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%Uso do pacote latin1 e brazil - para internacionalização e uso
%de acentos, pontuação e outras características gráficas da Lingua
%Portuguesa.
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%Escolha do tema e de suas características: título, cor, sombras
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%Informações sobre o autor, a instituição e o título do trabalho,
%bem como outras informações adicionais sobre a apresentação.
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\title{Euler e os 5 números mais famosos da matemática}

%% Autor e orientador
\author[Arlyson]{Arlyson Alves do Nascimento} 
%\textbf{Orientador:} Prof. Arlyson Alves do Nascimento}


%% Instituto
\institute[IFET - AL]{
Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Alagoas  \\
IFET - AL - Campus Maceió}

%% Data da apresentação
\date{ 7 de Maio de 2010}

%\title[Álgebra Linear]{Áreas e Volumes por Determinantes}
%\author[Isaura Silva]{Isaura Maria Oliveira da Silva}
%\institute{UFAL, Matemática-Licenciatura}
%\date{4 de dezembro de 2009}
%\subject{alguma coisa}
%\logo{\includegraphics[scale=.75]{debiantrans}}

%-----------------------------------------------------------------%
%Início do documento.
%-----------------------------------------------------------------%
\begin{document}

%-----------------------------------------------------------------%
%Criando a página de rosto e o sumário 
%-----------------------------------------------------------------%
\frame{\titlepage}
\section{Leonhard Euler}
\subsection{Leonhard Euler}
\begin{frame}
 \frametitle{Introdução}
% \tableofcontents[pausesections]
Nascido em $15$ de Abril de $1707$, em Basil, na Suíça, Euler foi sem dúvida o maior matemático do século dezoito. Com 886 trabalhos publicados, a maioria deles no final de sua vida, quando já estava completamente cego, Euler foi tão importante não apenas para a matemática, mas também a física, engenharia e astronomia, que termos como: Número de Euler, Números Eulerianos, Fórmula de Euler, significam coisas diferentes de acordo com o contexto.
\vspace{0.4cm}
\pause

Seu pai um padre calvinista que nutria esperanças de que seu filho o precedesse no clericato. Ele ensinou a Euler a matemática. Quando entrou na Universidade de Basel, estudou Teologia e a lingua Hebraica, e atendia a uma aula de uma hora por semana com Johannes Bernoulli. Ele fez amizade com Daniel e Nicolaus Bernoulli, e recebeu seu primeiro mestrado aos dezessete anos. Aos dezenove anos, Euler recebeu menção horosa por uma solução que enunciou a um problema posto pela academia de Paris. 

\end{frame}

\begin{frame}

Em $1735$, Euler perdeu a visão de um de seus olhos, e, logo após seu retorno à Rússia, a visão em seu outro olho começou a deteriorar. Euler sempre teve uma memória excepcional, e era capaz de fazer enormes cálculos de cabeça, logo ele se preparou para sua futura cegueira aprendendo a escrever fórmulas em uma tábua e ditar matemática a seus filhos ou secretária. Ele foi cego pelos últimos $17$ anos de sua vida, e durante este tempo sua produtividade somente aumentou.

%Uma história sobre sua religião durante sua estada na Rússia envolve o dito filósofo ateu Diderot. Diderot foi convidado à corte por Catarina, mas tornou-se inconveniente ao tentar converter todos ao ateísmo. Catarina pediu a Euler que ajudasse, e Euler disse a Diderot, que era ignorante em matemática, que lhe daria uma prova matemática da existência de Deus, se ele quisesse ouvir. Diderot disse que sim, e, conforme conta De Morgan, Euler se aproximou de Diderot e disse, sério, em um tom de perfeita convicção: $"( a + bn ) / n = x$, portanto, Deus existe". Diderot ficou sem resposta, e a corte caiu na gargalhada. Diderot voltou imediatamente à França.
\vspace{0.4cm}
\pause

Euler teve contribuições à várias áreas da ciência, incluindo dinâmica dos fluidos, toeria das órbitas lunares (marés), mecânica, "A teoria matemática do investimento" (seguros, anuidades, pensões), bem como essencialmente todas as àreas da matemática que existiam naquela época. 
\vspace{0.4cm}
\pause

