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\usepackage[latin1]{inputenc}%permite escrever com acentos, como no Word
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% POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM OS DADOS ABAIXO
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\pagestyle{myheadings} \topmargin =-20pt \marginparwidth = 45pt
\evensidemargin = -15pt \oddsidemargin = -15pt \textheight = 670pt
\textwidth = 500pt \linespread{1.2}
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\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\newtheorem{myth}{Teorema}[section]
\newtheorem{mylem}{Lema}[section]
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\newtheorem{myrem}{Observa\c c\~ao}[section]
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\newtheorem{myex}{Exemplo}[section]
\newcommand{\cqd}{\hspace{10pt}\fbox{}}
\newcommand{\cqdf}{\hspace{10pt}\rule{5pt}{5pt}}
%
\begin{document}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% CABEÇALHO DA PÁGINA - POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM!
\pagestyle{empty}
\title{\vspace{-1in}\parbox{\linewidth}{\footnotesize\noindent
{\sc  \bf V Bienal da SBM}
\newline
{\sc  \bf Sociedade Brasileira de Matemática}
\newline
{\sc \bf UFPB - Universidade Federal da Paraíba}
\newline
\bf 18 a 22 de outubro de 2010 }
\newline\newline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%FIM DO CABEÇALHO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ESCREVER O TÍTULO DO TRABALHO NO COMANDO ABAIXO COM
%%% LETRAS MINÚSCULAS!
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{\sc ternos pitagóricos}
%\vskip -0.5truecm
\author{\sc Maximiller Vidal de Sousa\,\thanks{Universidade Federal de Pernambuco ,\,
UFPE, PE, Brasil,\, xam.asuos@gmail.com} \,\,\,\,\&\,\,\,\, Cirlene Silva dos Santos \,\thanks{Universidade Federal de Pernambuco ,\,
UFPE, PE, Brasil,\, cirlenematematica\underline{\ \ }ufpe@hotmail.com}}}
%
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%% NAO PREENCHER O COMANDO \date{} ABAIXO, DEIXAR COMO ESTÁ!
%% NÃO RETIRAR OS COMANDOS \maketitle E \thispagestyle{empty}
\date{}
\maketitle \thispagestyle{empty} \vspace{-10pt}
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\section{Introdução}

	\indent\indent Um dos deveres de um o professor de matemática é estimular, através de atividades, os seus alunos a fazer descoberta, a pensar abstratamente, a ser crítico, entre outras importantes qualidades. Com certeza, isto dará aos alunos a capacidade de provar afirmações, encontrar padrões e relações e derivar novos padrões e relações. As atividades deste gênero criam no aluno um pensamento analítico e criativo, e assim os envolve na resolução de problemas mais complexos. Elas também proporcionam entusiasmo, estimulam o interesse, e podem dar uma considerável perspicácia em relação à natureza e à harmonia e beleza, elementos fundamentais da matemática.


	Para que um aluno possa fazer investigação significativa não é necessário que ele tenha um conhecimento matemático mais profundo. Conhecimentos, por exemplo, de Álgebra elementar pode ser bastante para realizar uma pesquisa de um assunto familiar.



	Um terno Pitagórico é a denominação que se dá a três números $x$, $y$, e $z$ que satisfazem a expressão: $x^2+ y^2=z^2$. É fácil ver que, se $(x, y, z)$ é um terno Pitagórico, então, $(xn, yn, zn)$ também é terno Pitagórico:
$$(xn)^2+(yn)^2 = x^2n^2+ y^2n^2=(x^2+y^2)n^2=z^2n^2=(zn)^2$$

	Assim, como $(3, 4, 5)$ é um terno Pitagórico, são também as ternas $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$, $(1/2, 2, 5/2)$.

\section{Um jogo para o Teorema de Pitágoras}

\indent\indent Como sabemos, o enunciado do teorema de Pitágoras é o seguinte: "Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos comprimentos dos comprimentos dos catetos"


	Se $z$ é a medida da hipotenusa e $x$ e $y$ são as medidas dos catetos, o enunciado acima equivale afirmar que $z^2=x^2+y^2$.


