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%%%% DEFINICOES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{Df}{Definição}[section]
\newtheorem{Th}[Df]{Teorema}
\newtheorem{Prop}[Df]{Proposição}
\newtheorem{Le}[Df]{Lema}
\newtheorem{Ex}[Df]{Exemplo}
\newtheorem{Exs}[Df]{Exemplos}
\newtheorem{Obs}[Df]{Observação}
\newtheorem{Fato}[Df]{Fato}
\newtheorem{Que}[Df]{Questão}
\newtheorem{Cor}[Df]{Corolário}

\newcommand{\fdl}{\hfill{$\square$}}
\newcommand{\fd}{\hfill{$\blacksquare$}}
\newcommand{\bc}{\begin{center}}
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\newcommand{\n}{\noindent}
\newcommand{\dem}{{\bf Demonstração:}}
\newcommand{\constr}{{\bf Construção:}}

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%%%% INICIO DE FATO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\title[V Bienal SBM -- Jo\~ao Pessoa, 2010]{Aplicações de Combinatória Infinitária \\ em Análise e Topologia}
\author{Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva \\ (IM -- UFBA)}
\institute{Departamento de Matemática -- Instituto de Matemática \\ Universidade Federal da Bahia}

\date{\scriptsize{\textbf{Jo\~ao Pessoa -- Paraíba}  \\ \vspace{.10cm} Outubro de 2010}}



\begin{document}


\frame{\titlepage}


\begin{frame}[allowframebreaks=1.0]
%\transdissolve
\frametitle{Índice}
\tableofcontents
\end{frame}


% %%%%%%%%%% PRIMEIRA SEÇÃO

\section{Topologia e Análise na Reta}

% %%%%%%%%%% SLIDE

\subsection{Interior e Fecho. Abertos e Fechados.}

\frame
{
  \frametitle{Interior e Fecho. Abertos e Fechados.}

Vamos dar algumas noções básicas de ``topologia e análise na reta".

\esple

Dado um subconjunto $A \se \R$, definimos a noção de {\bf ponto interior de $A$} e {\bf ponto aderente a $A$}:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

\begin{itemize}

\item <1-> Um ponto $a \in A$ é dito um {\bf ponto interior de $A$} se existe algum $r > 0$ tal que $]a-r,a+r[ \se A$.

\item <2-> Um ponto $x \in \R$ é dito um {\bf ponto aderente a $A$} se para todo $\varepsilon > 0$ tem-se que $]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \cap A \neq \vaz$.

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

}


%% SLIDE


\frame
{
  \frametitle{Interior e Fecho. Abertos e Fechados.}

Com isso, definimos os conjuntos:

\esple

$int(A) = \{ a \in A: a$ é ponto interior de $A \}$.

\esple

$\fec{A} = \{ x \in \R: x$ é aderente a $A \}$.

\esple

Vale sempre $int(A) \se A$ e $A \se \fec{A}$. Quando valem as igualdades ?

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Abertos e fechados na Reta}

\begin{itemize}

\item <1-> Um conjunto $U \se \R$ é dito {\bf aberto} se $U = int(U)$. Ou seja: $U$ é aberto quando todos os seus pontos são interiores.

\item <2-> Um subconjunto $F \se \R$ é dito {\bf fechado} se $F = \fec{F}$. Ou seja: $F$ é fechado quando todos pontos aderentes a $F$ pertencem a $F$.

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}


}


\frame
{
  \frametitle{Interior e Fecho. Abertos e Fechados.}


Um fato importante (que poderia inclusive ser usado como definição...) é o seguinte:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Relação entre os abertos e os fechados}

Um conjunto de números reais é fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Vamos agora relacionar esses conceitos topológicos com a noção de convergência (que é de análise).

\esple

Uma seqüência de números reais $(x_n)_{n \in \N}$ é dita {\bf convergente}, com limite $x_o$ (o que se denota ``$x_n \rightarrow x_o$"), se: para todo $\varepsilon > 0$, existe um $n_o \in \N$ tal que, para todo $n \mai n_0$, os pontos $x_n$ pertencem a $]x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon[$.


}

\subsection{Seqüências e Fechados}

\frame
{
  \frametitle{Seqüências e Fechados}

Valem as seguintes propriedades envolvendo conjuntos fechados e seqüências:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Proposição}

Um ponto $x \in \R$ pertence ao fecho de um conjunto $A \se \R$ se, e somente se, existe uma seqüência de pontos de $A$ que converge para o ponto $x$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

A demonstração da Proposição acima necessita do {\bf Axioma da Escolha} ! E vale ainda o seguinte

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadowt=true]{Corolário}

Um conjunto de pontos $F \se \R$ é fechado se, e somente se, toda seqüência convergente de pontos de $F$ tem o seu limite em $F$.

\end{beamerboxesrounded}

}

\subsection{Pontos de acumulação}

\frame
{
  \frametitle{Pontos de acumulação}

Outra noção muito importante, tanto para a análise como para a topologia, é a noção de {\bf ponto de acumulação}.

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

Um ponto $x \in \R$ é dito um {\bf ponto de acumulação} de um subconjunto $A \se \R$ se para todo $\varepsilon >0$ o intervalo aberto $]x - \varepsilon, x + \varepsilon[$ possui pontos de $A$ que são {\bf diferentes de $x$}.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Vamos listar as propriedades que envolvem pontos de acumulação e as noções já discutidas.


}

\frame
{
  \frametitle{Pontos de acumulação}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Pontos de acumulação, fechados e seqüências}

\begin{itemize}

\item <1-> Um conjunto $F \se \R$ é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.

\item <2-> Um ponto $x \in \R$ é ponto de acumulação de um conjunto $A \se \R$ se, e somente se, existe uma seqüência de {\bf pontos distintos de $A$} que converge para $x$.


\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Uma outra preocupação importante para a topologia é se um conjunto ``contém"\, pontos de acumulação.

\esple

{\bf Exercício.} Mostre que o conjunto $A = \{\frac{1}{n}: n \mai 1\}$ {\bf possui}  pontos de acumulação, mas {\bf não contém} pontos de acumulação.


}

\subsection{Continuidade de funções}

\frame
{
  \frametitle{Continuidade de funções}

A preocupação maior da topologia é: quais propriedades um espaço mantém (ou ``preserva") após sofrer ``deformações contínuas" (nas quais não existam, por exemplo, ``quebras", ``rasgos"\, ou ``saltos").

\esple

Intuitivamente, uma deformação é contínua se ``{\bf pontos grudados permanecem grudados}".

\esple

Para um topólogo, {\bf um quadrado e um círculo são objetos indistingüíveis !!!!} Por isso, às vezes a topologia é chamada de ``a geometria da borracha". 

\esple

A formalização dessas noções é feita com a noção de {\bf funções contínuas} - as quais, intuitivamente, ``{\bf fazem com que pontos grudados permaneçam grudados}".


}

\frame
{
  \frametitle{Continuidade de funções}

Existe uma famosa definição de continuidade de funções, usando ``epsilons e deltas", mas não vamos dá-la aqui ! A seguinte caracterização por seqüências (obtida via Axioma da Escolha) é mais intuitiva e basta para esta apresentação:

\esple


\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Funções contínuas e seqüências}

\begin{itemize}


\item <1-> Uma função $f: \R \rightarrow \R$ é {\bf contínua num ponto $x_o$} se, e somente se, para toda seqüência convergente $x_n \rightarrow x_o$ tem-se, também,  $f(x_n) \rightarrow f(x_0)$.

\item <2-> Uma função $f: \R \rightarrow \R$ é dita {\bf contínua} se for contínua em todo ponto.

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Belo exemplo de ``boa convivência" entre a topologia e a análise !!

}

\section{A Teoria dos Conjuntos Infinitos}

\subsection{Cardinalidades}

\frame
{
  \frametitle{Cardinalidades}

Neste minicurso, estamos interessados em aplicações de {\bf combinatória infinitária} (i.e., combinatória envolvendo conjuntos infinitos) em topologia e análise (da reta). 

\esple

Para usarmos esses argumentos combinatórios, temos que ter noções sobre os ``tamanhos"\, dos conjuntos infinitos envolvidos. 

\esple


Os objetos matemáticos, dentro da Teoria dos Conjuntos, que capturam a idéia de ``tamanho"\, de um conjunto são os chamados {\bf cardinais}. 

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A cardinalidade de um conjunto $A$}

Todo conjunto $A$ possui um cardinal associado, chamado de \\ {\bf cardinalidade de $A$} e denotado $|A|$.

\end{beamerboxesrounded}

}

\frame
{
  \frametitle{Cardinalidades}

No caso de conjuntos finitos, a cardinalidade é exatamente o número de elementos. Por exemplo, se $A$ é o conjunto formado pelos números da semana, então $|A| = 7$.

\esple

E para conjuntos infinitos ? {\bf Em geral, como podemos comparar o tamanho de conjuntos infinitos ?}

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Conjuntos equipotentes}

Dois conjuntos $A$ e $B$ são ditos {\bf equipotentes} (o que se denota $A \equip B$) se existe uma função $f: A \rightarrow B$ bijetora. 

\end{beamerboxesrounded}

}

\frame
{
  \frametitle{Cardinalidades}


Observamos que $A \equip B$ se, e somente se, $|A| = |B|$ (ou seja, {\bf dois conjuntos possuem mesmo tamanho se, e somente se, existe alguma bijeção entre eles}; os objetos envolvidos  s\~ao definidos para que isso seja verdade !!! ). Esse fato, fundamental para a Teoria dos Conjuntos,  vale tanto para os conjuntos finitos como para os infinitos.

\esple


Usamos funções bijetoras para dizer que ``dois conjuntos têm mesmo tamanho". Já para dizer que um conjunto ``é menor ou igual a outro", usamos funções {\bf injetoras}.

}

\subsection{Funções injetoras e o Teorema de Schröder-Bernstein-Cantor}
\frame
{
  \frametitle{Funções injetoras e dominação}

Vamos definir agora a no\c c\~ao de {\bf domina\c c\~ao} entre conjuntos.