Ele permaneceu são e alerta até o fim da sua vida, quando morreu de um derrame aos $76$ anos. O trabalho ativo de Euler provocou uma tremenda demanda da academia de São Petesburgo, que continuou publicando seus trabalhos por mais de $30$ anos após sua morte
\end{frame}

\begin{frame}

A memória de Euler era lendária, assim como seus poderes de concentração. Chamado de "Análise Encarnada", ele era capaz de recitar toda a Eneida de cor, e nunca foi atrapalhado por interrupções ou distrações, de modo que muito de seu trabalho foi realizado tendo suas crianças à sua volta. Ele era capaz de realizar cálculos prodigiosos de cabeça, uma necessidade depois que ele ficou cego. Seu matemático contemporâneo, Condorcet, conta uma história aonde dois dos estudantes de Euler estavam calculando independentemente uma complicada série infinita, e chegaram a uma discussão depois de somarem dezessete termos, por uma diferença na quiquagésima casa decimal. Euler resolveu a disputa fazendo a soma de cabeça.
\end{frame}

\section{Preliminares}
\subsection{Preliminares}
\begin{frame}
\frametitle{Preliminares}

\begin{lemma}
$$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} = e.$$
\end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Demonstração}
%\begin{proof}
Seja $f(x) = \ln x$. Então $f^{'}(x) = \dfrac{1}{x}$, portanto $f^{'}(1) = 1$.
\pause

Pela definição de derivada, temos que
\begin{align*}
f^{'}(1) = & \displaystyle\lim_{x \to 0} \ \dfrac{f(1+x) - f(1)}{x} \\
=& \displaystyle\lim_{x \to 0} \ \dfrac{\ln \ (1+x) - \ln \ (1)}{x} \\
=& \displaystyle\lim_{x \to 0} \ \dfrac{1}{x} . \ln \ (1+x) \\
=& \displaystyle\lim_{x \to 0}  \ \ln \ \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} \\
\end{align*}
%\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Demonstração}
%\begin{proof}
\begin{align*}
\intertext{como $\ln$ é contínua}
f^{'}(1) =& \ln \ \left[ \ \displaystyle\lim_{x \to 0}  \left( 1+x\right)^{\frac{1}{x}} \ \right], \\ 
\intertext{sabendo que $f^{'}(1) = 1$, temos que}
 f^{'}(1) = & \ln \ \left[ \ \displaystyle\lim_{x \to 0}  \left( 1+x\right)^{\frac{1}{x}} \ \right] = 1.\\
\end{align*}
\pause
Logo,
$$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} = e.$$
%\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

Tome $x = \dfrac{1}{n}$, assim $n = \dfrac{1}{x}$. Como $x \to 0$, então $n  \to \infty$.

Logo, 
$$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = e.$$

Que representa outra maneira de observar o mesmo limite.
\pause

Vamos expressar o número $e$ através de uma série infinita. Visto que 
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = e,$$
comecemos por desenvolver o binômio $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}$, $n$ inteiro.
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{align*}
\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = & 1 + {{n}\choose{1}}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{1} + {{n}\choose{2}}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{2} + {{n}\choose{3}}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{3} + \cdots \\
  = & 1+n \dfrac{1}{n} + \dfrac{n(n-1)}{2!} \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \dfrac{1}{n^3} + \cdots\\
 = & 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} \left(\dfrac{n-1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!} \left(\dfrac{n-1}{n}\right)\left(\dfrac{n-2}{n}\right) + \cdots .
\end{align*}
\pause
Fazendo $n \to \infty$ os quocientes $\dfrac{n-1}{n}$, $\dfrac{n-2}{n}$, etc, todos tendem a $1$, de modo que
$$e = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \dfrac{1}{5!} + \cdots . $$
\pause
Mas a função $f(x) = e^x$ também pode ser expressa através de uma série infinita. 
\end{frame}

\begin{frame}
Seja a expressão:
$$\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n},$$
fazendo $\dfrac{x}{n} = \dfrac{1}{m}$, temos que $n= mx$.
\pause
Portanto
$$\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n} = \left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^{mx} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^{m}\right]^x.$$
\pause
Quando $n \to \infty$, $m \to \infty$ de modo que
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n} = \displaystyle\lim_{m \to \infty} \left[\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^{m}\right]^x = \left[\displaystyle\lim_{m \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^{m}\right]^x = e^x.$$
\pause
Desenvolvendo $\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n}$ pelo binômio de Newton e fazendo $n \to \infty$, temos
$$e^x =  1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots.$$

