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\hyphenation{ma-te-ma-ti-ca pro-ble-mas tra-ba-lha-do-res ma-te-ma-ti-cas di-fe-ren-ci-ais re-fe-ren-ci-an-do mo-de-lo co-nhe-ci-men-tos chi-ches-ter ma-ra-vi-lho-so mi-lle-ni-um mo-del-ling mo-de-la-gem a-xio-ma-ti-ca abs-tra-to ma-te-ma-ti-za-cao e-la-bo-ra-ram re-pre-sen-ta a-ri-ti-me-ti-ca e-xem-plos li-mi-ta-das cor-res-pon-den-do di-fe-ren-tes cons-tan-te cons-tru-ir di-fe-ren-tes li-ga-das le-va-vam va-lo-res res-pos-tas}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\begin{document}
\begin{center}
 \textbf{ALGUNS MODELOS QUE MARCARAM A HISTÓRIA  DO DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÃO}
\end{center}
\begin{flushright}
Karly Barbosa Alvarenga\\
Gislaine Maria Ferreira\\
Acássio Menezes da Silva\\
 \end{flushright}

\begin{flushleft}
 \textbf{Introdução}
\end{flushleft}
Ao analisar algumas fases da construção das idéias de função ao longo da história percebemos que muitas delas estiveram acompanhadas de modelos, de forma explícita ou implícita, ou seja, as idéias iam se desenvolvendo a partir de problemas da realidade, que necessitavam de uma análise matemática em busca de respostas a esses problemas. Buscamos na literatura alguns desses modelos os quais atrelam algum tipo de relação entre variáveis e, os apresentamos. Entrementes esse trabalho não discute a utilização da modelagem e da história da matemática no ensino de matemática, mas utiliza essas abordagens entrecortadas com o intuito de significar o conceito de função e explorar suas conjunturas de desenvolvimento.(ALVARENGA e VIANNA, 2007)\\

Segundo Bassanezi (2002), a modelagem consiste na arte de transformar as situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual.\\
	
Barbosa (2004) nos aponta que
\begin{quote}
{\footnotesize o ambiente de Modelagem está associado à problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas. Ambas atividades não são separadas, mas articuladas no processo de envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta. Nela, podem-se levantar questões e realizar investigações que atingem o âmbito do conhecimento reflexivo.( Barbosa, 2004, p.3)}
\end{quote}

Destacamos que a resolução pura e simplesmente de um problema não significa utilizar a modelagem no ensino. Primeiro, porque esse tipo de abordagem está pautada na investigação, reflexão e mais do que somente encontrar a solução, ela faz indagações. Isto significa analisar o mundo a sua volta, analisar a realidade, analisar fenômenos desde os mais simples até os mais elaborados dependendo do nível de escolaridade que estamos trabalhando. Segundo, porque o trabalho com modelagem não é linear, os estudantes não ficam sentados copiando ou tentando seguir um algoritmo de resolução e problematização. Muitas vezes eles saem do ambiente da sala de aula, se movimentam bastante e os caminhos da modelagem têm avanços e regressos, verdades e também falibilidades, se caracterizam por inquietudes, e essa é a grande vantagem dessa abordagem - os estudantes deixam de ser passivos.\\

O mesmo autor ainda ressalta que

\begin{quote}
{\footnotesize Apesar das situações terem origem em outros campos que não a matemática (Blum e Niss, 1991), os alunos são convidados a usarem idéias, conceitos, algoritmos da matemática para abordá-las. Além de aplicar conhecimentos já adquiridos, como tradicionalmente tem sido assinalado, há a possibilidade de os alunos adquirirem novos durante o próprio trabalho de Modelagem. (Tarp apud Barbosa, 2004, p.3)}
\end{quote}

Observamos a influência da abordagem interdisciplinar na modelagem matemática, pois os problemas reais, muitas vezes, envolvem outras áreas do conhecimento e estes devem ser mobilizados quando embrenhamos na atividade de matematizar uma situação, um fenômeno. Isto aconteceu na história do conceito de função, como exemplificamos neste trabalho.\\

Nos contextos aqui estudados encontramos problemas sendo modelados a partir do uso de relação, de interdependência entre variáveis, enfim, segundo idéias que levaram ao desenvolvimento da noção de função. \\

Vianna (2000) defende que a história da matemática como estratégia didática deve associar o conhecimento dessa história às demais tendências metodológicas; por exemplo: a história da matemática pode ser uma fonte relevante de situações-problema para serem trabalhadas na resolução de problemas. Observa ainda que o estudo da solução dada aos problemas reais que foram enfrentados em determinadas épocas pode propiciar contribuições relevantes para o desenvolvimento de técnicas de modelagem e para o aperfeiçoamento de modelos já elaborados.\\ 

Salientamos que existem vários modelos que abordam uma relação entre variáveis provenientes da cultura de outros povos, como indígenas, trabalhadores urbanos e rurais, dentre outros, porém optamos aqui pelo caminho que conduziu ao desenvolvimento do conceito de função sistematizado, como o utilizado nos meios acadêmicos e científicos. Apesar de não ser nosso objetivo discutir a natureza dos argumentos que validam ou não a história da matemática e a modelagem, como metodologias para o ensino-aprendizagem, identificamos a natureza epistemológica e ética no contexto histórico (Miguel e Miorin, 2005) e epistemológica , social e pedagógica da modelagem.(BLUM et al, 2007).\\

Para Levy e Espírito Santo (2006) a história do conhecimento matemático é generosa em construções de modelos voltados para a prática, para o concreto, em consonância com as correntes filosóficas/epistemológicas favorecedoras da importância do empirismo. Citam o exemplo de Eratóstenes, que ``é lembrado especialmente por sua medida da terra'' não a primeira nem a última de tais avaliações na antigüidade, mas em tudo a de mais sucesso. (BOYER apud Levy e Espírito Santo, 2006, p.17).\\

Scandiuzzi (2002) resssalta um outro aspecto que podemos levantar no espaço educacional/investigativo é a contribuição na construção da história da matemática pelas duas correntes. A etnomatemática procura neste espaço ampliar o campo da história da matemática identificando as produções sobre matemática dos povos marginalizados ou não reconhecidos pelas sociedades nacionais onde estão inseridos, além de abarcar as produções específicas dos grupos sociais como os que fazem modelagem, estatística, cálculo ou a própria história da matemática. A modelagem matemática, por sua vez, contribui muito com a história da matemática, pois desenvolve os conteúdos das produções matemáticas de outros grupos sociais (os que trabalham com equações diferenciais, por exemplo) e os dilatam com observação da realidade, mesmo referenciando à matemática grega.\\