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A relação de dominação}

Dizemos que um conjunto $A$ é {\bf dominado} por um conjunto $B$ (o que se denota $A \injet B$) se existe uma função $f:A \rightarrow B$ injetora.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Vale agora também que: $|A| \meni |B|$ se, e somente se, $A \injet B$.

\esple

{\bf Exemplo:} Um conjunto $X$ é infinito, se e somente se, $\N \injet X$.

\esple

No exemplo acima, usamos novamente o Axioma da Escolha !


}

\frame
{
  \frametitle{O Teorema de Schröder-Bernstein-Cantor}


O resultado mais importante envolvendo a relação de dominação é o chamado {\bf Teorema de Schröder-Bernstein-Cantor}, cuja demonstração {\bf não necessita do Axioma da Escolha}.

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{O Teorema de Schröder-Bernstein-Cantor}

Se $A \injet B$ e $B \injet A$, então $A \equip B$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

O principal uso do teorema acima é: mostrar que dois conjuntos têm mesmo tamanho, sem precisar construir uma bijeção entre eles - basta mostrar que existem injeções nos dois sentidos ! Vamos fazer uso dessa técnica várias vezes durante o minicurso.

\esple

{\bf Exercício}: Use o Teorema S.B.C. para mostrar que $\N \times \N \equip \N$.

}
\subsection{Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis}

\frame
{
  \frametitle{Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis}

Um conjunto $X$ é dito {\bf enumerável} se $X \injet \N$. Assim, $X$ é enumerável se ocorrer um entre os seguintes  dois casos:

\begin{itemize}

\item $X$ é finito; ou

\item $X$ é infinito e $X \equip \N$.

\end{itemize}

Um conjunto infinito é dito {\bf não-enumerável} se não for enumerável.

\esple

Uma primeira pergunta que alguém pode ter é: {\bf existem conjuntos não-enumeráveis ?} Ou, até mais geralmente: {\bf existem conjuntos infinitos que são ``maiores"\, que outros conjuntos infinitos ?}

}

\frame
{
  \frametitle{Os conjuntos numéricos: $\N, \Z, \Q$ e $\R$}

Com relação aos conjuntos numéricos, temos (``passando rapidamente, podemos voltar a isto no final"...):

\begin{itemize}

\item <1-> $\N$ é enumerável (obviamente !)

\item <2-> $\Z$ é enumerável (o que pode ser visto com a alegoria do ``Hotel de Hilbert";)

\item <3-> $\Q$ é enumerável  (o que é uma conseqüência de $\Z \times \Z$ ser enumerável;)

\item <4-> $\R$ é {\bf não-enumerável} (``argumento diagonal de Cantor".)

\end{itemize}

}

\subsection{Sobre os tamanhos de $\N$ e $\R$}

\frame
{
  \frametitle{Sobre os tamanhos de $\N$ e $\R$}

A cardinalidade de $\N$ é denotada $\aleph_0$ - lê-se ``aleph-zero".

\esple

Com o auxílio do Teorema de Schröder-Bernstein-Cantor, pode-se (facilmente, até !) mostrar que os seguintes três conjuntos possuem a mesma cardinalidade:

\begin{itemize}

\item <1-> $\ptes(\N)$, que é a família de todos os subconjuntos de $\N$.

\item <2-> $^\N 2$, que é a família de todas as funções de $\N$ em $2 = \{0,1\}$.

\item <3-> $\R$.



Devido  à equipotência entre $\R$ e a família das funções de $\N$ em $2$ (``seqüências binárias infinitas"), a cardinalidade de $\R$ é denotada $2^{\aleph_0}$. Também escreve-se $2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$, pois  $2^{\aleph_0}$ é tradicionalmente chamado de  ``a cardinalidade do {\bf continuum}".

\end{itemize}

}

\frame
{
  \frametitle{O Teorema de Cantor}

Como $\R$ é não-enumerável, o que temos é $\mathfrak{c} > \aleph_0$. Essa desigualdade estrita pode ser encarada como caso particular de:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{O Teorema de Cantor}

Para qualquer conjunto $X$ vale que $|X| < |\ptes(X)| = 2^{|X|}$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Ou seja, para qualquer conjunto infinito, existe um conjunto infinito maior do que ele !

\esple

A demonstração do Teorema acima constitui o seguinte

\esple

{\bf Exercício:} Seja $f: X \rightarrow \ptes(X)$ uma função. Mostre que, se $Y = \{x \in X: x \notin f(x)\}$, então $Y \notin im(f)$. Conclua que não existe função sobrejetora de $X$ em $\ptes(X)$.

}

\section{Princípios Combinatórios}

\subsection{O que é um princípio combinatório ?}

\frame
{
  \frametitle{O que é um princípio combinatório ?}



Essencialmente, um ``princípio combinatório" é uma asserção matemática que declara a validade de um determinado  ``fato combinatório"\,\, -- ou seja, é uma afirmação matemática sobre um certo fenômeno que envolva algum tipo de ``contagem". 

\esple

Princípios e argumentos combinatórios podem ser aplicados em todas as áreas da matemática (por exemplo, a resolução do chamado ``Problema da Base Incondicional", em Análise Funcional, utilizou fortemente a Teoria de Ramsey - ver RMU 40).

\esple

Por exemplo, o seguinte princípio combinatório é muito utilizado em análise:

}

\subsection{Sobre a reunião enumerável de enumeráveis}

\frame
{
  \frametitle{Sobre a reunião enumerável de enumeráveis}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Princípio Combinatório}

Uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Ou seja: dada uma família de conjuntos $\{X_n: n \in \N\}$, tal que para cada $n \in \N$ o conjunto $X_n$ é enumerável, então o conjunto


\begin{center}

$\bigcup\limits_{n \in \N} X_n$

\end{center}

também é enumerável. 

\esple

{\bf Exercício:} Demonstre a afirmação acima !!! Tudo o que você precisa é do Axioma da Escolha e do fato que $\N \times \N \equip \N$. 



}

\subsection{Versões infinitas do Princípio da Casa dos Pombos}

\frame
{
  \frametitle{O Princípio da Casa dos Pombos}

Um dos mais conhecidos princípios combinatórios, ainda em {\bf Combinatória Finitária}, é o chamado ``Princípio da Casa dos Pombos".

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{O Princípio da Casa dos Pombos}

Se $n$ objetos forem colocados em $k$ gavetas, com $n > k$, então alguma gaveta deverá conter mais do que um objeto.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Vamos destacar, na seguinte transparência, algumas conseqüências (algumas óbvias, outras não tão óbvias assim...) do Princípio da Casa dos Pombos -- ou de ``pequenas variações"\,\, dele.

}


\frame
{
  \frametitle{Conseqüências do Princípio da Casa dos Pombos}

\begin{itemize}

\item <1-> Dadas 13 pessoas, pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês;

\item <2-> Dadas 367 pessoas, pelo menos duas delas fazem aniversário no  mesmo dia do ano;

\item <3-> Se uma delicatessen tem 100 clientes para atender com bolos de aniversário num determinado mês, ela tem que ser capaz de, em algum dos dias desse mês, fazer pelo menos 4 bolos;

\item <4-> Existem pelo menos quatro pessoas em Jo\~ao Pessoa que possuem exatamente a mesma quantidade de fios de cabelo; em Salvador, existem pelo menos treze...

\item <5-> Dada qualquer lista de dez números entre 1 e 100, existem dois subconjuntos disjuntos de números dessa lista cuja soma é exatamente a mesma. 

\end{itemize}



}

\frame
{
  \frametitle{Existem versões infinitas \\ do Princípio da Casa dos Pombos ?}

Como estamos interessados em {\bf Combinatória Infinitária}, podemos nos interessar em achar ``versões infinitas do Princípio da Casa dos Pombos". 

\esple

O interessante é que determinadas versões funcionam e determinadas versões não funcionam... 

\esple

Mais precisamente: vamos listar algumas versões equivalentes do Princípio da Casa dos Pombos, para conjuntos finitos. Em seguida, vamos ver se as ``versões para o infinito"\, funcionam ou não.

}

\frame
{
  \frametitle{Uma lista de equivalências para \\ o Princípio da Casa dos Pombos}






\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Afirmações equivalentes  ao Princípio da Casa dos Pombos}

São equivalentes:

\begin{itemize}

\item <1-> O Princípio da Casa dos Pombos.

\item <2-> Se $A$ e $B$ são conjuntos finitos e $|A| > |B|$, então dada uma função qualquer $f:A \rightarrow B$ tem-se que $f$ não é injetora.

\item <3-> Se $A$ é um conjunto finito e $f:A \rightarrow A$ é uma função, então $f$ é injetora se, e somente se, $f$ é sobrejetora. 

\item <4-> Se $A$ é um conjunto finito, então não existe uma bijeção entre $A$ e algum subconjunto próprio de $A$.

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

Note que a última equivalência acima diz que, para conjuntos finitos, ``a parte é sempre menor que o todo"...

}

\frame
{
  \frametitle{Versões infinitas valem ou não ?}

A seguinte versão infinita (``versão da primeira equivalência") vale: 

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Princípio Combinatório -- ``Versão do P.C.P. que vale"}

 Se $A$ e $B$ são conjuntos quaisquer e $|A| > |B|$, então não pode existir uma  função $f:A \rightarrow B$ que seja injetora. 

\end{beamerboxesrounded}

\esple

{\bf Demonstração}: Se existisse a função injetora, teríamos que ter $A \injet B$ e conseqüentemente $|A| \meni |B|$, contradição.

\esple

{\bf Exemplo}: Dada uma função de $\R$ em $\Q$, com certeza essa função não é injetora (por quê ?).

}

\frame
{
  \frametitle{Versões infinitas valem ou não ?}

Porém, se pensamos na terceira e na quarta equivalência do Princípio da Casa dos Pombos... A versão infinita não vale !

