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\nc{\vr}{\vec{\:dr}}


\begin{document}

\pagestyle{empty}
\title{\vspace{-1in}\parbox{\linewidth}{\footnotesize\noindent
{\sc  \bf V Bienal da SBM}
\newline
{\sc  \bf Sociedade Brasileira de Matemática}
\newline
{\sc \bf UFPB - Universidade Federal da Paraíba}
\newline
\bf 18 a 22 de outubro de 2010 }\vs{1.5cm}
\newline\newline
{\sc Equações Diferenciais Parciais de Primeira Ordem}}\vs{.7cm}
%\vskip -0.5truecm
\author{\sc Maria Lewtchuk Espindola\,\thanks{Universidade Federal da Paraíba,\,
DM, PB, Brasil,\, mariia@mat.ufpb.br}}

\date{}
\maketitle \thispagestyle{empty} \vspace{-10pt}\vs{1.5cm}

\tableofcontents\qf

\bc\section*{Objetivos e conteúdo}\ec

\hp O curso inicia pela apresentação da origem das EDPs de primeira ordem, após ter sido dada a definição geral de EDPs.

Na sequência são discutidos os diversos tipos de soluções: geral, completa, particular e envoltória.

O  objetivo principal do curso é abordar  certos métodos clássicos de solução de EDPS de primeira ordem lineares e não lineares, destacando o método de Charpit com diversas aplicações a diferentes tipos de equações.

$\bullet \quad$ Citando referências: Sneddon [1]; Forsyth [2].

Em seguida é apresentado um método novo de obtenção de soluções gerais de determinados tipos de EDPS lineares ou não, desenvolvidos por Espindola [3,4]. É interessante ressaltar que este método fornece sempre uma solução geral, i.e., que depende de uma função arbitrária, portanto o método pode ser aplicado a qualquer problema específico, pois não existem restrições sobre as condições que este irá impor, a não ser aquelas devidas a cálculos algébricos específicos, nos quais os métodos numéricos conhecidos podem ser aplicados.

É importante ressaltar que quase todos os livros que  abordam EDPs, geralmente se dedicam as de segunda ordem: equação de Laplace, equação de calor e equação de onda. No entanto, em muitas situações aparecem EDPs de primeira ordem em Fisica Matemática ou em outroa ramos da Matemática, e alguns casos seu entendimento é absolutamente fundamental. Como exemplo, cito o caso do desenvolvimento da teoria de Hamiltonização alternativa em Fundamentos da Mecânica Analítica, a qual é baseada na análise matemática dos diversos tipos de soluções de EDPS, demonstrando a inexistência da descrição de Hamilton em alguns casos, como o da Mecânica Singular, por causa do uso da solução envoltória, cuja existência está atrelada  a condição de não linearidade da EDP, veja em Espindola [5,6,7]. Na Matemática temos como um dos exemplos, os sistemas dinâmicos que, na maioria dos casos, são compostos por sistemas de EDPs de primeira ordem.\vs{.7cm}

\section{Equações diferenciais parciais de primeira ordem}

\subsection{Introdução}

\hp As \edps surgem em problemas de Física ou Matemática quando
estão envolvidas duas ou mais variáveis independentes. Nestes casos
qualquer variável dependente é uma função de mais de uma variável, e
portanto possui derivadas parciais.

Equações que apresentam derivadas parciais são denominadas de
\textit{\eq dife- renciais parciais}, ou \textit{EDPs}, que podem
ser escritas como\beq F\e( \frac{\pr^n u}{{\pr x}^n},...,\,\pe{u}{x}\,,\,u,\,x\right)=0, \q
u=u(x)=u(x_1,x_2,...,x_n).\eeq Como, por exemplo: \beqne
\mb{div}\vec{j}+\pe{\rho}{t}\,=\,
\vec{\nabla}\cdot\vec{j}+\pe{\rho}{t}=0\,\,\,\, - \,\,\,\,\mb{\eq de continuidade};\,\,\,\,\q\qq\q\qquad\\
\vec{\nabla}^2u=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,
\pee{u}{x}+\pee{u}{y}=0\,\,\,\,\, - \,\,\,\, \mb{\eq de
Laplace\,\,bidimensional};\qq\\
\pee{u}{t}=\vec{\nabla}^2u \,\,\,\Rightarrow
\,\,\,\pee{u}{t}=c^2\:\pee{u}{x}\,\,\,\, - \,\,\,\, \mb{\eq de
onda\,\,unidimensional}; \,\,\,\qq\\\pe{u}{t}\,=\,\vec{\nabla}^2u
\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\pe{u}{t}=c^2\:\pee{u}{x}\,\,\,\, -
\,\,\,\, \mb{\eq de calor\,\,unidimensional};
\,\,\,\qq\\H(x,\pe{S}{x},t)\,+\,\pe{S}{t}\,=\,0\q -\q \mb{\eq de
Hamilton-Jacobi unidimensional.}\eeqne A \textit{ordem} da derivada
mais elevada é chamada de \textit{ordem da \eq diferencial parcial}.
A EDP é \textit{linear} se ela for de primeiro grau na variável
dependente e suas derivadas. Se cada termo da \edp tiver a variável
dependente ou suas derivadas é dita \textit{homogênea}.

