\documentclass{beamer}

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\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage[mathscr]{eucal}


%%%% DEFINICOES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{Df}{Definição}[section]
\newtheorem{Th}[Df]{Teorema}
\newtheorem{Prop}[Df]{Proposição}
\newtheorem{Le}[Df]{Lema}
\newtheorem{Ex}[Df]{Exemplo}
\newtheorem{Exs}[Df]{Exemplos}
\newtheorem{Obs}[Df]{Observação}
\newtheorem{Fato}[Df]{Fato}
\newtheorem{Que}[Df]{Questão}
\newtheorem{Cor}[Df]{Corolário}

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\newcommand{\fd}{\hfill{$\blacksquare$}}
\newcommand{\bc}{\begin{center}}
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\newcommand{\dem}{{\bf Demonstração:}}
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%%%% INICIO DE FATO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\title[V Bienal SBM -- Jo\~ao Pessoa, 2010]{Duas Alegorias e um Teorema:  \\ o Impossível, o Indeterminado, \\
       o Inconsistente e o Independente \\ em Matemática }
\author{Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva \\ (IM -- UFBA)}
\institute{Departamento de Matemática -- Instituto de Matemática \\ Universidade Federal da Bahia}

\date{\scriptsize{\textbf{Jo\~ao Pessoa -- Paraíba}  \\ \vspace{.10cm} Outubro de 2010}}



\begin{document}


\frame{\titlepage}


%\begin{frame}[allowframebreaks=1.0]
%\transdissolve
%\frametitle{Índice}
%\tableofcontents
%\end{frame}

\frame
{
  \frametitle{Uma palestra ``in''...}

Esta é, sem dúvida nenhuma, uma palestra ``in''... Nosso objetivo é discutir as no\c c\~oes de

\bc

{\bf Im}possível

\esple

{\bf In}determinado

\esple

{\bf In}consistente

\esple

{\bf In}dependente

\esple

\ec

em Matemática !!!

}


\frame
{
  \frametitle{Qual é o valor de zero elevado a zero ?}
  
  Esta palestra é uma adapta\c c\~ao da palestra {\bf Qual é o valor de zero elevado a zero ? (ou: o impossível, o indeterminado, o inconsistente e o independente em matemática}, apresentada em duas oportunidades em Salvador (na UFBA) em 2009 -- uma delas durante um Café Cultural, organizado pelos alunos de gradua\c c\~ao --, e também  em Ilhéus (na UESC) e em Recife (na UFRPE).
  
  \esple
  
  Aproveito a oportunidade para agradecer aos colegas Maité Kulesza (UFRPE) e
  Nestor Centurión (UESC) pela oportunidade de divulgar (e desenvolver) este trabalho !!!

}


\frame
{
  \frametitle{Cuidado !!!}
  
  Esta palestra nasceu num ambiente ``bastante liberal'' de um Café Cultural, ent\~ao algumas precau\c c\~oes tem que ser tomadas...

\begin{itemize}

\item <1-> Utilizaremos várias vezes algumas palavras ``especiais"\,(algumas de uso comum, outras não) em vários contextos, sem fazer definições precisas (o que em geral devemos evitar em apresenta\c c\~oes técnicas !!!).

\item <2-> Com isso, muitas vezes poderá parecer que estamos perdendo a clareza ou o foco do que estaremos falando a respeito ! Ou mesmo poderá parecer que n\~ao estamos falando de Matemática -- mas garanto que não é o caso...

\item <3-> O objetivo desta palestra é, antes de tudo, ``levantar poeira'' nas cabe\c cas dos estudantes. Ao final talvez algumas partículas ainda estar\~ao voando, mas certas coisas demoram mesmo para decantar !!!

\end{itemize}




}


\frame
{
  \frametitle{Cuidado !!!}

\begin{itemize}


\item <1-> De certo modo, esta palestra segue os princípios de um grande brasileiro, o apresentador de TV Abelardo Barbosa, o Chacrinha (1917-1988):

\esple

\item <2-> {\bf ``Eu vim para confundir,  e não para explicar !''}

\esple

\item <3-> ... Em resumo, espero que todos saiam com mais dúvidas do que respostas...

\end{itemize}

}


\frame
{
  \frametitle{Qu\~ao poderosa é a Matemática ?}
  
  \begin{itemize}
  
  \item <1-> As pessoas em geral (n\~ao apenas os estudantes e profissionais de Matemática) tendem a ter uma vis\~ao bastante ``sólida e confiante'' no poder da Matemática, e na certeza absoluta de suas conclus\~oes -- certeza, inclusive, da existência dessas conclus\~oes. Dado um problema matemático, existirá uma solu\c c\~ao para ele !!! Basta achar (ou criar) uma demonstra\c c\~ao...
  
  \esple
  
  
  \item <2-> {\bf Hilbert:}  ``N\~ao existe {\bf ignorabimus} em Matemática !!!''
  
  \esple
  
  
  \item <3-> Vamos resumir essa ``cren\c ca'' em  uma frase, escrita numa linguagem bem simples -- sem nenhuma express\~ao filosófica em latim... --, com a qual imagino que uma boa parte de vocês concorda (talvez, todos concordem !!!):
  
  \end{itemize}
  
  }

\frame
  {\frametitle{Você concorda com essa frase ?}
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A ``cren\c ca''}


 ``A matemática é uma ciência exata, que nos fornece {\bf sempre} \\  respostas 
 corretas, verdadeiras e únicas''.
 
 \end{beamerboxesrounded}
 
 \esple

 A idéia de ``resposta única e verdadeira"\, (com a qual as pessoas tendem a concordar na frase acima) vem, possivelmente, do fato que todos acreditamos fortemente nos princípios lógicos do Terceiro Excluído e da Não-Contradição.
 
 \esple
 
 Voltaremos à essa frase várias vezes durante esta palestra. De certa forma, nosso objetivo é {\bf ``atacar a crença que temos nessa frase !''}
 
 

}

\frame
{
  \frametitle{Existem ``limita\c c\~oes'' para a Matemática ?}

Estamos interessados em discutir o poder da Matemática, e, para tanto, vamos pensar um pouco em suas eventuais limita\c c\~oes, em dois níveis de discuss\~ao:

\esple

\begin{itemize}


\item <1-> O que é  ``impossível"\, {\bf na}  Matemática ? 

(``dentro da matemática")

\esp


\item <2-> O que é ``impossível'' {\bf para} a Matemática ?   

(``olhando a matemática de fora")


\end{itemize}

\esp

(Notar que, conforme prometido, já estamos usando uma palavra bastante complicada, sem defini-la formalmente: a palavra {\bf impossível}...)


}



\frame
{
  \frametitle{A Matemática pode tudo ?}

Seria a Matemática... Onipotente ?

\esple

Para algumas pessoas, vale a seguinte frase:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Eis aí a única entidade onipotente !}

Onipotente, só Deus !

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Com o perd\~ao dos mais religiosos (pela eventual blasfêmia de trazer Deus à baila !), lembro que existe até uma famosa demonstra\c c\~ao de que ``a existência de Deus é equivalente ao Axioma da Escolha''... (Meyer) 

\esple

Pois bem -- vamos à primeira {\bf alegoria} desta palestra ! Vamos discutir um pouco a onipotência de Deus -- e tentar trazer alguma li\c c\~ao para nosso estudo da Matemática...



}


\frame
{
  \frametitle{O Paradoxo da Onipotência}

O objetivo deste paradoxo é contestar (ou discutir) a onipotência de Deus, e o mesmo vem sendo estudado desde o século XII. Ele se baseia na seguinte pergunta (ou em varia\c c\~oes dela):

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Sim ou n\~ao ?}

 Deus pode construir uma pedra tão pesada que ele próprio não consiga levantá-la ?
 
 
\end{beamerboxesrounded}

\esple


Existem varia\c c\~oes interessantes desse paradoxo. Por exemplo:

\begin{itemize}

\item  <1-> O que acontece quando uma força irresistível encontra um objeto inamovível ?

\item <2-> Ou, para quem passa madrugadas assistindo a programas de propaganda na televisão: quem ganha, as facas Ginsu ou as meias Vivarina ???