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Princípio Combinatório -- ``Versão do P.C.P. não vale"}

Um conjunto $X$ é infinito, se, e somente se, possui bijeções com partes próprias.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Ou seja: para {\bf todo} conjunto infinito $X$, é possível exibir uma função $f:X \rightarrow X$ que é injetora mas não é sobrejetora. Isso é muito fácil, se observarmos que para todo conjunto infinito $X$ tem-se que $\N \injet X$, e que o ``shift para a direita" $n \mapsto n + 1$ é uma bijeção entre $\N$ e $\N^*$...

}

\frame
{
  \frametitle{Um parênteses: o papel do Axioma da Escolha no que estamos discutindo...}



O Axioma da Escolha é necessário para a demonstração de várias  das afirmações acima !

\esple

Por exemplo, sem o uso do Axioma da Escolha, n\~ao podemos garantir esse fato que usamos no dia-a-dia da matemática: ``todo conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável", 
que é o que denotamos por ``$\N \injet \X$ se $X$ é infinito'' na página anterior.

\esple

Também n\~ao se pode provar, sem o Axioma da Escolha, que ``se $X$ é um conjunto infinito, entao $X^2 \equip X$. Na verdade, essa afirma\c c\~ao é {\bf equivalente ao Axioma da Escolha} !

}

\frame
{
  \frametitle{E para objetos e gavetas ?}

Para quaisquer cardinais infinitos $\kappa$ e $\lambda$, podemos nos perguntar:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Perguntinha capciosa !}

Se colocarmos $\kappa$ objetos em $\lambda$ gavetas, com $\kappa > \lambda$, o que ocorre ?

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Com certeza alguma gaveta terá mais do que um objeto - mas, alguma gaveta tem que ser infinita ? Alguma gaveta tem que ter tamanho $\kappa$ ? Ou, pelo menos, maior do que $\lambda$ ?

\esple

Não vamos discutir essa questão no geral, mas pelo menos um caso particular podemos demonstrar !

}



\frame
{
  \frametitle{Versão infinita do Princípio da Casa dos Pombos}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Princípio Combinatório -- ``Versão do P.C.P. que vale"}

Se colocamos uma quantidade não-enumerável de objetos em uma quantidade enumerável de gavetas, então alguma gaveta deve conter uma quantidade não-enumerável de objetos.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

... O prezado(a)  colega já ``fez a demonstração de cabeça" ? É só usar um ``outro princípio combinatório"\, que já comentamos...

}

\frame
{
  \frametitle{Demonstração}

Seja $Y$ um conjunto não-enumerável, e decomponha $Y$ numa união disjunta

\begin{center}

$Y = \bigcup\limits_{n \in \N} X_n$

\end{center}

(ou seja, os elementos de $Y$ são os objetos, e cada $X_n$ é uma gaveta...)

\esple

Então, algum dos $X_n$ tem que ser não-enumerável -- pois, se todos fossem enumeráveis, como ``a reunião enumerável de enumeráveis é enumerável"\, teríamos que o próprio $Y$ seria enumerável, contradição. 

}

\section{Como usamos a combinatória em Topologia e Análise ?}


\frame
{
  \frametitle{Como usamos a combinatória para \\ obter informações topológicas ?}

Finalmente, vamos começar a usar a combinatória infinitária para obter informações sobre espaços topológicos -- inicialmente, sobre a reta real. 

\esple

Vamos inicialmente estudar as seguintes perguntas:

\begin{itemize}

\item Todo subconjunto não-enumerável da reta {\bf possui} algum ponto de acumulação ?

\item Todo subconjunto não-enumerável da reta {\bf contém} algum ponto de acumulação ?

\end{itemize} 

Perceba o(a)  colega que uma resposta positiva para a segunda pergunta é uma informação bem mais forte do que a primeira...

}


\frame
{
  \frametitle{Mas, o que é ``espa\c co topológico'' mesmo ???}
  
  Como este é um minicurso sem pré-requisitos, talvez o(a) estudante n\~ao saiba ainda o que é um espa\c co topológico ! Digamos que um espa\c co topológico é um conjunto no qual podemos falar da no\c c\~ao de vizinhan\c ca (logo, de continuidade), mesmo que n\~ao exista uma distância bem definida...
  
  \esple
  
  Formalmente: 
  
  \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}
  
  Uma {\bf topologia} sobre um conjunto $X$ é uma família de subconjuntos de $X$, em geral denotada por $\tau$, cujos elementos s\~ao chamados de ``abertos'', que satisfazem a três propriedades: $(I)$ $\vaz$ e $X$ s\~ao abertos; $(II)$ Uni\~ao qualquer de abertos é um aberto; $(III)$ Intersec\c c\~ao finita de abertos é um aberto.
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
 }
  
  
  
  
\frame
{
  \frametitle{Mas, o que é ``espa\c co topológico'' mesmo ???}
  
  
  
  Ou seja, ``a primeira coisa que estamos interessados em topologia é dizer quais s\~ao os conjuntos abertos...''
  
  \esple
  
  Com isso, podemos definir o que é um  espa\c co topológico:
  
 \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Defini\c cao}
  
  
  Um {\bf espa\c co topológico} é  um par $(X,\tau)$, onde $X$ é um conjunto e $\tau$ é uma topologia sobre $X$.
  
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
}


\frame
{
  \frametitle{Mas, o que é ``espa\c co topológico'' mesmo ???}


  
  Os primeiros exemplos de espa\c cos topológicos s\~ao sempre dados por {\bf espa\c cos métricos}, nos quais os conjuntos abertos s\~ao definidos de modo bastante similar à reta, com as ``bolas abertas'' no lugar dos intervalos abertos...
  
  
  \esple
  
  Neste minicurso, quando apresentarmos exemplos de espa\c cos topológicos mais gerais, { \bfvamos apenas descrever quem s\~ao os conjuntos abertos !} A verifica\c c\~ao de que esses abertos cumprem as cláusulas descritas  no slide anterior ficará sempre como exercício !!!

}




}

\subsection{Não-enumeráveis de $\R$ possuem ponto de acumulação}


\frame
{
  \frametitle{Subconjuntos não-enumeráveis da reta \\ {\bf possuem} ponto de acumulação}

Para provar a afirmação do título desde slide, vamos usar o seguinte fato básico de Topologia:


\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Compacidade de intervalos fechados}

Todo intervalo fechado da reta é um conjunto compacto.

\end{beamerboxesrounded}


A compacidade é uma das principais propriedades que a topologia estuda, e, para espaços métricos como a reta, tem várias equivalências interessantes. Primeiro, a definição:

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Definição de compacidade}

Um espaço topológico $X$ é dito {\bf compacto} se, para toda família de abertos $\cac$ que cobre $X$ (i.e., tal que $\bigcup \cac = X$), existe uma subfamília finita $\cac' \se \cac$ tal que $\bigcup \cac' = X$.

\end{beamerboxesrounded}



}

\frame
{
  \frametitle{Compacidade em espaços métricos}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Equivalências para a compacidade em espaços métricos}

Seja $M$ um espaço métrico. São equivalentes:

\begin{itemize}

\item $M$ é compacto.

\item Todo subconjunto infinito de $M$ possui ponto de acumulação.

\item Toda seqüência em $M$ possui subseqüência convergente.

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Agora, ficou fácil usar um argumento combinatório para mostrar que {\bf todo subconjunto não-enumerável da reta possui um ponto de acumulação...}

}

\frame
{
  \frametitle{Argumento combinatório !}

Seja $Y$ um subconjunto não-enumerável de $\R$.

\esple

 Considere, para cada $k \in \Z$, o intervalo fechado $[k,k+1]$ (``os intervalos serão as gavetas, e os elementos de $Y$ os objetos"). 

\esple

Como vale que $\R = \bigcup\limits_{k \in \Z} [k,k+1]$, então $Y$ pode ser decomposto na reunião enumerável

\begin{center}

$Y = \bigcup\limits_{k \in \Z} Y \cap [k,k+1]$

\end{center}

}

\frame
{
   \frametitle{Argumento combinatório !}

Como $Y$ é não-enumerável e a reunião dada  é enumerável, existe algum $k_0$ tal que $Y \cap [k_0, k_0 + 1]$ é não-enumerável -- logo, em particular, {\bf infinito}  ! 

\esple

Como $[k_0, k_0 + 1]$ é compacto, o conjunto $Y \cap [k_0, k_0 + 1]$ possui um ponto de acumulação em $[k_0, k_0 + 1]$.

\esple


Tal ponto de acumulação será, também, ponto de acumulação de $Y$.

\esple

(Note que existem subconjuntos enumeráveis que não possuem ponto de acumulação, como $\N$ ou $\Z$. O detalhe é  que ``reunião enumerável de finitos é enumerável"...)

}

\frame
{
  \frametitle{Um exercício só para os mais avançados...}

Uma outra maneira de mostrar que todo subconjunto não-enumerável de $\R$ possui ponto de acumulação seria usar o seguinte 

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

Se $X$ é um espaço de Lindelöf, então $X$ não possui subconjuntos não-enumeráveis que não possuam ponto de acumulação.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Um espaço topológico é dito {\bf espaço de Lindelöf} se toda cobertura aberta possui subcobertura enumerável (comparar com a compacidade !).

\esple

{\bf Exercício:} Demonstre o teorema acima.

(Dica: Subconjuntos que não possuem pontos de acumulação são  {\bf fechados e discretos}...)

}

\subsection{Não-enumeráveis de $\R$ contém ponto de acumulação}

\frame
{
  \frametitle{Subconjuntos não-enumeráveis da reta \\ {\bf contém} ponto de acumulação}

Vamos agora refinar um pouco nossos argumentos e mostrar que, na verdade, se $Y \se \R$ é não-enumerável então {\bf existe um elemento de $Y$ que é ponto de acumulação de $Y$} - informação que, até o presente momento, ainda não verificamos !

\esple

O que vamos utilizar é a seguinte propriedade da reta:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Propriedade topológica de $\R$}

$\R$ é um espaço topológico de base enumerável. 

