%permite escrever com acentos, como no Word
% POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM OS DADOS ABAIXO


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\begin{document}

\title{\vspace{-1in}%
\parbox{\linewidth}{\footnotesize\noindent
{\sc  \bf V Bienal da SBM}
\newline
{\sc  \bf Sociedade Brasileira de Matemática}
\newline
{\sc \bf UFPB - Universidade Federal da Paraíba}
\newline
\bf 18 a 22 de outubro de 2010 } \\
Mal ditas frases encontradas em livros didáticos de Matemática para a Escola
Básica }
\date{}
\author{Cydara Cavedon Ripoll \ (cydara@mat.ufrgs.br)}
\maketitle

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% CABEÇALHO DA PÁGINA - POR FAVOR NÀO MODIFIQUEM!
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%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% NAO PREENCHER O COMANDO \date{} ABAIXO, DEIXAR COMO ESTÁ!
%% NÃO RETIRAR OS COMANDOS \maketitle E \thispagestyle{empty}

\thispagestyle{empty} \vspace{-10pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

Esta palestra é motivada pela necessidade de se fazer um alerta aos atuais
estudantes de matemática e principalmente aos professores de Escola Básica
sobre a realidade que estamos hoje enfrentando no país, no que diz respeito a

-\qquad frases encontradas em livros didáticos ou utilizadas pelos
professores em sala de aula que, seja por sua má redação, seja pelos erros
matemáticos que envolve, seja pelo inadequado encaminhamento matemático que d%
ão ao assunto, são precursoras de vícios (relacionados a conteúdos de matemá%
tica) que se reconhece em alunos calouros de cursos de ciências exatas
(entre eles, principalmente e mais gravemente, de matemática);

-\qquad conteúdos errados divulgados amplamente e descontroladamente na
Internet, inclusive em sites do MEC.

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Seguem algumas informa\c c\~oes de editora\c c\~ao
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

\section{Introdução:}

O que quero alertar os ouvintes (principalmente alunos de Licenciatura em
Matemática e professores de matemática da Escola Básica) para o uso crítico
do que hoje em dia é fácil de termos à mão: livros didáticos de matemática e
materiais disponibilizados na Internet nos mais variados sites. Durante esta
palestra ficará clara a justificativa do título da mesma (mal ditas --
separado!, que ao longo da palestra se tornará malditas -- junto!).

Começo com uma frase que todos os presentes certamente acharão óbvia:\medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Todo professor de Matemática deve dominar o conteúdo que
pretende ensinar a seus alunos.\textquotedblright \medskip
\end{center}

No entanto, existe uma diferença no seu entendimento: o que os chamados
\textquotedblleft matemáticos da academia\textquotedblright\ entendem por
tal frase pode diferir muito do entendimento de muitos educadores. Para os
chamados \textquotedblleft matemáticos da academia\textquotedblright , não
existe uma \textquotedblleft matemática da academia\textquotedblright : para
eles a matemática é uma só, é uma ciência que faz uso sim de exemplos
motivadores, de intuição, mas que nunca pára por aí, simplesmente porque
Matemática não é uma ciência empírica, como é a Física, por exemplo. Matemá%
tica é sim uma ciência que faz uso do método dedutivo, e portanto, na grande
maioria dos casos, nada podemos concluir a partir de apenas alguns exemplos.

Minha experiência com os calouros de Matemática: ao serem perguntados por
exemplo, \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Soma de pares é par?\textquotedblright ,\medskip
\end{center}

\noindent ouvia como tentativa de resposta completa: \textquotedblleft sim,
pois por exemplo, 2 é par, 4 é par e 2+4=6, que é também
par.\textquotedblright\

Ou então, para a questão \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft V ou F? Justifique. Se $a|n^{2}$ então $a|n$%
.\textquotedblright \medskip
\end{center}

\noindent continuarem respondendo \textquotedblleft Sim, pois por exemplo 2%
\TEXTsymbol{\vert}16 e 2\TEXTsymbol{\vert}4\textquotedblright . Mas pior
ainda é encontrarmos professores já formados argumentando desta forma, o que
já pude constatar. \medskip