Para o caso de uma função de duas variáveis independentes \ $z=z(x,y)$ \
convenciona-se definir \beq p=\pe{z}{x}\:,\qq q=\pe{z}{y}\:,\eeq
então a \edp de primeira ordem é reescrita como\beq
f(p,q,x,y,z)=0.\eeq

\subsection{Origens}

\hp É interessante antes de discutirmos as soluções das \eqs do tipo
de (2.3), examinar como podemos gerá-las. Considere, por exemplo, a
\eq que representa todo o conjunto de esferas cujos centros estão
sobre o eixo \ $z$ \beq x^2+y^2+(z-c)^2=a^2,\eeq onde as constantes
\ $a$ \ e \ $c$ \ são arbitrárias. Diferenciando esta \eq com
relação a \ $x$ \ e \ $y$ \ obtemos \[ x+p(z-c)=0, \q y+q(z-c)=0.\]
Eliminando a constante arbitrária \ $c$ destas duas \eqs obtemos
\beq yp-xq=0 \eeq que é de primeira ordem. Podemos então afirmar o
conjunto de todas as esferas são caracterizadas pela \eq (2.5). Por
outro lado se agora tomamos o conjunto de cones retos circulares
cujo eixo coincide com o eixo \ $z$ \[x^2+y^2=(z-c)^2tg^2\alpha,\]
onde \ $c$ \ e \ $\alpha$ \ são constantes arbitrárias e derivando e
eliminando as constantes iremos obter a \eq (2.5). \ [Prove!]

Se analisarmos o que estas superfícies tem em comum percebemos que
ambas são superfícies de revolução cujo eixo de simetria é \ $Oz$.
Como qualquer superfície de revolução em torno deste eixo é
representada pela \eq \[z=f(x^2+y^2)\] então podemos mostrar que
todas elas são caracterizadas pela mesma \eq (2.5). \ [Demonstre!]

Com este exemplo observa-se que agora a solução geral depende de uma
função arbitrária. Podemos generalizar este resultado primeiramente
imaginando uma \textit{solução completa} \beq F(x,y,z,a,b)=0,\eeq
onde \ $a$ \ e \ $b$ \ são constantes arbitrárias. Se agora
derivamos esta \eq em relação a \ $x$ \ e \ $y$ \ obtemos
\beq\pe{F}{x}+p\:\pe{F}{z}=0,\qq \pe{F}{y}+q\: \pe{F}{z}=0.\eeq As
\eqs (2.6) e (2.7) constituem um sistema de \eqs a partir do qual
podemos eliminar as constantes e obter uma \eq do tipo da \eq (2.3).
Se por outro lado generalizamos este resultado considerando que a
\textit{solução geral} como \beq F(x,y,z)=0,\eeq então suas
derivadas são \beq F_x+p\:F_z=0, \qq F_y+q\:F_z=0.\eeq as \eqs (2.8)
e (2.9) formam um sistema de \eqs a partir do qual, em princípio,
podemos novamente chegar a uma EDP do tipo (2.3).

Podemos concluir que as EDPS de primeira ordem possuem soluções
gerais que dependem de uma função arbitrária, da mesma forma que as EDOs
de primeira ordem dependem de uma constante arbitrária. Portanto
podemos concluir que as soluções completas das \edps de primeira
ordem representam famílias de superfícies (como no caso das EDOs as
soluções representam famílias de curvas).

A análise das soluções possíveis, i.e., da existência de soluções
numa determinada região \ $R$ \ para um problema específico que
obedece a determinadas condições: iniciais e de contorno (sobre \
$\pr R$) é conhecida como o problema de Cauchy \cite{SNE}.

\subsection{Tipos de soluções: geral, completa, particular e envoltória}

\hp Como pudemos observar nas seções anteriores determinamos vários
tipos de soluções das \edps de primeira ordem, obtivemos soluções:
gerais, completas, particulares e comentamos sobre a existência de
soluções envoltórias.

Para a EDP de primeira ordem \beq f(p_{\:i},x_{\:i},u)=0,\q
u=u(x_1,x_2,...,x_n)=u(x),\q i=1,...,n, \eeq podemos obter um dos
tipos de solução:

(a) \ \textit{solução geral} - dependendo de uma função arbitrária;

(b) \ \textit{solução completa} - dependendo de \ $n$ \ constantes
arbitrárias;

(c) \ \textit{solução particular} - independente  de constantes ou
função arbitrárias;

(d) \ \textit{solução envoltória} - independente da solução geral.

