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\begin{document}

\pagestyle{empty}
\title{\vspace{-1in}\parbox{\linewidth}{\footnotesize\noindent
{\sc  \bf V Bienal da SBM}
\newline
{\sc  \bf Sociedade Brasileira de Matemática}
\newline
{\sc \bf UFPB - Universidade Federal da Paraíba}
\newline
\bf 18 a 22 de outubro de 2010 }\vs{1.5cm}
\newline\newline
{\sc Solução Geral da Equação de  Hamilton-Jacobi Unidimensional}}\vs{.7cm}
%\vskip -0.5truecm
\author{\sc Maria Lewtchuk Espindola\,\thanks{Universidade Federal da Paraíba,\,
DM, PB, Brasil,\, mariia@mat.ufpb.br}}

\date{}
\maketitle \thispagestyle{empty} \vspace{-10pt}\vs{1.5cm}

\section{Introdução}

\hp A importância prática e conceitual da \eq de Hamilton-Jacobi
pode ser apontada de maneira extensiva: como um conceito fundamental
em Mecânica Clássica, veja Arnold [1]; como uma ferramenta prática para
resolver \eqs diferenciais, como em Chodos [2]; como uma base para a
quantização, que pode ser visto em Dureau [3]; como uma aproximação de ordem zero no método
WKB, veja por exemplo Schiff [4]; etc...

As soluções da \eq de \hj são usualmente determinadas como soluções
integrais pelo método de separação de variáveis. Mas soluções gerais
destas \eqs são mais importantes, não somente por seu significado
conceitual, como podemos ver exposto em Dirac [5], mas porque geram uma infinidade de soluções
integrais.

O caráter desta \eq - uma \edp não linear - faz com que a procura
por uma solução geral seja quase sempre uma tarefa insuperável, estando indisponível até agora, algum procedimento
que aplicado a essas \eqs resulte numa solução geral.
$\bullet \quad$ Citando refer\^encias: Sneddon [6]; Forsyth [7].

É o propósito
deste artigo apresentar uma solução para este problema centenário no
caso unidimensional.

O procedimento apresentado para resolver a \eq de \hj é uma
extensão  do método desenvolvido para as EDPs, lineares ou não, dos tipos:
\[F(p,q)=0; \q F(f(x)p,q)=0 \q (ou \q F(u_x,h(y)u_y)=0),\] \noi onde \
$p=\pe{u}{x}$, \ $q=\pe{u}{y}$ \ e \
$u=u(x,y)$, como apresentado em Espindola [8].

Apresentaremos  primeiramente este método de obtenção de soluções gerais, para, na sequência extendê-lo a \edp de Hamilton-Jacobi, como pode ser visto em Espindola [9].

Tanto o método de Charpit, como outros métodos, fornecem somente
uma solução integral aplicados a este tipo de EDPs.

$\bullet \quad$ Citando refer\^encias: Sneddon [6]; Forsyth [7]; Courant [10].

No método desenvolvido obtém-se
infinitas soluções integrais, i.e., a solução geral na forma
implícita e em determinados casos a solução geral de forma
explícita.

O procedimento desenvolvido tem como base uma transformação de Legendre e a utilização de um teorema para formas diferenciais
Pfaffianas, que fornece a condição para que estas se
tornem integráveis,  veja Sneddon [6].


\section{Solução Geral para a EDP \ $\mathbf{F(p,q)=0}$}

\hp Considere a EDP de primeira ordem \ $F(p,q)=0$, onde  \
$p=\pee{u}{x}$, \ $q=\pee{u}{y}$ \ e \ $u=u(x,y)$. A forma
diferencial Pfaffiana para \ $u$ \ é \beq du=p\:dx+q\:dy. \eeq

\noi Aplicando uma transformação de Legendre obtemos
\[d(xp+yq)-du-xdp-ydq=0.\]

\noi Desde que \ $dF=F_pdp+F_qdq=0$, logo \ \[dp= -(F_q/F_q)dq\] \
e então \beq d(xp+yq)-du+\e(x\frac{F_q}{F_p}-y\ri)\:dq=0\:.\eeq

\noi Sendo esta uma forma diferencial Pfaffiana pode ser aplicado o
teorema, veja Sneddon [6]:

%Teorema:

\begin{myth}

\ \ \ A  condição necessária e suficiente para que a forma diferencial
Pfaffiana \ $\vx\cdot \vr=0$ \ seja integrável é que \ $\vx\cdot
rot\vx=0$. \end{myth}

\noi Que neste caso resulta em
\[\vx\cdot rot\vx=-\e(\frac{\pr}{\pr (xp+yq)}+\frac{\pr}{\pr
u}\ri)\e(x\frac{F_q}{F_p}-y\ri)=0,\]

\noi que integrada fornece \beq u-xp-yq=\phi(q).\eeq

\noi Substituindo na \eq (2) obtém-se \beq
\e(x\frac{F_q}{F_p}-y\ri)=-\phi'(q).\eeq

A solução geral da \eq diferencial é dada pela equação (3) na qual
\ $q$ \ é determinado a partir de  (4). Esta é uma solução geral
desde que ela possui uma função arbitrária \ $\phi(q)$, i.e., a cada
forma arbitrária de \ $\phi(q)$ \ a equação (4) e a EDP original
formam um sistema de \eqs algébrico que determina \ $q=q(x,y)$ \ e \
$p=p(x,y)$, que uma vez substituídos em (3) fornecem uma solução
da EDP.

 Em alguns casos podemos explicitar \ $p=f(q)$ (ou \ $q=g(p)$) \
e a solução geral da EDP a partir de (3) fica \beq
u=x\:f(q)+yq+\phi(q), \eeq

\noi com a condição que é obtida de (4) \beq xf_q+y=-\phi'(q).\eeq

Um exemplo da aplicação do método no caso em que podemos explicitar
\ $p$ \ é a \eq \ \[F(p,q)= p-Bq+A=0,\] \ onde \ $A,B$ \ são
constantes. Portanto \ $p=f(q)=Bq-A$, e \ $f_q=B$ \ a solução será
de (5)
\[u=xp+yq-\phi(q)=x(Bq-A)+yq-\phi(q),\]

\noi onde devemos substituir \ $q=q(x,y)$ \ determinada a partir de
(6).

Neste caso (6) fica \ \[xf_q+y=Bx+y=\phi'(q),\] logo \
\[q=\psi(Bx+y)\] \ e a solução geral da EDP é dada por
\[u=Ax +(Bx+y)\:\psi(Bx+y)-\phi^{-1}(\psi(Bx+y))=Ax+\Phi(Bx+y).\]

Como outro exemplo consideramos a EDP não linear \ $p^n-q^m=A$,\
onde \ $A$ \ é constante. Explicitando temos \
$p=(A+q^m)^{1/n}=f(q)$, logo \
\[f_q=\frac{m}{n}(A+q^m)^{(1-n)/n}q^{m-1}\] e de (5) a solução geral
é
\[u=x(A+q^m)^{1/n}+yq-\phi(q),\]
\noi onde de (6)
\[\phi'(q)=\frac{mx}{n}(A+q^m)^{(1-n)/n}q^{m-1}+y.\]
\noi Portanto teremos uma solução integral a cada escolha de \
$\phi(q)$.

\section{Solução Geral para a EDP \ $F(f(x)p,q)=0$ \ (ou \ $F(p,h(y)q)=0$)}

\hp Utilizando um procedimento idêntico ao da seção anterior,
explicitamos a partir da  EDP \ $p=G(q)/f(x)$ \ substituímos na
forma diferencial e aplicamos uma transformação de Legendre, obtendo
\[du=d[H(x)G(q)+yq]-[H(x)G'(q)+y]dq,\]

\noi onde \ $H(x)=x/f(x)$.

Esta é uma forma diferencial Pfaffiana e a sua condição de
integrabilidade obtida a partir do Teorema 2.1 é \beq
H(x)G'(q)+y=\phi'(q).\eeq

Portanto a solução geral da EDP será \beq
u=H(x)G(q)+yq-\phi(q),\eeq

\noi onde \ $\phi(q)$ \ é uma \f arbitrária que uma vez escolhida
irá determinar o valor de \ $q=q(x,y)$ \ a partir da \eq (7).

De maneira análoga se obtém a solução geral de \ $F(p,h(y)q)=0$. Se
\ \[q=G(p)/h(y)\] \ então  a solução geral é dada por
\[u=xp+G(p)H(y)-\phi(p),\]
\noi onde \ $H(y)=y/h(y)$ \ e a condição de integrabilidade \
\[\phi'(p)=G'(p)H(y)+x\].