Este é apenas um dos vícios recorrentes que eu constatava dando aulas a
calouros. Inicialmente eu culpava os professores da Escola Básica que não
estariam bem preparados, permitindo que tais vícios se instaurassem na cabeç%
a de seus alunos. Mas nos últimos 5 anos, atuando no então criado Mestrado
em Ensino de Matemática na UFRGS, comecei a tomar maior contato com livros
didáticos da Escola Básica, e então percebi que muitos destes vícios estão
sugeridos e registrados em vários livros didáticos e -- o que é pior! -- em
livros que são aprovados pelo MEC!!!!! \medskip

Saliento que é de suma importância expor estes encaminhamentos inadequados,
uma vez que, conforme o Guia de Livros Didáticos -- PNLD 2008 (p.7),
\textquotedblleft o livro [didático] precisa assumir a função de texto de
referência tanto para o aluno, quanto para o docente\textquotedblright .
Infelizmente, a realidade é que, para a grande maioria dos professores de
Escola Básica, o livro didático assume, de fato, a função de único
referencial, tanto no que diz respeito à \textquotedblleft matemática que o
professor vai usar em suas aulas quanto no que se refere a todo o
conhecimanto de matemática que o professor deveria ter sobre os assuntos
tratados na Escola Básica. Portanto, são inadmissíveis contradições, confusõ%
es e erros conceituais em tais textos, especialmente por terem sido
aprovados pelo MEC, o que, em teoria, deveria garantir a qualidade e correçã%
o dos mesmos.

Para corroborar o que dissemos acima, citamos uma passagem nos PCN (1998)
que corrobora o que dissemos acima:\medskip

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \textquotedblleft Nã%
o tendo oportunidade e condições para aprimorar sua formação e não

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad dispondo de outros
recursos para desenvolver as práticas da sala de aula,

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad os professores apó%
iam-se quase exclusivamente nos livros didáticos, que,

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad muitas vezes, são de
qualidade insatisfatória\textquotedblright . (BRASIL, 1998 p.21-22).\medskip

Este quadro, por si só já crítico, serve de motivação para uma tomada de
atitude emergencial na tentativa de reverter o quadro mostrado no Exame
Pisa, que confere ao Brasil a penúltima colocação no ranking em desempenho
de matemática de um aluno de 15 anos. Apesar da boa vontade do Mec, as
equipes por ele selecionadas não dão conta das muitas frases
\textquotedblleft mal ditas\textquotedblright\ constantes na grande maioria
dos livros didáticos.\medskip

Hoje costumo ter a seguinte prática com os calouros: logo nas primeiras
aulas de Fundamentos, depois de mencionar a eles este fato (a existência de
mal ditas frases em livros didáticos), propus-lhes um desafio:
\textquotedblleft encontrem mal ditas frases nos livros de matemática que voc%
ês têm em casa... \textquotedblright\ - de propósito: os livros que eles
tinham em casa provavelmente eram os livros nos quais eles estudaram na
Escola. Inicialmente eles ficam visivelmente espantados; na primeira vez
quem ficou espantada com o retorno fui eu, tamanha foi a quantidade de situaç%
ões em que esta prática do \textquotedblleft por exemplo... e só%
!\textquotedblright\ é utilizada! Desenvolvendo a teoria, autores de livros
didáticos mencionam 2 exemplos e daí concluem : \textquotedblleft Então vale
a seguinte propriedade/fórmula:...\textquotedblright\ Este \textquotedblleft
pecado matemático\textquotedblright\ se torna um vício e pode ser constatado
nos calouros, e revela-se para muitos deles bem difícíl de ser corrigido.
Infelizmente, em muitos cursos de matemática os alunos não são alertados
para isso, e tive a oportunidade de constatar tal vício também entre
professores já formados...\medskip

Existem nos livros didáticos frases \textquotedblleft mal
ditas\textquotedblright ,

\qquad \qquad ou por envolverem erros de matemática

\qquad \qquad ou por serem ambíguas

\qquad \qquad ou por mera conseqüência da falta de vivência ou familiaridade
do autor com o método matemático.\medskip

Apresento aqui alguns exemplos lá coletados (sem dar muita ênfase ao mau uso
da calculadora também lá sugerido). Sempre que possível, aponto um vício
constatado e que pode ter aí sua origem. Entre aspas citações literais
retiradas de livros didáticos:

\section{Mal ditas frases decorrentes da falta de prática com o método mate-m%
ático por parte de muitos autores de livros didáticos}

- A recorrente prática já apontada acima: o método dedutivo, base do
pensamento matemático, não permite legitimar a validade de uma afirmação
apenas verificando alguns casos. É preciso verificar a veracidade para todos
os possíveis casos, mesmo que infinitos. \medskip