\end{beamerboxesrounded}

}


\frame
{
  \frametitle{O que é uma base de abertos para um espaço topológico ?}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Base de abertos}

Uma família de abertos $\cab$ é dita uma {\bf base de abertos} do espaço topológico $X$ se qualquer aberto de $X$ pode ser escrito como uma união de uma subfamília de $\cab$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Trabalhando um pouco com Teoria dos Conjuntos elementar, o(a) colega pode verificar a seguinte equivalência:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Caracterização de uma base de abertos}

Uma família de abertos $\cab$ é uma base se, e somente se, para todo aberto $U$ e para todo $x \in U$ existe $B \in \cab$ tal que $x \in B \se U$.

\end{beamerboxesrounded}

}

\frame
{
  \frametitle{Exemplo clássico}

Um exemplo clássico de base de um espaço topológico: {\bf as bolas abertas de um espaço métrico}. 

\esple

Dado $x \in M$ e $\varepsilon > 0$, definimos a {\bf bola aberta de centro $x$ e \\ raio $\varepsilon$} como sendo o conjunto $B(x,\varepsilon) = \{y \in M: d(x,y) < \varepsilon\}$.

\esple

Para um espaço métrico qualquer, definimos as noções de {\bf interior}, {\bf fecho}, {\bf abertos} e {\bf fechados} como fizemos para $\R$, mas com bolas abertas no lugar dos intervalos abertos.

\esple

Dessa forma, as bolas abertas são conjuntos abertos e formam uma base de abertos (pois $U \se M$ é aberto se, e só se, todo ponto de $U$ é interior...).



}

\frame
{
  \frametitle{Bases enumeráveis e densos enumeráveis}

Um subconjunto $D$ de um espaço topológico $X$ é dito {\bf denso} em $X$ se $\fec{D} = X$ -- ou seja, $D$ é denso se todo ponto de $X$ é aderente a $D$.

\esple

Num espaço métrico $M$, temos, por nossas equivalências usando seqüências, que: $D$ é denso em $M$ se, e somente se, todo ponto de $M$ pode ser escrito como limite de uma seqüência de elementos de $D$.

\esple

{\bf Exemplo}: $\Q$ é denso em $\R$.

\esple

Ou seja, ``todo número real pode ser aproximado por racionais"\, -- já que todo número real está na aderência de $\Q$,  basta lembrarmos dos fatos envolvendo aderências e seqüências...



}


\frame
{
  \frametitle{Bases enumeráveis e densos enumeráveis}


Para espaços métricos, temos a seguinte equivalência ({\bf que não é válida para espaços topológicos em geral}).

\esple

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{``Bases enumeráveis" = ``Densos enumeráveis" para espaços métricos}

Seja $M$ um espaço métrico. São equivalentes:

\begin{enumerate}

\item $M$ possui uma base enumerável de abertos.

\item $M$ possui um subconjunto denso enumerável. 

\end{enumerate}

\end{beamerboxesrounded}

}

\frame
{
  \frametitle{Bases enumeráveis e densos enumeráveis}



{\bf Esboço da demonstração}: 

\esple

Para $(1) \Rightarrow (2)$, use o Axioma da Escolha e escolha um ponto em cada aberto da base enumerável: o conjunto que se obtém é denso (e enumerável).

\esple

Para $(2) \Rightarrow (1)$, em cada um dos pontos do denso enumerável considere as enumeráveis bolas abertas de centro $\frac{1}{n}$, para $n \mai 1$. A união dessa família de famílias de bolas é uma base de abertos, que é enumerável !


}
\frame
{
  \frametitle{Então, $\R$ tem base enumerável !!!}

Em vista do que acabamos de demonstrar, é imediato que $\R$ tem base enumerável - já que é um espaço métrico que possui denso enumerável, pois $\Q$ é enumerável e é denso em $\R$ !!!

\esple

E, a partir da informação de que $\R$ tem base enumerável, vamos concluir que {\bf todo subconjunto não-enumerável de $\R$ contém  ponto de acumulação}. A informação crucial para nós é o seguinte teorema, {\bf o qual segue de um argumento combinatório:}

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

Sejam $X$ um espaço topológico, $Y \se X$  e $\cab$ uma base de abertos do espaço. Então, se $|Y| > |\cab|$, então $Y$ tem que conter um ponto de acumulação, i.e., existe algum elemento de $Y$ que é ponto de acumulação de $Y$.

\end{beamerboxesrounded}
}

\frame
{
  \frametitle{Argumento combinatório !!!}

Pois bem: suponha por absurdo que nenhum ponto de $Y$ seja ponto de acumulação de $Y$. Então, para cada ponto $y$ de $Y$ podemos fixar um aberto $O_y$ tal que $O_y \cap Y = \{y\}$ (ou seja, $Y$ seria um subconjunto discreto).

\esple

Usando agora que $\cab$ é uma base de abertos do espaço, podemos fixar, para cada $y \in Y$, um aberto $B_y \in \cab$ que satisfaz $y \in B_y \se O_y$.

\esple

Considere então a função $f: Y \rightarrow \cab$ dada por $f(y) = B_y$. Em vista do exposto, teríamos que $f$ é injetora - o que é um absurdo, {\bf pois $|Y| > |\cab|$ e sabemos que, nessas condições, nenhuma função pode ser injetora !!!}.\\
$\therefore$ Algum ponto de $Y$ tem que ser de acumulação !!!


}





\frame
{
  \frametitle{Pensando em $\R$ agora...}

Observe o(a) colega que usamos o Axioma da Escolha várias vezes nesta última demonstração...
Segue imediatamente do Teorema o seguinte corolário:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Corolário}

Se $X$ é um espaço de base enumerável e $Y \se X$ é não-enumerável, então $Y$ contém ponto de acumulação.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

E, como tínhamos verificado que a reta $\R$ é um espaço topológico de base enumerável, temos então:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Informação obtida por argumento combinatório !!!}

Subconjuntos não-enumeráveis de $\R$ {\bf contém} ponto de acumulação.

\end{beamerboxesrounded}

}

\section{Um espaço topológico não-metrizável}

\subsection{A Reta de Sorgenfrey}



\frame
{
  \frametitle{Um espaço topológico não-metrizável}

Podemos usar argumentos bastante semelhantes aos utilizados agora para exibir um exemplo ``elementar"\, de espaço topológico que {\bf não é metrizável} -- isto é, cuja topologia não pode ser gerada  por uma métrica.

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A Reta de Sorgenfrey}

A {Reta de Sorgenfrey} é o espaço topológico $\R_S = (X, \tau)$ dado por:

\begin{itemize}

\item $X = \R$; ou seja, a Reta de Sorgenfrey é ``uma topologia sobre a reta";

\item Mas tal topologia {\bf não é a usual}: definimos que $U \se \R$ é um aberto da Reta de Sorgenfrey se, e somente se, para todo $x \in U$ existe $\varepsilon > 0$ tal que

%\begin{center}

         \hspace*{2.8cm}         $x \in [x, x + \varepsilon[ \se U$

%\end{center}

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

}

\frame
{
  \frametitle{Fatos interessantes sobre a Reta de Sorgenfrey}
  
  Demonstrar as fatos a seguir é um bom exercício para o estudante que goste de Topologia...

\begin{itemize}

\item <1-> $\R$ e $\R_S$ possuem exatamente os mesmos subconjuntos densos - em particular, $\Q$ é denso na reta de Sorgenfrey.

\item <2-> $\R_S$ é um espaço {\bf desconexo} - i.e., existem conjuntos, diferentes do vazio e do espaço todo, que são {\bf abertos e fechados ao mesmo tempo} - tal fato não ocorre na reta usual, que é conexa !

\item <3-> A topologia da Reta de Sorgenfrey é {\bf estritamente mais fina} que a usual -- isto é, os abertos da topologia usual são abertos na reta de Sorgenfrey, mas não vale a recíproca;

\end{itemize}

}

\frame
{
  \frametitle{Fatos interessantes sobre a Reta de Sorgenfrey}
  
\begin{itemize}


\item <1-> Com isso, certas funções $f:\R \rightarrow \R$ que não eram contínuas passam a ser contínuas, se munirmos o domínio com  a topologia da Reta de Sorgenfrey (i.e., consideramos $f: \R_S \rightarrow \R$). O exemplo mais chocante é que {\bf a função ``parte inteira de $x$"\, é contínua}, nessas condições !



\item <2-> $\R_S$ é um espaço {\bf normal}, isto é, para cada par de fechados disjuntos $F$ e $G$ na reta de Sorgenfrey existem abertos disjuntos $U$ e $V$ que separam $F$ e $G$ 

-- i.e., $F \se U, G \se V$ e $U \cap V = \vaz$. 

(Isto n\~ao é difícil de provar, tente !)



\end{itemize}

}



\frame
{
  \frametitle{Fatos interessantes sobre a Reta de Sorgenfrey}
  
\begin{itemize}
  
 \item <1-> No entanto, {\bf o quadrado da Reta de Sorgenfrey não é normal} !!! A demonstração desse fato {\bf é feita usando um argumento combinatório}, baseado em ``contagem de funções de Urysohn". Veremos isto dentro dos ``Tópicos Avan\c cados''...
 
 

 \item E pode-se mostrar facilmente o seguinte

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Fato}

A Reta de Sorgenfrey não é um espaço de base enumerável.

\end{beamerboxesrounded}

{\bf Exercício}: Demonstre o Fato acima ! 

\end{itemize}



}


\frame
{
  \frametitle{A Reta de Sorgenfrey não é metrizável}
  
  
Como dica para fazer o exercício anterior, use que, para cada $x \in \R$, o intervalo $[x, x + 1[$ é um aberto da reta de Sorgenfrey. Logo, se $\cab$ é uma base qualquer da reta de Sorgenfrey, podemos fixar para cada $x \in \R$ um aberto $B_x \in \cab$ tal que $\ldots$ ?

\esp

Bom, o(a) colega mais atento já fez ``de cabeça"\, a demonstração para o seguinte teorema !

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

A Reta de Sorgenfrey é um espaço topológico não-metrizável.