Os três primeiros tipos estão correlacionados, pois da solução geral
se obtém qualquer um dos dois seguintes, i.e., a solução completa e
a particular podem ser obtidas da geral. Por outro lado, quando
estamos envolvido com a solução de um problema específico, com as
condições iniciais e de contorno dadas, podemos obter uma solução
particular única a partir da solução geral. No entanto, este não é o
caso quando temos somente uma solução completa, desde que as
condições dadas no problema podem não ser satisfeitas por esta
solução, pois esta já é uma das possíveis soluções "particulares"
obtidas da geral.

As soluções envoltórias - (d) - não estão incluídas na solução geral, desde que são as superfícies que envolvem esta, e só existe para EDPs não lineares.

\subsection{Soluções Envoltórias}

\hp  Como o próprio nome induz são \fs que envolvem outras soluções
e que satisfazem a EDP original. Se quisermos justificar de forma
geométrica, podemos dizer que uma solução completa, \beq
\varphi(u,x,a)=0,\qq x=x_1,...,x_n,\qq a=a_1,...,a_n,\eeq onde \
$a_{\:i}$ \ são constantes, é uma família de hipersuperfícies no
conjunto das soluções completas obtidas da solução geral. Estas
famílias de superfícies possuem superfícies envoltórias, que podem
ser obtidas impondo que \beq \paf{\varphi}{a}i=0.\eeq

A obtenção das superfícies envoltórias é feita determinando os \
$a_{\:i}'s$ \ a partir do sistema de \eqs formado pelas \eqs (2.35)
e da \eq (2.34) obtém-se então a superfície envoltória dada por \beq
\varphi(u(x),x,a(x))=0.\eeq

Por exemplo, considerando a EDP linear \ $yp-xq=0$, temos que a sua
solução geral é \ $z=\phi(x^2+y^2)$. A partir desta escolhemos uma
solução completa que representa uma família de esferas com o centro
sobre o eixo \ $z$ \beq x^2+y^2+(z-a)^2=1.\eeq A condição de
envoltória (2.35) nos fornece a \eq \ $\pef \varphi a=2(z-a)=0$,
portanto a solução envoltória é a superfície cilíndrica \
$x^2+y^2=1$. Facilmente se verifica que esta é solução da EDP dada,
mas não está contida na solução geral.

\section{Métodos clássicos de resolução de EDPS
de primeira ordem}

\subsection{EDPs Lineares}

\hp São \edps da forma \beq P\:p+Q\:q=R,\eeq onde \ $P$, \ $Q$ \ e \
$R$ \ são \f das variáveis \ $x$, \ $y$ \ e  \ $z$. Como Lagrange
foi o primeiro a estudar este tipo de \eq ela passou a ser chamada
de \textit{\eq de Lagrange}. Podemos generalizar esta \eq para \ $n$
\ variáveis independentes como \beq \sum_{i=1}^n
F_{\:i}\:p_{\:i}=G,\q i=1,...,n\eeq onde \ $F_{\:i}$ \ e \ $G$ são
\fs das variáveis independentes \ $x_1,\,x_2,...,\,x_n$ \ e \ da
variável dependente \ $z$, sendo que \ $p_{\:i}=\pa{z}{x}{{\:i}}$. É
importante ressaltar que o termo \textit{linear} significa que as
derivadas \ $p_{\:i}$ \ aparecem em primeira ordem, mas os seus
coeficientes são quaisquer \fs das variáveis.

A \textit{solução geral} da EDP linear (2.10) é \beq G(u,v)=0,\eeq
onde \ $G$ \ é uma \f arbitrária de \ $u(x,y,z)=c_1$ \ e \
$v(x,y,z)=c_2,$ \ que por sua vez são as \textit{integrais
intermediárias} do \textit{sistema auxiliar} de \eqs\beq
\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}.\eeq O que é facilmente
demonstrado (Demonstre!) \cite{SNE}.

Vamos considerar como exemplo da aplicação do método a EDP
\[x^2p+y^2q=xz\] O sistema auxiliar
\[\frac{dx}{x^2}=\frac{dy}{y^2}=\frac{dz}{xz},\] fornece as integrais intermediárias
como \[x^{-1}-y^{-1}=c_1,\qq z/x=c_2\]e a solução geral pode ser
dada como \[G(x^{-1}-y^{-1},z/x)=0\] ou \[z=x\:g(x^{-1}-y^{-1}).\]

Este método pode ser generalizado para EDPs do tipo (2.11)
\cite{SNE}.