- Autores que não provam que não existe racional cujo quadrado é 2, têm a
tendência de afirmar: \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft $\sqrt{2}\ $não tem representação decimal periódica, e por
isso é um número irracional\textquotedblright .\medskip
\end{center}

Mas... Como se prova que $\sqrt{2}$ não tem representação decimal periódica?
\medskip

- \textquotedblleft Com o auxílio de conhecimentos matemáticos superiores
aos que estudamos até agora, pode-se mostrar que o processo de melhoria das
aproximações de $\sqrt{2}$ não termina nunca.\textquotedblright\

Logo a seguir, este autor explora fatoração em primos para decidir se um nú%
mero é um quadrado perfeito ou não...\medskip

- O número $\pi $ é muitas vezes introduzido de uma forma altamente
imprecisa, pois não se informa claramente que -- agora sim! - matemáticos
provaram que é constante o quociente entre o perímetro do círculo e o
comprimento do seu diâmetro. Precisamente: a prática comum é tomar-se vários
quocientes que são aproximadamente iguais (mas só aproximadamente!) e depois
afirmar-se (Veja Figura 1 - uma de minhas páginas preferidas!)\medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Este número é chamado de $\pi $\textquotedblright\ \medskip
\end{center}

- Outro autor começa se preocupando em procurar um número $x$ tal que $%
x^{2}=2$. Daí, faz estimativas, tais como\medskip

\begin{center}
$(1,4)^{2}=1,96\qquad $e\qquad $(1,5)^{2}=2,25,$\medskip
\end{center}

\noindent chegando à escrita $x=1,414...$ e a seguir informa: \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Adiante veremos que x é a raiz quadrada de dois (...)
\textquotedblright \medskip
\end{center}

Além disso, parece que este autor está sugerindo que a lista $1,414...$ \
sozinha (isto é, sem levarmos em conta sua procedência) determina com precisã%
o um só número, uma só quantidade...\medskip

Eis aí um \textbf{vício}: pensar-se que se só sabemos que $y=3,2385...$ entã%
o imaginar-se que $y$ está univocamente determinado. Mas então, se assim
fosse, saberíamos dizer quem é o próximo dígito de sua expansão
decimal!...\medskip

- Outro \textbf{vício} relacionado com este: \medskip

\begin{center}
$y=3,2385...$ $\Rightarrow y$ é irracional$y=3,2385...$
\end{center}

\section{Mal ditas frases de conteúdo errado}

- Relacionado ao assunto \textquotedblleft dízimas periódicas%
\textquotedblright , no que diz respeito à recuperação da fração geratriz,
um autor escreve: \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Todas as dízimas periódicas possuem fração
geratriz.\textquotedblright \medskip
\end{center}

Este autor é um dos tantos que apresentam a \textquotedblleft
receita\textquotedblright\ para recuperar a fração geratriz, sem demonstraçã%
o, e chega à incoerência de pedir, nos exercícios, para que o aluno calcule
a fração geratriz de $4,999...$, apresentando como resposta no Livro do
Professor $5/1$ !!! \medskip

- Relacionado à propriedade de densidade do conjunto dos números racionais:
\medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Como entre dois racionais sempre há um outro número

racional, não é possivel escrever todos os elementos

do conjunto Q dos números racionais.\textquotedblright \medskip
\end{center}

Mostra-se aí uma confusão entre densidade dos racionais e enumerabilidade
dos racionais !\medskip

- \textquotedblleft Exercício: Encontre a fração equivalente a $\sqrt{2}/2$%
.\textquotedblright\

Outra frase análoga:

\textquotedblleft Lembre-se que uma fração não se altera quando
multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo número diferente de
zero.\textquotedblright

E o exemplo que este autor dá é \medskip

\begin{center}
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=...$\medskip
\end{center}

Acredito que o \textbf{vício} de muitos alunos afirmarem que $\pi $ á
racional decorre deste erro de nomenclatura, que dá margem ao seguinte racioc%
ínio:

A partir dos fatos:

\qquad a. $\sqrt{2}/2$ uma fração

\qquad b. o conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais é o conjunto de
todas as frações

\qquad c. fração é um quociente

\qquad d. $\pi $ é o quociente entre o comprimento da circunferência e o diâ%
metro do círculo,

podemos deduzir que\ $\pi $ é racional !!!\medskip

- Menciono aqui apenas um exemplo de mau uso de calculadora:\medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Na calculadora, Helena calculou $7,0710678...\ $como valor
de $\sqrt{50}.$

Pela representação decimal obtida, Você pode afirmar que

é um número racional ou um número irracional? \textquotedblright
\end{center}

\section{Mal ditas frases ambíguas/imprecisas}

- \textquotedblleft É muito interessante notar que números irracionais, que n%
ão têm uma representação decimal precisa, como $\sqrt{2}=1,414213...$, têm,
no eixo real, uma imagem rigorosamente definida por um segmento de reta".