Os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais), reforçam a necessidade de utilizar a história da matemática como um recurso na educação por que esse revela a matemática como uma criação humana, esclarece alguns porquês e ainda constitui veículo de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo.\\

A utilização de modelos para mostrar a evolução do conceito de função é uma característica que pode conduzir a aplicação deste trabalho no ensino, porque serve de contextualização aos conteúdos e dá sentido a estes. Muitos estudantes se queixam em relação à não aplicabilidade prática do que vêem em Matemática, pois na maioria das vezes a vêem desvinculada do mundo real. Caraça (2000), falando sobre as funções, comenta ser natural esperar de coisa tão importante para o entendimento e explicação da realidade, levar a necessidade um conceito matemático próprio para o seu estudo. Por estas constatações e pelas leituras em livros de história da matemática, como Boyer (1996) e Eves (1997), surgiu o interesse em investigar, na história, alguns modelos que influenciaram no processo de desenvolvimento das funções, os quais descreveram situações do cotidiano e da ciência. Este interesse foi alimentado pela necessidade de comprovar, por fatos históricos, que o surgimento do conceito de função tenha acontecido pela necessidade, como afirma Caraça (2000).\\

Dessa forma, objetivamos fazer um levantamento e uma análise das idéias de alguns modelos que contribuíram para o processo de evolução desse conceito, a fim de mostrar que o seu desenvolvimento se deu a partir da necessidade de respostas aos problemas do cotidiano e da ciência.\\

Esse trabalho surge tanto da importância, e dificuldades, de aprendizagem de função, como da necessidade de contextualização desse conceito. Em recente análise dos erros cometidos por estudantes que se submetem a um processo de seleção para entrar na universidade, na área de ciências exatas, observamos que tal conceito está presente em todos os processos seletivos analisados, e em várias questões, tanto algébricas quanto geométricas. Além disso, os resultados dessa investigação mostram que os erros mais freqüentes se relacionavam às interpretações da situação-problema, à elaboração do modelo que representava a situação, que muitas vezes era expresso por uma função, e à não análise do resultado obtido (Barbosa e Alvarenga, 2008; BATISTA e Alvarenga, 2008). Do mesmo modo os resultados obtidos das investigações do grupo de Estudos em Ensino de Ciências e Matemática - GREECIM apontam que, dos conceitos matemáticos, o de função é um dos que mais permeia a física, a química e a biologia, o que favorece um trabalho interdisciplinar (ALVARENGA et. al, 2008).\\

A fim de seguir o caminho histórico dividimos esse texto em quatro tópicos. O primeiro apresenta três modelos representando a gênese do conceito de função. O modelo inicial trata-se das tábuas de correspondência e da geometria babilônica. O segundo diz respeito ao estudo da relação entre os acordes musicais e as proporções numéricas pelos pitagóricos e o último refere-se à contribuição dos astrônomos egípcios de Alexandria, quando estes estabelecem as relações trigonométricas no século II d. C.\\

No segundo tópico encontram-se os modelos relacionados ao estudo da dependência, principalmente, entre as variáveis físicas. Os trabalhos de Oresme e Galileu mostram a noção de função expressas de forma geométrica e mecânica e a conseqüente contribuição decisiva para o início do processo de sistematização do conceito.\\

O terceiro tópico mostra alguns aspectos do desenvolvimento do conceito de função, sem pretender descrever de forma minuciosa todos os fatos ocorridos. Tem como propósito situar continuamente a evolução do conceito e conduzir o leitor ao último modelo, o qual já utiliza o conceito atual de função.\\

O quarto, e último tópico, finaliza o trabalho apresentando o modelo de crescimento populacional de Malthus (1766 -1834). Exemplifica um modelo matemático mais recente e aplicado em outras áreas do conhecimento - ecologia -  o qual utiliza o conceito atual de função. Aproveitamos o contexto da modernidade para também comentarmos um modelo computacional. \\

\textbf{1-GÊNESE DAS IDÉIAS DE FUNÇÃO NAS RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS}

Acredita-se que a gênese do conceito se deu com as idéias de relação nas tabelas relacionando números ou variáveis utilizadas para resolver problemas cotidianos pelos babilônios em 2000 a.C. Encontramos essas idéias de relação também com os gregos no estudo de variáveis físicas como o som, por exemplo, e com os egípcios nos estudos e descobertas dos astrônomos de Alexandria.\\

\textbf{1.1-Mesopotâmia (aprox. 2500 a.C.)}

Percebemos já na babilônia as noções sobre relações entre variáveis. Dentre as mais de meio milhão de tábuas encontradas, 400 com conteúdos apenas matemáticos, encontramos várias com problemas envolvendo relações entre variáveis ou tábuas envolvendo relações entre números. Nessas últimas encontramos tábuas de multiplicação, de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e até de exponenciais.\\

Uma tábua essencial na álgebra babilônica era a de valores $n³+n²$ para todo $n$ inteiro. Assim, segundo Iezzi et al (2004), podemos associá-la à função $f$, cujo domínio é o conjunto dos números inteiros, definida por $f(n)=n³+n²$. Este afirma que, como eles estavam interessados em determinar os valores de $c$ para que $c= n³ + n²$, pode-se verificar a presença das primeiras noções de função inversa, já que o que se procurava era o valor de $n$ tal que $f(n)=c$.\\

As tábuas contendo problemas, por um lado tratavam de situações do cotidiano, do comércio e de mensurações práticas, as quais envolviam conhecimentos em geometria e ai percebemos claramente a presença de relações entre variáveis. Por outro lado, as que envolviam diretamente a geometria, também mostravam idéias de funcionalidade. Para Eves (1997), a marca principal da geometria babilônica é seu caráter algébrico. A figura 1 mostra a cópia e tradução de uma dessas. Esta tábua reflete o modelo que relaciona a diagonal do quadrado com seu lado.\\

Analisando a última tábua encontramos, em \textit{base sexagesimal}, três valores: o lado do quadrado, a diagonal do quadrado e uma constante $b$.\\
$$a=30$$                                  $$b=1,24,51,10$$                                $$c={\sqrt{2}}a$$

À primeira vista podemos afirmar $c=a.b$, já que multiplicar por 30 equivale a dividir por dois. Se $a$ for considerado como lado do quadrado como sugere a figura e $c$ a diagonal, então usando a relação de Pitágoras obtém-se $$c²=2a²$$  donde, $$c={\sqrt{2}}a$$\\