Ainda podemos considerar o caso que a solução completa da EDP (2.10)
é a requerida, isto é, uma solução que obedeça a determinadas
condições, como, por exemplo, soluções que passem por uma
determinada curva dada pelas suas \eqs paramétricas: \ $ x=x(t)\q;
y=y(t);\q z=z(t)$. Considerando a substituição destas \eqs nas
soluções intermediárias do sistema auxiliar \beq
u(x,y,z)=u(x(t),y(t),z(t))=c_1\q v(x,y,z)=v(x(t),y(t),z(t))=c_2,\eeq
obtemos um sistema a partir do qual eliminamos a variável \ $t$ \ e
obtemos uma solução completa para o problema como \
$F(x,y,z,c_1,c_2)=0$.

\subsection{EDPs Não Lineares}

\hp A obtenção de soluções gerais para \edps não lineares apresenta
uma grande dificuldade, existindo vários métodos particulares para
determinados tipos de equação, que obtém soluções completas. Mas com
frequência existem métodos que fornecem soluções completas
(integrais) para as \eqs (2.3) como \beq F(x,y,z,a,b)=0.\eeq A
partir desta podemos obter outras soluções particulares que obedeçam
a determinadas condições iniciais e de contorno, ou então, aquelas
obtidas através de condições de envoltória sobre as superfícies
representadas por (2.15).

Existe um método de solução de EDPs não lineares, baseado
principalmente em ideias geométricas, devido a Cauchy e é denominado
de método das características. Neste método também obtemos soluções
particulares únicas para as condições dadas de um problema
específico \cite{SNE}.

A fim de apresentar o método de Charpit vamos analisar as condições
em que todas as soluções de uma determinada \edp \beq
f(p,q,x,y,z)=0\eeq são também soluções da \eq \beq
g(p,q,x,y,z)=0.\eeq Neste caso as \eqs são denominadas de
\textit{compatíveis}.

Se \beq J\equiv \frac{\pr(f,g)}{\pr(p,q)}\neq 0\eeq então a partir
do sistema de \eqs (2.16) e (2.17) podemos obter as seguintes
expressões explícitas para \ $p$ \ e \ $q$ \beq p=\phi(x,y,z) \qq
q=\psi(x,y,z).\eeq A condição para que o par de EDPs seja compatível
é equivalente a condição de que o sistema (2.19) seja completamente
integrável, i.e., que a \eq \beq \phi\:dx+\psi\:dy=dz\eeq seja
integrável. A condição de integrabilidade é dada por \cite{SNE} \beq
[f,g]=0,\eeq onde \beq
[f,g]\equiv\frac{\pr(f,g)}{\pr(x,p)}+p\:\frac{\pr(f,g)}{\pr(z,p)}+
\frac{\pr(f,g)}{\pr(y,q)}+q\:\frac{\pr(f,g)}{\pr(z,q)}.\eeq (Prove!)

\subsection{Método de Charpit}

\hp Um método para resolver a EDP \beq  f(p,q,x,y,z)=0,\eeq linear
ou não, foi proposto por Charpit. A ideia fundamental do método de
Charpit é a introdução de uma segunda EDP de primeira ordem \beq
g(p,q,x,y,z,a)=0,\eeq que contém uma constante arbitrária \ $a$ \ e
que deve satisfazer as seguintes condições:

(a) \ As \eqs (2.23) e (2.24) podem ser resolvidas fornecendo \[
p=p(x,y,z,a) \qq q=q(x,y,z,a);\]

(b) \ A seguinte \eq é integrável \beq
dz=p(x,y,z,a)dx+q(x,y,z,a)dy.\eeq

Quando tal \f \ $g$ \ é encontrada a solução da \eq (2.25) \beq
F(x,y,z,a,b)=0,\eeq contendo duas constantes arbitrárias será uma
solução completa da \eq (2.23).

O principal problema a ser resolvido é a determinação da segunda \eq
(2.23), mas este já foi resolvido no final da seção anterior, i.e.,
o que precisamos determinar é uma \eq \ $g=0$ \ compatível com a \eq
dada \ $f=0$. As condições são dadas pelas \eqs (2.18) e (2.21).
Expandindo a última \eq observamos que ela é equivalente a EDP
linear\beq f_p\:\pe{g}{x}+f_q\:\pe{g}{y}+(pf_p+qf_q)
\pe{g}{z}-(f_x+pf_z)\pe{g}{p}-(f_y+qf_z)\pe{g}{q}=0\eeq para a
determinação de \ $g$. Agora precisamos encontrar uma solução desta
equação, a mais simples possível, para o que iremos usar o sistema
de \eqs subsidiário \beq
\frac{dx}{f_p}=\frac{dy}{f_q}=\frac{dz}{p\:f_p+q\:f_q}=\frac{dp}{-(f_x+p\:f_z)}
=\frac{dq}{-(f_y+q\:f_z)}.\eeq Estas \eqs são chamadas de \eqs de
Charpit. A partir das soluções destas \eqs se obtém \ $p$ \ e \ $q$
\ as quais substituídas em (2.25) permitem que se determine a sua
solução. É interessante observar que, geralmente, não é necessário
resolver todas as \eqs de Charpit, mas somente aquelas necessárias
para isolar  \ $p$ \ e \ $q$.