	Documentos históricos nos mostram que povos anteriores aos gregos utilizavam o Teorema de Pitágoras. Os egípcios e babilônicos conheciam casos particulares (por exemplo: $3^2+4^2=5^2$). Estava escrito num manuscrito chinês datando mais de $1000$ a. C.: "Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo lado e os some, o quadrado dessa soma é a hipotenusa". Na Índia bem antes da era cristã, sabia-se que $(3,4,5)$; $(5,12,13)$ e $(12,35,37)$ são medidas de lados de triângulos retângulos. Tais documentos nos levam a conclusão que esses povos não sabiam como demonstrar o teorema, presumivelmente foi Pitágoras ou um dos seus discípulos quem primeiro o provou.


	Historicamente, esse teorema fascinou muitas de pessoas. Dentre elas destacam-se: Leonardo da Vinci, James Abram (Presidente dos EUA), Euclides, Euler, .... O professor Elisha Scott Loomis reuniu $230$ demonstrações publicando o livro "The Pythagoroream Proposition". A segunda edição teve $140$ demonstrações a mais. Loomis classificou as demonstrações em dois tipos: algébricas (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos) e geométricas (baseadas em comparações de áreas). Neste jogo, a demonstração classifica-se como geométrica.


	O surgimento de novas técnicas teve papel fundamental para o desenvolvimento do Teorema de Pitágoras. Inicialmente, tornou-se útil para determinar qualquer lado de um triângulo retângulo quando são dados os outros dois. Como resultado foi encontrado um novo número $\sqrt{2}$ (medida da hipotenusa quando os catetos medem $1$).


	Na Experimentoteca existem duas versões de jogo para o Teorema de Pitágoras.


Inicialmente, observe que o desenho do tabuleiro é um triângulo retângulo juntamente com três quadrados cuja medida do lado de cada um deles é igual à medida do lado do triângulo no qual estão desenhados. O primeiro desafio é encaixar todas as peças nos dois quadrados menores. O segundo é encaixar todas as peças no quadrado maior (ver figura~\ref{v1}).Dessa forma pode-se concluir que $$\mbox{Área} (Q_1) = \mbox{Área} (Q_2)+ \mbox{Área} (Q_3).$$

 Considerando $a$ como sendo o comprimento do lado do quadrado $Q_1$, $b$ o comprimento do lado do quadrado $Q_2$ e c o comprimento do lado do quadrado $Q_3$. Vamos ter: $\mbox{Área} (Q_1) = a^2$,  $\mbox{Área} (Q_2) = b^2$e $\mbox{Área} (Q_3) = c^2$. Daí, $a^2= b^2 + c^2$ que é o Teorema de Pitágoras.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{pit1}\\
 \end{center}
  \caption{Versão 1}\label{v1}
\end{figure}

Observe que o desenho do tabuleiro é um triângulo retângulo juntamente com três hexágonos regulares cuja medida do lado de cada um deles é igual à medida do lado do triângulo no qual estão desenhados (ver figura~\ref{v2}). O desafio é encaixar todas as peças nos dois hexágonos menores e depois encaixar todas as peças no hexágono maior. Como na versão 1, vamos ter:
$$\mbox{Área} (H_1) = \mbox{Área} (H_2)+ \mbox{Área} (H_3).$$

Considere $a$ a medida do comprimento do lado de $H_1$, $b$ a do lado de $H_2$ e $c$ a do lado de $H_3$. Como $H_1$ é semelhante a $H_2$ $r=\frac{a}{b}$. Dessa forma, a razão entre as suas áreas é: $$\frac{\mbox{Área}(H_1}{\mbox{Área}(H_2)}=\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^2=\frac{a^2}{b^2}$$

Analogamente, $H_1$ é semelhante a $H_3$ com a razão de semelhança $r=\frac{a}{c}$. Daí, $$\frac{\mbox{Área}(H_1)}{ \mbox{Área} (H_3)}=\bigg(\frac{a}{c}\bigg)^2=\frac{a^2}{c^2}$$


	Como $\mbox{Área} (H_1) = \mbox{Área} (H_2)+ \mbox{Área} (H_3)$ e $\mbox{Área} (H_2) =\frac{b^2}{a^2}\mbox{Área} (H_1)$ e $\mbox{Área} (H_3) =\frac{c^2}{a^2}\mbox{Área} (H_1)$. Segue que $1=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}$ ou $a^2= b^2 + c^2$. O Teorema de Pitágoras novamente.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{pit2}\\
 \end{center}
  \caption{Versão 2}\label{v2}
\end{figure}

\section{ Breve Histórico}

	\indent\indent No Antigo Egito, em toda a primavera, as águas do Nilo extravasavam de seu leito e inundavam vastas regiões ao redor do rio. O povo do Egito saudava com alegria a inundação anual, já que a terra era seca e esta era a única forma de suas plantações serem irrigadas. Entretanto, a inundação trazia alguns problemas para os egípcios, já que toda vez que ela ocorria, as linhas que separavam as terras de um egípcio das de seu vizinho, desapareciam. Portanto, cada ano, após o nível das águas ter voltado ao normal, os egípcios tinham que demarcar novamente suas terras, a fim de delimitar a propriedade de cada um.