\end{itemize}



}


\frame
{
  \frametitle{O Paradoxo da Onipotência}
  
  
  Para qualquer resposta que se dê (positiva ou negativa) para a pergunta sobre Deus e a pedra, conclui-se que Deus {\bf não é} onipotente.

\begin{itemize}

\item Se Deus não pode construir essa pedra que ele mesmo não consegue levantar,  {\bf então existe algo que Ele não pode fazer} -  construir essa pedra que Ele próprio não pode levantar.

\item Se Deus pode construir essa pedra, {\bf então existe algo que Ele não pode fazer} -  levantar essa pedra.

\end{itemize}

\esple

Como os defensores da idéia de onipotência de Deus podem se opor a esse paradoxo ? Vamos levantar alguns argumentos utilizados. Alguns n\~ao nos ajudar\~ao na sequência -- mas outros sim !!!

}

\frame
{
  \frametitle{Tentando ``escapar'' do Paradoxo...}
  
  Uma maneira é considerar que, diante da quest\~ao da onipotência de Deus, falar em ``pedra t\~ao pesada que ele n\~ao possa levantar'' seria algo t\~ao sem sentido como ``um círculo quadrado". Essa foi a posi\c c\~ao de C. S. Lewis, de quem citamos a seguinte frase:
  
  \esple
  
  \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{C. S. Lewis, 1898-1963, autor de ``Crônicas de Nárnia''}
  
  
``Combinações de palavras que não possuam sentido não ganham sentido simplesmente colocando `Deus pode' na frente delas.''

\end{beamerboxesrounded}

\esple

\esple

Assim, o paradoxo seria apenas um jogo de palavras sem sentido - algo ``nonsense''. 

}





\frame
{
  \frametitle{Tentando ``escapar'' do Paradoxo...}

\begin{itemize}

\item <1-> Uma outra maneira é considerar o seguinte ``truque'': se Deus é onipotente, ele pode retirar Sua própria onipotência. Ent\~ao Ele construiria a pedra, retiraria a própria onipotência e, pronto, ``na hora de n\~ao levantar a pedra'' Ele n\~ao seria mais onipotente. N\~ao existe mais contradi\c c\~ao, só que Deus perde a onipotência no final... Mas perceba que Ele efetivamente {\bf construiu} a pedra que Ele {\bf n\~ao pôde} levantar.

\item <2-> Um outro argumento é considerar que a onipotência de Deus seria relacionada a poder fazer coisas que ``n\~ao fossem contra os seus princípios''. Nesta interpreta\c c\~ao, Deus, por exemplo, n\~ao poderia mentir !!!

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Lula em Copenhaghe, 2009:}

  \bc ``Impossível só é Deus pecar'' \ec
  
\end{beamerboxesrounded}

No entanto, ele continuaria onipotente, pois continua podendo fazer ``tudo que n\~ao fosse contra os Seus princípios''...




\end{itemize}

}


\frame
{
  \frametitle{Tentando ``escapar'' do Paradoxo...}
  
\begin{itemize}

\item <1-> Ainda dentro desta linha de ``restringir a defini\c c\~ao de onipotência'', pode-se considerar que {\bf n\~ao é do interesse de Deus que existam contradi\c c\~oes}. Nesse sentido, se a pergunta fosse ``Deus pode fazer com que  
2 + 2 = 5 ?'', a resposta seria ``N\~ao, pois n\~ao é do Seu interesse que existam contradi\c c\~oes''. Isso estaria contra os Seus princípios !!!


\item <2-> Uma outra linha é aceitar a contradi\c c\~ao. Nesta linha, Deus pode fazer com que 2 + 2 seja, ao mesmo tempo, 4 e 5 !!! Ou ent\~ao, construir uma pedra t\~ao grande que ele n\~ao possa levantar, mas no final levantá-la do mesmo jeito !!!

\esple

Nesta linha, Deus poderia fazer realmente tudo, mesmo que fosse contraditório ou absurdo. 


\end{itemize}
  
 }


\frame
{
  \frametitle{Discutindo ``Y pode fazer X''}
  
  Observamos que, na tentativa de restringir a onipotência de uma entidade Y, buscando evitar contradi\c c\~oes,  podemos tentar fazer duas tentativas de restri\c c\~ao com rela\c c\~ao a ``efetuar tarefas X'' ({\bf procure entender bem a diferen\c ca}):
  
  \esple
  
  \begin{itemize}
  
  \item <1-> Podemos considerar Y onipotente se Y pode fazer qualquer tarefa X, desde que ``X'' n\~ao contrarie os princípios da lógica.
  
  \esple
  
  \item <2-> Podemos considerar Y onipotente se Y pode fazer qualquer tarefa X, desde que ``Y pode fazer X'' n\~ao contrarie os princípios da lógica.
  
  \esple
  
  {\bf Exercício:} Ambas as  restri\c c\~oes resolvem, isoladamente, o Paradoxo (mantendo a onipotência de Deus) ? Ou apenas uma delas ?
  
  
  \end{itemize}
  
  
}


\frame
{
  \frametitle{Qual seria o ``melhor argumento'' para nós ?}
  
  Possivelmente, a melhor maneira de considerar o Paradoxo para nós é a seguinte:
  
  \esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Deus n\~ao quer contradi\c c\~oes !}

Para que não tenhamos contradições, então devem existir coisas que Deus não possa fazer - por exemplo, Deus n\~ao pode fazer com que \\ 2 + 2 = 5, e também  Deus não pode construir uma pedra tão pesada que ele não possa levantá-la.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Ou seja: a onipotência total levaria a contradi\c c\~oes... Em outras palavras, {\bf a unica maneira de termos onipotência plena é admitindo contradi\c c\~oes !!!}

\esple

Note que, no enunciado acima, estamos  combinando as duas restri\c c\~oes em ``Y pode fazer X'' que consideramos; por quê ?


}


\frame
{
  \frametitle{Quais lições podemos levar para a Matemática dessa nossa brincadeira com o Paradoxo da Onipotência ?}
  
  \begin{itemize} 
  
  \item <1-> Sendo Y = Matemática, podemos procurar tarefas X que sejam tais que ``X'' contrarie os princípios da lógica. Isto equivale àquela quest\~ao inicial: o que é impossível {\bf na} Matemática ? (olhando de dentro).

  \item <2-> Sendo Y = Matemática, podemos procurar tarefas X que sejam tais que ``Y pode fazer X'' contrarie os princípios da lógica. Isto equivale àquela quest\~ao inicial: o que é impossível {\bf para} a Matemática ? (olhando de fora).

  \item <3-> E vamos fazer mais um joguinho de palavras para introduzir a próxima pergunta...
  
  \esple
  
  Como todos os presentes s\~ao pessoas muito devotadas a Matemática, identifiquemos ``Deus'' $\equiv$\, ``Matemática'', e pense que ``Deus pode fazer'' $\equiv$\, ``A Matemática pode demonstrar''.
  
  \end{itemize}

}


\frame
{
  \frametitle{O poder de demonstra\c c\~ao da Matemática}

\begin{itemize}

\item <1-> Procurando manter as analogias, a primeira restri\c c\~ao (evitar provar X, se X contrariar os princípios da lógica) deve se manter ! Sabemos que, em Lógica Clássica, se obtemos uma contradi\c c\~ao o sistema se trivializa e todas as asser\c c\~oes seriam demonstradas ! (A n\~ao ser que se mude a Lógica subjacente e trabalhemos com uma Lógica Paraconsistente, mas isso seria assunto para outra palestra...)

\esple

\item <2-> ``For\c cando a barra'' na seguinte analogia, considere que ``as verdades s\~ao coisas sólidas, concretas como uma pedra''...  Nesse sentido, a quest\~ao colocada no Paradoxo da Onipotência (``pode existir alguma pedra que n\~ao possa ser levantada por Deus ?'') acabaria correspondendo à seguinte pergunta...

\end{itemize}

}


\frame
{
  \frametitle{O poder de demonstra\c c\~ao da Matemática}



\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Uma quest\~ao complicada !}

\bc

 Existe alguma verdade matemática 
 
 que não possa ser demonstrada ?
 
 \ec

\end{beamerboxesrounded}

\esple

... Agora sim chegamos a algo bem complicado !...

\esple

Vamos dar seguimento à palestra discutindo inicialmente a primeira quest\~ao de limita\c c\~ao, que é bem mais fácil: o  ``impossível'' {\bf na} Matemática. Aproveitaremos para discutir também a no\c c\~ao de ``indeterminado'' em Matemática.