Concluímos que além de contarem com uma ótima aproximação para $\sqrt{2}$, já usavam as idéias de relação entre variáveis na geometria, neste caso o valor da diagonal dependendo do valor do lado.\\

Assim como hoje, que nos estudos de algumas funções estamos sempre trabalhando com as equações polinomiais, vários problemas babilônicos levavam às resoluções de equações quadráticas, talvez os babilônicos tenham sido os primeiros a resolver com exatidão essas equações. De acordo com Guelli (1994), o trabalho de resolução das equações era feito pelos escribas que depois de um árduo aprendizado da Matemática, leitura e escrita o escriba da antiguidade escolhia tornar-se contador ou dedicar-se ao ensino da Matemática. Através das tábuas, com grande esforço escreviam os problemas e as etapas de resolução deles.\\

Qual é o lado do quadrado se a área menos o dobro do lado é vinte e quatro?
\begin{enumerate}
\item Tome a metade de dois, que é um e multiplique um por ele mesmo
\item Some o resultado a vinte e quatro, o que dá vinte e cinco.
\item Isto é na verdade o quadrado de cinco que, somado à metade de dois, vai dar o lado do quadrado, que é igual a seis. (GUELLI ,1994, p.18)
\end{enumerate}

Podemos, hoje em dia, pensar neste problema como uma equação $x²-2x=24$ e também imaginar uma relação entre área e lado do quadrado resultando numa possível função.\\

Para resolver essa equação da forma que resolvemos hoje é possível transformá-la em um trinômio do quadrado perfeito adicionando 1 no primeiro membro, e para não alterar a igualdade, adiciona-se 1 também no segundo membro da igualdade
$$(x-1)²=24+1$$
$$x-1=\sqrt{25}$$
$$x=5+1$$
$$x=6$$

Segundo Aaboe (1984), os textos matemáticos cuneiformes estão geralmente divididos em dois, os textos de tabelas e os textos de problemas. Ele observa que estes não têm nada de prático. O fato de que nos é pedido que adicionemos áreas a comprimentos mostra claramente que nenhuma situação geométrica real está sendo considerada. Em verdade, o termo quadrado não possui nenhum significado geométrico a mais do que o usado em nossa álgebra.\\

Além disso, para Oliveira (1997), para os babilônicos cada problema era uma situação nova porque eles não desenvolveram regras gerais para solução de problemas semelhantes. No entanto, pelo que observamos nos problemas e pela afirmação de Aaboe, as instruções dadas na resolução dos problemas são tão específicas que podemos esperar algum processo geral.\\

\textbf{1.1	Grécia Antiga (500 a . C)}\\

Na Grécia antiga, notamos novas formas das idéias de funcionalidade. Os gregos, ao contrário dos babilônicos, contavam com métodos práticos, passados de pai para filho, para a resolução dos problemas. Isso porque durante a metade do sexto século a.C é observado o surgimento da matemática demonstrativa.\\

Esse período inaugura-se com a eclosão do pensamento racional, uma nova etapa no mundo grego. O processo de progressivas transformações econômicas, sociais e técnicas, passaram a oferecer ao homem explicações mais plausíveis, retiradas da experiência do cotidiano e desvinculadas da antiga concepção divina da realidade. Nesse contexto aparece o primeiro registro científico associando Matemática, Física e Música, ocorrido na escola pitagórica. (NOVAES, 2006)\\

Pitágoras de Samos foi um grande filósofo, astrônomo e matemático grego nascido na ilha Jônia de Samos, na Anatólia, a cerca de 50 km de Mileto. Viveu no período de 580 a 497 a.C. e fundou em 540 a.C. a Escola Pitagórica de Crotona. Essa escola foi uma grande sociedade voltada para o estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática e essas eram tidas como base moral para a conduta de seus membros. Muitas foram as conquistas essências da ciência e da filosofia destinadas aos pitagóricos.\\

É com eles que aparece pela primeira vez, de forma explícita e clara, na história a idéia de funcionalidade no estudo das relações quantitativas entre diferentes variáveis físicas. A idéia de relacionar intervalos musicais com razões numéricas foi a principal descoberta no estudo dessas relações.\\

Conta-se que Pitágoras passando diante da oficina de um ferreiro, reconheceu os três acordes de quarta, quinta e oitava, ouvindo os barulhos feitos pelos golpes na bigorna. Ele percebeu que as diferenças de sons estavam ligadas aos pesados martelos e por isso os pesou e coisa admirável, o primeiro pesava doze, o segundo nove, o terceiro oito, o quarto seis unidades de peso. Ou seja, o que produzia o som de oitava pesava a metade, o que produzia o de quinta pesava dois terços e o que produzia o de quarta pesava três quartos do mais pesado. (MATTEI, 2000).\\

Pitágoras resolveu repetir a experiência com o monocórdio, observe na figura 2 abaixo, instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha, e um cavalete móvel colocado sob a corda estendida que, quando tocada com uma mesma tensão, emite diferentes sons (MINGATTOS, 2006).\\

Percebeu que pressionando um ponto da corda situado a  $\dfrac{3}{4}$ de seu comprimento em relação à extremidade e tocando a seguir, ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda inteira. Se pressionasse um ponto situado a  $\dfrac{2}{3}$ do tamanho da corda, ouvia-se uma quinta acima e a $\dfrac{1}{2}$ tinha a oitava do som original da corda. A observação dos sons das batidas do martelo e a posterior experiência no monocórdio parecem ser a descoberta fundamental da dependência dos intervalos musicais dos quocientes dos primeiros números inteiros (Tabela 1).\\

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\hline
\textbf{Acordes} \hspace{1cm} \textbf{proporção}\\ \hline
\textbf{quinta}  \hspace{1cm} $\frac{2}{3}$\\ \hline
\textbf{quarta}  \hspace{1cm} $\frac{3}{4}$\\ \hline
\textbf{oitava}  \hspace{1cm} $\frac{1}{2}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Importante observar que se o comprimento original da corda for 12 unidades de medida, então quando esse se reduzir para 9, ouve-se a \textit{quarta}, para 8, a \textit{quinta} e para 6 a \textit{oitava}. De forma que 12; 9; 8 e 6 eram tidos para os pitagóricos como os números harmônicos, os quais possuem particularidades aritméticas notáveis. Além de 6 estar para 8, assim como 9 para 12 e  6 para 9 assim como 8 para 12; o número 9 é exatamente a média aritmética de 6 e 12 e 8 a média harmônica de 6 e 12 , proporções essas também propostas  pelos gregos. (Rodrigues, 1999)\\