\end{frame}

\begin{frame}
Vamos expressar as funções $\sin x$ e $\cos x$ como séries infinitas. Sabemos que a derivada $\left(\sin x\right)^{'} = \cos x$ e $\left(\cos x\right)^{'} = -\sin x$. \pause As derivações sucessivas produzem os seguintes resultados

\begin{align*}
 \left(\sin x\right)^{'}   & = \cos x \\
  \left(\sin x\right)^{''}  & = -\sin x \\
 \left(\sin x\right)^{'''}  & = -\cos x \\
 \left(\sin x\right)^{(4)} & = \sin x \\
\end{align*}
\begin{align*}
 \left(\cos x\right)^{'}   & = -\sin x \\
  \left(\cos x\right)^{''}  & = -\cos x \\
 \left(\cos x\right)^{'''}  & = \sin x \\
 \left(\cos x\right)^{(4)} & = \cos x \\
\end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}


Vamos desenvolver $\sin x$ e $\cos x$ como séries de potências de $x$,

\begin{align*}
\sin x & = A_{0} + A_{1}x + A_{2}x^{2} + A_{3}x^{3} + A_{4}x^{4} + A_{5}x^{5} + \cdots\\
 \intertext{e}
 \cos x & = B_{0} + B_{1}x + B_{2}x^{2} + B_{3}x^{3} + B_{4}x^{4} + B_{5}x^{5} + \cdots\\
\end{align*}
\pause
Como para $x=0$, $\sin 0 = 0$ e $\cos 0 = 1$, assim $A_{0} =0$ e $B_{0} =1$.
\end{frame}

\begin{frame}

Derivando-se sucessivamente $\sin x$ e $\cos x$ temos:
\begin{itemize}
	\item para $\sin x$
	
	\begin{align*}
 \cos x  & = A_{1} + 2 A_{2}x + 3 A_{3}x^{2} + 4 A_{4}x^{3} + 5 A_{5}x^{4} + 6 A_{6}x^{5} + \cdots \\
  -\sin x  & = 2 A_{2} + 2.3 A_{3}x + 3.4 A_{4}x^{2} + 4.5 A_{5}x^{3} + 5.6 A_{6}x^{4} + \cdots \\
 -\cos x  & = 2.3 A_{3} + 2.3.4 A_{4}x + 3.4.5 A_{5}x^{2} + 4.5.6 A_{6}x^{3} + \cdots \\
 \sin x  & = 2.3.4 A_{4} + 2.3.4.5 A_{5}x + 3.4.5.6 A_{6}x^{2} + \cdots 
\end{align*}
\pause
\item para $\cos x$
	
	\begin{align*}
 -\sin x  & = B_{1} + 2 B_{2}x + 3 B_{3}x^{2} + 4 B_{4}x^{3} + 5 B_{5}x^{4} + 6 B_{6}x^{5} + \cdots \\
  -\cos x  & = 2 B_{2} + 2.3 B_{3}x + 3.4 B_{4}x^{2} + 4.5 B_{5}x^{3} + 5.6 B_{6}x^{4} + \cdots \\
 \sin x  & = 2.3 B_{3} + 2.3.4 B_{4}x + 3.4.5 B_{5}x^{2} + 4.5.6 B_{6}x^{3} + \cdots \\
 \cos x  & = 2.3.4 B_{4} + 2.3.4.5 B_{5}x + 3.4.5.6 B_{6}x^{2} + \cdots 
\end{align*}
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}

Fazendo nestas igualdades $x =0$ e lembrando que $\sin 0 = 0$ e $\cos 0 = 1$, deduzimos 

$$\left.
\begin{array}{ccccccc}
  A_{1}& = & 1 & &  B_{1}& = & 0 \\
  A_{2}& = & 0  & &  B_{2}& = & -1/2! \\
  A_{3}& = & -1/3!  & &  B_{3}& = & 0 \\
  A_{4}& = & 0   & &  B_{4}& = & 1/4! \\
  A_{5}& = & 1/5!   & &  B_{5}& = & 0 \\
  A_{6}& = & 0   & &  B_{6}& = & -1/6! \\
  A_{7}& = & -1/7!  & &  B_{7}& = & 0 \\
  A_{8}& = & 0   & &  B_{8}& = & 1/8! \\
\end{array}
\right.$$

