem em $\mathbb{C}^{n+1}$. Igualmente a $\mathbb{P}^2$, representaremos $\mathbb{P}^n=\{(z_0:z_1:\cdots:z_n)\mid (z_0,z_1,\cdots,z_n)\neq0\}$.
Pode se encontrar uma cobertura de $\p n$ por  abertos coordenados,
analogo ao feito para $\p 2$. Ver Fulton [3].
\subsection{Campos vetoriais em $\p 2$.}

Um campo de vetores  \'e uma correspondência $\X$ que associa a cada
ponto $p\in \p 2$, uma dire\ce\ao  tangente $\X(p)\in \T_{p}\p 2$.
Permitiremos que esta correspondência se anule em alguns pontos (em um
conjunto finito de pontos).

Dependendo da regularidade (continua, diferenci\'avel, holomorfa,
polinomial, etc) desta correspondência o campo chama-se continuo, diferenci\'avel,
holomorfo, polinomial, etc.

Trabalharemos com campos que s\~ao polinomiais, e n\ao escreveremos
mais a palavra polinomial. 

Em cada aberto coordenado,  um campo \'e dado por dois polinômios
$b_{1},b_{2}$ nas coordenadas locais. 

Se $(x,y)$ s\ao coordenadas locais de $U_{0}$ e notamos 
$\{\frac{\de}{\de x}(p),\frac{\de}{\de y}(p)\}$ uma base
de $\T_{p}\p 2$ temos $$\X(p)=b_{1}(p)\frac{\de}{\de x}(p)+b_{2}(p)\frac{\de}{\de y}(p).$$

Aceitaremos o fato de que esta base $\{\frac{\de}{\de
  x}(p),\frac{\de}{\de y}(p)\}$ varia
regularmente com o ponto $p$, e escrevemos 
$\{\frac{\de}{\de x},\frac{\de}{\de y}\}$ desconsiderando o ponto $p$. 

Se a reta no infinito da carta $U_{0}$ (i.e. $\ell_{0}:=Z(z_{0})$) não
é solucão de $\X$, ent\ao dizemos que
o campo acima tem grau $d$, onde
$d=\mbox{max}_{i=1,2}\{grau(b_i)\}-1$, este é o caso geral. Se a reta
no infinito é solu\ce\~ao, ent\ao o grau é $\mbox{max}_{i=1,2}\{grau(b_i)\}$. 

\paragraph{Descri\ce\ao global de um campo.}

Note que a definição de campo de vetores acima é dada apenas em um
 aberto
 coordenado, isto nos motiva a perguntar se é possível dar uma
 descrição 
global de um campo de vetores em $\mathbb{P}^2$. Veremos agora que isto é possível.

Para isto definimos $\left\{\frac{\de}{\de z_{0}},\frac{\de}{\de z_{1}},\frac{\de}{\de z_{2}}\right\}$ a base de $T_{0}\C^3$, onde $0=(0,0,0)$.

 Um campo de vetores em $\p 2$ é  dado por três polinômios homogêneos  
de igual
grau (que denotaremos $d$)
$F_{0},F_{1},F_{2}$, nas vari\'aveis $\{z_{0},z_{1},z_{2}\}$:
\begin{equation}\label{campo}
\X=F_{0}\frac{\de}{\de z_{0}}+F_{1}\frac{\de}{\de z_{1}}+F_{2}\frac{\de}{\de z_{2}}
\end{equation}

Em princípio $\X$ define um campo em $\C^3$. Para obter um campo
em $\p 2$ é relevante  observar  que na construção de $\mathbb{P}^2$  identificamos vetores de $\C^3\setminus\{0\}$ que se encontram na
mesma reta pelo origem. Isto implica que o campo radial
$$R:=z_{0}\frac{\de}{\de z_{0}}+z_{1}\frac{\de}{\de z_{1}}+z_{2}\frac{\de}{\de z_{2}}$$
é o campo nulo em $\p 2$.

Logo  a representação de um campo de vetores em $\mathbb{P}^2$ não é
única, pois o campo (\ref{campo}) pode ser representado por $\X + GR$,
onde $G$ é quaisquer  polinômio homogêneo de grau $d-1$.

Uma forma de evitar esta falta de unicidade, \'e trabalhar com campos
que tenham divergência zero, isto é, se escolhemos $\X$ como em
(\ref{campo}) e com
divergência zero este \'e \'unico no conjunto $\{\X+GR\mid G\in
S_{d-1}\}$. 

A divergência de um campo como em (\ref{campo}) \'e por defini\ce\ao
$$\Div(\X):=
\frac{\de F_{0}}{\de z_{0}}+\frac{\de F_{1}}{\de z_{1}}+
\frac{\de F_{2}}{\de z_{2}}.
$$  

\begin{mylem}
Se $\X$ tem divergência zero, e $\X'$ \'e outro representante do mesmo
campo em $\p 2$ com divergência nula, ent\ao $\X'=\X$
\end{mylem}
\paragraph{Prova:}
Suponha que $\X$ tem divergência nula, e $\X+GR$ \'e outro
representante do mesmo campo em $\p 2$. Temos 
$$\Div(\X+GR)=\Div(\X)+\Div(GR)
=0+\frac{\de G z_{0}}{\de z_{0}}+\frac{\de G z_{1}}{\de z_{1}}+\frac{\de G z_{2}}{\de z_{2}}=$$

$$z_{0}\frac{\de G}{\de z_{0}}+z_{1}\frac{\de G}{\de z_{1}}+
z_{2}\frac{\de G}{\de z_{2}}+3G=(d+2)G.$$

A \'ultima igualdade foi obtida da rela\ce\ao de Euler:
Se $G$ \'e um polinômio homogêneo  de grau $n$, ent\ao vale 
$$z_{0}\frac{\de G}{\de z_{0}}+z_{1}\frac{\de G}{\de z_{1}}+
z_{2}\frac{\de G}{\de z_{2}}=nG.$$

Concluímos ent\ao que  $\Div(\X+GR)=0$
 se e somente se $G=0$, i.e., o \'unico representante do campo em $\p
 2$ com divergência
 zero \'e $\X$.
\hfill\cqdf

\paragraph{Express\ao local de um campo.}
 Dado um campo em sua expressão global, como encontrar uma expressão
 local deste campo? Discutiremos agora este procceso. 

Também veremos o processo inverso (i.e., dado um campo
 em sua forma local, como obter sua forma global) na se\ce\ao \ref{cvsf}.
Se $\X$ \'e como em (\ref{campo}), 
podemos deduzir a forma local do campo em $U_{0}$ como segue. 
Sejam $(x,y)$ as
coordenadas locais de $U_{0}$, i.e., $x=\frac{z_{1}}{z_{0}}$ 
e $y=\frac{z_{2}}{z_{0}}$ e $(z_{0}:z_{1}:z_{2})=(1:x:y)$.

\begin{mylem}
A forma local do campo $\X$ em (\ref{campo}), \'e dada, nas
coordenadas locais $(x,y)$ por 
$$
\X_{U_{0}}=(f_{1}-xf_{0})\frac{\de}{\de x}+(f_{2}-yf_{0})\frac{\de}{\de y}.
$$
Onde $f_{i}(x,y):=F_{i}(1,x,y)$.
\end{mylem}

\paragraph{Prova:}
Come\ce amos por observar que esta forma local n\ao depende do
representante. De fato, se $\X+GR$ \'e outro representante, ent\ao
a forma local seria  
$$
[(f_{1}+xg)-x(f_{0}+g)]\frac{\de}{\de x}+[(f_{2}+yg)-y(f_{0}+g)]\frac{\de}{\de y}=(f_{1}-xf_{0})\frac{\de}{\de x}+(f_{2}-yf_{0})\frac{\de}{\de y},
$$
onde $g(x,y):=G(1,x,y)$.

Seja ent\ao 
$\X=F_{0}\frac{\de}{\de z_{0}}+F_{1}\frac{\de}{\de
  x}+F_{2}\frac{\de}{\de z_{2}}$.