Segundo Novaes (2006), os pitagóricos extrapolavam essas relações com os números para os fenômenos da natureza em geral, chegando a afirmar que os planetas do sistema solar orbitavam em torno da terra, em trajetórias circulares e emitindo sons harmoniosos, descrevendo o que chamavam de \textit{músicas das esferas}.\\

Ao estabelecer relações associando os intervalos musicais referentes às consonâncias perfeitas - oitava, quinta e quarta - as frações de números inteiros pequenos, os pitagóricos estavam contribuindo com o desenvolvimento das idéias de função, pois o estudo do monocórdio apresentou a interdependência entre número, espaço e harmonia.\\

\textbf{1.2	Alexandria séc. II d. C}\\

Durante o período Alexandrino surge a trigonometria cheia de tábuas de correspondência apresentando relações entre comprimento de cordas na circunferência e os seus correspondentes ângulos. Uma perceptível presença de dependência entre variáveis. \\

A história da trigonometria está muito relacionada com o desenvolvimento da astronomia. Foi a partir de necessidades na astronomia, como por exemplo, determinar o tamanho do sol e da lua e para encontrar o comprimento da superfície terrestre, que o homem inventou e aperfeiçoou a trigonometria.\\

Os astrônomos necessitavam também descobrir a distância entre dois pontos situados na superfície terrestre. Sabemos que em uma circunferência a distância entre dois pontos pertencentes a ela é chamada de corda, assim o trabalho dos astrônomos e matemáticos era descobrir o comprimento das cordas em uma circunferência qualquer.\\

Segundo Guelli (1993), o grego Hiparco de Nicéia, considerado Pai da Trigonometria construiu uma tabela com os valores das cordas de uma série de ângulos variando entre 0º e 180º. Essa tabela expressa claramente a relação entre variáveis. Quando ele dispõe o tamanho da corda correspondente a um ângulo o que faz é criar a função corda, como se vê na figura 3.\\

Por volta de 150 a.C. Ptolomeu de Alexandria desenvolveu seu principal trabalho baseado nos escritos de Hiparco. Esse trabalho recebeu o nome de O Almagesto e foi considerado um trabalho modelo em astronomia na época e até os tempos de Copérnico e Kepler. O primeiro capítulo dele contém material astronômico preliminar, a tábua de cordas e uma explanação sucinta de como ela foi elaborada. Dividiam o raio do círculo em 60 partes e expressavam, em termo dessas partes, os comprimentos das cordas para ângulos de 0° a 180°, que variam de meio em meio grau.\\

Verificamos aqui o mesmo caso de relações apresentado nos trabalhos de Hiparco, pois em um triângulo com dois dos lados representados pelo raio e o outro pela corda AB de uma circunferência, o tamanho da corda era expresso em função do ângulo central.\\

No final do século IV surgem na Índia estudos que aperfeiçoaram o estudo das relações trigonométricas e deram origem as funções trigonométricas que utilizamos hoje. Segundo Guelli (1993), esses estudos se concentraram em um conjunto de textos matemáticos denominados Siddhanta - sistemas de astronomia. Apresentavam uma trigonometria baseada na relação entre a metade da corda e a metade do ângulo central (Figura 4). Dessa forma havia a vantagem de trabalharem sempre com triângulos retângulos.\\

Os anos de 850 e 929 o árabe Al-Battani aperfeiçoou esse modelo considerando uma circunferência de raio unitário, chegara assim na relação por ele denominada Jiva referente à que hoje conhecemos por ``\textit{seno}''.\\

Importante ressaltar que Al-Battani estava interessado em calcular a altitude do Sol e para isso foi necessário usar as razões trigonométricas e construir tábuas de senos (ou meias-cordas) mais precisas que as existentes na época, embora o nome seno ainda não ter sido utilizado, mas sim jiva (meia-corda)(LINDEGGER, 2000). A importância da trigonometria sob o ponto de vista de funções pode ser observado mais tarde nos trabalhos de Euler, Fourier, dentre outros.\\

\textbf{2.	A NOÇÃO DE FUNÇÃO NO ESTUDO DE DEPENDÊNCIA ENTRE VARIÁVEIS FÍSICAS}\\

De acordo com Youschkevith, \textit{apud} Oliveira (1997) é a partir do século XII que, de maneira precisa, as noções de função são expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas cada caso de dependência é ainda expresso de forma verbal ou através de gráficos.\\

\textbf{2.1-Nicole Oresme (1323- 1382)}\\

De acordo com Oliveira (1997), no século XII a noção de função de uma forma mais geral começa a amadurecer nos estudos de alguns fenômenos como luz, densidade, velocidade, distância, calor entre outros, nas escolas de Filosofia Natural em Oxford e Paris. E é com Nicole Oresme, no século XIV, que se verifica um passo a frente no desenvolvimento dessas idéias.\\

Num período de crise, época da Peste Negra, de transformações políticas e econômicas e de pouco progresso na matemática destaca-se Nicole Oresme como maior matemático desse período. Em um dos seus cinco trabalhos matemáticos, desenvolve a teoria das latitudes e longitudes das formas que, segundo Oliveira (1997), pode ser considerada a precursora da representação gráfica de função.\\

O objetivo era representar geometricamente a intensidade de uma variável. Ele estudava os movimentos uniformes e os movimentos disformes como ele mesmo denominava. E buscando representar a intensidade da velocidade nesses movimentos, desenhava segmentos verticais, referentes à velocidade, perpendicular a outro segmento: o tempo.\\

A figura acima é um modelo da representação de N. Oresme para o movimento disforme com velocidade inicial igual a zero. A representação para o movimento uniforme era um retângulo já que a velocidade nesse caso é constante. As representações gráficas da velocidade nos diferentes movimentos são encontradas em um de seus trabalhos intitulado \textit{Tractatus de latitudinibus formarum}.\\

Oresme esperava com o seu método, possibilitar às pessoas a compreensão eficaz da natureza das mudanças. A sua representação gráfica demonstra um avanço no desenvolvimento das idéias de variáveis dependentes e de certa forma nas idéias de função. No entanto, usando as palavras de Oliveira (1997), ele não utilizava função nos seus trabalhos, suas configurações eram totalmente qualitativas e imaginárias, ele nunca trabalhou com quantidades.\\

\textbf{2.2-Galileu Galilei (1564-1642)}\\

Galileu viveu no período da grande revolução científica dos séculos XVI e XVII, e contribuiu imensamente para essa revolução, considerada uma das mais profundas do pensamento humano. Ele teve como principal campo de estudo a mecânica, em suas análises dos fenômenos mecânicos e um dos princípios que caracterizou seus trabalhos nos estudos de fenômenos mecânicos foi o da quantificação, desenvolvendo um esforço no sentido de representar as realidades observadas por unidades mensuráveis.\\