\end{frame}

\begin{frame}

De modo que o desenvolvimento de $\sin x$ e $\cos x$ em séries de potências de $x$ são:
\begin{align*}
\sin x & = x - \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{5}}{5!}- \dfrac{x^{7}}{7!} + \dfrac{x^{9}}{9!} \cdots\\
 \intertext{e}
 \cos x & = 1 - \dfrac{x^{2}}{2!} + \dfrac{x^{4}}{4!}- \dfrac{x^{6}}{6!} + \dfrac{x^{8}}{8!} \cdots\\
\end{align*}
\end{frame}

\section{Fórmula de EULER}
\subsection{Fórmula de EULER}
\begin{frame}
Agora voltemos a função 
\alert{$$e^x =  1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots.$$}
\pause
Euler supôs \alert{$x$} imaginário puro da forma \alert{$x = i \theta$} e entrou nesta expressão obtendo
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{align*}
e^{\alert{i \theta} }= & 1 + \dfrac{\alert{i \theta}}{1!} + \dfrac{{(\alert{i \theta})}^2}{2!} + \dfrac{{(\alert{i \theta})}^3}{3!} + \dfrac{{(\alert{i \theta})}^4}{4!} + \dfrac{{(\alert{i \theta})}^5}{5!} +\dfrac{{(\alert{i \theta})}^6}{6!} + \dfrac{{(\alert{i \theta})}^7}{7!} \cdots \\
= & 1 + \dfrac{\alert{i} \alert{\theta}}{1!} - \dfrac{{\alert{\theta}}^2}{2!} - \dfrac{\alert{i}{\alert{\theta}}^3}{3!} + \dfrac{{ \alert{\theta}}^4}{4!} + \dfrac{\alert{i} {\alert{\theta}}^5}{5!} - \dfrac{{\alert{\theta}}^6}{6!} - \dfrac{\alert{i}{ \alert{\theta}}^7}{7!} \cdots \\
= & \left(1  - \dfrac{{\alert{\theta}}^2}{2!} + \dfrac{{ \alert{\theta}}^4}{4!}- \dfrac{{\alert{\theta}}^6}{6!}\cdots\right) + \left( \dfrac{\alert{i} \alert{\theta}}{1!} - \dfrac{\alert{i}{\alert{\theta}}^3}{3!} +  \dfrac{\alert{i} {\alert{\theta}}^5}{5!}  - \dfrac{\alert{i}{ \alert{\theta}}^7}{7!} \cdots \right) \\
= & \left(1  - \dfrac{{\alert{\theta}}^2}{2!} + \dfrac{{ \alert{\theta}}^4}{4!}- \dfrac{{\alert{\theta}}^6}{6!}\cdots\right) + \alert{i}\left( \dfrac{\alert{\theta}}{1!} - \dfrac{{\alert{\theta}}^3}{3!} +  \dfrac{{\alert{\theta}}^5}{5!}  - \dfrac{{\alert{\theta}}^7}{7!} \cdots \right) 
\end{align*}
\pause
e, como os polinômios entre parênteses são as séries do $\cos \alert{\theta}$ e $\sin \alert{\theta}$, respectivamente, concluiu que
$$e^{\alert{i \theta}} = \cos \alert{\theta} + \alert{i} \sin \alert{\theta}.$$

\end{frame}

\begin{frame}
Tomando $\alert{\theta = \pi}$ e sabendo que $\cos \alert{\pi} = -1$ e $\sin \alert{\pi} = 0$, obtemos a famosa fórmula que envolve os 5 números mais famosos  da Matemática:
\pause
$$e^{\alert{i \pi}} + 1= 0.$$
\end{frame}

\section{Referências Bibliográficas}
\subsection{Referências Bibliográficas}

\begin{frame}{Referências Bibliográficas}
\begin{thebibliography}{ZZ}
\bibitem{Garbi}Garbi, Gilberto G.; \textit{O Romance das Equações Algébricas}, 3ª ed rev. e ampl. - São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.\label{Garbi}
\bibitem{Contador}Contador, Paulo R. M.;\textit{ A Matemática na arte e na vida}, São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.
\label{Contador}
\bibitem{Maor}Maor, Eli;\textit{ e: a história de um número}, tradução de Jorge Calife, 5ª ed. - Rio de Janeiro: Record, 2008.
\label{Maor}
\vspace{-0.3em}

\end{thebibliography}
\end{frame}
\end{document}
