/*** METODOS.TXT ***/


      O conjunto de  programas  que  formam  o  SOLVEQ 3.0  usam  os  seguintes
metodos de resolucao de equacoes polinomiais:



METODO DE LAGUERRE
------------------

      Se p(z)  for um polinomio de coeficientes complexos, o metodo de Laguerre
mostra como construir uma sequencia de numeros complexos a partir de valores de
p(z) e suas derivadas p'(z) e p"(z).
      Seja x  uma  aproximacao  inicial de uma raiz de p(z) e  x    definido de
            0                                                   i+1
forma iterativa por

                          x     = x  -  n f(x ) / M(x )
                           i+1     i         i       i

onde M(x) e' o elemento de maior modulo do conjunto

            { f'(x) + RaizQuadrada(H(x)) ,   f'(x) - RaizQuadrada(H(x)) }

e
                                                2
                 H(x) = (n - 1) [ (n - 1)(f'(x))  - n f(x) f"(x) ]


      Quando converge,  a  sequencia assim construida  converge  para uma  raiz
de p(z).



METODO DE MULLER
----------------

       O metodo de Muller consiste  na  construcao  de  uma sequencia  (x )  de
                                                                         n
numeros complexos que, quando converge,  converge para uma raiz de um polinomio
de  coeficientes  complexos  f(z).   Dadas  tres  aproximacoes  para  uma  raiz
x   ,  x     e  x  ,  a  proxima  aproximacao  x     e'  calculada  atraves das
 i-2    i-1      i                              i+1
seguintes formulas:

              q = ( x  - x   ) / (x    - x   )
                     i    i-1      i-1    i-2
                                                 2
              A = q f(x ) - q (q + 1) f(x   ) + q  f(x   )
                       i                 i-1          i-2

                                          2            2
              B = (2q + 1) f(x ) - (q + 1)  f(x   ) + q  f(x   )
                              i                i-1          i-2

              C = (q + 1) f(x )
                             i

              x    = x  - (x  - x   ) ( 2 C / M )
               i+1    i     i    i-1

onde M e' o elemento que tem maior modulo do conjunto

          { B + RaizQuadrada(B^2  - 4AC), B - RaizQuadrada(B^2  - 4AC) }



METODO DE BAIRSTOW
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      O metodo de Bairstow e' baseado na determinacao de dois numeros reais p e
q de tal forma que
                               2
                              x  + p x + q

seja um divisor do polinomio de coeficientes reais

                                  n
                        f(x) = a x  + ... + a x + a
                                n            1     0

      Esses valores reais p e q  sao os limites  das  sequencias  (p )  e  (q )
                                                                    n        n
assim definidas:

              p    = p  - [ b  (d   + p d ) - (b   + p b  )d  ] / D
               i+1    i      -1  -1    i 0      -2    i -1  0


              q    = q  - [ (b   + p b  )d   + d b  q  ] / D
               i+1    i       -2    i -1  -1    0 -1 i


onde   d    = d    = 0    e    d  = - b    - p  d    - q  d     para
        n-2    n-1              k      k+1    0  k+1    0  k+2

                                     2                 2
k = n - 3, ..., 0, -1,    e     D = d   + p d d   + q d
                                     -1    i 0 -1    i 0



RAIZES RACIONAIS
----------------

      As raizes racionais de um polinomio

                                   n
                         f(x) = a x  + ... + a x + a
                                 n            1     0

de  coeficientes inteiros  sao calculadas testando-se todos os numeros da forma
p/q onde:

      (1) p e' um divisor de a
                              0
      (2) q e' um divisor de a
                              n
      (3) (p - q) e' divisor de f(1)

      (4) (p + q) e' divisor de f(-1)




REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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      (1) Ralston, A., Rabinowitz, P. (1978): A first course in numerical
          analysis, McGraw Hill Book Company.

      (2) Press, W. H., Flannery, B. P., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T.
          (1986): Numerical recipes - the art of scientific computing,
          Cambridge University Press.

      (3) Demidovitch, B., Maron, I. (1979): Elements de calcul numerique,
          Editions Mir.


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