Este princípio de necessidade de quantificação tinha como principal objetivo conseguir estabelecer relações matemáticas que, mais tarde, permitiriam estabelecer leis gerais generalizáveis a casos ou acontecimentos similares. (FERREIRA, 2004). Para Frota e Moraes
\begin{quote}
{\footnotesize Galileu concebe um método no qual a matemática terá um papel predominante... Galileu é quem formula o movimento dos corpos em linguagem matemática. Em outras palavras, Galileu não se limita à observação dos fenômenos, mas busca suas vinculações com as ``\textit{claras demonstrações}''. Ele passa dos fatos à idéia de sua conexão racional e desta, volta aos fatos, mas com a dedução de sua necessidade... (FROTA e MORAES, 2001, p.18)}
\end{quote}

Frota e Moraes (2001) apresentam os quatro momentos do método de Galileu em seus estudos:
\begin{enumerate}
\item a observação imediata do fenômeno na sua complexidade;
\item a resolução dessa complexidade nos elementos mais simples traduzíveis em linguagem matemática; (uma notável idéia de modelagem )\footnote{Observação dos autores}; 
\item a formulação de uma hipótese explicativa; 
\item a experimentação.
\end{enumerate}
Segundo Oliveira (1997), Galileu procurou reunir os diferentes conceitos com auxílio das leis inspiradas na experiência e observação e repetia suas análises várias vezes até chegar às conclusões mais verdadeiras possíveis. Essa insistência contribuiu grandemente para a evolução da noção de função.\\

A primeira de suas grandes experiências deu origem à lei do pêndulo. Vejamos como ocorreu esse fato para percebermos um exemplo de modelagem a partir das noções de dependências entre variáveis físicas.\\

Frota e Moraes (2001) afirmam que esse experimento se deu, segundo a lenda, no ano de 1581 durante uma cerimônia religiosa. Galileu começou a observar o lento balançar de um candeeiro e utilizando o pulsar de seu coração como medida de tempo observou que, embora os movimentos sucessivos se tornassem cada vez mais curtos, pois o pêndulo ia parando, o tempo de cada oscilação, medido por meio de suas pulsações, permanecia o mesmo. \\

Depois de repetir a experiência várias vezes em um pêndulo construído por ele, chegou à relação: ``\textit{o período de oscilação de um pêndulo independe da massa e é diretamente proporcional ao comprimento}.'' (FROTA e MORAES, 2001)\\

Hoje essa relação é conhecida como \textit{Leis do Isocronismo}  que diz que:
\begin{itemize}
\item O período de oscilação do pêndulo depende do comprimento (l) de sua haste - quanto maior o comprimento, maior o período;
\item O período de oscilação não depende do peso do pêndulo - pesos diferentes têm sempre o mesmo período.
\end{itemize}

Sintetizando matematicamente essas observações obtém-se a equação, com pequeno a ponto de, que determina o período de oscilação de um pêndulo simples:\\

Um claro exemplo de dependência funcional: Período de oscilação em função do comprimento da haste do pêndulo. \\

Interessante ressaltar que nesse período não se conhecia uma equação geral que representasse uma classe inteira de equações, o que faziam era apenas encontrar os valores desconhecidos numa equação com coeficientes numéricos específicos. A idéia de fazer uma distinção entre parâmetros e variáveis surgiu logo depois com o matemático Viète (1540-1603).\\

\textbf{3- A ÉPOCA DA FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO}\\

Esse tópico mostra alguns aspectos do desenvolvimento do conceito de função sem pretender, no entanto, descrever de forma minuciosa todos os modelos e nem apresentar todos os matemáticos envolvidos nesse trabalho. O objetivo é citar os fatos relevantes na evolução do conceito para que criemos uma linha contínua de desenvolvimento até chegar ao conceito de função admitido atualmente.\\

\textbf{3.1-A Evolução do Conceito entre o século XVI e XX}\\

Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665) desenvolveram separadamente as bases teóricas da geometria analítica e assim apresentaram um método analítico para a representação de função.\\

A partir de Descartes o desenvolvimento da noção de função segue caracterizado por uma análise mais detalhada.\\

\begin{quote}
{\footnotesize Em ``La Géompetrie'' de Descartes, de modo completamente claro, é sustentada a idéia de que uma equação em x e y é um meio para introduzir uma dependência entre quantidades variáveis de modo a permitir o cálculo dos valores de uma delas correspondendo aos valores dados da outra. (OLIVEIRA, 1997, p.18)}
\end{quote}

Fermat, em 1636, descobre o princípio fundamental da geometria analítica. De acordo com Boyer (1996) ``sempre que numa equação final encontram-se duas quantidades incógnitas, temos um lugar geométrico, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha, reta ou curva.'' (BOYER, 1996, p.238)\\

O que ele descreve nessa definição é o comportamento de quantidades dependentes variando de forma contínua. Interessante ver também que a palavra equação mostra seu contato com a álgebra. Segundo Boyer (1996), o uso de coordenadas na sua obra surgiu da aplicação da álgebra da Renascença aos problemas geométricos da antiguidade.\\

Essa característica de relacionar às funções equações algébricas se estendeu ao cálculo infinitesimal com Newton e Leibniz. Oliveira (1997) afirma que em alguns dos trabalhos publicados de Leibniz, entre 1692 e 1694, ele chama função os segmentos de retas obtidas por construção de retas correspondendo a um ponto fixo e a pontos de uma curva dada.\\

Vale ressaltar que a análise infinitesimal desenvolvida por Newton e Leibniz até então tinha como principal objetivo estudar as curvas geométricas. Eles não visavam exatamente às funções, pois os problemas que deram origem ao cálculo eram geométricos e cinemáticos. (SÁ, 2003)\\

No século XVIII a origem geométrica das fórmulas foi-se esgotando à medida que os problemas se tornavam mais complicados e os matemáticos foram concentrando a sua atenção na refinação das técnicas que permitiam a manipulação  mais sofisticada dessas fórmulas, ou seja, ``\textit{A primazia da curva deu lugar à primazia da fórmula}''. (CORREIA, 1999, p. 9).\\

Os primeiros conceitos de função desvinculados de geometria apareceram no século XVIII com Johann Bernoulli (1667-1748) e Leonhard Euler (1707-1783). Bernoulli em 1718 apresenta a primeira definição

\begin{quote}
{\footnotesize Chamamos função de uma grandeza variável a uma quantidade composta de um modo qualquer a partir desta grandeza variável e de constante. (YOUSCHKEVITCH, 1976, apud OLIVEIRA, 1997, p.19)}
\end{quote}