\end{beamerboxesrounded}


\esple

Qual é o argumento que resolve tudo ? O(a) colega tem que se lembrar de um dos comentários  sobre espa\c cos métricos...

}
\frame
{
  \frametitle{A Reta de Sorgenfrey não é metrizável}

{\bf Demonstração}: Verificamos que, para espaços métricos, a existência de bases enumeráveis é equivalente à existência de densos enumeráveis.

\esple

No entanto, a reta de Sorgenfrey é um espaço que possui subconjuntos densos enumeráveis (por exemplo, $\Q$), mas não possui bases enumeráveis. Logo, não pode ser um espaço metrizável. 

\esple



}



\frame
{
  \frametitle{A Reta de Sorgenfrey não é metrizável}

{\bf Demonstração}: Verificamos que, para espaços métricos, a existência de bases enumeráveis é equivalente à existência de densos enumeráveis.

\esple

No entanto, a reta de Sorgenfrey é um espaço que possui subconjuntos densos enumeráveis (por exemplo, $\Q$), mas não possui bases enumeráveis. Logo, não pode ser um espaço metrizável. 

\esple

...Bonito, não ?

}

\frame
{
  \frametitle{Fim da parte básica do minicurso !!!}

Antes de partirmos para discuss\~oes mais avan\c cadas, fa\c camos uma pequena pausa !  Espero que todos tenham compreendido a ``mensagem básica'' deste minicurso: que, de vez em quando, ``saber contar"\,\,(no sentido de ``saber o tamanho dos conjuntos") resolve problemas (mesmo no infinito...).

\esple

Como ``aquecimento'' para o último dia,  proponho um último exercício por hoje !!!

}


\frame
{
  \frametitle{Quantas são as funções contínuas de $\R$ em $\R$ ?}

{\bf Exercício}. Demonstre o seguinte

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

Existem tantas funções contínuas de $\R$ em $\R$ quantos são os números reais (i.e., $|\cac(\R,\R)| = |\R| = 2^{\aleph_0}$).

\end{beamerboxesrounded}

\esple

({\bf Dicas}:

\begin{itemize}

\item Use que $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$ (por quê ?).

\item Em algum momento, use o seguinte fato de Topologia (ou seja, estamos agora em {\bf aplicações de Topologia em Combinatória}): se $M,N$ são espaços métricos, $D \se M$ é um denso e $f,g$ são funções contínuas
de $M$ em $N$ que são tais que $f(x) = g(x)$ para todo $x \in D$, então $f = g$.)

\end{itemize}

}


\section{Tópicos Avan\c cados}

\frame
{
  \frametitle{$\R_S$ é um espa\c co normal}

O estudante que seguiu nossas sugest\~oes verificou que a Reta de Sorgenfrey é um espa\c co normal, i.e., fechados disjuntos s\~ao separados por abertos disjuntos (basta trabalhar com os abertos básicos e estudar as possíveis intersec\c c\~oes entre eles...).

\esple

Se o estudante, porém, tentar adaptar a prova para a topologia da reta usual, o argumento n\~ao funciona !!!

\esple

Para espa\c cos métricos em geral, a maneira mais simples de verificar a normalidade é a partir de 
{\bf fun\c c\~oes de Urysohn}. 

}

\subsection{Contando as fun\c c\~oes de Urysohn em $\R_S \times \R_S$}

\frame
{
  \frametitle{Fun\c c\~oes de Urysohn}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

Se $F$ e $G$ s\~ao fechados disjuntos em um espa\c co $X$, uma {\bf fun\c c\~ao de Urysohn para $F$ e $G$} é uma fun\c c\~ao real contínua definida em $X$ tal que $f(x) = 0$ para todo $x \in F$ e $f(x) = 1$ para todo $x \in G$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

{\bf Exercícios:} \begin{itemize}

\item <1-> Mostre que, se para todo par de fechados disjuntos em $X$ existe uma fun\c c\~ao de Urysohn para esse par, ent\~ao $X$ é normal.

\item <2-> (Espa\c cos métricos s\~ao normais) Mostre que se $F$ e $G$ s\~ao fechados disjuntos em um espa\c co métrico
$M$ ent\~ao a fun\c c\~ao real definida por $\varphi(x) = d(x,F)/[d(x,F) + d(x,G)]$ é uma fun\c c\~ao de Urysohn para $F$ e $G$.

\end{itemize}

}

\frame
{
  \frametitle{Lema de Urysohn}
  
  Temos ent\~ao que: ``se sempre existem fun\c c\~oes de Urysohn, o espa\c co é normal''. Vale a recíproca dessa afirma\c c\~ao !!!
  
  \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Lema de Urysohn}
  
  Se $X$ é um espa\c co normal, ent\~ao para todo par de fechados disjuntos em $X$ existe uma fun\c c\~ao de Urysohn para esse par.
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  \esple
  
  
 O Lema de Urysohn  é um resultado clássico de Topologia Geral, com aplica\c c\~oes importantíssimas em Análise (Teorema da Extens\~ao de Tietze, Parti\c c\~oes da Unidade), e mostra que $\R$ está intrinsecamente ligado aos espa\c cos topólógicos em geral, mesmo os mais abstratos...
 
 }
 
 \frame
 { 
   \frametitle{Lema de Urysohn}
   
   Vamos usar o Lema de Urysohn para mostrar que ``o quadrado da reta de Sorgenfrey'', $\R_S \times \R_S$, n\~ao é um espa\c co normal.
   
   \esple
   
   A idéia da prova é: verificar que existem ``muitos'' fechados disjuntos para se separar e n\~ao existem ``tantas'' fun\c c\~oes reais contínuas o suficiente para separá-los !!! Ou seja, ``a conta n\~ao fecha''...
   
   }
   
   \frame
   {
     \frametitle{Um fechado e discreto muito grande}
     
     Consideremos o subconjunto de $\R_S \times \R_S$ dado por
     
     \bc
     
     $H = \{ (x,-x): x \in \R_S \}$
     
     \ec
     
     ou seja, $H$ é a ``bissetriz do segundo e quarto quadrantes''.
     
     \esple
     
     {\bf Exercício:} Mostre que $H$ é um subconjunto fechado e discreto de $\R_S \times \R_S$.
     
     \esple
     
     Subconjuntos fechados e discretos têm algumas propriedades interessantes, em qualquer espa\c co topológico...
     
     }
     
     
     \frame
     {
        \frametitle{Propriedades dos fechados e discretos}
        
        Se $X$ é um espa\c co topológico qualquer, valem as seguintes afirma\c c\~oes:
        
        \esple
        
        \begin{itemize}
        
        \item <1-> Um subconjunto $A \s X$ é fechado e discreto se, e somente se, $A$ n\~ao possui pontos de acumula\c c\~ao. (exercício !)
        
        \esple
        
        \item <2-> Todo subconjunto de um fechado e discreto é, também, fechado e discreto (por quê ?).
        
        \end{itemize}
        
        
        }
        
        
        \frame
        {
           \frametitle{Quantas fun\c c\~oes de Urysohn seriam necessárias para $\R_S \times \R_S$ ser normal ?}
           
           Pois bem: vamos fazer nosso argumento de ``contagem'' !!!
           
           \esple
           
           Como $H$ é fechado e discreto em $X = \R_S \times \R_S$, para cada $A \se H$ temos que $A$ e $H \setminus A$ s\~ao fechados disjuntos em $X$. Supondo por absurdo que $X$ seja normal, para cada $A \se H$ poderíamos associar uma fun\c c\~ao real contínua $f_A$, que seria uma fun\c c\~ao de Urysohn para $A$ e $H \setminus A$.
           
           \esple
           
           Como a associa\c c\~ao $A \mapsto f_A$ é claramente injetora, teríamos ent\~ao uma família $\caf = \{f_A: A \se H\}$ de fun\c c\~oes reais contínuas definidas em $X$. Note que $|\caf| = |\ptes(H)| = |\ptes(\R)| = 2^{|\R|}$ e $\caf \se \cac(X,\R)$.
           
           }
           
           
     \frame
     {
       \frametitle{... A conta n\~ao fecha !!! N\~ao existem tantas fun\c c\~oes contínuas assim !!!}
       
       No entanto, com os mesmos argumentos que usamos para $\cac(\R,\R)$, podemos mostrar que 
       
       \bc
                  $|\cac(X,\R)| = |\R|$
                  
       \ec
       
       já que o quadrado da Reta de Sorgenfrey possui um subconjunto denso enumerável (a saber, os pontos do plano com duas coordenadas racionais).
       
       \esple
       
       Já perceberam a contradi\c c\~ao ? Temos por um lado $\caf \se \cac(X,\R)$, logo $|\caf| \meni |\cac(X,\R)|$, o que é um absurdo pois $|\caf| = 2^{|\R|} > |\R| = |\cac(X,\R)|$. $\therefore$ $X$ n\~ao é normal.
       
       
        }
        
        
        
        \frame
        { 
          \frametitle{Existe algum argumento sem usar fun\c c\~oes contínuas ?}
          
          O estudante pode estar se perguntando agora: será que n\~ao existe uma maneira de verificar a n\~ao-normalidade do quadrado da Reta de Sorgenfrey {\bf sem} usar o argumento de contagem de fun\c c\~oes contínuas ?
          
          \esple
          
          A resposta é: {\bf sim} !! Temos uma alternativa interessante a esse argumento que, num certo sentido, ``dá mais informa\c c\~oes''. Essa alternativa é o {\bf Lema de Jones}.
          
          }

\subsection{O Lema de Jones para Espa\c cos Normais}

\frame
{
  \frametitle{Lema de Jones}

F. B. Jones (1937), durante o estudo de um problema (hoje, um clássico) de Topologia Geral, o chamado ``Problema do Espa\c co de Moore Normal'', demonstrou o seguinte resultado, de caráter bastante combinatório:

\esple

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Lema de Jones}

 Se $X$ é um espaço normal  com subconjuntos $D$ e $H$ tais que $D$ é denso e $H$ é fechado e discreto,  então existe uma aplicação $\varphi: \ptes(H) \mapsto \ptes(D)$ que é injetora -- donde $\ptes(H) \injet \ptes(D)$.