A express\ao de $\X$ em $U_{0}$ \'e a mesma que a de $z_{0}\X$,  e
a mesma que a de 
$$
z_{0}\X-F_{0}R=(z_{0}F_{1}-z_{1}F_{0})\frac{\de}{\de z_{1}}+(z_{0}F_{2}-z_{2}F_{0})\frac{\de}{\de z_{2}}$$
que \'e $(f_{1}-xf_{0})\frac{\de}{\de
  x}+(f_{2}-yf_{0})\frac{\de}{\de y}$ simplesmente trocando
$(z_{0}:z_{1}:z_{2})$ por $(1,x,y)$.
\cqdf



Quando trabalhamos com campos de vetores, estamos interessados nas
dire\ce\oes tangentes determinadas pelo campo, e n\ao no
``comprimento'' dos
 vetores $\X(p)$. Logo vamos a considerar
dois campos que diferem em um m\'ultiplo escalar como iguais:
$\X\sim \lambda\X$ para todo $\lambda \in \C\setminus \{0\}$. 

Com todas as considera\ce\oes anteriores podemos dar a defini\ce\ao de 
campo de vetores em $\p 2$ com a  que trabalharemos em estas notas. 
\begin{mydef}
Um campo de vetores (folhea\ce\~ao) em $\p 2$ \'e dado (a menos de
multiplos n\ao nulos) por um trio de 
polinômios homogêneos do mesmo grau $(F_{0},F_{1},F_{2})$ satisfazendo a seguinte 
rela\ce\ao 
$$\frac{\de F_{0}}{\de z_{0}}+\frac{\de F_{1}}{\de z_{1}}+
\frac{\de F_{2}}{\de z_{2}}=0.$$ 
\end{mydef}


\subsection{O espa\ce o de campos vetoriais de grau $d$ em $\p 2$.}

Se consideramos a defini\ce\ao acima, e consideramos bases para os
espa\ce os de polinômios homogêneos de grau $d$ podemos contar
o n\'umero de parâmetros necessários para obter um campo de
vetores. Logo teremos um espa\ce o vetorial onde ``moram'' os campos
(sem desconsiderar ainda os múltiplos complexos).

Come\ce amos calculando a dimens\ao de $S_{d}$.
\begin{mylem}
A dimens\ao do espa\ce o vetorial formado pelos polinômios homogêneos
de grau $d$ em três vari\'aveis  \'e  igual a $\binom{d+2}{2}=\frac{(d+2)(d+1)}{2}$.
\end{mylem}


\paragraph{Prova:}
A afirma\ce\ao \'e clara para $d=1$. Procedemos por indu\ce\ao em $d$, se
$H$ \'e um polinômio homogêneo de grau $d$ nas vari\'aveis
$z_{0},z_{1},z_{2}$, ent\ao podemos escrever de forma \'unica  
$$H=z_{0}H_{0}+z_{1}H_{1}+\lambda z_{2}^d,
$$
onde $H_{0}$ \'e um polinômio de grau $d-1$ nas variáveis
$z_{0},z_{1},z_{2}$ e $H_{1}$ \'e um polinômio de grau $d-1$ nas variáveis
$z_{1},z_{2}$.  Por indu\ce\ao o n\'umero de coeficientes de $H_{0}$
\'e $\binom{d+1}{2}$. Por outro lado \'e f\'acil mostrar que  o n\'umero
de coeficientes de $H_{2}$ \'e $d$. Logo o n\'umero de coeficientes
de $H$ \'e $\binom{d+1}{2}+d+1=\binom{d+2}{2}$. 
\hfill \cqdf

Temos ent\ao que o número de parâmetros necessários para definir o trio
de polinômios homogêneos de grau $d$, $(F_{0},F_{1},F_{2})$ (= \`a
dimens\ao do espa\ce o  vetorial onde ``mora'' o trio) \'e $3\binom{d+2}{2}$.

Consideramos  agora a condi\ce\ao  da anulação da divergência no trio
$(F_{0},F_{1},F_{2})$, i.e., 
\begin{equation}\label{condicoes}
\frac{\de F_{0}}{\de z_{0}}+\frac{\de F_{1}}{\de z_{1}}+
\frac{\de F_{2}}{\de z_{2}}=0.
\end{equation}

O n\'umero de equa\ce\oes que tem que
satisfazer os coeficientes do trio e igual a dimens\ao do espa\ce o
de polinômios homogêneos de grau $d-1$. Pois satisfazer
(\ref{condicoes}) equivale a zerar o polinômio homogêneo de grau $d-1$, 
$\frac{\de F_{0}}{\de z_{0}}+\frac{\de F_{1}}{\de z_{1}}+
\frac{\de F_{2}}{\de z_{2}} $ de onde obtemos $\binom{d+1}{2}$
equa\ce\oes independentes.


Com estas considera\ce\oes temos provado a seguinte proposi\ce\~ao.
\begin{mypro}
A dimens\ao do espa\ce o vetorial $V$ dos campos de grau $d$ em $\p 2$ \'e 
$$3\binom{d+2}{2}-\binom{d+1}{2}=(d+1)(d+3).$$

\end{mypro}
\begin{flushright}\cqdf\end{flushright}

Como estamos interessados só na dire\ce\ao dos vetores definidos por um
campo, desconsideramos m\'ultiplos escalares. 
Esto \'e, consideramos agora a identifica\ce\ao  de campos que diferem em um
multiplo complexo n\ao nulo e obtemos que o espa\ce o de folhea\ce\oes de
grau $d$ se identifica ao espa\ce o projetivo das retas que passam pela origem de
$V$, i.e., $\p N=\p{}(V)$, onde $N=(d+1)(d+3)-1$. 


No caso em que estamos interessados em este trabalho $d=1$, obtemos
que o espa\ce o de folhea\ce\oes de grau um em $\p 2$ \'e um espa\ce o
projetivo de dimens\ao $7$, $\p 7$.



\subsection{$1$-formas em $\p 2$}\label{dual}

Até agora definimos folheações através de campos de vetores. Nosso objetivo agora é definir folheações holomorfas através de 1-formas diferenciáveis. Para isso vamos relembrar conceitos de álgebra linear.
\paragraph{Espaço Dual.} Dado um espaço vetorial $V$ sobre $\C$, vamos definir o espaço vetorial dual a $V$ como sendo o conjunto de todos os funcionais lineares de $V$ e denotaremos de $V^{\vee}$.
$$V^{\vee}=\{\w:V\rightarrow \C; w \mbox{ é linear}\}.$$

Leitor, verifique que $V^{\vee}$ é um espaço vetorial.

Se $\mathcal{B}=\{v_{1},\dots,v_n\}$ é uma base de $V$,  chama-se
base dual de $\mathcal{B}$ à base do espaço vetorial $V^{\vee}$ formada
pelos funcionales lineares $\w_{i}:V\to \C$ tais que
$\w_{i}(v_{j})=\delta_{i,j}$. Isto é
\begin{equation*}
\w_{i}(v_{j})=
\left\{\begin{array}{lll}
1 &\text{se}& i=j\\
0 &\text{se}& i=\neq j 
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Assim, se um vetor $v\in V$ se expressa  na base $\mathcal{B}$ como 
\[v=\sum_{i}a_{i}v_{i}\]

temos que $a_{j}=\w_{j}(v)$. Leitor: verifique este fato!


Observe que se para cada elemento $\w\in V^{\vee}$,  consireramos
$\ker\w\subset V$, obtemos que  cada elemento $\w\in V^{\vee}$ define um subespaço linear
de codimens\ao um (i.e. um hiperplano de $V$).

\paragraph{Espa\ce o Cotangente.}
Definimos o	 espa\ce o cotangente a $\p 2$ em um ponto $p\in \p 2$, como o espa\ce
o vetorial dual do tangente e vamos denotar
$$
\Omega_{p}:=(\T_{p}\p 2)^{\vee}
$$

No aberto coordenada $U_0$ com as coordenadas locais  $(x,y)$ de $\p 2$, e denotando como antes 
  $$\left\{\frac{\de}{\de x}(p),\frac{\de}{\de y}(p)\right\}$$  a base de
$\T_{p}\p 2$, denotaremos 
$$
\{d_{p}x,d_{p}y\}
$$
 a correspondente base dual, i.e., os funcionais lineares definidos por 

\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
d_{p}x(\frac{\de}{\de x}(p))=1,\\  
d_{p}x(\frac{\de}{\de y}(p))=0,\\
d_{p}y(\frac{\de}{\de y}(p))=1,\\
d_{p}y(\frac{\de}{\de x}(p))=0,\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Também esta base varia regularmente com $p\in \p 2$, e notaremos 
$\{dx,dy\}$
a base que em cada ponto $p$ \'e $\{d_{p}x,d_{p}y\}$.