Euler usou essa definição de Bernoulli, seu mestre, como base para um novo conceito que formularia pouco depois, em 1748 na \textit{Introduction in analysin infinitorum}, a obra mestra da Análise. Para Youschkevitch

\begin{quote}
{\footnotesize Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta de qualquer modo que seja desta quantidade e números ou quantidades constantes. (YOUSCHKEVITCH, 1976 apud OLIVEIRA, 1997, p.20)}
\end{quote}

Durante o século XIX se deu a fundamentação da análise, onde houve um aprofundamento da concepção de função e uma correção das noções limitadas de Euler. Vários foram os estudiosos (Taylor, os Bernoulli, Euler, Lagrange, D´Alambert e Fourier) envolvidos nesse processo que teve como principal trabalho a resolução do problema das cordas vibrantes. Idéia de que uma função podia ser pensada como uma expressão analítica definida por uma série de potências foi sendo posta em causa, ainda no século XVIII, à medida que vários problemas da matemática aplicada mostravam o caráter restrito de tal conceito de dependência funcional. O estudo das regularidades mecânicas, tal como o movimento dos corpos celestes, a teoria das vibrações ou a teoria do calor, exigiam a utilização de novos métodos de descrição analítica, uma vez que essas regularidades já não podiam ser expressas numa forma tão simples como uma série de potências. A partir da segunda metade do século XVIII, um novo método foi sendo crescentemente utilizado para definir as dependências funcionais que expressavam essas regularidades: as séries trigonométricas. Uma importante aplicação neste contexto, pela disputada polêmica que gerou e pela influência que exerceu na evolução do conceito de função, foi o problema da vibração das cordas sonoras. \\ 

Uma corda elástica uniforme é presa em dois pontos $A$ e $B$, a uma distância de $l$ unidade. Consideremos o referencial cartesiano em que $A$ é a origem, $AB$ é o eixo $Ox$ e a linha perpendicular a $AB$ é o eixo $Oy$. A corda assume a sua posição de equilíbrio ao longo do eixo $Ox$. Se oscilarmos a corda da sua posição inicial, ela inicia um movimento vibratório, em virtude das tensões que agem nos seus pontos. Consideremos que esse movimento consiste de pequenas oscilações, isto é, que os pontos da corda tenham pequenas alturas da sua posição inicial. Logo, podemos admitir que, durante o movimento, cada ponto $P$ da corda permanece na mesma reta vertical, perpendicular ao eixo $Ox$, isto é, tem abscissa constante (oscilações transversais). Também podemos supor que a força de tensão é a mesma em cada ponto. É possível encontrar uma equação que represente o movimento ondulatório da corda, sendo o deslocamento $y$ de cada ponto uma função de $x$ e do tempo $t$.\footnote{Para maiores detalhes o leitor pode consultar Correia 1999} \\

Segundo Silva (s.d.) para modelar o primeiro passo é elencar as variáveis envolvidas, procurando idealizar algumas situações, de tal forma que se possa colocar o problema em forma de equações. Observarmos que a modelagem faz apelo à realidade e significa o conhecimento. Daí a sua validade no contexto do ensino-aprendizagem de matemática.\\

Fourier, motivado também pelas idéias surgidas desse problema, publicou a \textit{Théorie Analytique de la Chaleur} (1822) onde se analisa o problema da propagação do calor nos sólidos. Isto consiste em descrever o comportamento do fenômeno de propagação buscando o que é estável e permanente, que se conserva inalterável com o passar do tempo. Isto é, a equação que governa o comportamento do sistema. (Farfán, 2003).\\

Em 1822 Joseph Fourier propôs, no seu livro ``A teoria analítica do calor", que o fluxo ou corrente de calor $q$ através de um corpo de espessura $d$ submetido a duas temperaturas $T_1$ e $T_2$ nas faces pode ser escrito: $$q=\dfrac{-kA(T_1-T_2)}{2}$$ onde $A$ é a área das faces e $k$ a condutividade térmica do material, considerando $T_1$ menor que $T_2$.\\

Para Correia (1999) Fourier manifestou a certeza de que qualquer função, ainda que 'descontínua', podia ser representada por uma série trigonométrica, uma vontade que Euler, contra a alusão de Daniel Bernoulli, tinha rejeitado. Porém, ele não provou, nem podia provar esta hipótese, mas deu inúmeros exemplos que indicavam que Euler não tinha razão. Uma coisa é certa: Fourier possuía um conceito de função suficientemente geral para englobar as funções descontínuas no sentido atual. Segundo esse mesmo autor, uma função era representada pelo desenvolvimento em série trigonométrica apenas em parte do seu domínio, o que punha em causa uma das características básicas da visão algébrica setecentista do cálculo infinitesimal, aquilo a que se convencionou chamar a ``generalidade da álgebra''. (CORREIA,1999)\\

Todo esse contexto é importante, pois gerou a necessidade de estudar o desenvolvimento de uma função em série trigonométrica, não somente para funções contínuas, mas também para as contínuas por partes.\\

Em 1837, Dirichlet sugeriu uma definição muito mais ampla de função que a proposta no inicio do século XIX. Segundo Sá

\begin{quote}
{\footnotesize Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é função da variável independente x. (SÁ, 2003, p.12)}
\end{quote}

Percebemos aqui que esse conceito se aproxima do que usamos hoje. Para Mendes (1994), em 1968 Boubarki apresentou a definição de função como certo subconjunto do produto cartesiano $E \times F$. Para o mesmo autor o conceito de função foi assim apresentado

\begin{quote}
{\footnotesize Sejam $E$ e $F$ dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma variável $x$ de $E$ e uma variável $y$ de $F$ é dita uma relação funcional em $y$, ou relação funcional de $E$ em $F$, se qualquer que seja $x \in  E$, existe um e somente um elemento $ y \in F$ que esteja associados a $x$ na relação considerada. (MENDES, 1994 apud SÁ, 2003, p.13)}
\end{quote}

Chegamos a um dos conceitos mais recentes ao longo da história das funções, atualmente nos diversos campos da matemática e também nos livros didáticos do Ensino Médio. É muito importante notar que

\begin{quote}
{\footnotesize Com esta definição e com a eliminação dos problemas lógicos que envolviam a construção do conjunto dos números reais, é possível elaborar, hoje, funções muito mais abrangentes, em conjuntos quaisquer, e não apenas numéricos. (ZUFFI e PACCA, 1999, p.251)}
\end{quote}