Os antigos egípcios viviam em uma época na qual as medições de terra tinham que ser feitas de uma forma que, atualmente, nos parece extremamente tosca. Não que os egípcios não fossem um povo inteligente. Pelo contrário, eles eram muito inteligentes, senão não poderiam ter construído as grandes pirâmides e outras maravilhas de sua civilização. Entretanto, os métodos de medição dependem da matemática e esta não se encontrava muito desenvolvida na época do Egito antigo.


A fim de medir suas terras, os egípcios necessitavam usar o ângulo reto e, para construí-lo, usavam este método: Homens conhecidos como fincadores de estacas tomavam uma corda de certo tamanho e davam treze nós em intervalos iguais. Então, fixavam com estacas a corda sobre o chão, colocando uma estacas no quarto nó, uma no oitavo e a uma terceira no encontro dos primeiro e décimo-terceiro nós. É claro que a corda devia ficar bem esticada. O ângulo cujo vértice caía sobre a estaca $2$ era reto.


Dessa forma, o lado oposto ao ângulo reto do triângulo formado pelos fincadores de estacas egípcios media $5$ unidades e os outros dois lados mediam, respectivamente, $3$ e $4$ unidades. Os egípcios estavam satisfeitos com o seu esquema e nunca lhes ocorreu perguntar por que um triângulo com lados proporcionais a $3$, $4$ e $5$ era, de acordo com a nossa nomenclatura atual, retângulo.


Para eles, era suficiente saber que, com lados nesta proporção obtinha-se um triângulo reto.


Na Índia, mais ou menos na mesma época, também se precisava construir ângulos retos; entretanto, os hindus conseguiram ir um pouco mais além que os egípcios. Descobriram que além do triângulos com lados diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, outros triângulos, com lados em outras proporções, também eram retângulos. As outras proporções descobertas pelos hindus são as seguintes:
$$(12, 16, 20)\quad(15, 20, 25)\quad(5, 12, 13)\quad(15, 36, 39)\quad(8, 15, 17)\quad(12, 35, 37)$$

Todavia, tal como os egípcios, os antigos hindus nunca se perguntaram por que estas proporções levavam a triângulos retângulos. Se eles perguntaram e se encontraram a resposta, não chegou até nós nenhum registro escrito que assinale este fato.


	A resposta à essa pergunta foi finalmente encontrada no sexto século a.C., mais ou menos na mesma época do Período Áureo da Grécia, presumivelmente por um matemático e filósofo de nome Pitágoras. Na verdade não se sabe se foi realmente Pitágoras que encontrou a resposta ou  um outro grego que tenha vivido na mesma época; porém, o mérito é atribuído a Pitágoras e seu nome, sem dúvida alguma, nunca será esquecido, em virtude do importante Teorema de Pitágoras: {\it O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos}.


\section{ Tabuada de Multiplicação: Uma tabela rica em propriedades}

	\indent\indent Há algum tempo existiam as ''famosas'' tabuadas. Muitas pessoas eram obrigadas a decorá-la. Algumas delas a odiava e chegavam até mesmo a ser castigadas, caso não respondessem prontamente às perguntas. Vamos mostrar nesta oficina que na tabuada de multiplicação, aparentemente cansativa, fatigante, sem grandes objetivos, aparece propriedades e relações que nos conduzirá à descobertas fascinantes.


	Consideremos uma tabuada de multiplicação que inclui "todos os produtos de todos os inteiros positivos".

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\cdots$ \\
  \hline
  1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 &   \\
  \hline
  2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 &   \\
  \hline
  3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 &   \\
  \hline
  4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 &   \\
  \hline
  5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 &   \\
  \hline
  6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 &   \\
  \hline
  $\vdots$ &   &   &   &   &   &   &   \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}


Observando a tabela, tente extrair dela algumas propriedades. Escreva no quadro abaixo as suas observações.