Como exemplo vamos considerar alguns tipos de \eqs que podem ser
facilmente resolvidos pelo método de Charpit.

(a) \ \textit{Equações envolvendo somente \ $p$ \ e \ $q$.} Para
estas \eqs temos \beq f(p,q)=0.\eeq As \eqs de Charpit são  \[
\frac{dx}{f_p}=\frac{dy}{f_q}=\frac{dz}{p\:f_p+q\:f_q}=\frac{dp}{0}
=\frac{dq}{0}.\] Uma solução direta é \[p=a, \] e de (2.29)
\[q=Q(a).\] Portanto a solução desta \eq é \[z=ax+Q(a)y+b,\] onde \
$b$ \ é uma constante.

(b) \ \textit{Equações que não envolvem as variáveis independentes.}
A EDP neste caso é \beq f(p,q,z)=0,\eeq que possui o sistema
subsidiário \[
\frac{dx}{f_p}=\frac{dy}{f_q}=\frac{dz}{p\:f_p+q\:f_q}=\frac{dp}{-p\:f_z}
=\frac{dq}{-q\:f_z}.\] Das duas últimas obtemos a relação \[p=aq,\]
que substituída em (2.30) permite a determinação de \ $p$ \ e \ $q$.
O restante do proce- dimento é idêntico ao de (a).

(c) \ \textit{Equações Separáveis.}Uma \edp é dita
\textit{separável} se puder ser escrita na forma \beq
f(x,p)=g(y,q).\eeq As \eqs de Charpit são \[
\frac{dx}{f_p}=\frac{dy}{-g_{\:q}}=\frac{dz}{p\:f_p-q\:g_{\:q}}=\frac{dp}{-f_x}
=\frac{dq}{-g_{\:y}}.\] Uma das \eqs que podem ser obtidas é \
$f_p\:dp+f_x\:dx=0$, cuja solução é \ $f(x,p)=a$, e portanto \
$g(y,q)=a$ \ formam um sistema para determinar \ $p$ \ e \ $q$, e
assim se obtém uma solução completa da \eq procedendo da mesma
maneira que nos casos anteriores.

Como exemplo, vamos considerar a EDP \ $p^2y(1+x^2)=qx^2.$ Esta pode
ser reescrita na forma separável como
\[\frac{p^2(1+x^2)}{x^2}=\frac{q}{y}.\] Das \eqs de Charpit resulta
que \[p=\frac{ax}{\sqrt{1+x^2}},\qq q=a^2y\] e portanto uma solução
completa  é \[z=a\sqrt{1+x^2}+\fa a^2y^2+b,\] onde a e b são
constantes. (Prove!)

(d) \ \textit{Equações de Clairaut.} Uma EDP é dita de Clairaut se
pode ser escrita na forma\beq z=xp+yq+g(p,q).\eeq O sistema
subsidiário é \[\frac{dx}{x+g_{\:p}}=\frac{dy}{y+g_{\:q}}=
\frac{dz}{px+yq+p\:g_{\:p}+q\:g_{\:q}}=\frac{dp}{0} =\frac{dq}{0}.\]
Logo temos \ $p=a,\, q=b$ \ onde \ $a,\,b$ \ são constantes,
substituindo em (2.32) obtemos a solução completa
\[z=ax+by+f(a,b).\]\qf

\section{Método de obtenção de soluções gerais para  EDPS, lineares ou não, dos tipos: \ $\mathbf{ F(u_x,u_y)=0}; \\ \mathbf{F(f(x)u_x,u_y)=0}$ \ (ou \ $\mathbf{F(u_x,h(y)u_y)=0}$); \ $\mathbf{F(f(x)u_x,u_y)=G(x)}$}.

\subsection{Solução Geral das EDPs: \ $ \mathbf{F(u_x,u_y)=0}; \ \mathbf{F(f(x)u_x,u_y)=0}$\ (ou \ $\mathbf{F(u_x,h(y)u_y)=0}$)}.

\subsubsection{Introdução}

\hp Tanto o método de Charpit, como outros métodos, fornecem somente
uma solução integral aplicados a EDPs, lineares ou não, dos tipos:
\[F(p,q)=0; \q\q F(f(x)p,q)=0\q\q(ou \q F(p,h(y)q)=0)\] \noi onde \
$p=\pef{u}{x}$, \ $q=\pef{u}{y}$ \ e \
$u=u(x,y)$ \cite{SNE,FOR,COUR}. \ No método proposto aqui obtém-se
infinitas soluções integrais, i.e., a solução geral na forma
implícita e em determinados casos a solução geral de forma
explícita.