\end{beamerboxesrounded}



}

\frame
{
  \frametitle{Lema de Jones}

{\bf Esbo\c co da Demonstra\c c\~ao}:  Se $H$ é fechado e discreto, para todo $A \se H$ tem-se que $A$ e $H \setminus A$ são fechados disjuntos. Como $X$ é normal,  para cada $A \se H$ podemos fixar um aberto $U_A$ tal que $A \se U_A$ e $(H \setminus A) \se X \setminus \fec{U_A}$. Definimos $\varphi$ pondo $\varphi(A) = U_A \cap D$ para todo $A \se H$. Afirmamos que tal $\varphi$ é injetora.

\esple

De fato: sejam $A \neq A´\, \s H$,  s.p.g.  $A \setminus A' \neq \vaz$. Então

\bc

$\vaz \neq A \setminus A' = A \cap (H \setminus A') \se U_A \cap (X \setminus \fec{U_{A'}})$

\ec

\n e portanto  $U_A \cap (X \setminus \fec{U_{A'}})$ é um aberto não-vazio. Use agora a densidade de $D$ !! \fd


}

\frame
{
  \frametitle{Quais conclus\~oes podemos tirar \\ a partir do Lema de Jones ?}

Segue do Lema de Jones que, se $X$ é normal, ent\~ao sempre se tem ``$2^{|H|} \meni 2^{|H|}$'', para $H$ e $D$ subconjuntos, respectivamente, fechado discreto e denso. Com isso, temos o seguinte

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Fato (Corolário do Lema de Jones)}

Se $X$ é um espa\c co normal e separável, ent\~ao $X$ n\~ao possui fechados e discretos de cardinalidade $\gc = |\R|$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple 

A verifica\c c\~ao é imediata ! Se $X$ é separável, ent\~ao existe $D$ denso tal que  $|D| = |\N| = \aleph_0$. Logo, se $H$ é fechado e discreto, temos  \bc $|H| < 2^{|H|} \meni 2^{|D|} = 2^{\aleph_0} = |\R|$. \ec



}\frame
{
  \frametitle{Quais conclus\~oes podemos tirar \\ a partir do Lema de Jones ?}

Segue agora diretamente do Fato anterior que $\R_S \times \R_S$ n\~ao é um espa\c co normal, por ser um espa\c co separável que possui um fechado e discreto de tamanho $\gc$ -- a ``bissetriz do segundo e quarto quadrantes''.

\esple

... Será que existem mais informa\c c\~oes que podemos concluir a partir do Lema de Jones ?

\esple

A resposta é {\bf sim}, mas teremos que entrar no contexto dos chamados {\bf resultados de consistência e independência} !!!

}

\subsection{Princípios combinatórios consistentes}


\frame
{
  \frametitle{Consistência e Independência em Matemática}

Vamos definir as no\c c\~oes de consistência e independência com rela\c c\~ao a uma teoria $T$.

\begin{itemize}

\item <1-> Uma teoria $T$ é dita { \bf consistente} se $T$ não nos leva a contradições -- i.e., n\~ao existe uma afirma\c c\~ao $\Phi$ sobre os objetos da teoria tal que $T$ prova $\Phi$ e $T$ prova a nega\c c\~ao de $\Phi$.

\item <2-> Uma afirmação $\varphi$ é dita {\bf consistente} com $T$ se $T$, acrescentada de $\varphi$, é uma teoria consistente -- i.e., $\varphi$ é consistente se podemos acrescentar $\varphi$ sem levar a contradi\c c\~oes.

\item <3-> Uma afirmação $\varphi$ é dita { \bf independente} de uma teoria $T$ se tanto $\varphi$ como a negação de $\varphi$ são consistentes com $T$.

\end{itemize}

}



\frame
{
  \frametitle{Consistência e Independência em Matemática}

Usualmente, para mostrarmos que uma asser\c c\~ao $\varphi$ é consistente, usamos o chamado ``Teorema da Corre\c c\~ao", o qual nos garante que: {\bf se existe um modelo de $T$ no qual a afirma\c c\~ao $\varphi$ é verdadeira, ent\~ao $\varphi$ é consistente} (com $T$). 

\esple

Essencialmente, um {\bf modelo} para uma teoria é uma estrutura na qual a teoria pode ser ``interpretada''. Por exemplo, o disco de Poincaré é um modelo para a geometria hiperbólica !


\esple

A Lógica de Primeira Ordem satisfaz a recíproca do Teorema da Corre\c c\~ao, que é o chamado ``Teorema da Completude'': trabalhando apenas com os axiomas lógicos, é verdade que se uma afirma\c c\~ao é consistente ent\~ao existe um modelo no qual essa afirma\c c\~ao é verdadeira.

}

\frame
{
  \frametitle{Consistência e Independência em Matemática}
  
É importante observarmos  que o chamado Teorema da Completude possui um enunciado equivalente, bastante interessante:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Enunciados equivalentes do Teorema da Completude}

As seguintes afirma\c c\~oes sobre teorias  s\~ao equivalentes:

$I$ - Se $T$ é consistente, ent\~ao $T$ tem modelo.

$II$ - Se $\varphi$ é verdadeira em todos os modelos de $T$, ent\~ao $T$ prova $\varphi$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

{\bf Exercício (Difícil para quem nunca fez um curso de Lógica !)}: Assumindo que uma teoria $T$ prova $\varphi$ se, e somente se, $T \cup \{ \neg \varphi \}$ é inconsistente, mostre as equivalências acima. 



}


\frame
{
  \frametitle{Consistência e Independência em Matemática}
 
 No entanto, Gödel, quando da demonstra\c c\~ao do seu célebre ``Primeiro Teorema da Incompletude'', mostrou que qualquer teoria consistente $T$ que contenha a aritmética possui uma afirma\c c\~ao aritmética $\varphi$ que {\bf é verdadeira  mas que  n\~ao \\ pode ser demonstrada !!!}.
 
 \esple
 
 Segue disso que: {\bf toda teoria consistente $T$ que inclua a aritmética possui proposi\c c\~oes indecidíveis}, i.e., existem asser\c c\~oes $\zeta$ tais que $T$ n\~ao pode nem provar nem refutar $\zeta$.
 
 \esple
 
 {\bf Exercício}: Conven\c ca-se que a afirma\c c\~ao $\varphi$ do primeiro parágrafo pode ser tomada como uma das $\zeta's$ do segundo parágrafo !!!

}


\frame
{
  \frametitle{Consistência e Independência em Matemática}

Entendendo-se como ``Matemática'' a Teoria dos Conjuntos ZFC, dizemos que uma afirma\c c\~ao $\varphi$ é ``consistente'' se for consistente com ZFC, e será ``independente'' se for independente de ZFC.

\esple

Como ZFC inclui a aritmética, vale o Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel, portanto {\bf existem proposi\c c\~oes indecidíveis para a matemática !!!}

\esple

Talvez a mais célebre dessas proposi\c c\~oes indecidíveis seja a chamada \bf{Hipótese do Contínuo}. 


}


\frame
{
  \frametitle{A Hipótese do Contínuo}


Cantor foi o responsável por desenvolver a Teoria dos Conjuntos (Infinitos), tal como a conhecemos hoje.

\esple

Com o seu ``Teorema de Cantor'', temos como caso particular  que $|\N| = \aleph_0 < 2^{\aleph_0} = \gc = |\R|$.

\esple

Por n\~ao ter conseguido produzir ``cardinais intermediários'', Cantor conjecturou que a cardinalidade do contínuo seria, também, o primeiro cardinal n\~ao-enumerável, denotado por $\aleph_1$.

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Hipótese do Contínuo}

\bc $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ \ec

\end{beamerboxesrounded}


}




\frame
{
  \frametitle{Nosso primeiro princípio combinatório consistente: CH}


A Hipótese do Contínuo (CH) foi demonstrada consistente nos anos 1930, por Gödel (``constru\c c\~ao do modelo construtível''), e a consistência de sua nega\c c\~ao foi obtida nos anos 1960 por Cohen (``inven\c c\~ao do método de forcing'').

\esple

Por ser independente da Teoria dos Conjuntos, CH, é, portanto, uma proposi\c c\~ao indecidível !!! (por quê ???)

\esple

De todo modo, CH será nosso primeiro {\bf princípio combinatório consistente}.

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

Chamaremos de {\bf princípio combinatório consistente} a qualquer afirma\c c\~ao combinatória $\varphi$ que seja consistente com a Matemática (i.e., com ZFC).

\end{beamerboxesrounded}

}



\frame
{
  \frametitle{Consequências de princípios combinatórios consistentes}

Veremos nos próximos slides alguns princípios combinatórios consistentes, e algumas de suas consequências.

\esple

Em particular, poderemos retomar nossa discuss\~ao sobre ``o tamanho dos fechados e discretos em espa\c cos normais separáveis'', utilizando o Lema de Jones para tal. 

}


\frame
{
  \frametitle{CH}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

CH implica que espa\c cos normais e separáveis n\~ao possuem fechados e discretos n\~ao enumeráveis.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

{\bf Dem.:} Vimos que o Lema de Jones implica que, se $H$ é um fechado e discreto em um espa\c co normal e separável $X$, ent\~ao

\bc $|H| < 2^{\aleph_0}$ \ec

Porém, sob CH temos  $2^{\aleph_0} = \aleph_1$. Logo, sob CH teremos $|H| < \aleph_1$, o que significa dizer que $H$ é, no máximo, infinito enumerável. \fd

}


\frame
{
  \frametitle{Um princípio mais fraco que CH: $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$}

A asser\c c\~ao $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ é um princípio combinatório consistente, pelo simples fato de ser uma consequência de CH.

\esple

{\bf Exercício}: Mostre que CH $\Rightarrow$ $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$.