(Note que sabemos dizer quem é o próximo dígito nesta expansão!... )\medskip

Relacionada a esta frase temos o seguinte \textbf{vício} comum envolvendo o
conceito de número irracional: \medskip

\begin{center}
"número irracional é todo número cuja expansão decimal é desconhecida."%
\medskip
\end{center}

- \textquotedblleft Qual é o valor de $\sqrt{1936}?$\textquotedblright ,

como se este símbolo já não desse origem a um número (quantidade bem
precisa)...\medskip

- Muitos autores descuidam do uso do símbolo \textquotedblleft $\cong $%
\textquotedblright , dando igual tratamento tantos aos valores exatos quanto
aos valores aproximados. Exemplo clássico: \textquotedblleft $\pi =3,14$%
\textquotedblright $.$\medskip

- Um exemplo de geometria, e tirado de um livro das séries iniciais -- mais
precisamente 4$^{a}$ série: lá encontramos, como situação motivadora (veja
Figura 2 - aqui encaixo outra das minha páginas preferidas)\medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Carla gosta de enfeitar seu caderno com desenhos feitos
sobre quadriculados,

e entre várias opções resolve escolher o maior.\textquotedblright \medskip
\end{center}

Daí a pergunta: \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Como você pode descobrir o desenho que ela
usou?\textquotedblright \medskip
\end{center}

Sobre o que pensamos imediatamente ao analisarmos tal situação? Que os
quadradinhos vão ajudar como unidade de área e que será aí introduzida a
discussão sobre área. Para minha surpresa quando segui lendo o livro:
\medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Você sabe o que é perímetro?\textquotedblright\
!!!!\medskip
\end{center}

(Note que se era para tratar de perímetro então a resposta à pergunta acima
seria \textquotedblleft Depende! Estás te referindo ao maior contorno ou ao
maior espaço ocupado pela figura?\textquotedblright

\section{Mal ditas frases por mal encaminhamento do conteúdo}

- Má condução histórica: É comum encontrarmos nos livros ou artigos de
ensino a informação \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft Os números racionais surgiram pela necessidade de
medir\textquotedblright \medskip
\end{center}

E só!!!! Esta frase serviu durante algum tempo na Antigüidade, mas já lá se
tornou obsoleta: com ela parece que todas as medidas podem ser expressas só
com racionais, o que não é verdade. Ainda na Antigüidade foi gerada uma
crise (que hoje chamamos de Crise dos Incomensuráveis) ao se descobrir que a
diagonal do quadrado é incomensurável com o lado do mesmo.\medskip

- É comum encontrarmos em livros didáticos a seguinte figura que dá origem a
uma infinidade de irracionais (Veja Figura 3).

Somando-se a ela um capítulo inteiro que trata de \textquotedblleft operaçõ%
es com radicais\textquotedblright , não é de se admirar existir o \textbf{ví%
cio} de se acreditar que \medskip

\begin{center}
todo número irracional admite uma representação radical\medskip
\end{center}

\noindent e talvez também que\medskip

\begin{center}
todo número irracional é construtível com régua e compasso.\medskip
\end{center}

- Lá no sexto ano trata-se de forma mais sistemática o conjunto dos números
naturais e estuda-se a potenciação como uma forma resumida de escrever um
produto de fatores iguais. Logo após alguns exemplos introduzem a definição
de expoente igual a zero, sem que tenha surgido a menor motivaçã%
o/necessidade para isso. Note que neste nível (universo numérico naturais),
a potenciação é apenas uma forma resumida um produto de fatores iguais, ou
seja, pelo menos DOIS fatores, e nunca ZERO fatores... Esta definição aqui é
completamente atropelada...

\textbf{Conclusão I: }

Agora posso reiterar a justificativa para o título desta palestra: as
\textquotedblleft mal ditas frases\textquotedblright\ acabam sim virando
\textquotedblleft malditas frases\textquotedblright , pois os alunos, ao
chegarem na Universidade, mesmo sendo-lhes chamada a atenção para os vícios
adquiridos na Escola Básica, têm muita dificuldade em se livrar deles.