\esple

Mais à frente, usaremos mais uma alegoria para atacar, por fim, a quest\~ao que surgiu neste slide !!! Essa quest\~ao está associada a discuss\~oes sobre ``consistência e independência em Matemática''...


}


\frame
{
  \frametitle{O décimo-primeiro mandamento !!!}

 Vamos começar com o décimo-primeiro mandamento: ``Não dividirás por zero". Ou seja, ``não pode ocorrer zero no denominador".

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}
 O usual é simplesmente falarmos que 
 
 \begin{itemize}
 
 \item {\bf ``não existe  \LARGE $\frac{1}{0}$\normalsize";} e
 
 \esp
 
 \item {\bf ``não existe  \LARGE $\frac{0}{0}$\normalsize".}
 
 \end{itemize}
 
 \end{beamerboxesrounded}

\esple

De fato: n\~ao existem números reais que estejam associados a essas express\~oes (e nada do que eu disser em seguida vai fazer com que eles existam...) Mas,  vamos dar uma segunda olhada nisso ! Eu tenho um enorme prazer em dizer para vocês, neste momento,  que existe uma grande diferença entre essas duas expressões ! Eu lhes digo que...




}


\frame
{
  \frametitle{O impossível e o indeterminado}

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Tem uma diferen\c ca aí...}
 
 \begin{itemize}
 
 \item \LARGE $\frac{1}{0}$\normalsize \,\, é {\bf impossível}.
 
 \esp
 
 \item \LARGE $\frac{0}{0}$\normalsize \,\, é {\bf indeterminado}.
 
 \end{itemize}
 
 \end{beamerboxesrounded}
 
 \esp
 
 
(lembrando ao aluno que, mesmo com essa eventual ``diferenças de status'', ambas expressões não estão ``oficialmente"\,  definidas...)

\esple

\n O aluno deve estar mais acostumado a usar as palavras ``impossível" e ``indeterminado"\, para sistemas lineares. 




}


\frame
{
  \frametitle{Para sistemas lineares...}



\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Classifica\c c\~ao dos Sistemas Lineares}

\begin{itemize}

\item Um sistema linear é dito {\bf impossível} se não admite nenhuma solução.

\item Um sistema linear é dito {\bf possível e indeterminado} se admite infinitas soluções. 

\item Um sistema linear é dito {\bf possível e determinado} se admite uma única solu\c c\~ao.

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

\esp


\n Lembre-se que um sistema é impossível quando você chega a conclusão que ``as equações são contraditórias umas com as outras"; após manusearmos as equações (por triangulação, por exemplo), você chega numa expressão do tipo 0 = 1.



}


\frame
{
  \frametitle{No\c c\~oes associadas a ``impossível''}

 Assim,

\esp

``impossível"\,  $\equiv$ ``não existe solução"

\esple

\hspace*{2.1cm} $\equiv$ ``não acontece"

\esple

\hspace*{2.1cm} $\equiv$ ``não existe"

\esple

\hspace*{2.1cm} $\equiv$ ``{\bf contraditório}"




}


\frame
{
  \frametitle{No\c c\~oes associadas a ``indeterminado''}



``indeterminado"\,  $\equiv$\,  ``não existe uma solução única"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``existe mais de uma solução"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``pode acontecer de  mais do que \\ \hspace*{3.4cm} uma maneira"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``{\bf não existe uma resposta única}"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``existem possibilidades diferentes,  \\ \hspace*{3.4cm} que não levam a uma contradição"



}


\frame
{
  \frametitle{Voltando a \LARGE $\frac{1}{0}$\normalsize e \LARGE $\frac{0}{0}$\normalsize}

Ora, os mesmos raciocínios aparecem quando discutimos as fra\c c\~oes com denominador zero !!!

\esple

Comecemos com \LARGE $\frac{1}{0}$\normalsize. Deixamos como exercício aos estudantes relembrar como se demonstra o seguinte

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema}

 Para todo número real $x$, $x.0 = 0$.
 
\end{beamerboxesrounded}

\esple

Com isso, se existisse o chamado ``inverso multiplicativo do zero'', $z$  = \LARGE $\frac{1}{0}$ \normalsize, teríamos $z.o = 1$, o que seria... uma contradi\c c\~ao !


}


\frame
{
  \frametitle{\LARGE $\frac{1}{0}$ \normalsize é impossível}
  
  Temos ent\~ao idéias semelhantes às que destacamos para os sistemas impossíveis: 

\esple

\begin{itemize}

\item \ \LARGE $\frac{1}{0}$ \normalsize  não existe, pois a equação $x.0 = 1$ não tem solução.

\esple

\item É impossível existir um número real $z =$  \LARGE $\frac{1}{0}$\normalsize, pois  sua existência levaria a uma contradição.

\esple

\item \LARGE $\frac{1}{0}$ \normalsize  é algo que não pode acontecer (``a n\~ao ser que $0 = 1$").

\end{itemize}

\esple
}


\frame
{
  \frametitle{\LARGE $\frac{0}{0}$ \normalsize como ``símbolo para uma conta exata''}


Vamos agora usar o símbolo \LARGE $\frac{a}{b}$ \normalsize n\~ao como o símbolo de um número, e sim como o símbolo de uma conta exata... (Este é um pequeno truque que fazemos para convencer os colegas da indetermina\c c\~ao de \LARGE $\frac{0}{0}$ \normalsize...)

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadowtrue]{Definição}

Sejam $a, b, c$ números reais quaisquer. Denotaremos por  \LARGE $\frac{a}{b}$\normalsize$ =c$  a situa\c c\~ao em que  $a = b.c$.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Pois bem...

\esple

{\bf Exercício}. Mostre que, segundo a defini\c c\~ao acima,  {\bf para qualquer número real $x$}, podemos escrever 

\bc    


\LARGE $\frac{0}{0}$\normalsize $=x$ 

\ec


}


\frame
{
  \frametitle{\LARGE$\frac{0}{0}$\normalsize é... indeterminado !!!}
  
  Ou seja, \LARGE$\frac{0}{0}$\normalsize \,\, pode ser o que você quiser... Aparecem aqui as idéias de
  
  \esple
  
  
``indeterminado"\,  $\equiv$\,  ``não existe uma solução única"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``existe mais de uma solução"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``pode acontecer de  mais do que \\ \hspace*{3.4cm} uma maneira"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``{\bf não existe uma resposta única}"

\esple

\hspace*{2.8cm} $\equiv$ ``existem possibilidades diferentes,  \\ \hspace*{3.4cm} que não levam a uma contradição"

\esple
  
  
... exatamente como no caso dos sistemas indeterminados.

}



\frame
{
  \frametitle{Indetermina\c c\~oes...}

A palavra ``indetermina\c c\~ao'' também aparece em Cálculo, no estudo de limites, recordam-se ? No seu livro de cálculo possivelmente  apare\c ca a express\~ao ``indeterminação do tipo \LARGE$\frac{0}{0}$\normalsize''.

\esple

 Isso também se refere a ``existência de infinitas possibilidades'', ou ``um limite do tipo \LARGE$\frac{0}{0}$\normalsize\,\, pode ter como resultado o que você quiser''.

\esple De fato, dado um número real $k$ qualquer previamente fixado, temos que 



\begin{center}

 $\lim_{x \to 0} \LARGE\frac{k.x}{x}\normalsize$
 
 
 \end{center}
 
 \esple
 
 
 é um limite do tipo \LARGE$\frac{0}{0}$\normalsize\,\, cujo resultado é $k$. Isso pode ser encarado como uma justificativa um pouco mais formal para a frase ``\LARGE $\frac{0}{0}$ \normalsize\,\, pode ser o que você quiser''.
 }
 
 
 \frame
{
  \frametitle{Express\~oes que ``n\~ao prestam''...}
 
 
 Assim, ambas expressões \LARGE$\frac{1}{0}$\normalsize\,\, e \LARGE$\frac{0}{0}$\normalsize\,\, ``não prestam" \\ - a primeira, porque não ocorre nunca; a segunda, porque ocorre para qualquer valor !!!
 
 \esple
 
Outro caso famoso de indetermina\c c\~ao é o $0^0$, que deu o título a vers\~oes prévias desta palestra !!!