\esple

No entanto, é interessante observar que $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ é ``independente de CH'', no sentido de ser consistente com a nega\c c\~ao de CH.


}


\frame
{
  \frametitle{$2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$}
  
  Mesmo sendo mais fraco que CH, o princípio combinatório $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ é ainda assim capaz de provar o resultado que provamos anteriormente, assumindo CH !
  
  \esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

$2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ implica que espa\c cos normais e separáveis n\~ao possuem fechados e discretos n\~ao enumeráveis.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

{\bf Dem.:} Suponha que exista $H$ fechado e discreto n\~ao-enumerável num espa\c co normal e separável $X$. Passando a um subconjunto se necessário, podemos supor s.p.g. que $|H| = \aleph_1$. Sendo $D$ o enumerável denso, o Lema de Jones nos garante ent\~ao que 

$2^{|H|} \meni 2^{|D|} \Longrightarrow 2^{\aleph_1} \meni 2^{\aleph_0}$, o que contradiz a hipótese $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$.\fd


}


\frame
{
  \frametitle{Um princípio mais forte que CH: Princípio Diamante ($\diamondsuit$)}
  
  O Princípio Diamante (denotado por $\diamondsuit$) é um princípio combinatório que implica a Hipótese do Contínuo (por isso dizemos que é ``mais forte'').
  
  \esple
  
  N\~ao iremos enunciar formalmente o Princípio Diamante por envolver no\c c\~oes avan\c cadas de Teoria dos Conjuntos, mas podemos dizer que esse princípio é um ``princípio de predi\c c\~ao'': ele postula a existência de uma família de $\aleph_1$ subconjuntos especiais de $\aleph_1$ que, de uma maneira bem específica, s\~ao capazes de ``predizer'' o comportamento de qualquer um dos $2^{\aleph_1}$ subconjuntos de $\aleph_1$ -- com uma margem de erro bastante razoável. 
  
}


\frame
{
  \frametitle{Um princípio mais forte que CH: Princípio Diamante ($\diamondsuit$)}

  
  O Princípio Diamante vale no modelo construtível de Gödel, denotado por $\mathbf{L}$.
  
  \esple
  
   O modelo construtível é um modelo muito ``bem-comportado'': nesse modelo vale inclusive GCH, a chamada {\bf Hipótese Generalizada do Contínuo}, que é a asser\c c\~ao: para todo cardinal infinito $\kappa$, $\kappa^+ = 2^\kappa$ (onde $\kappa^+$ é o cardinal sucessor de $\kappa$, i.e., o menor cardinal estritamente maior que $\kappa$.).
  
  \esple
  
  Como $\diamondsuit \Rightarrow$ CH $\Rightarrow 2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$, é evidente que sob $\diamondsuit$ os fechados e discretos de espa\c cos normais e separáveis também devem ser necessariamente enumeráveis !!!
  
}


\frame
{
  \frametitle{Uma alternativa a CH: o Axioma de Martin}

Uma espécie de ``alternativa'' à Hipótese do Contínuo é o chamado { \bf Axioma de Martin}, denotado MA e que é um princípio combinatório consistente. O Axioma de Martin é uma asser\c c\~ao sobre ordens parciais, e postula a existência de certos ``filtros genéricos'', a partir dos quais podemos criar determinados objetos. MA é uma consequência imediata de CH, no entanto é consistente com a nega\c c\~ao de CH.

\esple

Uma das principais consequências de MA é que MA implica que $\gp = \gc$, onde $\gp$ é um dos chamados {\bf pequenos cardinais}. 

\esple

A defini\c c\~ao de $\gp$ envolve as no\c c\~oes de {\bf propriedade forte da intersec\c c\~ao infinita} e {\bf pseudo-intersec\c c\~ao infinita}.

}

   \frame
    {
      \frametitle{O pequeno cardinal $\gp$}
      
      \begin{itemize}
      
      \item  Dizemos que uma família $\mathcal{F}$ de subconjuntos infinitos de $\omega$ satisfaz a {\bf propriedade forte da intersecção finita} se toda subfamília finita e não-vazia de $\mathcal{F}$ tem intersecção infinita.


\item  Seja $\mathcal{F}$ uma famíla de subconjuntos infinitos de $\omega$. Um conjunto infinito $A\subset \omega$ é dito {\bf pseudo-intersec\c c\~ao de $\mathcal{F}$} se para todo $F\in \mathcal{F}$ tem-se que $A\setminus F$ é finito.
      
      
      \end{itemize}
      

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{O pequeno cardinal $\gp$}

$\gp$ é o menor cardinal infinito $\kappa$ tal que existe uma família $\caf$ de subconjuntos infinitos $\N$  tal que $|\caf| = \kappa$, $\caf$  satisfaz a propriedade forte da pseudo-intersec\c c\~ao infinita mas n\~ao possui pseudo-intersec\c c\~ao infinita.

\end{beamerboxesrounded}



}


\frame
{
  \frametitle{O pequeno cardinal $\gp$}

Note que, pela defini\c c\~ao de $p$, se $\caf$ é uma família de subconjuntos infinitos de $\N$ que possui a propriedade forte da intersec\c c\~ao infinita com $|\caf| < \gp$, ent\~ao $\caf$ {\bf possui} pseudo-intersec\c c\~ao infinita.

\esple

{\bf Exercício: (só pra quem já fez um semestre de Topologia Geral, e talvez um de Teoria dos Conjuntos !!!)} 

\esple

Seja $X$ um espa\c co topológico $T_1$ que seja tal que todo ponto possui um sistema fundamental de vizinhan\c cas de tamanho menor do que $\gp$. Mostre que $X$ é {\bf subsequencial}, i.e., se um dado ponto $p$ é ponto de acumula\c c\~ao da imagem de uma sequência $(x_n)$ ent\~ao $p$ é limite de 
uma subsequência de $(x_n)$.

}


\frame
{
  \frametitle{O cardinal $\gp$ e os fechados e discretos \\ de normais separáveis}

Com rela\c c\~ao a espa\c cos normais e separáveis, o seguinte resultado é ``folklore'' em Topologia Conjuntística:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Fato}

Se $\kappa < \gp$, ent\~ao existe um espa\c co normal e separável com um fechado e discreto de tamanho $\kappa$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Segue ent\~ao o 

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

MA + $\neg$CH implica que existem espa\c cos normais e separáveis com fechados e discretos n\~ao-enumeráveis.

\end{beamerboxesrounded}

}


\frame
{
  \frametitle{MA + $\neg$CH $\Rightarrow$ Existem normais separáveis \\ com fechados e discretos n\~ao-enumeráveis}


O(a) colega já fez a  ``demonstra\c c\~ao de cabe\c ca'' ??

\esple

{\bf Dem.:} Como MA implica $\gp = \gc$, ent\~ao sob MA + $\neg$CH temos $\aleph_1 < \gp$ !!!

\esple

Segue do fato de ``folklore" do slide anterior que existe um espa\c co normal e separável com um fechado e discreto de tamanho $\aleph_1$, portanto n\~ao-enumerável.

\esple

{\bf Exercício}: Mostre que MA implica $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1}$. 

\esple

(Sugest\~ao: Use Topologia !!!)

}


\frame
{
  \frametitle{... E por quê deve se considerar t\~ao interessante usar \\ esses princípios combinatórios consistentes ?}

Nosso interesse em utilizar esses princípios combinatórios consistentes se baseia no seguinte fato:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Resultados de Consistência}

As conseqüências de um princípio combinatório consistente s\~ao, também, proposi\c c\~oes consistentes.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Com isso, podemos ``combinar'' princípios combinatórios consistentes para obter resultados de independência em Matemática !!!

}


\frame
{
  \frametitle{... E por quê deve se considerar t\~ao interessante usar \\ esses princípios combinatórios consistentes ?}


\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Resultados de Independência}

Podemos combinar o uso de vários princípios combinatórios consistentes para mostrar que uma determinada asser\c c\~ao é independente da Teoria dos Conjuntos, e assim podemos exibir {\bf proposi\c c\~oes indecidíveis para a Matemática !!!}

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Vamos encerrar este minicurso fazendo exatamente isso, apresentando algumas proposi\c c\~oes indecidíveis para \\ a Matemática !! As indecidibilidades s\~ao todas demonstradas usando princípios combinatórios que discutimos no minicurso. 


}




\subsection{Alguns exemplos de ``proposi\c c\~oes indecídíveis'' !!!}


\frame
{
  \frametitle{A existência de fechados e discretos n\~ao-enumeráveis \\ em espa\c cos normais e separáveis}

Seja $\varphi$ a seguinte asser\c c\~ao:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

$\varphi \equiv $ Existe um espa\c co normal e separável $X$ que contém um \\ \hspace*{0.7cm} subconjunto fechado e discreto n\~ao-enumerável.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Afirmamos que $\varphi$ é indecidível para a Matemática !!!

\esple

Para tanto, mostraremos que $\varphi$ é {\bf independente} da Matemática, pois tanto $\varphi$ como $\neg \varphi$ s\~ao afirma\c c\~oes consistentes...

}



\frame
  {
    \frametitle{$\varphi$ é consistente com a Matemática}
    
    
    Vimos que MA + $\neg$CH implica $\varphi$ (pois $\aleph_1 < \gp$, etc.)
    
    \esple
    
    Mas, MA + $\neg$CH é um princípio combinatório consistente !!!
    
    \esple
    
    Temos ent\~ao o
    
    \esple
    
    \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}
    
    É consistente que existam espa\c cos normais e separáveis com fechados discretos n\~ao-enumeráveis.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    
  }
  
  
\frame
  {
    \frametitle{$\neg \varphi$ é consistente com a Matemática}
    
    
    Vimos que CH (ou mesmo o princípio mais fraco $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$) implicam que n\~ao existem espa\c cos normais e separáveis com fechados e discretos n\~ao-enumeráveis (pois nesse caso o Lema de Jones implicaria em $2^{\aleph_1} \meni 2^{\aleph_0}$).
    