Como uma observação final o procedimento acima descrito está sendo
extendido a EDPS de primeira ordem lineares ou não dos tipos \
$u=f(p,q)$, \ $F(u,p,q)=0$, \ $F(p,q,x)=0$ \ ou \ $G(p,q,y)=0$ \ e
EDPS de segunda ordem p-harmônicas.

\section{Solução Geral da Equação de Hamilton-Jacobi}

\hp Considere a \eq mais geral de \hj para um sistema conservativo
não relativístico unidimensional
\[a(x)\,\;\pe{S}{x}+V(x)-\pe{S}{t}=0,\]
\noi onde \ $S=S(x,t)$ \ é a \f principal de Hamilton, ou
equivalentemente,
 \beq ap^2+V-q=0,\eeq \noi onde \
 $p=\pee{S}{x}$ \ e \ $q=\pee{S}{t}$.

Portanto \beq dS=p\:dx+q\:dt=d(p\:x+q\:t)-x\:dp-t\:dq,\eeq onde
utilizamos uma transformação semelhante a de Legendre.

Substituindo \ $p$ \ obtido a partir de (14) obtemos \beq
dS=d\left(\frac{x\sqrt{a(q-V)}}{a}+qt\right)-
\frac{x(a'V-aV'-qa')}{2\sqrt{a(q-V)}}dx-\left(t+\frac{x}{2\sqrt{a(q-V)}}\right)dq,\eeq
onde \ $a'=da/dx$ \ e \ $V'=dV/dx$. Integrando \beq
S(x,t)=x\sqrt{(q-V)/a}+qt-F(x,q),\eeq sendo \ $F$ \ tal que \beqn
\pe{F}{q}&=&t+\frac{x}{2\sqrt{a(q-V)}},\\
\pe{F}{x}&=&\frac{x(a'V-aV'-qa')}{2\sqrt{a(q-V)}}\,\equiv\,
H(x,q).\eeqn

A integração da Eq. (14) conduz a \ \[F(x,q)=\int H(x,q)dx+G(q)\],
onde \ $G$ \ é uma \f arbitrária. Usando este resultado em (13)
obtemos a \eq que define a variável \ $q=q(x,t)$, para cada escolha
arbitrária da \f \ $G$: \beq \int \pe{H}{q}dx +
G'(q)=y+\frac{x}{2\sqrt{a(q-V)}}.\eeq

Então a \f \ $S=S(x,t)$, fornecida por (12) é uma solução geral.

É interessante ressaltar que no método de separação de variáveis
aplicados a \eq de \hj as soluções usuais são obtidas fazendo a
hipótese de que \ $q=constante$, \ i.e., $dq=0$, portanto \[S(x,t)=
W(x)+C(t)\].

\section{Exemplo}

\hp Como exemplo vamos considerar uma partícula livre descrita pela
\eq de \hj como  \ $ap^2-q=0$ \ ($a=constante$). \ A partir de (12)
se obtém a solução
\[S=x\sqrt{q/a}+qt-F.\]
\noi onde a \f \ $F$ \ é determinada pela solução do sistema obtido
de (13) e (14)  \[ F'(q)=t+\frac{x}{2\sqrt{aq}}.\] Esta \eq
fornece a cada escolha da \f arbitrária \ $F$ \ a variável \
$q=q(x,t)$.

Por exemplo, se \ $F=Cq$ \ então \ $q=x^2/4a(C-t)^2$, \
logo \ \[S(x,t)=x^2/4a(C-t)\]. \ Esta solução foi previamente obtida
utilizando dados do movimento da partícula, veja em Saletan [11], o que é
desnecessário no nosso método.

A solução \ $S(x,t)=x\sqrt{C/a}+Ct$ \ obtida pelo método de
separação de variáveis é obtida substituindo \ $dq=0$ \ em (11).

Outro exemplo interessante é a \eq de \hj correspondente ao problema
do oscilador harmônico que (em unidades convenientes) é dada por
\[p^2+x^2-q=0.\]

Sua solução é \[
S(x,t)=qt+\frac{1}{2}x\sqrt{q-x^2}+\frac{q}{2}\:sen^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{q}}\right)-
G(q),\] \noi onde \ $q=q(x,t)$ \ é obtido da \eq
\[t+\frac{1}{2}x\sqrt{q-x^2}=G'(q)+\frac{q}{2}\:sen^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{q}}\right),\]\noi
para cada escolha da \f arbitrária \ $G$.