\esple

Novamente, ``não existe uma resposta única"\,\, !!! Convidamos o aluno a esbo\c car os gráficos de
$f(x) = 0^x$, $g(x) = x^0$ e $h(x) = x^x$ e, em seguida, determinar o valor do limite dessas funções quando $x$ tende a zero.

\esple

{\bf Para pensar em casa}: Por quê $0! = 1$ ?



}


\frame
{
  \frametitle{O impossível {\bf na} Matemática é...}


De acordo com a linha que estou desenvolvendo nesta palestra, estou tentando vender para vocês a idéia que o impossível, ``dentro'' da Matemática, é... A contradi\c c\~ao, o contraditório, o absurdo.

\esple

Destacamos que: o interesse em manter a {\bf consistência} em Matemática (consistência = ausência de contradi\c c\~ao) se deve ao fato de que, em Lógica Clássica, se existe uma prova para \\ uma contradi\c c\~ao ent\~ao todas as proposi\c c\~oes poderiam ser \\ demonstradas !!! Logo, tudo seria verdadeiro e falso ao mesmo tempo, trivializando o sistema !

\esple

Teríamos um gigantesco ``0 = 1'' e o universo se colapsaria a um ponto...
\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

Assim, para X = contradi\c c\~ao e Y = Matemática, ``Y n\~ao pode fazer X'', pois ''X'' contraria as leis da lógica !

\end{beamerboxesrounded}

}


\frame
{
  \frametitle{E o impossível {\bf para} a Matemática ?}

... Restam ent\~ao dois problemas pra se resolver, dentro do plano que apresentamos inicialmente, inspirados pelo Paradoxo da Onipotência...

\esple

\begin{beamerboxesrounded}

\begin{itemize}

\item achar (se é que existem !) tarefas X para as quais, sendo Y = Matemática, ``Y pode fazer X'' contrarie as leis da lógica.

\item responder à pergunta: Existem verdades matemáticas que n\~ao podem ser demonstradas ?

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

\esple

... Talvez a maneira com que responderemos a essas quest\~oes seja um pouco chocante... Respire fundo !!!

}


\frame
{
  \frametitle{As duas quest\~oes ser\~ao respondidas ao mesmo tempo !!!}


... Mostraremos para os colegas a seguinte

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Afirma\c c\~ao}

Sendo Y = Matemática e X  a tarefa

\esple

    X = exibir uma demonstra\c c\~ao para todas as verdades matemáticas
    
    \esple
    
ent\~ao ``Y pode fazer X'' contraria as leis da Lógica ({\bf a n\~ao ser que a Matemática seja inconsistente !}).

\esp

... Em outras palavras: se supusermos que a Matemática é consistente, ent\~ao existem verdades que n\~ao podem ser demonstradas.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Essencialmente o argumento do Teorema que demonstraremos para comprovar a afirma\c c\~ao acima está descrito na seguinte {\bf alegoria}...

}


\frame
{
  \frametitle{A Máquina DIN-DIN}
  
  A Máquina DIN-DIN é uma ``adapta\c c\~ao livre'' de um quebra-cabe\c cas lógico, proposto pelo célebre matemático, lógico e filósofo norte-americano Raymond  Smullyan. 
  
  \esple
  
  
Essa adapta\c c\~ao é de autoria do colega Walter Carnielli (UNICAMP) e de Michael Rathjen (Leeds, UK) e foi publicada na Revista Matemática Universitária n° 12, em 1990. 

\esple

Aproveito a oportunidade para agradecer a Walter Carnielli por alguns comentários feitos por ele sobre este e vários tópicos relacionados, em contatos realizados via email durante a confec\c c\~ao desta palestra, no final do mês de julho.



}


\frame
{
  \frametitle{A Máquina DIN-DIN}
  
  Podemos imaginar a Máquina DIN-DIN como uma daquelas impressoras bem antigas, que faziam barulhinhos mecânicos durante a impress\~ao...
  
  
  \esple
  
  Essa máquina possui um rolo de papel (o qual podemos supor que n\~ao acabará nunca, ou que será sempre substituído a tempo !) e imprime na folha de papel {\bf express\~oes} (i.e., sequências arbitrárias de símbolos) construídas a partir de:
  
  \bc D, I, N e -- \ec
  
  Algumas express\~oes especiais ser\~ao denominadas {\bf senten\c cas}, e para estas será associada uma interpreta\c c\~ao (ou ``significado'') que nos possibilitará falar em ``senten\c cas verdadeiras'' e ``senten\c cas falsas''.
  

}


\frame
{
  \frametitle{As senten\c cas e suas interpreta\c c\~oes}
  
  Ser\~ao quatro tipos de senten\c cas:
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}
  
  \begin{itemize}
  
  \item A senten\c ca I-X (onde X é uma express\~ao qualquer) significa que {\bf ``X é imprimível''}, e será verdadeira se, e somente se, a express\~ao X aparece, mais cedo ou mais tarde, impressa na folha de papel. 
  
  \item A senten\c ca NI-X (onde X ...) significa que {\bf ``X n\~ao é imprimível''}, e será verdadeira se, e somente se, a 
  express\~ao X nunca aparece impressa na folha de papel. 
  
  \item ID-X (onde X ...) significa que {\bf ``X-X é imprimível''}, e será verdadeira se, e somente se, a express\~ao X-X (``dobro de X'') aparece, mais cedo ou mais tarde, impressa na folha de papel. 
  
  \item NID-X (onde X ...) significa que {\bf ``X-X n\~ao é imprimível''} e será verdadeira se, e somente se, a express\~ao X-X nunca aparece impressa na folha de papel. 
  
  \end{itemize}
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  (Ou seja: ``I'' $\equiv$ ``imprime'', ``D''  $\equiv$ ``dobro'' e ``N'' $\equiv$ ``n\~ao''.)

}


\frame
{
  \frametitle{A Hipótese de Corre\c c\~ao}
  
  Observar que as interpreta\c c\~oes que escolhemos s\~ao no\c c\~oes que est\~ao ``fora da máquina'', apesar de falarem ``sobre'' a Máquina -- no sentido de que as interpreta\c c\~oes, a princípio, n\~ao alteram o ``comportamento'' da Máquina ! Nossa única hipótese nesse sentido será a chamada ``Hipótese de Corre\c c\~ao'', que pressup\~oe que a Máquina está, de uma certa forma, ``bem regulada''...
  
  \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Hipótese de Corre\c c\~ao}
  
  Quando a Máquina imprime senten\c cas, com certeza imprime \\ {\bf apenas senten\c cas verdadeiras}.
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  \esple
  
  Note, porém -- por favor !! -- que n\~ao estamos assumindo que a Máquina ``apenas imprime senten\c cas'', ou que ``imprime todas as senten\c cas verdadeiras'': estamos apenas afirmando que a Máquina {\bf n\~ao imprime senten\c cas falsas}. 
  
  
}


\frame
{
  \frametitle{Um fato interessante !!!}

Na verdade, a partir das interpreta\c c\~oes fixadas e da Hipótese de Corre\c c\~ao, temos uma afirma\c c\~ao muito interessante para fazer !!!

\esp

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Afirma\c c\~ao}

Existem senten\c cas verdadeiras que a Máquina DIN-DIN \\ {\bf nunca vai imprimir}. 

\end{beamerboxesrounded}

\esp


Vejamos um exemplo de senten\c ca dessa forma...

}



\frame
{
  \frametitle{O que diz a senten\c ca... NID-NID ???}


Consideremos agora a senten\c ca NID-NID. Pelas interpreta\c c\~oes dadas, NID-NID é verdadeira, se, e somente se, NID-NID é n\~ao imprimível. Ou seja:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

NID-NID é verdadeira se, e somente se, n\~ao é imprimível.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Intuitivamente, NID-NID diz: {\bf ``Eu n\~ao sou imprimível''}.

\esple

Assim, temos duas op\c c\~oes: ou NID-NID é falsa e imprimível, ou é verdadeira e n\~ao imprimível.

\esple

A primeira alternativa n\~ao pode ocorrer ({\bf por quê ???}).

}


\frame
{
  \frametitle{NID-NID é verdadeira e n\~ao imprimível}


... NID-NID n\~ao pode ser falsa porque, neste caso, ela seria imprimível -- o que contradiz a Hipótese de Corre\c c\~ao !!! Assumimos que a Máquina n\~ao imprime senten\c cas falsas !!!