\paragraph{$1$-formas.} An\'alogo \`a defini\ce\ao de campo de vetores, definimos uma
$1$-forma em $\p 2$ como uma correspondência $\w$ que associa a cada
ponto $p\in \p 2$, um funcional $\w(p)\in \Omega_{p}$.
Trabalharemos com $1$-formas polinomiais, i.e., a correspondência acima
depende polinomialmente de $p$. 

Como no caso de campos de vetores vemos  como representar uma $1$-forma no aberto $U_0$ utilizando as coordenadas locais $(x,y)$. Neste aberto uma $1$-forma \'e dada por dois polinômios
$a_{1}(x,y),a_{2}(x,y)$:
$$
\w= a_{1}dx+a_{2}dy
$$

\paragraph{Descri\ce\ao global de uma $1$-forma.}
 
Vamos agora estender uma $1$-forma dada em sua express\ao local, a
uma forma global em $\p 2$.


Começaremos definindo $\Omega_{0}\C^3:=(\T_{0}\C^3)^{\vee}$ e denotemos $\{dz_{0},dz_{1},dz_{2}\}$ a base de $\Omega_{0}\C^3$ dual da base $\{\frac{\de}{\de z_{0}},\frac{\de}{\de z_{1}},\frac{\de}{\de z_{2}}\}$ de $\T_{0}\C^3$.


Observe que $x=\frac{z_1}{z_0}$ e $y=\frac{z_2}{z_0}$, daí $dx=\frac{z_0dz_1-z_1dz_0}{z_0^2}$ e $dy=\frac{z_0dz_2-z_2dz_0}{z_0^2}$.

Mudando de variáveis  temos a igualdade
 $$\w= a_{1}dx+a_{2}dy=\frac{1}{z_0}\left[\left(-\frac{z_1}{z_0}a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)
-\frac{z_2}{z_0}a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\right)dz_0
+a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)dz_1+a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)dz_2\right]$$

desconsiderando o múltiplo $\frac{1}{z_0}$ temos a $1$-forma

$$\left(-\frac{z_1}{z_0}a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)
-\frac{z_2}{z_0}a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\right)dz_0
+a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)dz_1+a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)dz_2$$

Seja $d=\mbox{max}_{i=1,2}\{\mbox{grau}(a_i)\}$. Definimos  
\begin{eqnarray*}
 A_0:=z_0^{d+1}\left(-\frac{z_1}{z_0}a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)-\frac{z_2}{z_0}a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\right) 
\\ A_1:=z_0^{d+1}a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)   
\\ A_2:=z_0^{d+1}a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)   
\end{eqnarray*}

Veja que $A_0$, $A_1$ e $A_2$ são polinômios homogêneos nas variáveis $\{z_0$, $z_1$, $z_2\}$ e de mesmo grau $d+1$.
Ainda temos que $A_0$, $A_1$ e $A_2$ satisfazem a relação $z_0A_0+z_1A_1+z_2A_2=0$.

Assim  uma $1$-forma polinomial (de grau $d$) em $\p 2$  
\'e  dada  por três polinômios homogêneos de
grau $d+1$ nas
vari\'aveis $\{z_{0},z_{1},z_{2}\}$ que denotaremos $A_{0},A_{1},A_{2}$.

\begin{equation}\label{forma}
\w:=A_{0}dz_{0}+A_{1}dz_{1}+A_{2}dz_{2}
\end{equation}

que satisfazem a seguinte relação
 \begin{equation}\label{contracao}
z_{0}A_{0}+z_{1}A_{1}+z_{2}A_{2}=0. 
\end{equation}

Veremos o exemplo a seguir:

\begin{myex}
 Dada a $1$-forma $\w=xdx+ydy$ definida em $U_0$, queremos encontrar uma expressão global para esta forma em $\mathbb{P}^2$. Temos que $a_1(x,y)=x$ e $a_2(x,y)=y$, daí temos
$$A_0=z_0^{2}\left(-\frac{z_1}{z_0}a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)-\frac{z_2}{z_0}a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\right)=z_0^2\left(-\frac{z_1}{z_0}\frac{z_1}{z_0}-\frac{z_2}{z_0}\frac{z_2}{z_0}\right)=-z_1^2-z_2^2 $$

$$A_1=z_0^{2}a_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)=z_0z_1$$
$$A_2=z_0^{2}a_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)=z_0z_2$$

Daí uma expressão global para $\w$ é
$$\w=(-z_1^2-z_2^2)dz_0+z_0z_1dz_1+z_0z_2dz_2$$
\end{myex}


\paragraph{Express\ao local de uma $1$-forma.}
Vamos fazer agora o processo inverso, isto é, dado uma $1$-forma na sua expressão global em $\mathbb{P}^2$, queremos encontrar sua expressão local em $U_0$.

Se $\w$ \'e como em (\ref{forma}), fazendo a mudan\ce a de vari\'aveis 
$(z_{0}:z_{1}:z_{2})=(1:x:y)$ 
no aberto coordenado  $U_{0}$,
obtemos a forma local da  $1$-forma  em $U_{0}$.

\begin{mylem}
A forma local do campo $\w$ em (\ref{forma}), \'e dada, nas
coordenadas locais $(x,y)$ de $U_{0}$, por 
$$
\w_{U_{0}}= a_{1}dx+a_{2}dy
.
$$
Onde $a_{i}(x,y):=A_{i}(1,x,y)$.
\end{mylem}

\paragraph{Prova:}
Fazemos a mudan\ce a de vari\'aveis $x=\frac{z_{1}}{z_{0}}$ e
$y=\frac{z_{2}}{z_{0}}$. Usando as regras de deriva\ce\ao obtemos 
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
dz_{1}=z_{0}dx+xdz_{0},\\
dz_{2}=z_{0}dy+ydz_{0}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Substituindo estas identidades em (\ref{forma}) obtemos:

$$\w_{U_{0}}=z_{0}A_{1}dx+z_{0}A_{2}dy+(A_{0}+xA_{1}+yA_{2})dz_{0}.$$

Agora, pela condi\ce\ao (\ref{contracao}), os polinômios
$A_{0},A_{1},A_{2}$ satisfazem $A_{0}+xA_{1}+yA_{2}=0$ o que prova a
afirma\ce\~ao. \hfill \cqdf



\paragraph{$1$-formas como distribu\ce\ao de dire\ce\~oes.}  
   
Lembrando que se $\w$ \'e uma $1$-forma e $p\in \p 2$, ent\ao $\w(p)$
\'e um funcional linear em $\T_{p}\p 2$:
$$
\w(p):\T_{p}\p 2\to \C
$$ 
Temos que o n\'ucleo deste funcional linear $\Ker(\w(p))$,
ser\'a uma reta de $\T_{p}\p 2$ passando pela origem. Deste
modo obtemos uma 
 correspondência $p\mapsto \Ker(\w(p))$, que associa a cada  ponto $p\in
 \p 2$  uma reta em $\T_{p}\p 2$. Uma correspondência deste tipo
 chama-se distribui\ce\ao de subespa\ce os tangentes, em este caso
 trata-se de uma distribui\ce\ao de retas tangentes. 

Logo uma distribu\ce\ao polinomial de vetores tangentes a $\p 2$ pode
ser dada tanto por um campo, como na se\ce\ao anterior, como por uma
$1$-forma. Explicitamente, para cada $p\in \p 2$, podemos definir um vetor de 
$\T_{p}\p 2$ como a dire\ce\ao $\X(p)$ ou como um vetor em $\mbox{Ker}(\w(p))$. Assim se um campo de vetores e uma $1$-forma definem a mesma distribu\ce\~ao de vetores devemos ter que para
cada $p\in \p 2$ então $\X(p)\in \Ker(\w(p))$, isto é:
$$
\w(p)(\X(p))=0\,\,\,\forall p\in U_0.
$$

Se escrevemos em coordenadas locais $\X=b_{1}\frac{\de}{\de
  x}+b_{2}\frac{\de}{\de y}$ e $\w=
  a_{1}dx+a_{2}dy$.
Da defini\ce\ao de bases duais obtemos a rela\ce\ao 
\begin{equation}\label{camposvsformaslocal}
a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=0.
\end{equation}
Verifique.