O procedimento desenvolvido tem como base uma transformação de Le-
gendre e a utilização de um teorema para formas diferenciais
Pfaffianas\cite{SNE1} que fornece a condição para que estas se
tornem integráveis.

Na extensão do método podemos obter soluções para EDPs de segunda
ordem de um dos tipos
\[ F(r,s)=0\quad e \quad
F(s,t)=0, \quad r=\ped{u}{x},\quad s=\pal{u}{x}{y}\quad e \quad
t=\ped{u}{y},\] \noi desde que estas podem ser transformadas nas
EDPs acima.

Outra extensão possível é para EDPs de primeira ordem com diversas
variáveis
\[F(p_1,\dots,p_n,q_1,\dots,q_n)=0,\quad
p_i=\pe{u}{x_i}, \quad q_i=\pe{u}{y_i},\]
\[u=u(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n).\]

\subsubsection{Solução Geral para a EDP \ $\mathbf{F(p,q)=0}$}

\hp Considere a EDP de primeira ordem \ $F(p,q)=0$, onde  \
$p=\pe{u}{x}$, \ $q=\pe{u}{y}$ \ e \ $u=u(x,y)$. A forma
diferencial Pfaffiana para \ $u$ \ é \beq du=p\:dx+q\:dy. \eeq

\noi Aplicando uma transformação de Legendre obtemos
\[d(xp+yq)-du-xdp-ydq=0.\]

\noi Desde que \ $dF=F_pdp+F_qdq=0$, logo \ $dp= -(F_q/F_q)dq$ \
então \beq d(xp+yq)-du+\e(x\frac{F_q}{F_p}-y\ri)\:dq=0\:.\eeq

\noi Sendo esta uma forma diferencial Pfaffiana pode ser aplicado o
teorema\cite{SNE1}:

%Teorema:

\begin{myth} A condição necessária e suficiente para que a forma diferencial
Pfaffiana \ $\vx\cdot \vr=0$ \ seja integrável é que \ $\vx\cdot
rot\vx=0$. \end{myth}

\noi Que neste caso resulta em
\[\vx\cdot rot\vx=-\e(\frac{\pr}{\pr (xp+yq)}+\frac{\pr}{\pr
u}\ri)\e(x\frac{F_q}{F_p}-y\ri)=0,\]

\noi que integrada fornece \beq u-xp-yq=\phi(q).\eeq

\noi Substituindo na \eq (2.2) obtém-se \beq
\e(x\frac{F_q}{F_p}-y\ri)=-\phi'(q).\eeq

A solução geral da \eq diferencial é dada pela equação (2.3) na qual
\ $q$ \ é determinado a partir de  (2.4). Esta é uma solução geral
desde que ela possui uma função arbitrária \ $\phi(q)$, i.e., a cada
forma arbitrária de \ $\phi(q)$ \ a equação (2.4) e a EDP original
formam um sistema de \eqs algébrico que determina \ $q=q(x,y)$ \ e \
$p=p(x,y)$, que uma vez substituídos em (2.3) fornecem uma solução
da EDP.

 Em alguns casos podemos explicitar \ $p=f(q)$ (ou \ $q=g(p)$) \
e a solução geral da EDP a partir de (2.3) fica \beq
u=x\:f(q)+yq+\phi(q), \eeq

\noi com a condição que é obtida de (2.4) \beq xf_q+y=-\phi'(q).\eeq

Um exemplo da aplicação do método no caso em que podemos explicitar
\ $p$ \ é a \eq \ $F(p,q)= p-Bq+A=0,$ \ onde \ $A,B$ \ são
constantes. Portanto \ $p=f(q)=Bq-A$, e \ $f_q=B$ \ a solução será
de (2.5)
\[u=xp+yq-\phi(q)=x(Bq-A)+yq-\phi(q),\]

\noi onde devemos substituir \ $q=q(x,y)$ \ determinada a partir de
(2.6).

Neste caso (2.6) fica \ $xf_q+y=Bx+y=\phi'(q)$, logo \
$q=\psi(Bx+y)$ \ e a solução geral da EDP é dada por
\[u=Ax +(Bx+y)\:\psi(Bx+y)-\phi^{-1}(\psi(Bx+y))=Ax+\Phi(Bx+y).\]


\subsubsection{Solução Geral para a EDP \ $\mathbf{F(f(x)p,q)=0}$ \\
(ou \ $\mathbf{F(p,h(y)q)=0}$)}

\hp Utilizando um procedimento idêntico ao da seção anterior,
explicitamos a partir da  EDP \ $p=G(q)/f(x)$ \ substituímos na
forma diferencial e aplicamos uma transformação de Legendre, obtendo
\[du=d[H(x)G(q)+yq]-[H(x)G'(q)+y]dq,\]

\noi onde \ $H(x)=x/f(x)$.