\esple

Assim, NID-NID é verdadeira e, como ela própria afirma a sua n\~ao-imprimibilidade... NID-NID n\~ao é imprimível. 

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

{\bf NID-NID é uma senten\c ca verdadeira que n\~ao é imprimível}.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

{\bf Exercício.} Responda:  ID-NID é verdadeira ? É imprimível ? (Dica: ID-NID é a nega\c c\~ao de...)

}


\frame
{
  \frametitle{Um sistema formal ``incompleto''}


Encarando a Máquina como um ``sistema formal'', poderíamos desejar que ele tivesse uma certa propriedade de ``completude'', definida da seguinte maneira: {\bf dada uma senten\c ca S, imprimir sempre ou S ou a nega\c c\~ao de S}. Se ocorresse isso, poderíamos dizer que a Máquina sempre {\bf decidiria} por uma senten\c ca entre S e nega\c c\~ao de S.

\esple

Bem, acabamos de ver na página anterior que,  considerando-se \\ S = NID-NID, temos que nem S e nem a nega\c c\~ao de S podem ser imprimíveis !!! Conclus\~ao:

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A Máquina DIN-DIN é um sistema formal incompleto}

Existem senten\c cas indecidíveis para a Máquina DIN-DIN.

\end{beamerboxesrounded} 

}


\frame
{
  \frametitle{... Todos perceberam a analogia a ser feita ???}


... Espero que todos já tenham percebido a analogia que vamos fazer... 

\esple

Vamos identificar o sistema formal dado pela Máquina DIN-DIN com a Matemática, e ``ser imprimível'' significará ``ser demonstrável''. Notar que vale a Hipótese de Corre\c c\~ao, ou seja, proposi\c c\~oes matemáticas que podem ser demonstradas com certeza s\~ao verdadeiras...

\esple

Será que podemos adaptar os argumentos dados para a Máquina DIN-DIN e mostrar que ``existem verdades matemáticas que n\~ao podem ser demonstradas'' ?

}


\frame
{
  \frametitle{A resposta é... SIM !!!}

Na verdade, o argumento utilizado para a Máquina DIN-DIN é, essencialmente, o mesmo argumento utilizado para provar aquele que é talvez o mais controverso, polêmico e chocante teorema matemático do século XX...

\esple

... E esse é o teorema referenciado no  título desta palestra (``Duas Alegorias e um Teorema''). Ainda n\~ao citamos o nome deste famoso teorema para n\~ao ``assustar'' ninguém...

\esple

No teorema a seguir, a codifica\c c\~ao das senten\c cas utiliza os números naturais, por isso deve ser suposto que a teoria em quest\~ao inclua uma ``por\c c\~ao suficiente da Aritmética''.

}


\frame
{
  \frametitle{O Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel}
  
  
\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{ Teorema (Gödel, 1931)}


 Se uma teoria consistente T é suficientemente complicada de modo a conter a Aritmética (de Peano), então T não é completa - i.e., T possui proposições indecidíveis.
 
\end{beamerboxesrounded}

\esple

Notar que a ``Matemática'' é, em geral, formalizada como sendo a ``Teoria dos Conjuntos''. Assim, aplicando o teorema acima, teremos que ``se a Matemática for consistente, ent\~ao devem existir proposi\c c\~oes indecidíveis''.


}


\frame
{
  \frametitle{Esbo\c co da Demonstra\c c\~ao}
  
  Seja T a teoria consistente em quest\~ao. Vamos mostrar que existe uma senten\c ca verdadeira que n\~ao pode ser demonstrada.  {\bf ``Para se manter a consistência, algumas pedras não poderão ser levantadas".}
  
  \esple
  
  Como T contém uma parte suficiente da Aritmética (nesse ponto de vista, alguns autores dizem que T é ``suficientemente complicada a ponto de...''), vamos aritmetizar a tal teoria, de modo que cada afirma\c c\~ao representar (e ser representada por) uma afirma\c c\~ao aritmética. 
  
  \esple
  
  
  Essa parte é a chamada ``cons\-trução dos números de Gödel". Observamos que os números de Gödel s\~ao capazes também de codificar a no\c c\~ao de ``demonstra\c c\~ao em T''.

 

}


\frame
{
  \frametitle{A Sentenca de Gödel}
  
  Trabalhando muito cuidadosamente com sua codifica\c c\~ao, Gödel foi capaz de construir uma senten\c ca G, a chamada {\bf senten\c ca de Gödel}, que satisfaz a seguinte propriedade:
  
  \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A Senten\c ca de Gödel}
  
  G é verdadeira se, e somente se, G n\~ao é demonstrável.
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  \esple
  
  Em outras palavras, podemos intuitivamente encarar G como uma {\bf senten\c ca que declara sua própria n\~ao-demonstrabilidade}.
  
  \esple
  
 (Alguns autores dizem que, nesta parte da demonstra\c c\~ao, Gödel fez uma ``varia\c c\~ao diabólica'' do Paradoxo do Mentiroso, o qual consiste em discutir o valor de verdade da afirma\c c\~ao ``Esta frase é falsa''. Enquanto no Paradoxo do Mentiroso realmente chegamos a um paradoxo, com a senten\c ca de Gödel n\~ao se chega a um paradoxo, como veremos a seguir...)

}


\frame
{
  \frametitle{Esbo\c co da Demonstra\c c\~ao}

Pois bem: afirmamos que G n\~ao pode ser demonstrada na  \\ teoria T !!!

\esple

De fato: como sempre sabemos que vale a ``corre\c c\~ao'', se T demonstrasse G teríamos que G é verdadeira, e portanto n\~ao-demonstrável.

\esple

Só que aí teríamos que, a partir de T, conclui-se que ``T demonstra G'' e, ao mesmo tempo, ``T n\~ao demonstra G''. Isso é um absurdo, pois supomos que a teoria T é... Consistente !!! T n\~ao pode concluir duas conclus\~oes contraditórias !!!

\esple

Portanto G n\~ao pode ser demonstrada -- e, como ela afirma exatamente sua n\~ao-demonstrabilidade, temos que G é verdadeira (pois afirma um fato verdadeiro) e n\~ao pode ser demonstrada. 

}


\frame
{
  \frametitle{Esbo\c co da Demonstra\c c\~ao}

Pense agora na {\bf afirma\c c\~ao aritmética que codificou a senten\c ca de Gödel G}. Seja S essa afirma\c c\~ao aritmética. Pela codifica\c c\~ao feita, podemos afirmar que S é uma  {afirma\c c\~ao sobre os números naturais que é verdadeira e que n\~ao pode ser demonstrada} -- sendo portanto uma ``verdade matemática n\~ao-demonstrável''.

\esple

Novamente usando a Corre\c c\~ao, conclui-se facilmente que essa afirma\c c\~ao S é {\bf indecidível}.

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Conclus\~ao !!!}

Existem proposi\c c\~oes indecidíveis para a Matemática (a n\~ao ser que a Matemática seja ela própria inconsistente.).

\end{beamerboxesrounded}


\esple

Neste sentido, o Teorema da Incompletude mostrou que Hilbert estava errado -- existem {\bf ignorabimus} em Matemática !!!

}

\frame
{
  \frametitle{... E a nossa cren\c ca, como fica ?}

Se existem proposi\c c\~oes indecidíveis em Matemática, como fica aquela nossa ``cren\c ca'' do início da palestra, sobre o poder da Matemática ?

\esple


  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A ``cren\c ca''}


 ``A matemática é uma ciência exata, que nos fornece {\bf sempre} \\  respostas 
 corretas, verdadeiras e únicas''.
 
 \end{beamerboxesrounded}
 
 \esple
 
 ... Acabamos de verificar que n\~ao podemos garantir o {\bf ``sempre''} em nossa cren\c ca. Dada uma proposic\~ao indecidível I, a pergunta ``vale I, sim ou n\~ao ?'' n\~ao possui uma resposta que possa ser demonstrada !!!
 
 \esple
 
 ... Isso te incomoda muito ?? Sim ou n\~ao ??

}







\frame
{
  \frametitle{Será que S é o único exemplo de proposi\c c\~ao indecidível ?}

O Primeiro Teorema da Incompletude nos fornece um exemplo ``concreto'' de proposi\c c\~ao indecidível para a Matemática. Será este o único exemplo ? Ou existem outros exemplos, obtidos por outras técnicas ?