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
  1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
  2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 \\ \hline
  3 & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & 24 & 27 & 30 \\ \hline
  4 & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 & 36 & 40 \\ \hline
  5 & 0 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 \\ \hline
  6 & 0 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & 48 & 54 & 60 \\ \hline
  7 & 0 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 \\ \hline
  8 & 0 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 & 72 & 80 \\ \hline
  9 & 0 & 9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & 90 \\ \hline
  10 & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\ \hline

\end{tabular}
\end{center}


Observando a tabela verifique e exemplifique as seguintes propriedades:



Propriedade 1 - P1: Os elementos da $n$-ésima linha (ou coluna) da tabela são múltiplos do inteiro positivos $n$.



Propriedade 2 - P2: Os elementos na diagonal principal da tabela $(1, 4, 9,\dots)$ são quadrados de números inteiros positivos.


Propriedade 3 - P3: A tabela é simétrica em relação à sua diagonal principal.



Propriedade 4 - P4: Considere quatro elementos quaisquer da tabela que são vértices de um quadrado ou retângulo. O produto de um par de elementos em vértices opostos é igual ao produto do outro par. Em geral, se $a$, $b$, $c$ e $d$ são os vértices de um retângulo em tábua de multiplicação então  $ac = bd\quad (1)$.


Propriedade 5 - P5: Se os vértices de um retângulo da tabela são multiplicados por um número inteiro positivo, os elementos resultantes são também vértices de outro retângulo da tabela.


	Considerando a propriedade 4, podemos dizer que, no retângulo abaixo, vamos ter $ac = bd$. Logo $4ac = 4bd$, da qual podemos derivar

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ret1.eps}
\end{center}
\end{figure}

$$2ac - 2bd = -2ac + 2bd\qquad (2)$$
	Adicionando $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ a ambos os lados de $(2)$, reorganizando, e então fatorando, encontramos:

\begin{tabular}{lll}
  $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ac - 2bd$ & $=$ & $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ac + 2bd$ \\
  $a^2 + 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2$ & $=$ & $a^2 - 2ac + c^2 + b^2 + 2bd + d^2$ \\
  $(a + c)^2 + (b - d)^2$ & $=$ & $(a - c)^2 + (b + d)^2 \qquad \qquad(3)$ \\

\end{tabular}
	Esta é sem dúvida uma correspondência interessante. Mas, o que ela significa?
	Observemos que:
\begin{itemize}

\item[i)] se $c - a = 0$, temos $(c + a)^2 + (b - d)^2   (b + d)^2$;
\item[ii)] se $b - d   0$, temos $(c + a)^2   (c - a)^2 + (b + d)^2$
\end{itemize}


Vemos assim que, como $c + a$, $c - a$, $b - d$ e $b + d$ são números inteiros positivos, as equações i) e ii) são da forma $(4) z^2 = x^2 + y^2$. Logo são ternos Pitagóricos.


Assim, se um par de elementos em vértices opostos de um retângulo em uma tabela de multiplicação são iguais então com estes elementos podemos obter ternos Pitagóricos da forma acima descrita. Dê alguns exemplos.


	É sempre possível se ter números $a$, $b$, $c$ e $d$, vértices de um retângulo da tabela, tais que $a = c$? Verifique isto.


Você deve ter verificado que não é possível se ter $a = c$. E, em que condições vamos ter $b = d$?


	Vemos assim, que a igualdade de $b$ e $d$ é possível e ocorre de várias maneiras. Em particular, se o retângulo é um quadrado com a e c na diagonal principal da tabela, $b = d$, pois a tabela é simétrica em relação à diagonal principal. Dê exemplos disto no quadro abaixo.


	Na tabela, o número de quadrados com vértices na diagonal principal é infinito. Então, para cada um desses quadrados, podemos obter um terno Pitagórico e, multiplicando os vértices desse quadrado por um número inteiro positivo, obtemos outro terno Pitagórico, e assim por diante, podemos obter infinitos ternos. além disso, segue-se de P4 que há um número infinito de outros retângulos que também tem um par de elementos iguais em vértices opostos.
	Os ternos Pitagóricos obtidos como acima são da forma $(x, y, z)$ onde :

\begin{center}
		$x = c - a$; a diferença dos dois elementos opostos diferentes
		$y = b   d$; a soma dos dois elementos opostos iguais
		$z = c   a$; a soma dos dois elementos opostos diferentes\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)
\end{center}


	Dê exemplos de retângulos na tabela de multiplicação com $b   d$ e encontre valores de $x$, $y$ e $z$ dados como acima. Verifique que $(x, y, z)$ é terno Pitagórico.