Analogamente ao caso de campos, quando trabalhamos com $1$-formas,
estamos interessados em $\Ker(\w)=\Ker(\lambda\w)$ para todo
$\lambda\in \C\setminus\{0\}$. Assim obtemos a defini\ce\ao correta de 
folhea\ce\ao definida por uma $1$-forma.

\begin{mydef}
Uma folhea\ce\ao de grau $d$, definida por uma $1$-forma em 
$\p 2$ \'e dada (a menos de m\'ultiplos n\ao nulos) por um 
trio de polinômios homogêneos de grau $d+1$, $A_{0},A_{1},A_{2}$ 
satisfazendo a rela\ce\ao (\ref{contracao})
$$z_{0}A_{0}+z_{1}A_{1}+z_{2}A_{2}=0.$$

\end{mydef}


\subsection{O espa\ce o de $1$-formas de grau $d$ em $\p 2$.}

Usando  a defini\ce\ao anterior, voltamos a calcular a dimens\ao do
espa\ce o vetorial de folhea\ce\oes de grau $d$ em $\p 2$.

Lembrando que a dimensão do espaço dos polinômios homogêneos de grau $d$ em 3 variáveis é $\binom{d+2}{2}$.
Daí o número de parâmetros necessários para se definir um trio de
polinômios 
homogêneos de grau $d+1$ em 3 variáveis é $3\binom{d+3}{2}$. 
Pedir a condição de que $z_{0}A_{0}+z_{1}A_{1}+z_{2}A_{2}=0$ é pedir
que um 
polinômio de grau $d+2$ se anule, ou seja, é pedir $\binom{d+4}{2}$ 
condições lineares. Daí a dimensão do espaço das $1$-formas de grau
$d$ 
satisfazendo a condição $z_{0}A_{0}+z_{1}A_{1}+z_{2}A_{2}=0$ é 
$$3\binom{d+3}{2}-\binom{d+4}{2}=(d+3)(d+1).$$


\subsection{Campos vs $1$-formas.}\label{cvsf}

J\'a vimos a rela\ce\ao existente entre as formas locais de um campo e
de uma $1$-forma definindo a mesma folhea\ce\ao em $\p 2$ 
(ver equa\ce\ao (\ref{camposvsformaslocal})). Estudamos agora a rela\ce\ao entre
as express\oes globais de um campo e uma $1$-forma definindo a mesma
folhea\ce\ao em $\p 2$. Ou seja, dado um campo em sua expressão global
$\X(p)=F_0\frac{\partial}{\partial z_0}+F_1\frac{\partial}{\partial
  z_1}+F_2\frac{\partial}{\partial z_2}$ tal que $\Div(\X)=0$, como
encontrar uma $1$-forma $\w=A_0dz_0+A_1dz_1+A_2dz_2$ que define a
mesma folheação que $\X$, e {\em vice-versa}.

\paragraph{Campo$\leadsto$1-forma.}Dada a express\ao local para o campo $\X$ em $U_0$ temos que
$\X(\w(p))=0$, $\forall p \in U_0$, nosso objetivo será encontrar uma
expressão  local para $\w$, e  finalmente  encontrar uma expressão global para $\w$.

Seja $\X=F_0\frac{\partial}{\partial z_0}+F_1\frac{\partial}{\partial z_1}+F_2\frac{\partial}{\partial z_2}$ um campo de vetores de grau $d$ tal que $\Div(\X)=0$, daí uma expressão para $\X$ no aberto coordenada $U_0$ é $(f_{1}-xf_{0})\frac{\de}{\de x}+(f_{2}-yf_{0})\frac{\de}{\de y}$, onde $f_0, f_1$ e $f_2$ são as desomogeneizações de $F_0, F_1$ e $F_2$.

Agora utilizando $\X(\w)\equiv0$ em $U_0$, temos que uma expressão local para a $1$-forma $\w$ que define a mesma folheção que $\X$ será
$\w=(f_{2}-yf_{0})dx-(f_{1}-xf_{0})dy$.

Queremos agora uma expressão global para $\w$. Esta expressão será 
$\w=A_0dz_0+A_1dz_1+A_2dz_2$, onde


$$ 
\begin{array}{rcl}
 A_0&=&z_0^{d+1}\left(-\frac{z_1}{z_0}(f_{2}-\frac{z_2}{z_0}f_{0})\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)+\frac{z_2}{z_0}(f_{1}-\frac{z_1}{z_0}f_{0})\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\right)\\&=&-z_1F_2+z_1z_2F_0+z_2F_1-z_2z_1F_0\\&=&z_2F_1-z_1F_2

\\
\\A_1&=&z_0^{d+1}(f_{2}-\frac{z_2}{z_0}f_{0})\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\\&=&z_0F_2-z_2F_0

\\
\\A_2&=&-z_0^{d+1}(f_{1}-\frac{z_1}{z_0}f_{0})\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\\&=&z_1F_0-z_0F_1
\end{array}$$


Concluímos então que a expressão global da forma que define a mesma folheação de $\X$ é 
$$\w=(z_2F_1-z_1F_2)dz_0+(z_0F_2-z_2F_0)dz_1+(z_1F_0-z_0F_1)dz_2.$$


\paragraph{1-forma$\leadsto$Campo.}Reciprocamente, podemos obter os coeficientes da express\ao global
do campo, a partir dos coeficientes da express\ao global da forma.  

\begin{mylem}\label{wtox}
Se $A_{0},A_{1},A_{2}$  s\~ao
polinômios homogêneos de grau $d+1$ satisfazendo a rela\ce\ao 
$z_{0}A_{0}+z_{1}A_{1}+z_{2}A_{2}=0$, ent\ao  existem polinômios homogêneos
$F_{0},F_{1},F_{2}$ de grau $d$ tais que


\begin{equation}\label{rel0}
\left\{
\begin{array}{c}
A_{0}=z_{2}F_{1}-z_{1}F_{2}\\
A_{1}=z_{0}F_{2}-z_{2}F_{0}\\
A_{2}=z_{1}F_{0}-z_{0}F_{1}
\end{array}
\right.
\end{equation}

\end{mylem}
\paragraph{Prova:}
Da rela\ce\ao $z_{0}A_{0}+z_{1}A_{1}+z_{2}A_{2}=0$ podemos escrever
\begin{equation}\label{rel}
z_{0}A_{0}=-z_{1}A_{1}-z_{2}A_{2}
\end{equation}

escrevendo $A_{0}=z_{1}G_{2}+z_{2}G_{1}+\lambda z_{0}^{d+1}$ e
substituindo em (\ref{rel}) obtemos $\lambda=0$.

Logo $A_{0}=z_{1}G_{2}+z_{2}G_{1}$.
Substituindo em (\ref{rel}) esta igualdade e reagrupando obtemos 
\begin{equation}\label{rel2}
z_{1}(z_{0}G_{2}+A_{1})=-z_{2}(z_{0}G_{1}+A_{2})
\end{equation}

de onde deduzimos que $z_{1}$ divide a  $z_{0}G_{1}+A_{2}$ e 
$z_{2}$ divide $z_{0}G_{2}+A_{1}$.
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
z_{0}G_{1}+A_{2}=z_{1}G_{0}\\
z_{0}G_{2}+A_{1}=z_{2}G_{3}
\end{array}
\right.
\end{equation*}

 Sustituindo estas rela\ce\oes em
(\ref{rel2}), deducimos que $G_{3}=-G_{0}$.
Ent\ao $A_{2}=z_{1}G_{0}-z_{0}G_{1}$ e $A_{1}=-z_{2}G_{0}-z_{0}G_{2}$.