\esple

A resposta é: sim, existem outros exemplos, obtidos por outras técnicas (e que n\~ao envolvem ``auto-referências'').

\esple

Existem técnicas muito importantes que usam  a no\c c\~ao de {\bf constru\c c\~ao de modelos}. 

\esple

Vamos ter que introduzir algumas no\c c\~oes de {\bf semântica} e {\bf sintática}...


}


\frame
{
  \frametitle{Alguns termos técnicos...}
  
\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}
  
  
\begin{itemize}

\item <1-> Uma teoria T é dita {\bf consistente} se T não nos leva a contradições -- i.e., n\~ao existe uma afirma\c c\~ao $\varphi$ tal que T prova $\varphi$ e T prova a nega\c c\~ao de $\varphi$. 

\item <2-> Uma afirmação $\varphi$ é dita {\bf consistente} com uma teoria T se T, acrescentada de $\varphi$, é uma teoria consistente.

\item <3-> Uma afirmação $\varphi$ é dita {\bf independente} de uma teoria T se tanto $\varphi$ como a negação de $\varphi$ são consistentes com T. 

\item <4-> Um {\bf modelo} para T é uma ``estrutura'' (conjunto ou classe) no qual a teoria pode ser ``interpretada''.

\item <5-> Uma afirma\c c\~ao $\varphi$ é dita uma {\bf consequência semântica de T} se $\varphi$ for verdadeira em todos os modelos de T.

\item <6-> Uma afirma\c c\~ao $\varphi$ é dita uma {\bf consequência sintática de T} se existe uma demonstra\c c\~ao de $\varphi$ dentro da teoria T.


\item <7-> Uma teoria T é dita {\bf completa} se, dada uma afirmação $\varphi$ qualquer, então ou T prova $\varphi$ ou T prova a negação de $\varphi$. 

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}
  
  }


\frame
{
  \frametitle{Interpreta\c c\~oes e Demonstra\c c\~oes}


 Ou seja: a  no\c c\~ao de consequência semântica procura capturar a idéia de {\bf ``verdade segundo interpreta\c c\~oes''}, enquanto que a de consequência sintática procurar capturar a idéia de 
 {\bf ``verdade segundo demonstra\c c\~oes''}.
 
 \esple
 
 Notar que, com os novos termos introduzidos, podemos dizer que o Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel nos diz, a grosso modo, que n\~ao podemos exigir, ao mesmo tempo, consistência e completude !!!
 
 \esple
 
 \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema da Incompletude - Enunciado resumido}
 
 Teorias consistentes que contém a Aritmética n\~ao s\~ao completas.
 
 \end{beamerboxesrounded}



}


\frame
{
  \frametitle{Alguns Fatos e Corolários !!!}

Observando o princípio {\bf ex falso quodlibet}, o qual garante que a partir de contradi\c c\~oes podemos deduzir qualquer afirma\c c\~ao, o estudante mais interessado poderá verificar os seguintes Fatos e seus Corolários !!!

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Fatos}

\begin{itemize}

\item <1-> T é consistente se, e só se, existe alguma afirma\c c\~ao que n\~ao pode ser demonstrada. 

\item <2-> $\varphi$ é consequência semântica de T se, e só se, \\ T + nega\c c\~ao de $\varphi$ n\~ao tem modelo.

\item <3-> $\varphi$ é consequência sintática de T se, e só se, \\ a nega\c c\~ao de $\varphi$ n\~ao é consistente com T.


\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}



}


\frame
{
  \frametitle{Alguns Fatos e Corolários !!!}


\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Consequências}

\begin{itemize}
 

\item <1-> $\varphi$ é consistente com T se, e só se, \\ T n\~ao prova a nega\c c\~ao de $\varphi$.

\item <2-> $\varphi$ é independente de T se, e só se, $\varphi$ é indecidível \\ (i.e., T n\~ao prova nem $\varphi$ e nem a nega\c c\~ao de $\varphi$).

\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}

\esple

A terminologia ``proposi\c c\~ao indecidível'' foi a originalmente utilizada por Gödel em 1931.

\esple

Em textos mais atuais, a terminologia utilizada é a de {\bf independência}. O termo {\bf decidibilidade} também tem um outro sentido em Computa\c c\~ao Teórica, aplicado a teorias e n\~ao a afirma\c c\~oes, e portanto esse sentido é diferente do uso que estamos dando nesta palestra.


}


\frame
{
  \frametitle{Teorema da Corre\c c\~ao}
  
  Vamos agora apresentar os Teoremas que mostram que as no\c c\~oes semântica e sintática de ``verdade'' coincidem...
  
  \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema da Corre\c c\~ao - Enunciados Equivalentes}
  
  \begin{itemize}
  
  \item <1-> Se $\varphi$ é consequência sintática de T, ent\~ao $\varphi$ é consequência semântica de T.
  
  \item <2-> Teorias que possuem modelo s\~ao consistentes. 
  
  \item <3-> Se existe um modelo de T no qual $\varphi$ é verdadeira, \\ ent\~ao $\varphi$ é consistente com T.

  \end{itemize}
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  \esple
  
  {\bf Observa\c c\~ao}: Os enunciados acima s\~ao (facilmente !) equivalentes, assim, para provar o Teorema da Corre\c c\~ao, basta provar qualquer um dos enunciados (normalmente, demonstra-se o segundo enunciado).
  
  


}


\frame
{
  \frametitle{Teorema da Completude (Gödel, 1930)}
  
  
   \esple
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Teorema da Completude - Enunciados Equivalentes}
  
  \begin{itemize}
  
  \item <1-> Se $\varphi$ é consequência semântica de T, ent\~ao $\varphi$ é consequência sintática de T.
  
  \item <2-> Teorias consistentes possuem modelo. 
  
  \item <3-> Se $\varphi$ é consistente com T, ent\~ao existe um modelo de T no qual $\varphi$ é verdadeira.

  \end{itemize}
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  \esple
  
  {\bf Observa\c c\~ao}: Os enunciados acima s\~ao (facilmente !) equivalentes, assim, para provar o Teorema da Completude, basta provar qualquer um dos enunciados (normalmente, demonstra-se o segundo enunciado).
 
 \esple
 
 O Teorema da Completude é {\bf muito importante}, exatamente por fazer ``a ponte'' entre as vis\~oes sintática e semântica da no\c c\~ao de verdade. 

}


\frame
{
  \frametitle{Provas de Consistência e Independência}


Como consequência do Teorema da Corre\c c\~ao, temos o método de ``constru\c c\~ao de modelos'' como ferramenta para provar a consistência de afirma\c c\~oes matemáticas.

\esple


  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Constru\c c\~ao de Modelos}
  
  Para mostrar que uma afirma\c c\~ao $\varphi$ é consistente com uma teoria T, basta exibir um modelo de T no qual $\varphi$ seja verdadeira. 
  
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  \esple
  
  
  Segue que, para mostrar que $\varphi$ é independente de T usando constru\c c\~ao de modelos, devemos ser capazes de construir {\bf dois modelos de T}: uma para $\varphi$ e outro para a nega\c c\~ao de $\varphi$.
  
  
  }
  
  \frame
  { 
     \frametitle{Provas de Consistência e Independência}
  
  
  O estudante fica convidado a refletir sobre como a técnica de constru\c c\~ao de modelos foi usada, por exemplo, na verifica\c c\~ao de que o Quinto Postulado de Euclides é independente dos demais axiomas da Geometria ! (Dica: Pensar nas geometrias n\~ao-euclidianas...)
  
  \esp
  
Uma observa\c c\~ao:  no caso em que T = Matemática = Teoria dos Conjuntos, diremos simplesmente ``$\varphi$ é consistente'' ou ``$\varphi$ é independente'' (n\~ao precisaremos colocar ``com T''/``de T'' no final, ficará subentendido).


}


\frame
{
  \frametitle{É t\~ao difícil assim exibir proposi\c c\~oes indecidíveis ?}

... Na verdade, em alguns casos é super fácil !!!

\esple


Considere, por exemplo, T como sendo  a Teoria dos Anéis, e considere a afirmação (da linguagem da Teoria de Anéis)

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

\bc $\varphi \equiv$ ``Existe $x$ tal que $x^2 = 2$'' \ec

\end{beamerboxesrounded}



\esp

... Será que a Teoria dos Anéis é capaz de conseguir decidir $\varphi$ - i.e., existe como provar $\varphi$ ou a sua nega\c c\~ao ?