Fica então o alerta aos futuros e aos atuais professores: apesar da boa inten%
ção do MEC e das Comissões do Plano Nacional do Livro Didático, os livros
devem ser utilizados e analisados com espírito crítico.

O que o MEC poderia fazer para contribuir ainda mais neste sentido?

Na minha opinião, nos livros didáticos existe o carimbo \textquotedblleft
aprovado pelo MEC\textquotedblright\ mas não existe uma menção sequer nem no
livro do aluno nem no Livro do Professor sobre a existência de um Guia do
Professor. Um aviso sobre a sua existência poderia ser colocado logo abaixo
do aviso PNLD 2010, por exemplo.

Além disso, poderia, ser mantida atualizada uma errata para cada livro
aprovado pelo MEC, também com endereço devidamente explicitado na capa ou
contra-capa de cada livro.

\section{Fora dos livros didáticos}

- Não é só nos livros didáticos que encontramos \textquotedblleft pecados
matemáticos\textquotedblright : no site do MEC existem publicados
\textquotedblleft produtos educacionais\textquotedblright , de qualidade nem
sempre condizente com a condição de site de um Ministério de Educação. A SBM
já teve que se manifestar com relação a alguns produtos lá disponibilizados
e que muito deixavam a desejar, pois quando um professor ou um aluno, lá no
interior do interior do Brasil acessa via o computador que o Lula lhe deu o
site do MEC e vê lá registrados alguns \textquotedblleft produtos
educacionais\textquotedblright , é óbvio que ele vai sentir confiança,
achando que ele está acessando um produto de muito boa qualidade, pois tem o
\textquotedblleft selo de qualidade Ministério da Educação\textquotedblright
.\medskip

- Fora do site do MEC : na incontrolada Internet, onde qualquer um publica
qualquer coisa, encontramos divulgado o texto \textquotedblleft Práticas Didá%
ticas no Ensino de Números Racionais\textquotedblright : lá, durante uma
discussão sobre a dificuldade dos alunos com frações encontramos, em
passent, \medskip

\begin{center}
\textquotedblleft ...o conceito de fração (tomar a unidade, dividi-la em
partes iguais e tomar algumas destas partes),...\textquotedblright \medskip
\end{center}

Coitadas das frações impróprias!!!\medskip

- Mesmo no site confiável Wolfram:\medskip

http://demonstrations.wolfram.com/education.html?edutag=Middle\%20School%
\%20Mathematics\&start=101\&limit=20\&sortmethod=recent \medskip

\noindent selecionando \textquotedblleft Number Lines\textquotedblright :
neste produto: não há nenhuma diferença na representação da reta numérica
dos inteiros, dos racionais e dos reais. Mas o pior de tudo é que na reta
real, não aparece sequer um irracional. Ou seja, as retas racional e real aí
são iguais!!!

\section{Encerrando:}

Espero que, com tudo isto, tenha ficado claro o recado que eu queria passar
com este meu relato: reiterar que é este o sentido que os chamados
\textquotedblleft matemáticos da academia\textquotedblright\ querem passar
ao dizer que antes de mais nada um professor de Matemática tem que dominar a
matemática que quer ensinar. Mais ainda se quiser deixar registrada em um
livro a sua proposta de ensino. Por exemplo, se aquele autor que se
confundiu com \textquotedblleft enumerabilidade\textquotedblright\ e
\textquotedblleft densidade\textquotedblright\ tivesse feito uma disciplina
de Análise Real em sua graduação, é bem provável que ele jamais escrevesse
aquela frase. (OBS: Não sou aqui defensora de um curso de Análise Real para
Bacharéis em um currículo de Licenciatura, mas não sou favorável à exclusão
total de um curso de Análise Real. Isto está sendo atualmente discutido na
Comissão de Ensino da SBM).

\begin{tabular}{l}
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Figura 1%
\end{tabular}%
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\begin{tabular}{l}
\FRAME{itbpF}{2.3834in}{3.2776in}{0in}{}{}{perimetroarea.jpg}{\special%
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Figura 2%
\end{tabular}

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\FRAME{itbpF}{2.3834in}{3.2776in}{0in}{}{}{caramujoirracionais.jpg}{\special%
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\\
Figura 3%
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}