Esta é uma forma diferencial Pfaffiana e a sua condição de
integrabilidade obtida a partir do Teorema 2.1 é \beq
H(x)G'(q)+y=\phi'(q).\eeq

Portanto a solução geral da EDP será \beq
u=H(x)G(q)+yq-\phi(q),\eeq

\noi onde \ $\phi(q)$ \ é uma \f arbitrária que uma vez escolhida
irá determinar o valor de \ $q=q(x,y)$ \ a partir da \eq (3.7).

De maneira análoga se obtém a solução geral de \ $F(p,h(y)q)=0$. Se
\ $q=G(p)/h(y)$ \ então  a solução geral é dada por
\[u=xp+G(p)H(y)-\phi(p),\]
\noi onde \ $H(y)=y/h(y)$ \ e a condição de integrabilidade \
$\phi'(p)=G'(p)H(y)+x$.

\subsubsection{Solução Geral para as EDPs: \ $\mathbf{F(r,s)=0}$ \ e \  $\mathbf{G(s,t)=0}$}

\hp Na extensão do método podemos obter soluções para EDPs de segunda
ordem de um dos tipos
\[ F(r,s)=0 \quad e \quad
G(s,t)=0,\]
\noi onde \[ \quad r=\ped{u}{x},\quad s=\pal{u}{x}{y}\quad e \quad
t=\ped{u}{y},\] \noi desde que estas podem ser transformadas nas
EDPs acima.

Com esse intuito basta fazer as transformações
\[P=\pe ux, \q Q=\pe uy.\]

No caso da EDP \ $F(r,s)=0$ \ resulta em
\[F(\pe Px,\pe Py)= F(p,q)=0,\]

e para a EDP \ $G(s,t)=0$ \ obtemos
\[G(\pe Qx,\pe Qy)= G(p,q)=0.\]

Portanto ambas recaem no caso acima descrito \ $f(p,q)=0$, § 4.3.

\subsection{Solução Geral \ $F\mathbf{(f(x)u_x,u_y)=G(x)}$ \ - \ Equação de Hamilton Jacobi}

\hp Considere a mais geral \eq de \hj para um sistema conservativo
não relativístico unidimensional
\[a(x)\,\pe{S}{x}+V(x)-\pe{S}{t}=0,\]
\noi ou equivalentemente, \beq ap^2+V-q=0,\eeq \noi onde \
 $p=\pe{S}{x}$ \ e \ $q=\pe{S}{t}$.

Portanto \beq dS=pdx+qdt=d(px+qt)-xdp-tdq,\eeq onde utilizamos uma
transformação semelhante a de Legendre.

Substituindo \ $p$ \ obtido a partir de (1) obtemos \beq
dS=d\left(x\sqrt{(q-V)/a}+qt\right)-
\frac{x(a'V-aV'-qa')}{2\sqrt{a(q-V)}}dx-\left(t+\frac{x}{2\sqrt{a(q-V)}}\right)dq,\eeq
onde \ $a'=da/dx$ \ e \ $V'=dv/dx$. Integrando obtemos \beq
S(x,t)=x\sqrt{(q-V)/a}+qt-F(x,q),\eeq sendo \ $F$ \ tal que \beqn
\pe{F}{q}&=&t+\frac{x}{2\sqrt{a(q-V)}},\\
\pe{F}{x}&=&\frac{x(a'V-aV'-qa')}{2\sqrt{a(q-V)}}\,\equiv\,
H(x,q).\eeqn

A integração da Eq. (6) conduz a
\[F=\int H(x,q)dx+G(q),\]
onde \ $G$ \ é uma \f arbitrária. Usando este resultado em (5)
obtemos a \eq que define a variável \ $q$ \ como uma \f de \ $x$ \ e
\ $t$, para cada escolha arbitrária da \f \ $G$: \beq \int
\pe{H}{q}dx + G'(q)=y+\frac{x}{2\sqrt{a(q-V)}}.\eeq

Então \ $S$, fornecido por (4) é uma \f de \ $x$ \ e \ $t$.
Facilmente se comprova que a solução \ $S$ \ resolve a \eq (4) e
como possui uma \f arbitrária é portanto a solução geral de (1).

É interessante ressaltar que no método de separação de variáveis
aplicados a \eq de \hj as soluções usuais são obtidas fazendo a
hipótese de que \ $q=constante$ \ (i.e., $dq=0,\,\,S(x,t)=
W(x)+C(t)$) a qual não admite a obtenção de uma solução geral.