}



\frame
{
  \frametitle{Essa afirma\c c\~ao é independente da Teoria dos Anéis !}


Existem modelos de T onde $\varphi$ é verdadeira... Basta considerar como modelo o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ !

\esple

E existem modelos de T onde onde $\varphi$ é falsa ! Basta considerar como modelo o conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$...

\esple

Assim, $\varphi$ é uma proposi\c c\~ao independente da Teoria dos Anéis !

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Conclus\~ao}

A Teoria dos Anéis (ou mesmo a Teoria dos Corpos) n\~ao é capaz de decidir se a afirma\c c\~ao ``Existe $x$ tal que $x^2 = 2$'' é verdadeira ou falsa. 

\end{beamerboxesrounded}
}


\frame
{
  \frametitle{Ué... A Matemática n\~ao dá sempre respostas {\bf únicas} ???}

E voltemos apensar em nossa ``crenca''...


\esple


  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{A ``cren\c ca''}


 ``A matemática é uma ciência exata, que nos fornece {\bf sempre} \\  respostas 
 corretas, verdadeiras e {\bf únicas}''.
 
 \end{beamerboxesrounded}
 
 \esple
 
 ... Podemos encarar a pergunta ``Existe $x$ tal que $x^2 = 2$'' como uma ``pergunta que tem duas respostas''...
 
 \esple

  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Existe $x$ tal que $x^2 = 2$ ?}
  
  \bc

   A resposta é SIM para os números reais 
   
   e é N\~AO para os números racionais. 
   
   \ec
 
 \end{beamerboxesrounded}
 
 \esple
 
 ... Isso te incomoda muito ?? Sim ou n\~ao ?? Note que, para afirma\c c\~oes que sejam independentes de T, a no\c c\~ao de ``verdade'' depende fortemente do modelo escolhido para se trabalhar... Isso é consequência do Teorema da Completude !!!

}


\frame
{
  \frametitle{Juntando Completude e Incompletude}

Observamos que existem duas noc\~oes diferentes de incompletude envolvidas nos Teoremas da Completude e da Incompletude.

\esple

A {\bf completude semântica de T} consiste em que toda afirma\c c\~ao que é consequência semântica de T possa ser demonstrada, se tornando assim, também, consequência sintática. 

\esple

A {\bf completude sintática de T} consiste na decidibilidade de qualquer afirma\c c\~ao, demonstrando-se ou a afirma\c c\~ao ou a sua nega\c c\~ao.

\esple

Assim, por exemplo, podemos dizer que a Matemática  é completa semanticamente e incompleta sintaticamente.

\esple

{\bf Exercício}. Combinando os Teoremas da Completude e da Incompletude, mostre que se uma teoria possui proposi\c c\~oes indecidíveis ent\~ao essa teoria possui modelos essencialmente diferentes entre si. 


}

\frame
{
  \frametitle{Indeterminado $\equiv$ Independente  e \\ Impossível $\equiv$ Inconsistente !!!}
  
  Voltando agora às nossas analogias com sistemas lineares e fra\c c\~oes com denominador zero (?), podemos encarar os problemas independentes de uma teoria, esses que dependem do modelo escolhido, como ``afirmac\~oes possíveis e indeterminadas''.
  
  \esple
  
  Agora, a idéia de ``várias respostas possíveis para uma equa\c c\~ao'' aparece na forma de ``vários modelos possíveis para uma afirma\c c\~ao''.
  
  \esple
  
  Poderíamos ent\~ao apresentar uma classifica\c c\~ao das  afirma\c c\~oes de uma teoria (consistente), de um modo semelhante à classifica\c c\~ao dos sistemas lineares...
  
  
  }
  
 \frame
 {
   \frametitle{Classificando as afirma\c c\~oes !!!}
  
  
  \begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Classifica\c c\~ao das afirma\c c\~oes de uma teoria consistente T}
  
  \begin{itemize}
  
  
  \item <1-> {\bf Afirma\c c\~oes possíveis e determinadas}: s\~ao as \\ consequências sintáticas da teoria. Pelo Teorema da Completude, s\~ao exatamente as afirma\c c\~oes que valem em todos os modelos de T. 
  
  
  \item <2-> {\bf Afirma\c c\~oes possíveis e indeterminadas}: s\~ao as afirma\c c\~oes independentes de T. Novamente pelo Teorema da Completude, existir\~ao modelos em que ser\~ao verdadeiras e modelos em que ser\~ao falsas. 
  
  
  \item <3-> {\bf Afirma\c c\~oes impossíveis}: s\~ao as afirma\c c\~oes inconsistentes com a teoria. Notar que s\~ao, exatamente, as nega\c c\~oes das afirma\c c\~oes possíveis e determinadas. N\~ao possuem modelo. 
  
  \end{itemize}
  
  \end{beamerboxesrounded}
  
  
  
  }
  
  


\frame
{
  \frametitle{Um último estudo de caso: a Hipótese do Contínuo}


Estamos nos aproximando do final da palestra. Vamos falar de um problema clássico da matemá\-tica, o ``Primeiro Problema de Hilbert"\, - a {\bf Hipótese do Contínuo}.

\esple

 Por um argumento clássico de Cantor (o chamado ``argumento diagonal"), sabemos que ``existem mais números reais do que números naturais"\, - i.e., $\mathbb{R}$ é um conjunto não-enumerável.
 
 \esple



 A cardinalidade de $\mathbb{N}$ é denotada por $|\mathbb{N}| = \aleph_0$.
 
 \esple
 
 Por razões técnicas que não vêm ao caso (mas que ser\~ao discutidas no minicurso de combinatória), a cardinalidade de $\mathbb{R}$ é denotada por $|\mathbb{R}| = |\ptes(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}$.
 


}


\frame
{
  \frametitle{Um último estudo de caso: a Hipótese do Contínuo}
  
  
 Assim, a expressão ``$\mathbb{R}$ é não-enumerável"\, traduz-se na desigualdade

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{}

\bc {\bf $\aleph_0 < 2^{\aleph_0}$} \ec

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Essa desigualdade é, inclusive, um caso particular do chamado {\bf Teorema de Cantor}: para qualquer conjunto $X$ vale $|X| < 2^{|X|}$.


\esp

\n Sabe-se, no entanto, que existe ``o menor cardinal não-enumerável'', o qual é denominado $\aleph_1$. Qual é a pergunta natural agora ???

\esp



\Huge \bc ??? \ec


}


\frame
{
  \frametitle{Hipótese do Contínuo}

 A pergunta é: {\bf será que a cardinalidade da reta coincide com esse primeiro cardinal que é não-enumerável ???}


\esple 

Cantor conjecturou que a resposta à pergunta acima seria positiva. Essa afirmação - ``a cardinalidade da reta é igual ao primeiro cardinal não-enumerável"\,\, é a chamada Hipótese do Contínuo !!!

\esple

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Hipótese do Contínuo:}
 
 
 \bc $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ \ec
 
 \end{beamerboxesrounded}

\esple

 O que nos leva a uma {\bf nova pergunta natural}...
 
 \esple


\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Será que Cantor estava certo ?}


Isto é --  será que a Hipótese do Contínuo é verdadeira ???

\end{beamerboxesrounded}



}


\frame
{
  \frametitle{Agora, todas as suas crenças matemáticas \\ serão colocadas à prova...}



\begin{itemize}

\item <1-> Se você ainda mantém a crença (do início da palestra) de que a matemática dá resposta únicas, corretas e verdadeiras, então você encara a Hipótese do Contínuo como algo que é OU verdadeiro OU falso.

\esple

 Nesse ponto de vista, a busca por essa res\-posta seria uma busca por essa ``verdade imutá\-vel dos fatos", algo que pode ser simplesmente (?) ``checado"\, (bastaria ter acesso à ``realidade").

\esp

\item <2-> {\bf Porém}, se você foi atento à essa palestra, você sabe que muitas teorias possuem proposi\c c\~oes indecidíveis -- inclusive, algumas {\bf obrigatoriamente} possuem proposi\c c\~oes indecidíveis (a saber, as consistentes que incluem a Aritmética). 