    \esple
    
    Mas, ambos princípios citados s\~ao consistentes !!! Temos ent\~ao o
    
    \esple
    
    
     \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}
    
    É consistente que n\~ao existam espa\c cos normais e separáveis com fechados discretos n\~ao-enumeráveis.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    
    
  }
  
  
    
\frame
  {
    \frametitle{A proposi\c c\~ao $\varphi$ é indecidível para a Matemática !!!}
    
    
    Sendo $\varphi$ e $\neg \varphi$ proposi\c c\~oes consistentes, temos que $\varphi$ é independente da Matemática, sendo portanto uma proposi\c c\~ao indecidível !!!
    
    \esple
    
    \esple
    
    \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Fato}
    
    A Matemática n\~ao é capaz de decidir se existem espa\c cos normais e separáveis com fechados e discretos n\~ao-enumeráveis.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    
  }
  
  
  
  
    
\frame
  {
    \frametitle{Exemplos mais simples de proposi\c c\~oes indecidíveis}
    
    O estudante pode pensar que a asser\c c\~ao que apresentamos como exemplo de proposi\c c\~ao indecidível é muito ``complexa''.
    
    \esple
    
    Vamos apresentar dois exemplos mais simples, que est\~ao intrinsecamente relacionados com a Hipótese do Contínuo !!!
    
    \esple
    
    A primeira asser\c c\~ao é a seguinte:
    
    \esple
    
    \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}
    
    $\xi \equiv$ Se $X$ é um subconjunto infinito de $\R$, ent\~ao ou $X \equip \N$ \\ \hspace*{0.75cm}ou $X \equip \R$.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    \esple
    
    Trata-se de uma afirma\c c\~ao proveniente da Teoria dos Conjuntos. Por quê dizemos que ela é intrinsecamente relacionada à Hipótese do Contínuo ? O(a) colega já percebeu o que ocorre ?
    
    
  }
    
\frame
  {
    \frametitle{... Este é o enunciado original de Cantor para CH !!!}
    
    {\bf Exercício: (fácil !!!)} Mostre que $\xi \Longleftrightarrow$ CH.
    
    \esple
    
    Na verdade, a asser\c c\~ao $\xi$ do slide anterior é exatamente o enunciado original de Cantor para a sua conjectura. Ele acreditava que n\~ao poderiam existir ``tamanhos intermediários de infinito'' entre as cardinalidades de $\N$ e de $\R$.
    
    \esple
    
    $\therefore$ Como CH é independente da Matemática, também o é a asser\c c\~ao $\xi$.
    
    \esple
    
    Como $\xi$ é uma asser\c c\~ao de ``dentro'' da Teoria dos Conjuntos, pode n\~ao parecer surpreendente que ela seja uma proposi\c c\~ao indecidível. Nosso próximo exemplo vem da Topologia. 
    
    
  }
    
\frame
  {
    \frametitle{A asser\c c\~ao $\zeta$}
    
    É um fato bastante conhecido que, se retirarmos do $\R^2$ um subconjunto $A$ que seja enumerável, ent\~ao o conjunto
    ``remanescente'' $\R^2 \setminus A$ é conexo por caminhos (veja, por exemplo, o livro de Elon Lages Lima de Espa\c cos Métricos). 
    
    \esple
    
    Vejamos o que acontece quando retiramos um conjunto $A$ de tamanho $\aleph_1$ !!! Seja $\zeta$ a asser\c c\~ao análoga à acima, substituindo $\aleph_0$ por $\aleph_1$ -- i.e.,
    
    \esple
    
     \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}
    
    $\zeta \equiv$ Para todo $A \s \R^2$ tal que $|A| = \aleph_1$, o conjunto $\R^2 \setminus A$   \\ \hspace*{0.65cm}
    é conexo por caminhos.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    Esperamos que os(as) colegas já tenham percebido que a afirma\c c\~ao $\zeta$ é, claramente, ``consistentemente falsa''... Por quê ?
    
    
    
  }
    
\frame
  {
    \frametitle{$\neg \zeta$ é consistente}
    
    É fácil demonstrar a seguinte
    
    \esple
    
    \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Proposi\c c\~ao}
    
    $CH$ implica que $\zeta$ é falsa.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    \esple
    
    {\bf Dem.:} Assumindo-se CH, ent\~ao qualquer reta do $\R^2$ tem cardinalidade $|\R| = \aleph_1$. Tomando-se ent\~ao como conjunto $A$ qualquer reta do $\R^2$, teremos que $\R^2 \setminus A$ {\bf n\~ao é} conexo por caminhos. \fd
    
    \esple
    
    $\therefore$ Como CH é consistente, segue que $\neg \zeta$ é consistente. 
    
     }
    
\frame
  {
    \frametitle{$\zeta$ é consistente}
    
    Adaptando a prova conhecida para o caso enumerável, teremos a seguinte
    
    \begin{beamerboxesrounded}[shadow = true]{Proposi\c c\~ao}
    
    $\neg$ CH implica que $\varphi$ é verdadeira.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    \esple
    
    Ou seja: estamos afirmando que, supondo-se que a Hipótese do Contínuo falhe, ent\~ao é verdade que sempre que se retirar um subconjunto do $\R^2$ de tamanho $\aleph_1$, o ``que sobra'' é conexo por caminhos !!!
    
    \esple
    
    Acompanhemos a demonstra\c c\~ao com calma...
    
    
  }
    
\frame
  {
    \frametitle{Demonstra\c c\~ao de ``$\neg$ CH $\Longrightarrow \zeta$''}
    
    {\bf Dem.:} Assuma que vale a nega\c c\~ao da Hipótese do Contínuo. Ent\~ao, estamos assumindo que $|\R| > \aleph_1$. Afirmamos que, dado qualquer $A \s \R^2$ satisfazendo $|A| = \aleph_1$ temos que  $\R^2 \setminus A$ é conexo por caminhos. 
    
    \esple
    
    Pois bem:  fixe dois pontos distintos $x,y$ quaisquer do $\R^2$, trace uma reta $S$ em algum ponto do interior do segmento $[x,y]$. A cada ponto $z$ de $S$ justaponha os segmentos $[x,z]$ e $[z,y]$, e seja $\varphi_z$ essa justaposição. 
    
    \esple 
    
    Afirmamos que {\bf alguma dessas justaposições não intersecta $A$ !}

}

\frame
  {
    \frametitle{Demonstra\c c\~ao de ``$\neg$ CH $\Longrightarrow \zeta$''}

Suponha por absurdo
que sempre existe intersecção entre as justaposições  $\varphi_z$  e o conjunto $A$.  

\esple Podemos então,  usando o Axioma da Escolha, fixar um ponto $a_z \in A \cap \varphi_z$ para cada $z \in S$. Mas daí teríamos que a aplicação
de $S$ em $A$ dada por $z \mapsto a_z$ é injetora, donde $|S| \meni |A|$ --
 o que é uma contradi\c c\~ao pois, por hipótese, $|A| = \aleph_1 < 2^{\aleph_0} = |\R| = |S|$.
 
 \esple
    
    
    
$\therefore$ Alguma das justaposições $\varphi_z$ não intersecta $M$, logo tal $\varphi_z$ é um caminho entre $x$ e $y$ contido em $\R^2 \setminus A$, o que mostra que o mesmo é conexo por caminhos. Assim, é consistente que a asser\c c\~ao $\zeta$ seja verdadeira.

\esple  $\therefore$ A afirmação $\zeta$ é independente de {\bf ZFC}.

    
    
  }
    
\frame
  {
    \frametitle{... E tem mais uma coisa que podemos afirmar...}
    
    O colega percebeu que existe mais uma coisa que podemos afirmar, com rela\c c\~ao à asser\c c\~ao $\zeta$ ?
    
    \esple
    
    ... O que será ???
    
    
  }
    
\frame
  {
    \frametitle{... E tem mais uma coisa que podemos afirmar...}
    
    
    
    
 
    
    {\bf Exercício}: ``Redija novamente'' as duas demonstra\c c\~oes anteriores e prove o
    
    \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}
    
    A asser\c c\~ao $\zeta$ é equivalente à Hipótese do Contínuo.
    
    \end{beamerboxesrounded}
    
    \esple
    
    Ou seja, acabamos de exibir uma afirma\c c\~ao proveniente da Topologia e que é equivalente à Hipótese do Contínuo !!!
   Mais uma prova de que as disciplinas da Matemática sempre interagem umas com as outras !!!
   
   \esple
   
   E, como se trata de uma asser\c c\~ao de enunciado simples, esse exemplo mostra que n\~ao apenas quest\~oes muito ``complexas'' acabam se configurando em proposi\c c\~oes indecidíveis para a Matemática...
    
    
    
  }
    
  


\frame
{
 \frametitle{Meus agradecimentos !!!}
 
 O minicurso está encerrado !! Agrade\c co a todos por terem acompanhado e espero que todos tenham aprendido algumas coisas -- e lembrem-se sempre, {\bf argumentos combinatórios} e {\bf proposi\c c\~oes indecidíveis} estar\~ao sempre espalhados por todas as áreas da Matemática !!!
 
 \esp

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Vamos discutir Teoria dos Conjuntos ?}

\begin{center} samuel@ufba.br \end{center}

\end{beamerboxesrounded}

\esple


}

\frame
    { \frametitle{Referências bibliográficas}
    
    Os conteúdos mais avan\c cados de Teoria dos Conjuntos e de Topologia Geral podem ser consultados nos seguintes livros:
    
    \esple
    
    Kenneth Kunen, {\bf Set Theory - an introduction to the independence proofs},
 North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1980.  Vol. 102 of 
 Studies in Logic and the Foundations of Mathematics.
 
 \esple
 
 
     Thomas Jech, {\bf Set Theory -- The Third Millennium Edition, Revised and Expanded},
     Springer Monographs in Mathematics, 2003. 
     
 \esple
 
 Ryszard Engelking, {\bf General Topology}, Heldermann Verlag, Berlin, 1989. Volume 
  6 of Sigma Series in Pure Mathematics.




    
    
    
    }



\end{document}