A solução com variáveis separáveis ($q=C$) \ é
\[S(x,t)=\frac{1}{2}x\sqrt{C-x^2}+Ct-\frac{C}{2}\:sen^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{C}}\right).\]

\section {Conclusão}

\hp O procedimento apresentado para resolver a \eq de \hj é uma
extensão do apresentado nas seções 2 e 3, veja em Espindola [9, 10]. A condição de
integrabilidade da forma Pfaffiana (3), como pode ser visto em Sneddon [6],  resulta nas \eqs
(13) e (14).

A extensão do método para \eqs de \hj bi e tridimensionais e a formulação geral do método
para este tipo de \edps está dentro das possíveis abordagens
posteriores.

Na extensão do método apresentado nas seções 2 e 3 podemos obter soluções para EDPs de segunda
ordem de um dos tipos
\[ F(r,s)=0\quad e \quad
F(s,t)=0, \quad r=\ped{u}{x},\quad s=\pal{u}{x}{y}\quad e \quad
t=\ped{u}{y},\] \noi desde que estas podem ser transformadas nas
EDPs acima.

Outra extensão possível é para EDPs de primeira ordem com diversas
variáveis
\[F(p_1,\dots,p_n,q_1,\dots,q_n)=0,\quad
p_i=\pee{u}{x_i}, \quad q_i=\pee{u}{y_i},\]
\[u=u(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n).\]\vs{.8cm}

\noi {\bf Agradecimentos} \vs{.2cm}

\ \ \ Agradeço \ ao \ \ Dr. \ Nelson Lima Teixeira \ (in memoriam)  \ \ e \ ao \ Dr. \ Oslim
Espindola \ (in memoriam) \ \ pelas \ profícuas \ discussões.\vs{.8cm}

\subsection*{Referências}
\setcounter{equation}{0}

\noindent[\ 1] {\sc Arnold, V.} -
  {\it Méthodes Mathématiques Classique}, MIR, Moscou, 1976.

\noindent[\ 2] {\sc Chodos, A. e  Sommerfield, E. C. M.} -
  {\it Practical use of the Hamilton-Jacobi Equation}, J. Math. Phys.,

  \ \textbf{24}, 271, 1983.

\noindent[\ 3] {\sc Dureau, L. D.} -
  {\it Hamiltonian Operator in Generalized Coordinates}, Am. J. Phys., \textbf{33}, 895, 1965.

  \noindent[\ 4] {\sc Schiff, L. I.} -
  {\it Quantum Mechanics}, MCGRAW-HILL, Kogakusha, 1968, Cap. 8.

  \noindent[\ 5] {\sc Dirac, P. A. M.} -
  {\it The Hamiltonian Form of Field Dynamics}, Can. J. Math., \textbf{3}, 1, 1951.

\noindent[\ 6] {\sc Sneddon,  I.} -
  {\it Elements of partial differential equations.}, McGraw-Hill, Kogakusha,  First edition, 1957.

\noindent[\ 7] {\sc Forsyth,  A. R. } -
  {\it A treatise on differential equations.}, McMillan, London, First edition, 1903.

\noindent[\ 8] {\sc Espindola, M. L.} -
{\it Método de Solução das EDPS : \ $F(u_x,u_y)=0$; \
$F(f(x)u_x,u_y)=0$; \ $F(u_x,h(y)u_y)=0$},

\ \textbf{84}, Res. II ENAMA, 2008.

\noindent[\ 9] {\sc Espindola, M. L.} -
{\it \ Solução Geral da Equação de  Hamilton-Jacobi Unidimensional}, \ \textbf{64}, \ Res. III ENAMA,

\ 2009.

\noindent[10] {\sc Courant, R. e  Hilbert, D.} -
  {\it Methods of Mathematical Physics.}, INTERSCIENCE, New York, 1962, 
  
\ \ cap. 2.

\noindent[11] {\sc Saletan, E. J. e  Cromer, A. H.} - {\it Theoretical Mechanics},WILEY, New York, 1971.

\end{document}