\end{itemize}

}


\frame
{
  \frametitle{Agora, todas as suas crenças matemáticas \\ serão colocadas à prova...}

Assim...


\begin{itemize}

\item <1-> da mesma forma que a Teoria dos Anéis não consegue decidir se ``Existe $x$ tal que $x^2 = 2$"\, é verdadeiro ou falso (pois ambas possibilidades são consistentes)...

\esple

\item <2->   poderia ocorrer o caso da Matemática (= Teoria dos Conjuntos) não conseguir decidir se ``$2^{\aleph_0} = \aleph_1$"\, é verdadeiro ou falso.

\esple


\item  <3-> O que o(a) nobre colega acha que está acontecendo ?

\esp

\bc

                            \Huge       8-)  \normalsize   \ec
                            
\end{itemize}

}




\frame
{
  \frametitle{A Hipótese do Contínuo é independente \\ dos Axiomas da Teoria dos Conjuntos}


\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Fato}

A Hipótese do Contínuo é uma proposição indecidível \\ para a Matemática.

\end{beamerboxesrounded}

\esple

Tanto  a Hipótese do Contínuo  como sua negação são afirmações consistentes !!! Ou seja, existem modelos nos quais ela vale e modelos nos quais ela n\~ao vale !!!

\esple

O próprio Gödel (nos anos 30) mostrou que a Hipótese do Contínuo é consistente (``modelo construtível de Gödel'').

\esple

\n Nos anos 60, Cohen mostrou que a negação da Hipótese do Contínuo é consistente (``invenção do método de forcing'').


}


\frame
{
  \frametitle{Uma última pergunta !!!}


\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{``E eu com isso ???''}

Se eu n\~ao trabalho diretamente com Lógica ou com Teoria dos \\ Conjuntos, eu tenho que saber algo sobre proposi\c c\~oes indecidíveis ?

\end{beamerboxesrounded}

\esp

Na verdade... Sim. Qualquer matemático deve estar, pelo menos, ciente da existência de problemas indecidíveis para a Matemática, pois {\bf qualquer problema matemático que resiste muito tempo à solu\c c\~ao pode ``esconder'' algum resultado de consistência ou de independência}.

}


\frame
{ 
  \frametitle{E os Problemas do Milênio ?}
  
  A vers\~ao ``Século XXI'' dos Problemas de Hilbert (Paris, 1900), s\~ao os {\bf Problemas do Milênio}, sete problemas para os quais o Instituto Clay oferece 1 milh\~ao de dólares por sua solu\c c\~ao. Um desses prêmios já foi recusado por Grigori Perelman, que provou a Conjectura de Poincaré... Mais ainda existem seis milh\~oes de dólares em jogo !!!
  
  \esple

O que queremos destacar aqui é o seguinte fato:  é possível que alguns dos ``Problemas do Milênio'', como a {\bf Hipótese de Riemann}, ou {\bf P vs NP}, sejam afirma\c c\~oes independentes da Teoria dos Conjuntos. Se for o caso, um matemático pode literalmente gastar sua vida inteira procurando uma demonstra\c c\~ao que... N\~ao existe (leiam ``Tio Petros e a Conjectura de Goldbach'' !!!). 

\esple

Note que mesmo uma única prova de consistência já seria um avan\c co tremendo para esses problemas. Se alguém provar que a Hipótese de Riemann é consistente, {\bf já fica impossível demonstrarmos que a mesma é falsa}.

}


\frame
{
  \frametitle{Alguns comentários mais sutis...}
  
  \begin{itemize}
  
  
  \item <1-> Os Teoremas de Completude e de Incompletude est\~ao enunciados para uma determinada {\bf Lógica} específica, a saber: Lógica Finitária de Primeira Ordem (em particular, todas as demonstra\c c\~oes s\~ao supostas finitas). Se a Lógica subjacente é mudada, esses teoremas n\~ao s\~ao mais necessariamente válidos. 
  
  \item <2-> Existe o chamado Segundo Teorema da Incompletude de Gödel, o qual garante que teorias consistentes que incluam a Aritmética {\bf n\~ao podem provar a sua própria consistência}. Muitos autores entendem que este segundo teorema enterrou completamente o chamado {\bf Programa de Hilbert}, o qual seria provar a consistência da Matemática por métodos finitos.
  
  \item <3-> O esbo\c co de demonstra\c c\~ao que apresentamos para o Primeiro Teorema da Incompletude utiliza alguns argumentos semânticos, como a no\c c\~ao de ``verdade''. No entanto, a prova original de Gödel, feita com alguns cuidados adicionais, é puramente sintática. 
  
  \end{itemize}
  
  }
  \frame
{
  \frametitle{Alguns comentários mais sutis...}
  
  \begin{itemize}
 
  \item Algumas pessoas afirmam que o Teorema da Incompletude de Gödel mostra que ``nenhum sistema lógico pode ser completo'' e procurar aplicá-lo para objetos díspares como ``a mente humana'', ``a Constitui\c c\~ao'', ``a Bíblia'' ou ``o sistema solar''. Essas aplica\c c\~oes s\~ao completamente nonsense, pois para nenhum desses sistemas podemos verificar as duas hipóteses principais do Teorema da Incompletude: ser uma teoria consistente e que inclua a Aritmética !!!
  
  \end{itemize}
  
  }
  
  \frame
   {  
     \frametitle{Alguns comentários mais sutis...}
     
     \begin{itemize}
  
   \item  Temos que tomar um certo cuidado com afirma\c c\~oes do tipo ``Pelo Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel, existem afirma\c c\~oes matemáticas que n\~ao podem ser demonstradas, como por exemplo a Hipótese do Contínuo''. Apesar de correta, essa frase parece dar a entender que a independência da Hipótese do Contínuo seria um corolário do Primeiro Teorema de Incompletude (o que n\~ao é o caso, sua independência foi obtida por constru\c c\~ao de modelos). O que o Teorema da Incompletude de Gödel garante é que, para teorias em certas condi\c c\~oes,  existem proposi\c c\~oes {\bf aritméticas} indecidívels. A princípio, alguém poderia construir uma teoria consistente para ``números naturais e fantasmas'', de modo que a mesma fosse (sintaticamente) completa no que se refere a... Fantasmas.
   
   \end{itemize}
   
   
   }
   
   \frame
   {
      \frametitle{Alguns comentários mais sutis...}
   
   
   \begin{itemize}
  
  
  \item <1-> Alguns filósofos procuram interpretar, a partir da {\bf demonstra\c c\~ao} do Teorema da Incompletude, que nenhum computador pode superar a mente humana -- pois nós, humanos, podemos verificar que a Senten\c ca de Gödel é verdadeira, enquanto um computador n\~ao pode. Esse argumento, conhecido como argumento de Lucas/Penrose, está longe de ser consenso entre os filósofos da matemática.
  
  \item <2-> ``Ser n\~ao-demonstrável'' é sempre uma afirma\c c\~ao relativa a uma teoria específica. Existem maneiras de ``estender'' a Teoria dos Conjuntos de modo a demonstrar certas proposi\c c\~oes indecidíveis para a teoria usual -- por exemplo, supor a existência de cardinais inacessíveis, os chamados {\bf grandes cardinais}. No entanto, pelo Segundo Teorema da Incompletude de Gödel, n\~ao é possível demonstrar, na Teoria dos Conjuntos usual, sequer a consistência da existência  desses cardinais. 
  
  
  
 \end{itemize}

}

\frame
 {
   \frametitle{Sugest\~oes de Leitura}
   

\begin{itemize}

\item  W. A. Carnielli e Michael Rathjen, ``Combinatória e indemonstrabilidade, ou o 13o trabalho de Hércules'', Mathematica Universitária n. 12, 1990, Sociedade Brasileria de Matemática, pp.23-41.

\item R. Smullyan, ``Gödel incompleteness theorems'', Oxford University Press, 1992.

\item  T. Franzén, ``Gödel's theorem: an incomplete use to its use and abuse''. A. K. Peters, 2005. 

\end{itemize}

}

\frame
{
 \frametitle{Agrade\c co a todos pela atenc\~ao !!!}
 
 Espero sinceramente que tenham aproveitado esta palestra ! 
 
 \esple
 
 Até a próxima !
 
 \esp

\begin{beamerboxesrounded}[shadow=true]{Vamos discutir Lógica e Teoria dos Conjuntos ?}

\begin{center} samuel@ufba.br \end{center}

\end{beamerboxesrounded}

\esple


}

\end{document}