Esta característica foi essencial para a disseminação do conceito de função por várias áreas do conhecimento. Podendo assim, ser utilizada nos mais diversos tipos de modelos de correspondência, não sendo restrito apenas ao conjunto dos números reais.\\

\textbf{4- A MODERNIDADE}\\

O conceito de taxa de variação instantânea, entre variáveis dependentes e independentes, é uma das ferramentas matemática mais utilizada em outras áreas científicas e tecnológicas. Apresentamos aqui um modelo advindo da Ecologia, nem tanto recente, mas que valida essa afirmação e para encerrar essa parte apresentamos também uma idéia de modelo computacional e sua relação com as funções. Esse último modelo é caracterizado essencialmente pela abstração, por entes irreais sendo utilizados como instrumento para ações reais.\\

Para Silva (s.d) o tratamento matemático de alguns problemas de áreas como a biologia ou a economia é recente. Tal tratamento está baseado na idéia de traduzir um fenômeno do mundo físico em uma equação ou sistema de equações que poderão ser algébricas, diferenciais ou integrais. Isto é obtido a partir da análise e abstração de situações-problema com a escolha adequada de variáveis e suas relações.\\

\textbf{4.1- Ecologia}\\

O conceito de função se mostra muito importante na modelagem das situações-problema, porque está presente na análise de comportamento de variáveis e suas relações. Na ecologia, por exemplo, a utilização de modelos matemáticos é essencial nas previsões da distribuição e abundância dos organismos. As questões relacionadas à abundância referem-se ao crescimento populacional tratado a partir de modelos exponenciais, logísticos, estruturados dentre outros.\\

Esses modelos procuram, por meio da análise das variáveis envolvidas, criar equações que possibilitam prever situações futuras. Mostraremos aqui o modelo exponencial por ser o primeiro desses e conter elementos que servem de base para os outros posteriores a ele. \\

Segundo Bassanezi (2002), a proposta de utilizar matemática para criar um modelo de crescimento de população humana começou com o economista inglês Thomas Malthus (1766-1834). Seu modelo se baseia em dois postulados:
\begin{enumerate}
\item ``O alimento é necessário à subsistência do homem'';
\item ``A paixão entre os sexos é necessária e deverá permanecer aproximadamente em seu estado permanente''.
\end{enumerate}

Seu modelo supõe que o aumento de alimentos se dá em progressão aritmética enquanto o crescimento populacional se dá em progressão geométrica. Em dinâmica populacional se convencionou chamar modelo de Malthus o modelo que considera que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada instante.\\

Vejamos a formulação desse modelo:\\

Imaginemos uma população de tamanho $N$, esse tamanho varia em função do número de nascimentos ``$B$'' e de mortes ``$D$'' de indivíduos e depende também do deslocamento ``$S$'' de indivíduos (GOTELLI, 1959). Assim $$N_{T+1}=N_T+B-D+I-E$$
No entanto, a análise se torna difícil se for considerado o numero de migrações. Dessa forma assumimos uma população fechada e a expressão acima se reduz à $$N=N_T+B-D $$ ou $$\Delta N=B-D$$

É importante perceber que a análise e a interpretação das variáveis envolvidas e das suas relações são essenciais à construção e à manipulação do modelo. Algumas vezes é preciso alterar as expressões inicialmente encontradas para melhorar ou facilitar a interpretação do fenômeno, no nosso caso foi preciso, por exemplo, retirar as variáveis de migração.\\

A variação do tamanho da população, ou o crescimento populacional, poderá ser descrito pela seguinte equação diferencial $$\dfrac{\partial{N}}{\partial{t}}=B-D (*)$$\\
Onde $B$ e $D$ representam a taxa de natalidade e mortalidade respectivamente da população em geral. Assim, se considerarmos $b$ e $d$ como taxa de natalidade e mortalidade instantânea, \textit{per capita}, teremos $B=bN$ e $D=dN$, ou seja, $\dfrac{\partial{N}}{\partial{t}}=(b-d)N$\\

Fazendo $r=b-d$ igual à taxa de crescimento instantâneo reduzimos a expressão $(*)$ a $$\dfrac{\partial{N}}{\partial{t}}=rN$$

O que temos aqui é a variação da população em função do tempo, para obtermos o tamanho da população em um dado instante devemos resolver essa equação diferencial de 1ª ordem. Para isso, basta usarmos o método chamado \textit{variáveis separáveis}, que equivale a separar $\partial{N}$ em um membro e $\partial{t}$ em outro. Depois, integramos ambos os membros e encontramos $$N_t={N_0}{e{rt}}$$

Esta expressão nos garante que sabendo a taxa intrínseca da população podemos prever o tamanho da população em um tempo futuro. Sabemos que esse foi e continua sendo o grande interesse do homem em relação à ciência. Daí a grande importância das funções e da modelagem para o meio científico, são ferramentas para, a partir da análise presente de uma situação, prever outras futuras e até supor algumas passadas.\\

\textbf{4.2 - Computação}\\

A fim de seguir uma linha suave no tempo apresentamos algumas idéias de uma utilização do conceito de função em modelos computacionais, caracterizando a modernidade e a abstração do conceito.\\

Podemos interpretar uma função como uma ``máquina'' que transforma entradas válidas em saídas, univocamente. A \textit{recursividade} na programação de computadores abrange a definição de uma função que pode recorrer a si própria. A recursão possibilita usar um programa de computador finito para definir, analisar ou gerar um estoque potencialmente infinito de sentenças, designs ou demais dados. Ela está na base da Teoria da Computação, uma vez que a equivalência teórica entre as Máquina de Turing (MT) e as funções $\mu$-recursivas é o fundamento das idéias sobre o computador moderno. \\

As máquinas de Turing existem desde 1934 e são modelos de computadores reais. Elas possuem habilidade de manipular uma quantidade ilimitada de dados e, como uma máquina real, pode ter seu espaço de armazenamento acrescido conforme a necessidade através da obtenção de mais discos ou outro meio de armazenamento. Além disso, elas possibilitam simplificar algoritmos.\\

Segundo Menezes (1997) para ser considerada como um modelo formal de \textit{procedimento efetivo, algoritmo ou função computável} a MT deve satisfazer algumas propriedades como descrever de forma finita um algoritmo e consistir de passos discretos, executáveis e em tempo finito.\\

Para o mesmo autor (1997) podemos, essencialmente, dividir uma MT em 3 partes:
\begin{itemize}
\item \textit{Fita}. Empregada ao mesmo tempo como dispositivo de entrada, saída e memória de trabalho;
\item \textit{Unidade de Controle}. Apresenta o estado corrente da máquina. Tem uma unidade de leitura e gravação (cabeça da fita) a qual acessa uma célula da fita de cada vez e movimenta-se para a esquerda ou direita;
\item \textit{Programa ou Função de Transição}. Função que conduz as leituras e gravações, o sentido de movimento da cabeça e define o estado da máquina.
\end{itemize}