	Vamos obter fórmulas para $x$, $y$, $z$.


	Inicialmente, vamos tomar um quadrado $abcd$ na tabela com $a$ e $c$ na diagonal principal. Como os elementos da diagonal principal são quadrados de números inteiros, temos
\begin{center}
		$(6) a = j^2$ e $c = k^2$, onde $k$, $j$ são números inteiros positivos e $k > j$
\end{center}
	
Como $ac = bd$, vamos ter $j^2k^2 = bd$. Visto que, pela simetria, $b = d$, segue-se que $k^2j^2 = b^2 = d^2$, ou,

\begin{center}
		$(7) kj = b = d$ ($b$ e $d$ são inteiros positivos)
\end{center}

	Multiplicando-se agora todos os lados de (6) e (7) por um número inteiro positivo, obtemos

\begin{center}
	$at = tj^2$\\

			$bt = tkj$\\

			$ct = tk^2$\\

			$dt = tkj$. (8)
\end{center}


	Pela propriedade P4, os quatro membros à esquerda das equações em (8) são vértices de um retângulos na tábua de multiplicação com $bt$ oposto a $dt$. Como $bt = dt$, os elementos em (8) podem ser usados para produzir ternos Pitagóricos.
	Substituindo os elementos de (8) em termos de $t$, $k$ e $j$ em (5), obtemos
\begin{center}
		(9)	$x = t(k^2 - j^2)$\\
			$y = 2tkj$
			$z = t(k^2 + j^2)$
\end{center}

onde $t$, $k$ e $j$ são números inteiros positivos e $k > j$. As fórmulas em (9) são conhecidas há séculos, e produzem ternos Pitagóricos. Assim, cada terno Pitagórico está relacionado a um quadrado ou um retângulo da tabela de multiplicação que tem um par de elementos iguais em vértices opostos. Nossas descobertas mostram que todos os outros quadrados e retângulos da tábua estão também relacionados aos ternos Pitagóricos.


	Dê valores para $t$, $k$ e $j$, nas condições acima, identifique o terno Pitagórico correspondente e procure na tabela o retângulo (quadrado) que tem um par de elementos iguais em vértices opostos.


	Fazendo $t =1$ em (9), vamos ter:
		
\begin{center}
		(10)	$x = k^2 - j^2$\\
			$y = 2kj$
			$z = k^2 + j^2$
\end{center}

	Estas fórmulas produzem ternos Pitagóricos a partir de quadrados que se estendem ao longo da diagonal principal da tabela de multiplicação.


	Temos em (10) que z é a soma de $2$ quadrados. Para $b \neq d$ (agora não temos mais quadrados), cada lado da equação $(a + c)^2 + (b - d)^2 = (a - c)^2 + (b + d)^2$ é a soma de $2$ quadrados. Dessa forma, cada lado dessa equação produz um $z$. Assim, vamos ter valores de $k$ e $j$ que produzirão um terno Pitagórico a partir das fórmulas de (10).


	Procure na tabela retângulos que não tem um par de elementos iguais em vértices opostos. Dê exemplos de ternos Pitagóricos que se pode obter a partir deles.






\section{Números pitagóricos utilizando trigonometria}

\indent\indent Podemos também definir as ternas pitagóricas utilizando noções de trigonometria. Mas antes devemos relembrar e modificar expressões para utilizarmos.