Definindo $F_{0}:=-G_{0}$, $F_{1}:=G_{1}$ e $F_{2}:=-G_{2}$, obtemos as
rela\ce\oes procuradas. \hfill\cqdf



Veremos um exemplo a seguir:

\begin{myex}
 Seja o campo de vetores dado por:
$$\X=z_2\frac{\partial}{\partial z_1}-z_1\frac{\partial}{\partial z_2},$$ então a $1$-forma $\w$ que define a mesma folheação que $\X$ é dada por 
$$\w=(z_1^2+z_2^2)dz_0-z_0z_1dz_1-z_0z_2dz_2$$
\end{myex}


Estas rela\ce\oes podem ser usadas para calcular a express\ao global de um
campo dado em sua forma local, i.e., dado um campo em sua forma local
$$\X=b_{1}\frac{\partial}{\partial x}+b_{2}\frac{\partial}{\partial y}$$
onde $b_{1},b_{2}$ s\ao polinômios com 
$d+1=\mbox{max}_{i=1,2}\{\mbox{grau}(b_i)\}$

A forma local da $1$-forma associada é $b_{2}dx-b_{1}dy$. Pelo visto 
anteriormente a express\ao global de esta forma é:
$\w=A_{0}dz_{0}+A_{1}dz_{1}+A_{2}dz_{2}$ onde

\begin{eqnarray*}
 A_0=z_0^{d+1}\left(-\frac{z_1}{z_0}b_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)+\frac{z_2}{z_0}b_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)\right) 
\\ A_1=z_0^{d+1}b_2\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)   
\\ A_2=-z_0^{d+1}b_1\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right)   
\end{eqnarray*}

E daqui podemos obter $F_{0}, F_{1}, F_{2}$ como no Lema
\ref{wtox}. Veamos um exemplo:

\begin{myex}
 Seja o campo de vetores em $U_0$ dado por $\mathcal{X}(x,y)=y^2\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y}$.


Queremos encontrar uma expressão global para este campo em $\mathbb{P}^2$ tal que o divergente seja nulo. 

Neste caso $b_1(x,y)=y^2$ e $b_2(x,y)=-x$.
Logo 

\begin{eqnarray*}
 A_0=z_0^{3}\left(\left(\frac{z_1}{z_0}\right)^2+\left(\frac{z_2}{z_0}\right)^3\right)=z_1^2z_0+z_2^3 
\\ A_1=-z_0^{3}\frac{z_1}{z_0}=-z_0^2z_1   
\\ A_2=-z_0^{3}\left(\frac{z_2}{z_0}\right)^2=-z_2^2z_0   
\end{eqnarray*}

Logo as coordendas do campo s\ao $F_{0}=0$, $F_{1}=z_{2}^2$ e
$F_{2}=-z_{1}z_{0}$.

Observe que $\Div(\X)=0$. Com isto concluímos que uma expressão global 
para o campo é $$\X=z_2^2\frac{\partial}{\partial z_1}-z_0z_1\frac{\partial}{\partial z_2}$$
\end{myex}


\begin{myexe}
 Seja o campo de vetores em $U_0$ dado por $\mathcal{X}(x,y)=x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}$.

%\begin{figure}[h]
%\centering
%\includegraphics{camposvetores.png}
%\end{figure}

Encontre  uma expressão global para este campo em $\mathbb{P}^2$ tal que o divergente seja nulo. 

\end{myexe}



\section{Singularidades}  

Um dos focos no estudo de folheações holomorfas é o estudo de
singularidades 
das folheações. Há uma tentativa de classificar o tipo de singularidades que
pode presentar uma folheaç\ao e também de calcular o grau do subconjunto
de folheações que apresentam um certo tipo de singularidades.

Para folhe\ce\oes de grau $d>1$, resultados de Campillo e Olivares [1] 
mostram que uma folhea\ce\ao queda determinada pelas
suas singularidades (considerando multiplicidades). 
Neste sentido este trabalho é o complementar de este resultado,
veremos que uma folhea\ce\ao de grau um {\bf n\ao} é determinada pelas
suas singularidades e estudaremos o espa\ce o das folhea\ce\oes que
apresentam cada tipo de singularidade. 

Nesta seção vamos definir  singularidade de um campo de
vetores e singularidade de uma $1$-forma, e depois
definiremos os tipos de singularidades que nos interessam (e que, como
veremos logo são as únicas possíveis).

\subsection{Singularidades em campos de vetores e em $1$-formas}

Começaremos definindo singularidade em um campo de vetores.
\begin{mydef}
 Dado um campo de vetores $\X$, 
dizemos que um ponto $p$ é singularidade de $\X$ se o
   vetor $\X(p) \in \mathcal{T}_p\mathbb{P}^2$ for nulo. 
Se $p \in U_i$, então $p$ é uma singularidade de $\X$ se anula a  expressão local de $\X$ no aberto $U_i$.
\end{mydef}



Analogamente definimos singularidades em $1$-formas.

\begin{mydef}
 Dado uma $1$-forma $\w$, um ponto $p\in U_{i}$, é uma singularidade
 de $\w$ se $p$ anula a express\ao local de $\w$ em $p$.
\end{mydef}


\begin{myexe}
Se $\w=A_{0}dz_{0}+A_{1}dz_{1}+A_{2}dz_{2}$ \'e a
express\ao global de $\w$, ent\~ao, as singularidades de  $\w$ são
exatamente os zeros comuns de $A_{0},A_{1},A_{2}$.
\end{myexe}

\begin{myexe}
Usando o exercício anterior prove  que as singularidades de um campo 
$$\X=F_{0}\frac{\de}{\de z_{0}}+F_{1}\frac{\de}{\de z_{1}}+F_{2}\frac{\de}{\de z_{2}}$$
 \'e o conjunto de zeros dos menores dois por dois da matriz 
$\left[\begin{array}{ccc}
F_{0}&F_{1}&F_{2}\\
z_{0}&z_{1}&z_{2}
\end{array}\right]$.

\textbf{Dica:} use a rela\ce\ao entre as express\oes   globais do campo e da forma. 


Deduza que $p\in \p 2$ \'e uma singularidade de $\X$ se e só se 
$\X(p)=\lambda R(p)$ para algúm $\lambda \in \C$.
\end{myexe}

Podemos nos perguntar se é possível contar as singularidades de um
 campo de vetores de grau $d$ em $\mathbb{P}^2$. E a resposta é que
 um campo de vetores
 de grau $d$ onde o conjunto de singularidades for um conjunto
 discreto 
tem $d^2+d+1$ singularidades contando com multiplicidades. 
Para se mostrar isto é necessário utilizar técnicas de teoria de
 interseção, 
que não é o foco deste curso. Mas daremos uma demonstração para o caso onde $d=1$.

\begin{myth}\label{3sing}
 Um campo de vetores gen\'erico em $\mathbb{P}^2$ de grau $1$,  tem $3$ singularidades.
``Genérico'' aqui quer dizer que existe  um aberto do espa\ce o $\p 7$ de
folhea\ce\oes ao qual o campo pertece. 
\end{myth}

\paragraph{Prova:} A expressão global para um campo de vetores de grau $1$ em $\mathbb{P}^2$ é dada por
$$\X=(a_{11}z_0+a_{12}z_1+a_{13}z_2)\frac{\partial}{\partial z_0}+(a_{21}z_0+a_{22}z_1+a_{23}z_2)\frac{\partial}{\partial z_1}+(a_{31}z_0+a_{32}z_1+a_{33}z_2)\frac{\partial}{\partial z_2}$$

Um ponto $p=(z_0:z_1:z_2)$ é singularidade de $\X$ se $\X(p)=\lambda R(p)$, para algum $\lambda \in \mathbb{C}$ e $R$ é o campo radial.
Daí teremos
\begin{eqnarray*}
 a_{11}z_0+a_{12}z_1+a_{13}z_2=\lambda z_0
\\a_{21}z_0+a_{22}z_1+a_{23}z_2=\lambda z_1
\\a_{31}z_0+a_{32}z_1+a_{33}z_2=\lambda z_2
\end{eqnarray*}

 Tomando a matriz de coeficiente desde sistema
$B=[a_{ij}]$, das igualdades acima 
vemos que $p=(z_0:z_1:z_2)$ \'e uma singularidade de $\X$ se e
somente se  $v=(z_0,z_1,z_2)$ é um autovetor de $B$. 
A hip\'oteses de o campo ser gen\'erico implica  que a matriz de coeficientes
$B$ é 
genérica, logo tem $3$ autovalores distintos (o polinômio
característico não tem raízes repetidas), de onde obtemos $3$
autovetores independentes.  \hfill \cqdf

\subsection{Tipos de Singularidades}
Nosso objetivos agora é distinguir diferentes tipos de singularidades
que se apresentam em um campo de vetores de grau $1$ em $\mathbb{P}^2$.

\paragraph{Degenera\ce\~oes.}
Estudaremos os seguintes tipos de degenera\ce\oes nas
singularidades. Veremos na seguinte se\ce\ao que estas
degenera\ce\oes são as únicas possíveis. 
\begin{mydef}
Se $p\in U_{0}$ é uma singularidade de um campo $\X$, e 
 $b_{1}\frac{\de}{\de x}+b_{2}\frac{\de}{\de y}$ \'e
a express\ao  local  de $\X$, definimos o
jacobiano de $\X$ como a matriz ${\bf J}_{p}\X:=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\de b_{1}}{\de x}(p)&\frac{\de b_{1}}{\de y}(p)\\
\frac{\de b_{2}}{\de x}(p)&\frac{\de b_{2}}{\de y}(p)
\end{array}\right]$.