Como primeiro exemplo vamos considerar uma partícula livre descrita
pela \eq de \hj como ($a=constante$)
\[a\,\left(\pe{S}{x}\right)^2-\pe{S}{t}=ap^2-q=0,\] A partir de (4) se obtém a
solução
\[S=x\sqrt{q/a}+qt-F.\]
\noi onde a \f \ $F$ \ é determinada a partir do sistema obtido de
(5) e (6) \beqne
\pe{F}{q}&=&t+\frac{x}{2\sqrt{aq}},\\
\pe{F}{x}&=&0.\eeqne

\noi Cuja solução é \beqne
F&=&G(q),\\
G'(q)&=&t+\frac{x}{2\sqrt{aq}}.\eeqne Esta \eq fornece a cada
escolha da \f arbitrária \ $G$ \ a variável \ $q$ \ como uma \f de \
$x$ \ e \ $t$. Por exemplo, se \ $G=Cq$ \ então \[q=x^2/4a(C-t)^2,\]
\noi logo \beq S(x,t)=x^2/4a(C-t).\eeq \noi Esta solução foi
previamente obtida utilizando o conhecimento do movimento da
partícula \cite{SAL}, o que não foi necessário no nosso método.

A solução \ $x\sqrt{C/a}+Ct$ \ obtida pelo método de separação de
variáveis é obtida substituindo \ $dq=0$ \ em (3).

Outro exemplo interessante é a \eq de \hj correspondente ao problema
do oscilador harmônico que (em unidades convenientes) é dada por
\[\left(\pe{S}{x}\right)^2+x^2-\pe{S}{t}=p^2+x^2-q=0.\]

Sua solução é \[
S(x,t)=qt+\frac{1}{2}x\sqrt{q-x^2}+\frac{q}{2}\:sen^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{q}}\right)-
G(q),\] \noi onde \ $q=q(x,t)$ \ é obtido da \eq
\[t+\frac{1}{2}x\sqrt{q-x^2}=G'(q)+\frac{q}{2}\:sen^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{q}}\right),\]\noi
para cada escolha da \f arbitrária \ $G$.

A solução com variáveis separáveis ($q=C$) \ é
\[S(x,t)=\frac{1}{2}x\sqrt{C-x^2}+Ct-\frac{C}{2}\:sen^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{C}}\right).\]\vs{.3cm}

\subsection{Extensões e generalizações possíveis}\vs{.3cm}

\hp Como este procedimento não apresenta quaisquer restrições quando aplicado a diferentes tipos de EDPs, então podemos concluir que de fato é um método bastante geral. Ao passo que este fornece sempre soluções dependentes de uma \f arbitrária nos permite afirmar que este pode ser aplicado a qualquer problema, pois não existem restrições sobre as condições que este irá impor, a não ser aquelas devidas a cálculos algébricos específicos, nos quais os métodos numéricos conhecidos podem ser aplicados. Numa abordagem futura poderia se tentar a extensão deste método para um sistema de \edps de primeira ordem, como por exemplo, os sistemas dinâmicos.


\subsection*{Referências}
\setcounter{equation}{0}

\noindent[1] {\sc Sneddon,  I.} -
  {\it Elements of partial differential equations.}, McGraw-Hill, Kogakusha,  First edition, 1957.

\noindent[2] {\sc Forsyth,  A. R. } -
  {\it A treatise on differential equations.}, McMillan, London, First edition, 1903.

\noindent[3] {\sc Espindola, M. L.} -
{\it Método de Solução das EDPS : \ $F(u_x,u_y)=0$; \
$F(f(x)u_x,u_y)=0$; \ $F(u_x,h(y)u_y)=0$},

\textbf{84}, Res. II ENAMA, 2008.

\noindent[4] {\sc Espindola, M. L.} -
{\it \ Solução Geral da Equação de  Hamilton-Jacobi Unidimensional}, \ \textbf{64}, \ Res. III ENAMA,

2009.

\noindent[5] {\sc Espindola, M. L.; Espindola, O. e Teixeira, N. L.} -
{\it Hamiltonization as a two  fold procedure}, Hadronic J.,

{\bf 9}, 121, 1986.

\noindent[6] {\sc Espindola, M. L.; Espindola, O. e Teixeira, N. L.} -
{\it \ Hamiltonization \ for \ singular \ and \ non \ singular}

{\it Mechanics}, J. Math. Phys., {\bf 28}, 807, 1986.

\noindent[7] {\sc Espindola, M. L.; Espindola, O. e Teixeira, N. L.} -
{\it \ Linearization of the Hamilton-Jacobi equation}, \ J.

Math. Phys., {\bf 28}, 1754, 1986.

\end{document}