Formalmente podemos dizer que uma \textit{Máquina de Turing} é uma 8-upla  MT =$ (\Delta, E,  \gamma, e_0, F, V, \beta,S)$ onde:\\
- $\Delta$ \textit{Alfabeto de símbolos de entrada};\\
- $E$ Conjunto de \textit{estados} possíveis da máquina (o qual é finito);\\
- $\gamma$ \textit{Programa} ou \textit{função de transição} (função parcial);\\
- $\gamma : E \times (\Delta V\{\beta, S\}) \longrightarrow E \times (\Delta V\{\beta, S\} \times \{L, R \}$;\\
- $e_0$ \textit{estado inicial} da máquina tal que $e_0$ é elemento de $E$;\\
- $F$ Conjunto de \textit{estados finais} tais que $F$ está contido em $E$;\\
- $V$ \textit{Alfabeto auxiliar} (pode ser vazio);\\
- $\beta$ símbolo especial \textit{branco};\\
- $S$ \textit{símbolo} o \textit{marcador de início} da fita.\\

A função de transição avalia o estado corrente e o símbolo lido da fita, para gerar o novo estado, o símbolo a ser gravado e o sentido de movimento da cabeça, onde esquerda e direita, são designados por $L$ e $R$, respectivamente. \\

O processamento de uma Máquina de Turing, MT = $(\Delta, E, \gamma, e_0, F, V, \beta, S)$, para uma palavra de entrada $w$, consiste na sucessiva aplicação da função programa a partir do estado inicial $e_0$ e da cabeça posicionada na célula mais à esquerda da fita até ocorrer uma condição de parada. O processamento da MT para a entrada $w$, pode parar ou ficar em \textit{loop} infinito. A parada pode ser de duas maneiras: aceitando ou abandonando a entrada $w$.\\

A MT formou as bases da teoria da computação contemporânea, pois a tese de Turing iguala sua máquina com todas as formas de computação. De um ponto de vista teórico, a importância da MT está no fato de que ela representa um objeto matemático formal. Por meio dela, foi possível adequar uma definição do que significa computar algo, levantando a questão sobre o que precisamente pode ser computado com tal dispositivo matemático.\\

\textbf{5- CONCLUSÕES}\\

É possível que tal ferramenta matemática seja uma das mais usadas para modelar fenômenos naturais e reais e, porque não, abstratos também, e isto se deve ao fato de que uma função, principalmente se for contínua, possibilita prever acontecimentos e fenômenos, o que favorece armar estratégias para enfrentá-los, para interferir, para agir. Como exemplo, podemos citar os problemas de otimização e vários fenômenos físicos e econômicos. É possível ainda trabalhar com as funções não somente em conjuntos contínuos, mas também discretos (FRIEDMANN e LOZANO, 2007), o que permite sua utilização também em programação. Quando lidamos com funções estamos analisando relações entre variáveis e isto pode ser realizado não somente de forma algébrica, geométrica, combinatória, mas, em especial, gráfica e analítica. Vale ressaltar que uma função, do mesmo modo, pode ser uma variável, por exemplo, no caso de funções compostas ou de função derivada.\\

No ensino médio, especialmente, é importante fornecer meios e contextos para o estudante conceber uma variável como generalizadora de modelos, como tradutora de situações, como incógnita, como constante, como argumento e parâmetro e ainda como papéis e relações arbitrárias entre símbolos (USISKIN, 1997). Dessa forma, munimos o estudante de um arsenal cognitivo que o permita não só atacar várias situações-problema, mas também criá-las. Consideramos a modelagem matemática como um dos principais meios e, sempre que oportuno, inserir recursos computacionais, contextos históricos e diversificar modelos, analisando os elaborados por outros grupos sociais, que igualmente ao grupo eurocentrista, buscavam conhecer e entender os seus meios.\\

Todo o desenrolar do desenvolvimento do conceito de relação e função nos faz ver que este se deu pela necessidade do homem e esteve presente em toda a história da humanidade e isto nos veio como uma constatação a mais, já que buscávamos analisar apenas o primeiro fato - o da necessidade.\\

Nos primórdios da História os homens associaram pedras (cálculos) aos animais e aos objetos, para contá-los, e a partir daí deram origem ao conceito de número utilizando a idéia de relações. Na Grécia antiga os pitagóricos, na busca de investigar o mundo e o cosmos, estudavam os fenômenos físicos - também os metafísicos, mas isso não vem ao caso - e para isso usavam como ferramenta as relações de interdependência.\\

Na antiguidade e nos primeiros anos de nossa era o homem desenvolveu as concepções sobre as Proporções, a Geometria e a Álgebra usando a idéia de função. Na Idade Moderna, em um processo formal da Matemática, elaboraram os conceitos da Análise, do Cálculo, da Geometria Diferencial, da Teoria de Conjuntos e concomitantemente usavam e desenvolviam a Teoria de Funções.\\

Hoje, as mais diversas áreas da Ciência buscam, por meio de uma matematização, descrever as situações da realidade utilizando como um instrumento as funções. Assim checamos que desde os tempos remotos as interpretações das variáveis e suas relações eram utilizadas para modelar fenômenos e foi assim que se deu grande parte do desenvolvimento das idéias de função. Atualmente sabemos que as funções, por exemplo, as trigonométricas, fundamentam a teoria das ondas, sejam as mecânicas - som, onda do mar, propagação de uma onda em uma corda, abalos sísmicos, ultra-som; ou eletromagnéticas - raios-X, radiação ultravioleta, luz.  Já, sob um ponto de vista mais abstrato, observamos o conceito de função sendo utilizado em programação computacional, impulsionando cada vez mais o desenvolvimento tecnológico e científico.\\

Ainda cabe destacar que defendemos a utilização de uma abordagem que signifique a matemática, mas sem perder de vista a característica axiomática e formal\footnote{Para maiores detalhes sobre a discussão do formalismo e modelagem o leitor pode verificar o artigo de Araújo, 2007.}  dessa ciência. Acreditamos que a abordagem dos conceitos e conteúdos por meio da modelagem também pode favorecer a generalização e a formalização, dependendo dos modelos e dos contextos a serem trabalhados. Os aqui apresentados são uma boa opção, porém não esgotam o tema, mas podem abrir espaço para trabalhos futuros.
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