 
\end{mydef}
Consideraremos os seguintes tipos de degenera\ce\~oes nas singularidades:
\begin{enumerate}
\item{\bf Tipo 1.}   $\det{\bf J}_{p}\X=0$.

\item{\bf Tipo 2.}
$\det{\bf J}_{p}\X=\tr({\bf J}_{p}\X)=0$ i.e. a matriz ${\bf J}_{p}\X$
  \'e nilpotente.

\item{\bf Tipo 3.}  ${\bf J}_{p}(\X)\in \C Id$; neste caso se diz que  $p$
  \'e uma singularidade radial.

\item{\bf Tipo 4.} ${\bf J}_{p}\X=0$. Singularidade de ordem maior que um.
\end{enumerate}


\begin{myex}
 Observe os diferentes exemplos de campos de vetores a seguir:
\begin{itemize}

\item $\X_1=-3z_0\frac{\partial}{\partial
  z_0}+2z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+z_2\frac{\partial}{\partial
  z_2}$.

$\X_1$ é um campo onde os pontos $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ e $(0:0:1)$ são
singularidades. 
\begin{myexe}
 Observe  que os autovalores $-3,2,1$ (com  autovetores $(1,0,0), (0,1,0)$ e $(0,0,1)$) da matriz $B_{1}$ da prova do teorema
\ref{3sing}, tem multiplicidade algébrica e geométrica igual a $1$.
\end{myexe}


\item $\X_2=(z_1+z_0)\frac{\partial}{\partial
  z_0}+z_1\frac{\partial}{\partial z_1}-2z_2\frac{\partial}{\partial
  z_2}$.

$\X_2$ é um campo com singularidades nos pontos $(1:0:0)$ e $(0:0:1)$.
\begin{myexe}
Prove que como autovalor  da matriz $B_{2}$ da prova do teorema
\ref{3sing}, $1$ tem multiplicidade algébrica igual a $2$, e
geométrica igual a $1$, e
$-2$ tem multiplicidade algébrica(=multiplicidade geométrica) igual a
$1$. 
Identifique este
tipo de campo com alguma das degenera\ce\oes da defini\ce\ao acima. 
\end{myexe}

\item $\X_3=z_1\frac{\partial}{\partial
  z_0}+z_2\frac{\partial}{\partial z_1}$.

$\X_3$ é um campo onde $(1:0:0)$ é a única singularidade.
\begin{myexe}
Prove que como autovalor de $B_{3}$ da prova do teorema
\ref{3sing}, $0$ tem multiplicidade algébrica igual a $3$ e geométrica
igual a $1$. Identifique este
tipo de campo com alguma das degenera\ce\oes da defini\ce\ao acima.
\end{myexe}

\item  $\X_4=-2z_0\frac{\partial}{\partial z_0}+z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+z_2\frac{\partial}{\partial z_2}$.

$\X_4$ é um campo onde o ponto $(1:0:0)$ é singular e todos os pontos da forma $(0:a:b)$, com $a,b \in \mathbb{C}$ também são singulares. Este é um campo que tem infinitas singularidades pois tem a reta $z_0=0$ singular.
\begin{myexe}
Prove que como autovalor da matriz $B_{4}$ da prova do teorema
\ref{3sing}, $-2$ tem multiplicidade algébrica (e geométrica) igual a
$1$, e $1$tem multiplicidade algébrica igual a $1$ e geométrica igual
a $2$. O que podemos dizer da matriz $B_{4}$? Identifique este
tipo de campo com alguma das degenera\ce\oes da defini\ce\ao acima.\end{myexe}


\item
$\X_5=z_2\frac{\partial}{\partial z_0}$.

$\X_5$ é um campo onde os pontos da forma $(a:b:0)$ onde $a,b \in
\mathbb{C}$ são singulares.
\begin{myexe}
O que podemos dizer da matriz $B_{5}$? Identifique este
tipo de campo com alguma das degenera\ce\oes da defini\ce\ao acima.\end{myexe}
\end{itemize} 
\end{myex}

%Isto nos motiva a dar a seguinte defini\ce\ao.

%\begin{mydef}
%Seja $p=(z_{0}:z_{1}:z_{2})$ uma singularidade isolada do campo $\X$ cuja matriz associada seja $B$. Daí $(z_0,z_1,z_2)$ é autovetor de $B$. Definiremos a multiplicidade da singularidade de $p$ como sendo a multiplicidade algébrica de $(z_0,z_1,z_2)$ em $B$. 
%%de multiplicidade $i$ do campo $\X$ se o vetor $v=(z_{0},z_{1},z_{2})$ \'e um autovetor da matriz $B$ com multiplicidade geométrica $i$. %com autovalor de  multiplicidade alg\'ebrica $=i$ da matriz $B$.
%\end{mydef}

\section{Folheações de grau $1$ em $\mathbb{P}^2$ vs Matrizes $3\times3$ de traço nulo}

Na seção anterior apresentamos $5$ tipos de singularidades dos 
campos de vetores de grau $1$ em $\mathbb{P}^2$. 
Nosso objetivo agora é descrever o espaço das folheações que apresenta
cada um dos tipos de singularidades através de matrizes de traço
nulo. 
Associaremos a cada tipo de singularidade, um tipo de forma canônica
Jordan nas matrizes.
  Em particular obteremos que os quatro tipos de degenera\ce\oes nas
singularidades apresentados anteriormente s\ao todos os poss\'iveis. 

Primeiramente, motivados pela prova do teorema \ref{3sing}, vamos
exibir uma bijeção entre  campos de vetores de grau $1$ em
$\mathbb{P}^2$ e  matrizes $3\times 3$ de traço nulo.

A expressão global de um campo de vetores de grau 1 em $\mathbb{P}^2$ é
$$\X=(a_{11}z_0+a_{12}z_1+a_{13}z_2)\frac{\partial}{\partial z_0}+(a_{21}z_0+a_{22}z_1+a_{23}z_2)\frac{\partial}{\partial z_1}+(a_{31}z_0+a_{32}z_1+a_{33}z_2)\frac{\partial}{\partial z_2}$$
onde $a_{ij} \in \mathbb{C}$.

\begin{myexe}
 Prove que $\Div \X=0$ se é somente se  $\tr(B)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$.
\end{myexe}
Daí temos uma bijeção do espaços dos campos de vetores de grau 1 em
$\mathbb{P}^2$ no espaço das matrizes $3 \times 3$ de traço nulo
definida por $\X \mapsto B=[a_{ij}]$. Dizemos que a matriz $B$ é a
matriz associada ao campo $\X$.

\paragraph{Nota\ce ão.} $sl_{3}(\C)$ denota o espa\ce o vetorial de matrizes
$3\times 3$ de
trazo nulo.

$Gl_{3}(\C)$ denota o grupo de matrizes $3\times 3$ inversíveis.

\begin{myth}
Existe uma bije\ce\ao $$\theta:V\to sl_{3}(\C)$$ que faz corresponder  a cada
campo sua matriz associada. 

Al\'em disso, se considerarmos a a\ce\ao de  $Gl_{3}(\C)$ por
mudan\ce a de coordenadas lineares
em  $V$, ent\ao
o mapa $\theta$ \'e  $Gl_{3}(\C)-$equivariante,
para a seguinte a\ce\ao em de $Gl_{3}(\C)$ em  $sl_{3}$: \[(g,B)\mapsto
\det(g)g^{-1}Bg.\] 

Isto significa que 
 se $g\in GL_{3}(\C)$ e $\X'$ é o campo $\X$ onde fizemos a mudanca de
variáveis definida por $g$, ent\ao $\theta(\X')= \det(g)g^{-1}\theta(\X)g$.
\end{myth}
\paragraph{Prova:}
O único que falta provar é a afirma\ce\ao da equivariância, esta prova
n\ao é difícil (se reduz a uma mudan\ce a de variáveis e muitas contas) e se encontra em  Jouanolou [5].
\hfill \cqdf


Como importante consequência deste Teorema obtemos que a
clasifica\ce\ao de campos a menos de mudan\ce a de coordenadas lineares \'e
equivalente à clasifica\ce\ao de matrizes de trazo nulo pela sua forma
de Jordan, i.e. pelos tipos de   \'orbitas (classes de equivalência) que aparecem
quando consideremos a a\ce\ao de $Gl_{3}(\C)$ em $sl_{3}(\C)$ como no
Teorema acima.  