$\cos\theta=\cos2(\frac{\theta}{2})=\cos^2\frac{\theta}{2}-\mbox{sen}^2\frac{\theta}{2}$. Podemos ainda dividir por $\cos^2\frac{\theta}{2}+\mbox{sen}^2\frac{\theta}{2}=1$. $$\cos\theta=\frac{\cos^2\frac{\theta}{2}-\mbox{sen}^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}+\mbox{sen}^2\frac{\theta}{2}}=\frac{1-\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}}$$


De forma semelhante, podemos ainda trabalhar a função seno:


$\mbox{sen}\theta=\mbox{sen}2(\frac{\theta}{2})=2\cdot\mbox{sen}\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$. Também podemos dividir por $\cos^2\frac{\theta}{2}+\mbox{sen}^2\frac{\theta}{2}=1$.
$$\mbox{sen}\theta=\frac{2\cdot\mbox{sen}\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}+\mbox{sen}^2\frac{\theta}{2}}=\frac{2\cdot\mbox{tg}\frac{\theta}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}}$$


Sejam $a$, $b$, $c$ os lados inteiros de um triângulo retângulo. Podemos calcular algumas relações trigonométricas daí:

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ret2.eps}
\end{center}
\end{figure}

$\mbox{sen}\theta=\frac{c}{a}$, $\cos\theta=\frac{b}{a}$,$\mbox{tg}\theta=\frac{c}{b}$. Observe que $\mbox{sen}\theta$ e $\cos\theta$ são números racionais.
Se dividirmos os lados desse triângulo por $a$, obteríamos um triângulo de lados $1$, $\mbox{sen}\theta$, $\cos\theta$.	

Observe que, se $\mbox{tg}\frac{\theta}{2}$ é um número racional, o $\mbox{sen}\theta$ e  o $\cos\theta$ também são racionais.

{\bf Atividade.} Mostre isso a partir das relações encontradas.


Observe também que o caminho inverso também é válido. Se o $\mbox{sen}\theta$ e  o $\cos\theta$ são racionais, ou seja, partimos da nossa dedução de um triângulo pitagórico qualquer, $\mbox{tg}\frac{\theta}{2}$ também é racional.
Reescrevendo $\cos\theta=\frac{1-\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}}$ e isolando a tangente em função do cosseno. Para simplificar, vamos chamar $\cos\theta=x$.
$$x+x\cdot\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}=1-\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}\Rightarrow(1+x) \mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}=1-x\Rightarrow \mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-x}{1+x}=\frac{1- \cos\theta}{1+ \cos\theta}$$

que é um número racional.


Porém, ainda falta provar que $\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}$ é racional. Vamos utilizar a relação encontrada no início ente o seno do ângulo e a tangente do arco metade:

$$\mbox{sen}\theta=\frac{2\cdot\mbox{tg}\frac{\theta}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}}\Rightarrow 2\cdot\mbox{tg}\frac{\theta}{2}=\mbox{sen}\theta \cdot\bigg(1+\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}\bigg) \Rightarrow \mbox{tg}\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}\cdot\mbox{sen}\theta \cdot\bigg(1+\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}\bigg)$$




Observando atentamente, podemos ver que se $\mbox{sen}\theta$ e $\mbox{tg}^2\frac{\theta}{2}$ são racionais. Logo, $\mbox{tg}\frac{\theta}{2}$ é racional.  Ainda para facilitar os próximos passos, vamos chamar a $\mbox{tg}\frac{\theta}{2}$ de ''$h$''. As equações do $\mbox{sen}\theta$ e o $\cos\theta$ ficam:
$$\mbox{sen}\theta=\frac{2\cdot h}{1+h^2}\qquad{\rm e}\qquad \cos\theta=\frac{1-h^2}{1+h^2}$$



Relembrando que $(1,\cos \theta,\mbox{sen}\theta)$ forma uma terna pitagórica, $(1,\cos \theta,\mbox{sen}\theta)\Rightarrow(1-h^2,2h,1+h^2)$
\\


{\bf Atividade.} Monte alguns exemplos e comprove que o resultado obedece ao teorema de Pitágoras:
\\


{\bf Atividade.} O que aconteceria com esta terna se usássemos h racional, já que   é um número racional?
\\


Agora analisemos esta fórmula encontrada utilizando valores para $h$ pares e ímpares:
\begin{itemize}
  \item Se $h = 2n+1$, todos os termos serão pares. Logo, poderemos dividir todos os termos por dois.$$h=2n+1\Rightarrow(\frac{1-h^2}{2},\frac{1+h^2}{2},h)$$

  \item Se $h = 2n$, dois termos serão ímpares e um par, logo não poderemos simplificar. $$h=2n\Rightarrow(1-h^2,1+h^2,2h)$$

\end{itemize}



{\bf Atividade.} Construa exemplos fazendo $h$ par e $h$ ímpar, e tente achar alguma particularidade.

\end{document}