Logo, se conhecemos todos os tipos de formas de Jordan, e
fazemos corresponder a cada um destos tipos, campos com um tipo de
singularidade, os tipos de
singularidades que obtemos  por este processo ser\ao as \'unicos possíveis.  

M\~aos à obra:
Come\ce amos relembrando algun fatos sobre formas de Jordan.
\paragraph{Reelembrando um pouco sobre formas canônicas de Jordan.}
A forma canônica de Jordan é uma forma de representar uma matriz
através de uma outra matriz semelhante à original que é uma matriz
diagonal somada a uma matriz nilpotente (possivelmente nula). 
Dizemos que uma matriz $A$ é semelhante a uma matriz $B$ se existe uma 
matriz invertível $g\in GL_{3}(\C)$ tal que $B=gAg^{-1}$. 

Se $A$ é uma matriz, na sua  forma canônica de Jordan a diagonal é
preenchida pelos autovalores da matriz. Escrevemos $A=D+N$, onde $D$
\'e uma matriz diagonal com os autovetores da matriz, e $N$ \'e uma
matriz nilpotente.

No caso que nos ocupa, i.e., de matrizes $3\times 3$ as possíveis
matrizes nilpotentes s\ao:

 $\left[\begin{array}{ccc}
            0&1&0 \\ 
0&0&1 \\ 0&0&0
           \end{array}
\right]$, 
 $\left[\begin{array}{ccc}
            0&1&0 \\ 
0&0&0 \\ 0&0&0
           \end{array}
\right]$, 
 $\left[\begin{array}{ccc}
            0&0&1 \\ 
0&0&0 \\ 0&0&0
           \end{array}
\right]$, onde as duas últimas s\ao equivalentes (tem igual forma de Jordan). 





Lembramos que  o traço de uma matriz é igual a soma de seus autovalores.
Daí as possíveis formas canônicas de Jordan de uma matriz $3 \times 3$ de traço nulo são:
\begin{center}
 $A_1=\left[\begin{array}{ccc}
            -\alpha-\beta&0&0 \\ 0&\alpha&0 \\ 0&0&\beta
           \end{array}
\right]$, 
$A_2=\left[\begin{array}{ccc}
            \alpha&1&0 \\ 0&\alpha&0 \\ 0&0&-2\alpha
           \end{array}
\right]
$,
$A_3=\left[\begin{array}{ccc}
            0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0
           \end{array}
\right]
$,
\end{center}

\begin{center}
$A_4=\left[\begin{array}{ccc}
            -2\alpha&0&0 \\ 0&\alpha&0 \\ 0&0&\alpha
           \end{array}
\right]$ e 
$A_5=\left[\begin{array}{ccc}
            0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0
           \end{array}
\right]$
\end{center}
onde $\alpha \neq 0$.








Para maior conhecimento sobre o assunto consulte o livro Linear
Algebra de Hoffman e Kunze [7] ou seu livro de Algebra Linear favorito.




\paragraph{Correspondência entre formas de Jordan e degenera\ce\oes.}
A seguir associamos a cada tipo de degenera\ce\ao um tipo de forma de Jordan.
\begin{mypro}\label{corr}
A correspondência entre degenera\ce\oes e formas de Jordan \'e como
segue:
\begin{enumerate}
\item Degenera\ce\ao de tipo 1. forma de
  Jordan  
$=\left[\begin{array}{ccc}
\alpha&1&0\\
0&\alpha&0\\
0&0&-2\alpha
\end{array}\right]$, com $\alpha\neq 0$.

\item Degenera\ce\ao de tipo 2. forma de
  Jordan
$=\left[\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right]$

\item Degenera\ce\ao de tipo 3. forma de
  Jordan 
$=\left[\begin{array}{ccc}
-2\alpha&0&0\\
0&\alpha&0\\
0&0&\alpha
\end{array}\right]$, com  $\alpha\neq 0$.

\item Degenera\ce\ao de tipo 4. forma de
  Jordan 
$=\left[\begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right]$


\end{enumerate}
\end{mypro}


\paragraph{Prova:}
Suponahmos que $p=(1:0:0)$.
Come\ce amos observando que se $$\X=(a_{11}z_0+a_{12}z_1+a_{13}z_2)\frac{\partial}{\partial z_0}+(a_{21}z_0+a_{22}z_1+a_{23}z_2)\frac{\partial}{\partial z_1}+(a_{31}z_0+a_{32}z_1+a_{33}z_2)\frac{\partial}{\partial z_2}$$
 a forma local de $\X$ em $U_{0}$ tem coordenadas
$$b_{1}=(a_{21}+a_{22}x+a_{23}y)-x(a_{11}+a_{12}x+a_{13}y)$$
 e $$b_{2}=(a_{31}+a_{32}x+a_{33}y)-y(a_{11}+a_{12}x+a_{13}y).$$

O fato de que $p=(1:0:0)$ \'e um autovetor da matriz $B$ associada ao
campo implica que $a_{11}$ \'e um autovalor de $B$ \'e que
$a_{21}=a_{31}=0$. Leitor: verifique! 
 Logo $B= \left[\begin{array}{ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
0&a_{22}&a_{23}\\
0&a_{32}&a_{33}
\end{array}\right]$.


Observe agora que 
${\bf J}_{p}\X=
  \left[\begin{array}{cc}
a_{22}&a_{23}\\
a_{32}&a_{33}
\end{array}\right]-a_{11}Id$.


\begin{enumerate}
\item Pelo provado acima a condi\ce\ao $\det({\bf J}_{p}\X)=0$ impõe que $a_{11}$ seja
  um autovalor de  $\left[\begin{array}{cc}
a_{22}&a_{23}\\
a_{32}&a_{33}
\end{array}\right]$.

Ou seja, a matriz $B$ tem um autovalor  repetido, a forma de Jordan mais geral
de este tipo de matrizes \'e 
$\left[\begin{array}{ccc}
\alpha&1&0\\
0&\alpha&0\\
0&0&-2\alpha
\end{array}\right]$. 



\item Em este caso a condi\ce\ao impõe, al\'em do anterior, 
  $a_{22}-a_{11}+a_{33}-a_{11}=0$, e como $\tr B=0$, temos
  $a_{11}=0$ (Verifique!). A forma de Jordan mais geral para matrizes com
  único autovalor zero \'e $\left[\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right]$.


\item Neste caso  a condi\ce\ao  impõe:
  $\left[\begin{array}{cc}
a_{22}-a_{11}&a_{23}\\
a_{32}&a_{33}-a_{11}
\end{array}\right]=\lambda Id$, logo $a_{22}=a_{33}$,
  $a_{23}=a_{32}=0$ 
i.e. a matriz $B$ \'e diagonalizável, com um autovalor repetido. A forma de Jordan para esta matriz é 
$\left[\begin{array}{ccc}
-2\alpha&0&0\\0&\alpha&0\\0&0&\alpha
\end{array}\right]$.
\item Neste caso condi\ce\ao impõe:
  $a_{11}=a_{22}=a_{33}$ (que como o traço de $B$ \'e zero, implica
   $a_{11}=a_{22}=a_{33}=0$), e  
$a_{23}=a_{32}=0$.
Logo $B$ tem um único autovalor que é $0$ com multiplicidade geométrica
  $2$ (i.e. o autoespa\ce o associado tem dimens\ao $2$). A forma de Jordan mais geral para matrizes desta maneira é
$\left[\begin{array}{ccc}
0&1&0\\0&0&0\\0&0&0
\end{array}\right]$.\hfill \cqdf

\end{enumerate}



\begin{myexe}
Verifique os detalhes da demostra\ce\ao anterior.
\end{myexe}

\section{Espa\ce o de parâmetros para folhea\ce\oes com cada tipo de singularidade}


Nesta se\ce\ao queremos dar a forma explícita de um campo representando
cada um dos tipos de singularidades e  calcular a dimens\ao e o grau das
subvariedades 
$M_{i}$ de $\p 7$
formadas por campos com singularidade de tipo $i$.

Para estes c\'alculos usamos a correspondência com os tipos de forma
de Jordan.

Alguns graus s\~ao fáceis de calcular, para os restantes damos
referências dos resultados.

Observe que a forma canônica de Jordan genérica \'e 
 $\left[\begin{array}{ccc}
            -\alpha-\beta&0&0 \\ 0&\alpha&0 \\ 0&0&\beta
           \end{array}
\right]$. Logo o campo gen\'erico em $\p 7$ tem três singularidades distintas e
estes campos s\ao da forma
$$(-\alpha-\beta)z_0\frac{\partial}{\partial z_0}+\alpha
  z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+\beta z_2\frac{\partial}{\partial z_2}.$$
 



\begin{myth}
A dimensão $d_{i}$ e o grau $g_{i}$ de $M_{i}$ \'e:

\begin{enumerate}
\item $d_{1}=6$ e $g_{1}=6$. Um elemento típico de $M_{1}$ \'e da
  forma $$\X=(\alpha z_0+z_1)\frac{\partial}{\partial z_0}+\alpha
  z_1\frac{\partial}{\partial z_1}-2\alpha z_2\frac{\partial}{\partial z_2}.$$

\item $d_{2}=5$ e $g_{2}=6$. Um elemento típico de $M_{2}$ \'e da
  forma $$\X=z_1\frac{\partial}{\partial z_0}+
  z_2\frac{\partial}{\partial z_1}.$$

\item $d_{3}=4$ e $g_{3}=6$. Um elemento típico de $M_{3}$ \'e da
  forma $$\X=-2\alpha z_0\frac{\partial}{\partial z_0}+\alpha
  z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+\alpha z_2\frac{\partial}{\partial z_2}.$$


\item $d_{4}=3$ e $g_{4}=6$. Um elemento típico de $M_{4}$ \'e da
  forma $$\X=z_2\frac{\partial}{\partial z_0}.$$

\end{enumerate}
\end{myth}
\paragraph{Prova:}

Em uma matriz $B$, $3 \times 3$ temos que o polinômio caracter\'istico, \'e da forma
$$\X_{B}(t)=t^3+a_{1}t^2+a_{2}t+a_{3}$$ onde $a_{1}=-\tr(B),
a_{2}=\tr(\wedge^2 B)$ e $a_{3}=-\det(B)$.
Onde $\wedge^2 B$ \'e  a matriz formada pelos menores $2\times 2$ de
$B$.

Logo $a_{i}$ \'e um polinômio de grau $i$ nos coeficiente da matriz
$B$.
 
Em nosso caso, como $\tr(B)=0$ temos $a_{1}=0$.
\begin{enumerate}
\item Pela Proposi\ce\ao \ref{corr}, as matrizes correspondentes a degenera\ce\~oes de tipo 1 se
  caracterizam por ter um autovalor repetido, logo esta subvariedade
  \'e definida simplesmente pelo discriminante do polinômio
  caracter\'istico. Este discriminante \'e
  $$\Delta=27a_{3}^2+4a_{3}a_{1}^3+4a_{2}^3-a_{1}^2a_{2}^2-18a_{1}a_{2}a_{2}$$
em nosso caso $a_{1}=0$ temos $$\Delta=27a_{3}^2+4a_{2}^3$$ que \'e um
polinômio de grau $6$ nos coeficientes da matriz $B$.
Deduzimos ent\~ao que $M_{1}$ \'e uma hipersuperf\'icie de grau $6$ em
$\p 7$.
\item  
Pela Proposi\ce\ao \ref{corr}, as matrizes correspondentes a degenera\ce\~oes de tipo 2 se
  caracterizam por ser ter todos os autovalores nulos, 
daí seu polinômio característico é $t^3$, logo esta subvariedade
  \'e definida pela interse\ce\ao de duas hipersuperfícies em $\p
  7$, a saber $a_{2}=a_{3}=0$, onde $a_{2}$ \'e um polinomio de grau
  $2$ nos coeficientes da matriz $B$ e $a_{3}$ \'e um polinomio de grau
  $3$ nos coeficientes da matriz $B$. Logo $\dim M_{2}=7-2=5$ e
  o grau de $M_{2}$ \'e $2\times 3=6$.  
  \item Os casos 3 e 4 serão tratados juntos.

As matrizes $B$ cuja forma de Jordan é 
$\left[\begin{array}{ccc}
-2\alpha&0&0\\
0&\alpha&0\\
0&0&\alpha
\end{array}\right]$, se caracterizam por ter um subespa\ce o
invariante de dimens\ao dois, i.e. existe $\alpha\in \C$ tal que
$B-\alpha Id$ tem núcleo de dimens\ao pelo menos
dois. Equivalentemente, o posto de $B-\alpha Id$ é $\leq 1$. 
 
  
Por outro lado as matrizes correspondentes a degenera\ce\~oes de tipo 4 se
  caracterizam por ser de posto $\leq 1$. É claro que  a
  dimens\ao de $M_{4}$ \'e $3$, se consideramos a condi\ce\ao de traço
  nulo. 

Uma forma clássica de descrever este tipo de matrizes é como sendo a
imagem do morfismo de Segre
$$\sigma:\p 2\times\p 2\to \p 8$$ dado por
$$\sigma((x_0:x_1:x_2),(y_0:y_1:y_2))=\left[\begin{array}{ccc}
y_0x_0&y_0x_1&y_0x_2\\
y_1x_0&y_1x_1&y_1x_2\\
y_2x_0&y_2x_1&y_2x_2
\end{array}\right]$$ 
(Leitor, mostre que este mapa é injetivo).

 É conhecido o fato de que este morfismo é uma isomorfismo com sua
imagem, que s\ao justamente as matrizes de posto $1$. 
O grau desta variedade dentro de $\p 8$ é $6$. 
Se impormos a condi\ce\ao de traço nulo nada muda, pois
estamos intersetando com um hiperplano de $\p 8$ (uma equa\ce\ao linear nos
coeficientes de matriz). Daí temos que o grau de $M_4$ é 6.


Estas mesmas ideias podem ser usadas para calcular 
dimens\ao e grau   de $M_{3}$. 
Encontrándose que a dimens\ao de $M_{3}$ é $4$ e o grau é $6$.
Estes cálculos requerem um conhecimento de técnicas Teoría de
Interse\ce\ao 
que não é o objetivo deste curso.

  

 \end{enumerate}



Deixamos ao leitor a tarefa de achar a ``cara'' dos campos com cada
tipo de singularidade.
\hfill \cqdf


\begin{myexe}
Para cada tipo de singularidade encontre a  $1$-forma típica  que presenta esse tipo de singularidade.
\end{myexe}
  
%
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%% Seguem algumas informa\c c\~oes de editora\c c\~ao
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%
%% REFERÊNCIAS
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Refer\^encias}
\setcounter{equation}{0}

\noindent[1]{\sc campillo, a. and olivares, j.}
{\it A plane foliation of degree different from 1 is determined by its
  singular scheme.}
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics
Volume 328, Issue 10, 15 May 1999, Pages 877-882. 

\noindent[2]
{\sc ferrer, v.} - 
{\it Aspectos enumerativos de Folhea\c c\~oes
Holomorfas.}
http://www.mat.ufmg.br/~pgmat/teses/Tese024.pdf. Doctoral  
Thesis, UFMG. 2010.

\noindent[3]
{\sc fulton, w.} - 
{\it Algebraic Curves.} W. A. Benjamin, new York, 1969. 

\noindent[4]
{\sc g\'omez mont, x. e  ort\'iz bobadilla, l.} -  
{\it Sistemas din\'amicos holomorfos en superficies.} 
Sociedad Matem\'atica Mexicana, M\'exico City, 1989. 




\noindent[5] 
{\sc jouanolou,  j. p.} -
  {\it Equations de Pfaff
  alg\'ebriques.} Lectures 
Notes in Mathematics, {\bf 708}. Springer-Verlag, 1979.

\noindent[6]
{\sc lins neto, a. e  scardua, b.} - {\it Folhea\c{c}\~oes Alg\'ebricas Complexas}. 21 Col\'oquio Brasileiro de Matem\'atica, IMPA, 1997.

\noindent[7] 
{\sc hoffman, k. m. e kunze, r.} -
  {\it Linear Algebra.} Editora Prentice Hall, 1971.

\end{document}
